1．3.3 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)了解φ，ω，A对函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响，并会由y＝sin x的图象得到f(x)＝A sin(ωx＋φ)的图象．(2)明确函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)中常数A，ω，φ的物理意义，理解振幅、频率、相位、初相的概念．2．过程与方法
通过图象变换的学习，培养运用数形结合思想分析、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
通过本节知识的学习，了解从特殊到一般，从一般到特殊的辩证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用．
●重点难点
重点：由函数y＝sin x的图象变换得到函数y＝A sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象．
难点：对图象变换过程的理解．
(教师用书独具)
●教学建议
关于函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的教学建议
(1)注重由特殊到一般的探究原则，让学生先画出函数y＝sin x的图象和课本给出的三个函数的图象，让学生观察、归纳参数φ，A，ω对函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的影响，教师及时地引导、纠正、提高．
(2)注重现代化教学手段的应用，加强直观性教学，提高课堂效率．
●教学流程
创设问题情境，引导学生明确函数f x ＝A ωx ＋φ中常数A ，ω，φ的物理意义，介绍振幅、频率、相位、初相的概念.?错误!?错误!?错误!?错误!?错误!?错误!
【问题导思】
一个弹簧振子作简谐振动，如图所示，该弹簧振子离开平衡位置的位移随时间t 变化的图象如下：
1．做简谐振动的物体离开平衡位置的位移s 与时间t 满足s ＝2sin πt
2
，图象中纵坐
标2和横坐标4各具有怎样的物理意义？
【提示】 2表示振幅，周期T ＝2π
π2
＝4.
2．将上述实例中的函数记为y ＝A sin(ωx ＋φ)，则该函数的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换得到？
【提示】 y ＝sin x 的图象经过平移和伸缩变换可以得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象． 1．有关概念
设物体做简谐运动时，位移s 与时间t 的关系为s ＝A sin(ωt ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．其中A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T ＝2πω称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T ＝ω
2π称为振动的频率；ωt ＋φ称为相位，t ＝0时的相位φ称为初相．
2．图象变换
(1)φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响(相位变换)
y ＝sin x 图象――→向左φ＞或向右φ＜
平移|φ|个单位长度
y ＝sin(x ＋φ)图象． (2)A 对函数y ＝A sin x 图象的影响(振幅变换)
y ＝sin x 图象――→纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变
y ＝A sin x 图象．
(3)ω对函数y ＝sin ωx 的图象的影响(周期变换)
①y ＝sin x 图象横坐标变为原来的1
ω
倍,(纵坐标不变)y ＝sin ωx 图象．
②y ＝sin ωx 的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0),平移|φ
ω
|个单位长度y ＝sin(ωx ＋φ)
的图象．
作出函数y ＝2sin(x 2＋π
6
)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
【思路探究】 将x 2＋π
6
看成整体，确定一个周期内的五个关键点，然后描点，用光滑
的曲线连结各点即可．
1．用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，应先令ωx ＋φ分别为0，π2，π，3
2
π，2π，
然后解出自变量x 的对应值，作出一周期内的图象．
2．若在一个定区间内作图象，则要首先确定该区间端点处的相位，再确定两个端点之间的最值点、零点．
作出函数y ＝12cos(12x ＋π
3
)在一个周期内的图象．
描点，连线得函数y ＝2cos(2x ＋3
)在一个周期内的图象，如图．
如何将函数y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝2sin(2x ＋6
)的图象？
【思路探究】 方法一：先相位变换→周期变换→振幅变换．
方法二：先周期变换→相位变换→振幅变换．
【自主解答】 法一 y ＝sin x 向左平移π6
个单位y ＝sin(x ＋π6
)――→各点横坐标伸长为原来的2倍
纵坐标不变y ＝sin(12x ＋π6
)
――→各点纵坐标伸长为原来的2倍
横坐标不变y ＝2sin(12x ＋π6
)的图象． 法二 y ＝sin x ――→各点横坐标伸长为原来的2倍
纵坐标不变y ＝sin 12
x 错误!y ＝sin 错误!(x ＋错误!)――→各点纵坐标伸长为原来的2倍
横坐标不变 y ＝2sin(12x ＋π6)的图象．
1．由函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换通常需要三个变换：
相位变换、周期变换、振幅变换，并且也常是这个顺序．当然也可以先周期变换，再相位变换，最后振幅变换，只是平移的单位量不同罢了．
2．由y ＝A sin ωx 的图象变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，可将y ＝A sin(ωx ＋φ)
化为y ＝A sin[ω(x ＋φω)]，由x ＋φω与x 的关系确定左右平移的单位，此时φ
ω
>0时，向左
平移φω个单位，φω<0时，向右平移|φ
ω
|个单位．
如何由函数y ＝sin x 的图象得到函数y ＝3sin(2x －π
3)的图象？
【解】 法一 y ＝sin x ――——————→向右平移π
3
个单位长度
y ＝sin(x －
π3)―————————————―→将各点的横坐标缩短为原来的
1
2y ＝sin(2x －π3
)――——————————→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍
y ＝3sin(2x －π
3
)．
法二 y ＝sin x ―————————————―→将各点的横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ―————————————―→向右平移π
6
个单位长度
y
＝sin[2(x －π)]――——————————→将各点的纵坐标伸长为原来的3倍y ＝3sin[2(x －π)]＝3sin(2x －π
).
图1－3－4
(2013·吉林高一检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)，在一个周期内的图象如图1－3－4所示，求函数的解析式． 【思路探究】 由最值求A ，由过点(0,1)求φ，由点(11π
12
，0)求ω.
【自主解答】 显然A ＝2，又图象过(0, 1)点，∴f (0)＝1，
∴sin φ＝12，又∵|φ|＜π2，∴φ＝π
6
.
由图象结合“五点法”可知，(11π
12
，0)对应五点中的点(2π，0)．
∴11π12·ω＋π6
＝2π，∴ω＝2. 所以所求函数解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π
6
)．
1．一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A |.
2．因为T ＝2π
ω
，所以往往通过求周期T 来确定ω.
3．从寻找“五点法”中的第一个“零点”(－φ
ω
，0)作为突破口，要从图象的升降情况
找准第一个“零点”的位置来确定φ.
图1－3－5
函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2
且图象如图1－3－5，求其解
析式．
【解】 法一 由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－(－π
6
)＝π，∴ω＝2.
又由点(－π
6，0)，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)，
所以－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3
，
∴f (x )＝3sin(2x ＋π
3
)．
法二 由图象知，振幅A ＝3， T ＝5π6－(－π
6
)＝π，∴ω＝2.
又图象过点(－π6，0)，有f (－π6)＝3sin[2(－π
6)＋φ]＝0，
∴sin(－π3＋φ)＝0，－π
3＋φ＝k π(k ∈Z )．
又|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π
3
，
∴f (x )＝3sin(2x ＋π
3
)．
数形结合思想在三角函数问题中的应用
设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是
________．
①[－4，－2]；②[－2,0]；③[0,2]；④[2,4] 【思路点拨】 将f (x )的零点问题转化为函数g (x )＝4sin(2x ＋1)与h (x )＝x 图象的交点问题．由数形结合的思想，画出g (x )与h (x )的图象解决．
【规范解答】 在同一坐标系中画出函数g (x )＝4sin(2x ＋1)与h (x )＝x 的图象，如图，观察可知在[－4，－2]内无交点．
【答案】 ①
解答此类题目的关键在于等价转化问题中的曲线，然后准确作图，在解答过程中充分利用数形结合思想及函数与方程的思想，即可解决问题．
1．准确理解“图象变换法” (1)由y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ)的图象变换称为相位变换；由y ＝sin x 到y ＝sin ωx 图象的变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 图象的变换称为振幅变换．
(2)由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变换途径有两条：
①y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换
y ＝A sin(ωx ＋φ)．
②y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换
y ＝A sin(ωx ＋φ)． 注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：①是先相位变换后周期变
换，平移|φ|个单位．②是先周期变换后相位变换，平移|φ|
ω
个单位，这是很易出错的地方，
应特别注意．
2．确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点(－φ
ω
，0)作为突破
口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π
2
；
“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π
2
；
“第五点”为ωx ＋φ＝2π.
1．把y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
4
倍(纵坐标不变)得________的图
象．
【解析】 y ＝sin x ――→横坐标缩短到原来的14
倍y ＝sin 4x .
【答案】 y ＝sin 4x
2．将y ＝sin 2x 的图象向左平移π
3
个单位，得到的曲线对应的解析式为________．
【解析】 将y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位，得y ＝sin 2(x ＋π3)＝sin(2x ＋2π
3
)．
【答案】 y ＝sin(2x ＋2π
3
)
图1－3－6
3．(2013·大纲全国卷改编)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图1－3－6，则ω＝________.
【解析】 设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知T
2
＝(x 0
＋π4)－x 0＝π4，所以T ＝π2.又因为T ＝2π
ω，可解得ω＝4. 【答案】 4
4．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2
)的部分图象如图1－3－7所示，求其
解析式．
图1－3－7
【解】 由图象可知14T ＝7π12－π
3，得
T ＝π，∴ω＝2π
T
＝2.
又(π3，1)在图象上，∴2×π3＋φ＝π
2
＋2k π.
又|φ|＜π2，∴φ＝－π
6
，
∴y ＝sin(2x －π
6
)．
一、填空题
1．函数y ＝3sin(π2x ＋π
4
)的振幅是________，周期是________．
【解析】 由于函数y ＝3sin(π2x ＋π4)，∴振幅是3，周期是T ＝2π
π
2
＝4.
【答案】 3 4
2．(2013·长沙高一检测)将y ＝sin 4x 的图象向左平移π
12
个单位，得y ＝sin(4x ＋
φ)(0<φ<π
2
)的图象，则φ等于________．
【解析】 将y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位得到函数y ＝sin 4(x ＋π
12
)＝sin(4x
＋π
3
)， 由sin(4x ＋φ)＝sin(4x ＋π3)及0＜φ＜π
2
，
知φ＝π
3
.
【答案】 π
3
3．(2013·临沂高一检测)把函数y ＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移π
8
个单位长度，再把
各点的纵坐标扩大为原来的2倍，所得图象的函数解析式为________．
【解析】 将函数y ＝sin(2x ＋π4)图象右移π8个单位得函数y ＝sin[2(x －π8)＋π
4
]的
图象，再将纵坐标伸长到原来的2倍得到函数y ＝2sin 2x 的图象．
【答案】 y ＝2sin 2x
4．(2013·沙市高一检测)要得到函数y ＝－cos 2x 的图象，可以将y ＝sin 2x 的图象
向________平移3π
4
个单位长度即可．
【解析】 y ＝－cos 2x ＝sin(2x ＋3π2)＝sin[2(x ＋3π
4
)]，所以将y ＝sin 2x 的图象
向左平移3π
4
个单位长度即可．
【答案】 左
5．下列表示函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π
2
，π]上的简图正确的是________．
解函数方程的几种方法 李素真 摘要：本文通过给出求解函数方程的基本方法，来介绍函数方程，探索通过构造函数方程求解其它问题的方法,以获得新的解题思路。 关键词：函数方程；换元法；待定系数法；解方程组法；参数法 含有未知函数的等式叫做函数方程，能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解，求函数方程的解或证明函数方程有无解的过程叫解函数方程。 函数方程的解法有换元法（或代换法）、待定系数法、解方程组法、参数法。 1.换元法 换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量(中间变量)，然后找出函数对中间变量的关系，从而求出函数的表达式。 例1 已知x x f x sin )2(+=，求)(x f 。 解：令u x =2 ）（0>u ，则u x log 2=，于是可得，)log sin()log ()(222 u u u f += ）（0>u ，以x 代替u ，得)log sin(log 2 )(22u x x f += )0(>x 。 例2 已知x x x x f 212ln )1(+=+ )0(>x ，求)(x f 。 解：令t x x =+1，则11-=t x )1(>t ，于是12ln 112111 2 ln )(+=-+-=t t t t f ， 即1 2ln )(+=x x f 。 例3 已知x x f 2cos )cos 1(=+，求)(x f 。 解：原式可以化为 1cos 22cos )cos 1(2+==+x x x f ，令t x =+cos 1，]2,0[∈t ，则换元后有1)1(2)(2 --=x t f ]2,0[∈x 。 2.待定系数法
待定系数法适用于所求函数是多项式的情形。当我们知道了函数解析式的类型及函数的某些特征，用待定系数法来解函数方程较为简单。一般首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。 例4 已知)(x f 为多项式函数，且422)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 。 解：由于)1(+x f 与)1(-x f 不改变)(x f 的次数，而它们的和是2次的，所以)(x f 为二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，从而有 由已知条件得 422)(22222+-=+++x x c a bx x a 根据两个多项式相等的条件得 22=a ，22-=b ，4)(2=+c a ，由此得1=a ，1-=b ，1=c ，故有1)(2+-=x x x f 。 例5 已知)(x f 是x 的二次函数，且x x x f f 242)]([-=，求)(x f 。 解：因为c 是x 的二次函数，故可设c bx x a x f ++=2)(，由此，c c bx x a b c bx x a a c x bf x f a x f f ++++++=++=)()()()()]([2222 将上式化简并代入x x x f f 242)]([-=，得x x c bc c a x b abc x ab c a b a x b a x a 2)()2()2(24222223243-=+++++++++ 比较对应项的系数有 ?????????=++=+-=++==0 0222021222223c bc c a b abc ab c a b a b a a ，解之得?????-===101c b a ，故1)(2-=x x f 。 3.解方程组法 此方法是将函数方程的变量或关系式进行适当的变量代换，得到新的函数方程，然后与原方程联立，解方程组，即可求出所求的函数。
excel表格的基本操作函数乘法 乘法是没有快捷键的，看下边例子，求合价： C2输入公式=A1*B1，下拉公式，计算每一项的合价; 最后对合价进行求和，求和就有快捷键了，选中C8，点击工具栏上的求和按钮或者按快捷键“ALT+=”，excel会自动捕捉求和区域，填入=SUM(c2:c7)，回车即可。 如果不求每一项的合价，直接求所有项目的价款总和，用sumproduct函数 我们先从简单的说起吧!首先教大家在A1*B1=C1，也就是说在第一个单元格乘以第二个单元格的积结果会显示在第三个单元格中。 ①首先，打开表格，在C1单元格中输入“=A1*B1”乘法公式。 ③现在我们在“A1”和“B1”单元格中输入需要相乘的数据来进行求积，如下图，我分别在A1和B1单元格中输入10和50进行相乘，结果在C1中就会显示出来，等于“500”。 上面主要讲解了两个单元格相乘求积的方法，但是在我们平常工作中，可能会遇到更多数据相乘，下面主要说说多个单元格乘法公式运用，如：“A1*B1*C1*D1”=E1。 2、Excel中多个单元格相乘的乘法公式 ①在E1单元格中输入乘法公式“=A1*B1*C1*D1”。 ②然后依次在A1、B1、C1、D1中输入需要相乘的数据，结果就会显示在“E1”中啦! 看看图中的结果是否正确呀!其实，这个方法和上面的差不多，只不过是多了几道数字罢了。 3、Excel混合运算的乘法公式
5加10减3乘2除3等于多少? 提示：加=+，减=-，乘=*，除=/。 ①首先，我们要了解这个公式怎么写，“5+10-3*2/3”这是错误的写法，正确写法应该是“(5+10-3)*2/3”。 ②好了，知道公式了，我们是不是应该马上来在Excel中的“F1”中输入“=(A1+B1-C1)*D1/E1”。 ③然后依次在A1、B1、C1、D1、E1中输入需要运算的数据。 好了，上面的一些基本乘法公式就已经讲玩了，下面教大家个小技巧，在有多行需要计算的时候该怎么办呢? 4、将公式复制到每行或每列 ②此时，从F1到下面的F2、F3、F4等等，都已经复制了“F1”中的公式，下次你需要运算的时候，直接在前面输入数据，在F2、 F3、F4等单元格中就会自动显示运算的结果了。
1.4.1(第三课时) 正弦型函数y=A sin(ωx+φ) 的图象 教学目的： 1理解振幅、周期、频率、初相的定义； 2理解振幅变换、相位变换和周期变换的规律; 3会用“五点法”画出y=A sin(ωx+φ)的简图，明确A、ω和φ对函数图象的影响作用； 4.培养学生数形结合的能力。 5.培养学生发现问题、研究问题的能力，以及探究、创新的能力。 教学重点：熟练地对y＝sin x进行振幅、周期和相位变换。 教学难点：理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律。 教学方法：引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律。本节课采用作图、观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动，首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数，数形结合，通过设置问题，引导学生观察、分析、归纳，形成规律，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对正弦函数图象变换全面的体验和理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪
例1画出函数y =2sin x x ∈R ；y =2 1 sin x x ∈R 的图象（简图） 解：画简图，我们用“五点法” ∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π ∴我们先画它们在［0，2π］上的简图列表： 作图： x 0 2 π π 2 3π 2π sin x 0 1 0 -1 0 2sin x 0 2 -2 2 1sin x 0 2 1 0 -2 1 0 示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间 ω π 2= T ，称为这个 振动的周期；单位时间内往复振动的次数 πω21= =T f ，称为振动的频率；φω+x 称为相位；0=x 时的相位φ称为初相。 5.学生在黑板上利用“五点法”画图。 教师提问：y =2sin x x ∈R 和y =21sin x x ∈R 的图象与x y sin =的图象间 的关系怎样？ 学生回答：(1)y ＝2sin x ，x ∈R 的值域是［－2，2］ 图象可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变) (2)y ＝2 1sin x ，x ∈R 的值域是［－2 1， 2 1］ 图象可看作把y ＝sin x ，x ∈R 上所有点的纵坐标缩短到原来的2 1倍而得(横坐 标不变) 指导实践的辨证唯物主义观点及勇于探索的创新精神。 2.通过 作图， 使学生加强对“五点”法的理 解。 3.观察图象间的关系，通 过对 比，探求有关 性质以及图象间的变换。4. 鼓励学生大胆 猜想，使学生将直观
在Excel表格中，我们常常会利用Excel公式来统计一些报表或数据等，这时就少不了要用到加、减、乘、除法，在前面我们已经详细的讲解了求差公式使用方法。那么我们又如何利用公式来对一些数据进行乘法计算呢？怎样快速而又方便的来算出结果呢？下面小编就来教大家一步一步的使用Excel乘法公式！ 我们先从简单的说起吧！首先教大家在A1*B1=C1，也就是说在第一个单元格乘以第二个单元格的积结果会显示在第三个单元格中。 1、A1*B1=C1的Excel乘法公式 ①首先，打开表格，在C1单元格中输入=A1*B1乘法公式。 ②输入完毕以后，我们会发现在 C1 单元格中会显示0，当然了，因为现在还没有输入要相乘的数据嘛，自然会显示0了。 ③现在我们在A1和B1单元格中输入需要相乘的数据来进行求积，如下图，我分别在A1和B1单元格中输入10和50进行相乘，结果在C1中就会显示出来，等于500。 上面主要讲解了两个单元格相乘求积的方法，但是在我们平常工作中，可能会遇到更多数据相乘，下面主要说说多个单元格乘法公式运用，如：A1*B1*C1*D1=E1。 2、Excel中多个单元格相乘的乘法公式 ①在E1单元格中输入乘法公式=A1*B1*C1*D1。 ②然后依次在A1、B1、C1、D1中输入需要相乘的数据，结果就会显示在E1中啦！ 看看图中的结果是否正确呀！其实，这个方法和上面的差不多，只不过是多了几道数字罢了。 因为在工作中不止是乘法这么简单，偶尔也会有一些需要加减乘除一起运算的时候，那么当遇到这种混合运算的时候我们应当如何来实现呢？这里就要看你们小学的数学有没学好了。下面让我们一起来做一道小学时的数学题吧！ 3、Excel混合运算的乘法公式，5加10减3乘2除3等于多少？ 提示：加=+，减=-，乘=*，除=/。
高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
函数导数公式及证明
复合函数导数公式
) ), ()0g x ≠' ''2 )()()()() ()()f x g x f x g x g x g x ?-=?? ())() x g x , 1．证明幂函数()a f x x =的导数为''1()()a a f x x ax -== 证： ' 00()()()()lim lim n n x x f x x f x x x x f x x x →→+-+-== 根据二项式定理展开()n x x + 011222110(...)lim n n n n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x x C x x x ----→+++++-= 消去0n n n C x x - 11222110...lim n n n n n n n n n n x C x x C x x C x x C x x ----→++++= 分式上下约去x 112211210 lim(...)n n n n n n n n n n x C x C x x C x x C x -----→=++++ 因0x →，上式去掉零项 111 n n n C x nx --== 12210()[()()...()]lim n n n n x x x x x x x x x x x x x x ----→+-+++++++=
12210 lim[()()...()]n n n n x x x x x x x x x x ----→=+++++++ 1221...n n n n x x x x x x ----=++++ 1n n x -= 2．证明指数函数()x f x a =的导数为'ln ()x x a a a = 证： ' 00()()()lim lim x x x x x f x x f x a a f x x x +→→+--== 0(1)lim x x x a a x →-= 令1x a m -=，则有log (1)a x m =-，代入上式 00(1)lim lim log (1)x x x x x a a a a m x m →→-==+ 1000 ln ln lim lim lim ln(1)1ln(1)ln(1)ln x x x x x x m a m a a a a m m m a m →→→===+++ 根据e 的定义1lim(1)x x e x →∞ =+ ，则1 0lim(1)m x m e →+=，于是 1 ln ln lim ln ln ln(1) x x x x m a a a a a a e m →===+ 3．证明对数函数()log a f x x =的导数为''1 ()(log )ln a f x x x a == 证： '0 0log ()log ()() ()lim lim a a x x x x x f x x f x f x x x →→+-+-== 00log log (1)ln(1) lim lim lim ln a a x x x x x x x x x x x x x a →→→+++===
姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1.知道函数sin y x =图象与函数sin()y A x ω?=+图象变换规律； 2.学会运用“图象变换法”，“五点法”画出函数sin()y A x ω?=+的简图； 【重点难点】 重点：理解由sin y x =到sin()y A x ω?=+的变换规律，掌握“五点法”作简图； 难点：对平移、伸缩变换的认识及两种变换顺序的不同对平移的单位长度产生的影响。 【学法指导】 采用参数思想分层次讨论字母变化时对函数图像的形状和位置的影响 【知识链接】 三角函数的图象和性质 【学习过程】 阅读课本第49页至第51页的内容，尝试回答以下问题： 知识点一：,(0),(0)A A ?ωω>>对sin()()y A x x R ω?=+∈的图象影响 问题1.请使用“五点法”作出函数sin ,sin(),sin()34 y x y x y x π π ==+ =-图象 问题2.观察问题1中图象可得： 把sin y x =的图象上所有点 会与sin()3 y x π =+的图象重合； 把sin y x =的图象上所有点 会与sin()4 y x π =-的图象重合； 问题3.请使用“五点法”作出函数1 sin ,sin 2,sin 2 y x y x y x ===图象
ω 1 问题4.观察问题3中图象可得： 把sin y x =的图象上所有点 得到sin 2y x =图象； 把sin y x =的图象上所有点 得到1 sin 2 y x =图象； 阅读课本第52页的内容，尝试进行知识点归纳 【归纳】函数sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>图象可由函数sin y x =图象作如下变换得到： ⑴相位变换：sin y x =→sin()y x ?=+，把sin y x =图象上所有的点向 ()0?> 或向 ()0?<平行移动?个单位； ⑵周期变换：sin()y x ?=+→sin()y x ω?=+，把sin()y x ?=+图象上各点的横坐标 ()01ω<<或 ()1ω>到原来的 1 ω 倍；（纵坐标不变） ⑶振幅变换：sin()y x ω?=+→sin()y A x ω?=+，把sin()y x ω?=+图象上各点的纵坐标 ()1A >或 ()01A <<到原来的A 倍。 ⑷函数sin()(0,0)y A x A ω?ω=+>>的图象，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点___________（当?>0时）或___________（当?<0时）平行移动?个单位长度，再把所得各点的横坐标____________（当ω>1时）或____________（当 0<ω<1）到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵横坐标____________（当A >1时）或_________（当0 求函数解析式常用的方法 求函数解析式常用的方法有：待定系数法、换元法、配凑法、消元法、特殊值法。 以下主要从这几个方面来分析。 （一）待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。 例1：已知()f x 是二次函数，若(0)0,f =且(1)()1f x f x x +=++试求()f x 的表达式。 解析：设2()f x ax bx c =++ (a ≠0) 由(0)0,f =得c=0 由(1)()1f x f x x +=++ 得 22(1)(1)1a x b x c ax bx c x ++++=++++ 整理得22(2)()1ax a b x a b c ax b c x c +++++=++++ 得 212211120011()22 a a b b a b c c b c c f x x x ?=?+=+????++=+?=????=?=??? ∴=+ 小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= k x (k≠0)；f(x)为 二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) ③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0) （二）换元法 换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。 例2 ：已知1)1,f x =+求()f x 的解析式。 解析： 1视为t ，那左边就是一个关于t 的函数()f t , 1t =中，用t 表示x ,将右边化为t 的表达式，问题即可解决。 1t = 2220 1 ()(1)2(1)1()(1)x t f t t t t f x x x ≥∴≥∴=-+-+=∴=≥ 小结：①已知f[g(x)]是关于x 的函数，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t ，由此能解出x=(t)，将x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x 替换t ，便得f(x)的解析式。 注意：换元后要确定新元t 的取值范围。 ②换元法就是通过引入一个或几个新的变量来替换原来的某些变量的解题方法，它的基本功能是：化难为易、化繁为简，以快速实现未知向已知的转换，从而达到顺利解题的目的。常见的换元法是多种多样的，如局部换元、整体换元、三角换元、分母换元等，它的应用极为广泛。 (三)配凑法 已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用 函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值 续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值； 课堂探究 探究一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性 1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程由ωx ＋φ＝k π＋2 π 求得，即x ＝ 2 kx π ? ω + -，k ∈Z ；对称中心由ωx ＋φ＝k π求得，即为,0k π?ω-?? ??? ，k ∈Z . 2．函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程由ωx ＋φ＝k π求得，即x ＝ k π? ω -，k ∈Z ，对 称中心由ωx ＋φ＝k π＋2π求得，即为2,0kx π?ω??+- ? ? ? ??? ，k ∈Z . 【典型例题1】 已知函数f (x )＝sin 3x πω?? + ?? ? (ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( ) A ．关于点,03π?? ??? 对称 B ．关于直线x ＝4π对称 C ．关于点,04π?? ??? 对称 D ．关于直线x ＝3π对称 解析：由T ＝ 2π ω ＝π，解得ω＝2， 则f (x )＝sin 23x π? ? + ?? ? ， 令2x ＋ 3π＝k π＋2π ，得x ＝2k π＋12π，k ∈Z ，即对称轴为x ＝2k π＋12π，k ∈Z . 令2x ＋ 3π＝k π，得x ＝2k π－6π，k ∈Z ，即对称中心为,02 6k ππ?? - ???，k ∈Z . 从而可判断A 正确． 答案：A 探究二 求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式 由函数图象确定解析式，可按以下规律来确定A ，ω，φ. (1)A ：一般可由图象的最高点、最低点来确定A . (2)ω：因为T ＝ 2π ω ，所以ω＝ 2T π ，可通过曲线与x 轴的交点确定T ，也可由相邻的最高点与最低点之间的距离为2 T 来求，还可由相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T 来求． (3)φ：①代入法：通常取最高点或最低点的坐标代入解析式，根据φ的范围确定其值．如果代入的是平衡点(零点)，则必须区分0相位和π相位，代入0相位时，需令ωx ＋φ＝2k π(k ∈Z )，代入π相位时，需令ωx ＋φ＝2k π＋π(k ∈Z )．②对点法：将所给图象中的五个关键点与“五点法”中的五个点进行对照．从寻找“五点法”中的第一个点,0?ω?? - ??? (也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 【典型例题2】 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ) 0,0,2A πω??? >>≤ ?? ? 图象的一段，试确定此函数解析式． 解：该函数的周期T ＝ 133π－3 π ＝4π， ∴ω＝ 2T π＝1 2 . 又∵函数的最大值为3，故A ＝3. ∴y ＝3sin 12x ??? + ??? . 法一：所给图象是由函数y ＝3sin 2x 向右平移3 π 个单位长度得到的，于是所求解析式为y ＝3sin 123x π?? ? ?- ???? ??? ，即y ＝3sin 1 2 6x π??- ???. 法二：∵周期为4π，∴由图象知最大值点为4,33π?? ??? . 函数证明问题专题训练 ⑴．代数论证问题 ⑴．关于函数性质的论证 ⑵．证明不等式 6．已知函数()f x 的定义域为R ，其导数()f x '满足0＜()f x '＜1．设a 是方程()f x ＝x 的根． （Ⅰ）当x ＞a 时，求证：()f x ＜x ； （Ⅱ）求证：|1()f x －2()f x |＜|x 1－x 2|（x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2）； （Ⅲ）试举一个定义域为R 的函数()f x ，满足0＜()f x '＜1，且()f x '不为常数． 解：（Ⅰ）令g (x )=f (x ) －x ，则g`(x )=f `(x ) －1<0．故g (x )为减函数，又因为g (a )=f(a ）－a =0，所以当x >a 时，g (x )＜g (a )=0，所以f (x ) －x ＜0，即()f x 预习导航 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 如图所示，函数y ＝sin(x ＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y ＝sin x 的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度得到的． 即y ＝sin x 的图象 y ＝sin(x ＋φ)的图象． 思考1如何把函数y ＝sin(x ＋φ)的图象变换成y ＝sin x 的图象？ 提示：只需把y ＝sin(x ＋ φ)的图象向左(φ<0)或向右(φ>0)平移|φ|个单位便可以得到y ＝sin x 的图象． 2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 如图所示，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 1 倍(纵坐标不变)而得到． 即y ＝sin(x ＋φ)的图象 y ＝sin(ωx ＋φ)的图象． 思考2把y ＝sin(x ＋φ)的图象伸长或缩短为原来的1 ω 倍，得函数y ＝sin ω(x ＋φ)的图象，这句话正确吗？其中ω>0. 提示：不正确．ω影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期．函数y ＝sin(x ＋φ)图象上各点的横坐标变化、纵坐标不变得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，ω只对x 发生作用，不改变φ的值． 3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象的影响 如图所示，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A >1时)或缩短(当00，ω>0)的图象的常见画法 (1)五点法：①列表3222x π πω?ππ?? ?? ? ＋通常取，，，这五个值；②描点；③连线． (2)变换法： 由y ＝sin x 变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的方法如下： ①先平移后伸缩 ②先伸缩后平移 求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法：已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f ，我们常设)(x g t =，从而求得)(1t g x -=，然后代入))((x g f 的表达式，从而得到)(t f 的表达式，即为)(x f 的表达式。 2、凑配法 若已知))((x g f 的表达式，欲求)(x f 的表达式，用换元法有困难时，（如)(x g 不存在反函数）可把)(x g 看成一个整体，把右边变为由)(x g 组成的 3、待定系数法 若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。 式子，再换元求出)(x f 的式子。 4、赋值法 在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 5、消元法 若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成 方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 典型题例示范讲解 例1 如果45)1(2+-=+x x x f ，那么f(x)=______________________. 例2 设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求f(x)的解析式。 例 3 设y=f(x)是实数函数，且x x f x f =-)1(2)(，求证：23 2|)(|≥x f 。 例4 已知bx x f x af n n =-+)()(，其中n a ,12≠奇数，试求)(x f 。 例5 已知)12()()(+++=+b a a b f b a f ，且,1)0(=f 求)(x f 的表达式。 解：令0=b ,由已知得：.1)1()0()(2a a a a f a f ++=++= 1)(2++=∴x x x f 例6 (1)已知函数f (x )满足f (log a x )=)1(1 2x x a a -- (其中a >0,a ≠1,x >0),求f (x )的表达式 (2)已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足|f (1)|=|f (－1)|=|f (0)|=1,求 f (x ) 的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f ”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=log a x (a >1,t >0;0 专项训练：导数的极大值与极小值 一、单选题 1．已知函数f(x)＝x ln x－a e x(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A．B．(0，e) C．D．(－∞，e) 2．函数y＝xe x的最小值是( ) A．－1B．－e C．－D．不存在 3．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( ) A．B．－ C．－ln 2D．ln 2 4．已知函数，则（） A．有个零点B．在上为减函数 C．的图象关于点对称D．有个极值点 5．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( ) A．a>－3B．a<－3 C．a>－D．a<－ 6．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( ) A．B．－ C．－ln 2D．ln 2 7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．?x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 8．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（） A．,B．,C．,D．, 9．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． 10．已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（） A．B．C．D． 11．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（） A．B．C．D． 12．若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为（） A．B．C．D． 13．已知是常数，函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（） A．B．C． D． 14．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( ) A．B．C．D． 15．设，则函数 A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值 C．有无数个极值D．没有极值 16．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（） 一般地，对于函数f(x) ⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。关于y轴对称，f（-x）=f（x）。 ⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。关于原点对称，-f（x）=f（-x）。 ⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 ⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称 特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。 说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。 ②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。 （分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论） ③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。 ④如果一个奇函数f(x）在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。 ⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f（x）=x3【-∞，-2】或【0，+∞】（定义域不关于原点对称） ⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数，则叫做既奇又偶函数。例如f（x）=0 注：任意常函数（定义域关于原点对称）均为偶函数，只有f(x)=0是既奇又偶函数 第9课 函数y=Asin(?ω+x )的图象和性质 出函数 x y sin 2= x y 21sin = )3 sin(π+=x y 2)4sin(+ +=πx y 2．振幅变换 x A y sin =，x ∈R (A>0且A ≠1) 的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍得到的它的值域_________________ 最大值是_______, 最小值是_______ 若A<0 可先作x A y sin -=的图象，再以x 轴为对称轴翻折 3．周期变换 函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短( )或伸长( )到原来的 倍（纵坐标不变） 若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图 4．相位变换 “加左减右” 一般地，函数y ＝sin(x ＋?)，x ∈R (其中?≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向_____(当?＞0时)或向____ (当?＜0时＝平行移动_______ 个单位长度而得到 5．一般图像变换： 6．两种方法殊途同归 (1) y=sinx 相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ) )sin(?+ω=x A y （2）y=sinx 周期变换 y=sin ωx 相位变换 y=sin(ωx+φ)振幅变换 )sin(?+ω=x A y )4x π- 的图象，只要将sin3y x =的图象（ ） A ．向左平移4π个单位 B 向右平移4 π个单位 C ．向左平移12π个单位 D 向右平移12 π个单位 例2： 函数y ＝sin （－2x ）的单调减区间是( ) Z ∈++∈++k k k k k k ],243,22B.[],223, 22[A.ππππππππZ Z ∈++∈++k k k k k k ],4,4D.[-],23,2[C.ππππππππZ 例3：画出函数y ＝3sin(2x ＋ 3π)，x ∈R 的简图 例4：已知如图是函数y ＝2sin(ωx ＋?)其中｜?｜＜2 π的图象，那么 A ω＝ 1110，?＝6π B ω＝1110，?＝－6 π C ω＝2，?＝6π D ω＝2，?＝－6π 例5：已知函数y ＝A sin(ωx ＋?)，在同一周期内，当x ＝ 9π时函数取得最大值2，当x ＝94π时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为( ) A y ＝2sin(3x －6π) B y ＝2sin(3x ＋6 π 典型例题求函数解析式常用的方法
函数的极值和最值(讲解)
人教版数学高一A版必修4 1.5函数yAsin(ωxψ的图象(第2课时)
函数证明问题专题训练
人教版数学高一A版必修4预习学案 1.5函数yAsin(ωxψ)的图象(第1课时)
求解函数解析式的几种常用方法
函数的极大值与极小值
函数的证明方法
四川省成都市玉林中学高一数学《函数yAsin 的图象和性质》练习题 (2)
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