.4 关系代数
关系代数是一种抽象的查询语言，通过对关系的运算来表达查询。
关系代数的运算对象是关系，运算结果也是关系。
系代数运算可以分为四类：
1．普通的集合运算：并、交、差
2．删除一部分关系的运算
选择运算“σ”会删除某些行投影运算“π”会删除某些列
3．合并两个关系的运算
“笛卡儿积”运算把两个关系的元组以所有可能的方式组合起来.
“连接”运算有选择地从两个关系取出元组组合在一起
4．改名运算
不改变关系的元组，只改变关系的模式：改变属性的名字或者关系本身的名字
一、关系的集合运算
三种最普通的集合运算：并、交和差：
∪S，R和S的并，它是R中的元素和S中的元素共同组成的集合。
∩S，R和S的交，它是既出现在R中又出现在S中的元素组成的集合。
―S，R和S的差，它是只在R中出现，不在S中出现的元素组成的集合。
要想对两个关系R和S进行上述运算，R和S必须满足如下条件：
R和S的模式具有相同的属性集
在对R和S进行集合运算之前，要对R和S的属性列进行排序，保证两个关系的属性顺序相同1. 并, R∪S ={ r | r∈R ∨ r∈S }
R∪S:
2. 交, R∩S ={ r | r∈R ∧ r∈S }
R∩S:
3. 差, R-S ={ r | r∈R ∧ rS }R-S:
二、投影运算
投影运算符是π，该运算作用于关系R将产生一个新关系S，S只具有R的某几个属性列。投影运算的一般表达式如下：
S = πA1, A2, … , An(R)
S是投影运算产生的新关系，它只具有R的属性A1, A2, … , An所对应的列。
例：对于关系表：Student
三、选择运算（σ）
选择运算符是σ，该运算符作用于关系R也将产生一个新关系S，S的元组集合是R的一个满足某条件C的子集。选择运算的一般表达式为：
S = σC（R）
S的模式与R的模式完全相同。
C是我们所熟悉的条件表达式。可以由AND，OR，NOT等子条件连成的复杂条件。
例：仍然用上面的例子，那么作如下运算：
σAge > 18（Student）
结果应该是：
例：查询计算机系年龄大于18的学生资料，可以用如下表达式：
σAge > 18 AND Dept = “计算机系” (Student)
结果是：
四、笛卡尔积（×）
两个关系R和S的笛卡尔积记作R×S，它的关系模式属性是R和S的模式的并集。
R×S是把R和S的元组以所有可能的方式组合起来，因此，R×S拥有的元组数量应该是R的元组数与S的元组数的乘积。
例：假设关系R有两个属性，分别是A和B；关系S有三个属性，分别是B、C和D。R的当前实例有两个元组，S的当前实例有三个元组：如下图所示：
R×S:
在关系R×S中，关系模式应有五个属性：A、、、C和D，R×S有六个元组：
五、自然连接
两个关系R和S的自然连接，记作R ￥ S，得到的关系模式属性是R和S模式的并集。公共属性只保留一个。
R￥S的元组是：假设A1, A2 , … , An是R和S的模式中的公共属性，那么如果R的元组r和S的元组s 在这些属性上取值都相同，r和s组合而成的元组就
归入R ￥ S中。
例：对于上图的R与S， R ￥ S为：
注意：只有两个关系的元组在所有公共属性上取值都相同，才可以将它们的组合放入两个关系的自然连接中。
例：
关系U
关系V
六、q连接
两个关系R和S基于条件C的θ连接
用R ￥ c S表示，它是这样得到的：先作R和S的笛卡尔积，然后从R╳S的元组中选择满足条件C的元组集合。
θ可以是：>,<,=, ≤, ≠,≥合成的条件。
例：R ￥≠ S的结果：
例：R ￥≠ S的结果:
θ连接中的条件可以是由AND,OR,NOT连成的复杂条件。
如：R ￥≠ AND C=’g’) S
七、改名(ρ)
运算ρS ( A1, A2,… , An )（R）用来把关系R改名为关系S，同时把关系S的属性从左至右依次命名为A1, A2, … , An。
假如我们只想改变关系名，不想改变关系模式中的属性名，那么用如下形式
ρS（R）
例：ρS ( X, C, D )（S），这样，改名后的笛卡尔积
R×ρS ( X, C, D )（S）的结果：
八、复合运算：将以上各种运算加以组合，完成功能强大的查询。必要时可用括号来表明运算的次序。例：查询计算机系年龄大于18岁的学生的学号和姓名：
πStudentNo, StudentName (σAge > 18 AND Dept = “计算机系”（Student）)
例：查询成绩超过80分的学生姓名（只要有一门课的成绩超过80分即可），可用如下表达式：
πStudentName(σScore>80（Student ￥ SC）)
九、基本运算和导出运算
交集可以用集合差的形式表达：R∩S = R―( R―S )
除了交、θ连接、自然连接这三种可由其他运算导出的运算之外，另外六种运算——并、差、选择、投影、笛卡尔积和改名都是基本运算，每一种都
不能由另外五种运算导出。
基本运算：并、差、选择、投影、笛卡尔积、改名
导出运算：交、θ连接、自然连接
说明：
1. R∩S = R―( R―S )=S-(S-R)
2. θ连接: 可看成是笛卡尔积后的θ选择的结果。
3. 自然连接: 是θ连接的一个特例。去掉重复属性的等值连接。
关系演算
关系演算分类:
元组关系演算, 以元组为变量
域关系演算, 以域为变量
元组关系演算
元组关系演算表达式的一般形式：
{t | φ(t)} 其中t为元组变量，φ( t )是以元组变量t为基础的公式。
公式：
公式是递归定义的：
1. 原子公式是公式；
2. 假如φ1 ( t )和φ2 ( t )是公式，那么￢φ1，φ1∧φ2，φ1∨φ2也都是公式，它们为真的条件分别是：“φ1非真”，“φ1和φ2皆为真”，
“φ1与φ2中至少有一个为真”；
3. 假如φ是公式，那么( $t )(φ)和("t )(φ)也都是公式，它们为真的条件分别是：“至少有1个元组t使得φ为真”，“所有的元组t都使φ为真”
。其中为$存在量词，为"全称量词。若在变量前加上量词，则变量为约束变量。
4. 只有按上述三个规则的有限次组合形成的才是公式。
原子公式:
1. R ( t )，R ( t )表示t是关系R的一个元组；
2. t[i] q s[j] ，其中t和s是元组变量， q是算术比较运算符（如>、= 等），t[i] q s[j]表示元组t的第i个分量与元组s的第j个分量满足q关系；
例：t[1]>s[3]，表示t的第1个分量大于s的第3个分量。
3．t[i] q C或C q t[i]，其中C表示一个常量，其他含义同上。t[i] q C表示t的第i个分量与常量C满足q关系，
例如t[1]<8表示t的第1个分量小于8。
元组演算表达式：{t | φ(t) } 其中t为元组变量
其含义：使φ为真的元组t的集合。
在关系演算公式中，各种运算符的优先级如下：
算术比较运算符优先级最高；
量词优先级次之，且存在优先级高于全称；
逻辑运算符优先级最低，且￢的优先级高于∧，∧的优先级高在于∨；
若加括号，则括号内优先。
关系代数运算的元组运算等价表示：
1. 交
R∩S用{ t | R( t )∧S ( t ) }表示。
2. 并
R∪S用{ t | R( t )∨S ( t ) }表示。
3. 差
R―S用{ t | R( t )∧￢S ( t ) }表示。
4. 选择
σC（R）用{ t | R( t )∧C’}表示。
其中C’是C的等价条件，只是把C中的属性名在C’中换成t[i]的形式，i代表属性对应的是元组的第几个分量。
5. 投影
πi1, i2, … , in(R)={t(n)|( $t )(R(r)∧t[1]= r[i1] ∧t[2]=r[i2]∧…∧t[n]=r[in])}
其中n为投影后得到的元组t的分量数，r[ij]（j=1,2,…,n）代表元组t的属性j所对应的元组r的相应分量。
6. 笛卡尔积
R×S用如下形式表示：
{t(m+n)|($r(m) ) ( $s(n)) ( R(r)∧S(s)∧t[1]=r[1]…t[m]=r[m]∧t[m+1]=s[1]… ∧t[m+n]=s[n])}其中R的属性个数为m，S的属性个数为n。
7. 自然连接
自然连接的表示基本上与笛卡尔积相似，假设关系R为R（A，B），关系S为S（B，C，D），那么R 与S的自然连接可以用关系演算表达式表示如下：
{ t(2+3-1) | ($r(2) ) ( $s(3))
(R(r)∧S(s)∧t[1]=r[1]∧t[2]=r[2]∧t[2]=s[1]∧t[3]=s[2]∧t[4]=s[3])}
表达式中粗体部分表达了等值的连接。
8.θ连接
R∞C S的表示方法可以参考R×S和σC（R）的方法。
例：R（A，B）与S（B，C，D）的θ连接：
R∞≠ S
可以用元组关系演算表达式表示如下：
{t(2+3)|($r(2) ) ( $s(3))
(R(r)∧S(s)∧t[1]=r[1]∧t[2]=r[2]∧t[3]=s[1]∧t[4]=s[2]∧t[5]=s[3])∧r[2] ≠s[1] } } 例：R
S
1. { t | R( t )∨S ( t )}
结果：
2. { t |( $s) (R( t ) ∧S ( s ) ∧t[1]=s[1])}
3. { t |( "s) (R(t ) ∧S ( u ) ∧t[2]>u[1])}
9. 复杂的关系代数表达式：
∏Studentname(sscore>80(student ∞ SC))
用关系演算表示为：
{t(1)|($u ) ( $v) (Student(u)∧SC(v)∧t[1]=u[2]∧u[1]=v[1]∧v[3]>80)}
表达式中，粗体部分表示投影，斜体部分表示连接。
域关系演算
域关系演算与元组关系演算类似，但在表达式中使用的是域变量。
域变量：指元组分量的变量。
域关系演算中的原子公式与公式的概念与元组关系演算类似。
元组关系演算转换为域关系演算的基本方法：
元组关系演算表达式为：{t | φ(t)}
转换方法：
(1). 如果是t是有n个分量的元组变量，则为t的每个分量t[i]引进一个域变量ti，用ti 来替代公式中所有的t[i]。相应的域关系表达式则有了n个
形式为：{t1,t2,…,tn|φ(t1,t2,…,tn) }
(2). 出现存在量词($u), 或者全称量词("u)时，如果u是有m个分量的元组变量，则为每个分量u[i]引进一个域变量ui, 将量词辖域内所有的u用
u1u2…um替换，所有u[i]用ui替换。
例1：查询计算机系年龄18岁的学生。
元组演算表达式：{t| Student(t)∧t[3]=18∧t[4]=”计算机系”}
域关系演算表达式：{t1t2t3t4| Student(t1t2t3t4)∧t3=18∧t4=”计算机系”}
例2：查询一门课成绩超过80分的学生姓名。
元组演算表达式:
{t(1)| ($u)($v)(Student(u) ∧SC(v) ∧t[1]=u[2] ∧u[1]=v[1] ∧v[3]>80)}
域关系演算表达式：
{t1| ($u1u2u3u4)($v1v2v3)(Student(u1u2u3u4) ∧SC(v1v2v3) ∧t1=u2 ∧u1=v1 ∧v3>80) }
观察表达式：t1=u2 ∧u1=v1可知， t1可以用来替代u2, u1可用来替代v1,因此
进一步省略几个域变量，则表达式可为：
{t1| ($u1u3u4)($v2v3)(Student(u1t1u3u4) ∧SC(u1v2v3) ∧v3>80) }
数与代数一：基本概念 （一）整数 1、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 2、整数的意义 自然数和0都是挣正整数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位（如个位、十位、百位、千位、万位......） 5、数的整除 （1）整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，或者说b能整除a 。 （2）如果数a能被数b（b ≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。例如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。 （3）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。 （4）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数
有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 6、偶数： 能被2整除的数叫做偶数。 7、奇数： 不能被2整除的数叫做奇数。 注意：0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 8、能被某个数整除的数的特点 （1）个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。 （2）个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。 （3）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 （4）一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 注意：能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 （5）一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 （6）一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 （7）一个数的奇数位上数字的和与偶数位上数字的和的差是11的倍数，这个数就能被11整除。 9、质数
Peirce*逻辑代数中几个符号及其它逻辑 学 1 现代逻辑常被人们追溯到她的奠基人Frege (Lebniz是先驱者的地位)；接着谈现代逻辑，人们会自然地找到其身后的Peano、Russell、Whitehead、Wittgenstein、Carnap(维也纳学派时期)、Quine等人，如此就认为是勾勒出了现代逻辑的脉络。这一看法多年来几乎是毫无异议的。但随着逻辑科学尤其是现代逻辑的不断发展，有潜心思考的研究者（Fisch、Zeman、Hinttika等）发现了那多年来一直被忽视但却蕴藏在现代逻辑诞生之初的分歧，认为分歧之中与权威相对的另一面应该值得重新或深入的研究，这另一面就是由Boole开始经由Peirce、Schröder直至后期Carnap、Tarski、Skolem等人维持的一条路线，它可看作是对逻辑基础研究的另一途径或方法（approach）。著名Peirce研究学者Ｍ.Ｈ.Fisch一语道出这一分歧的实际情形：“但Boole-Peirce-Schröder (在下文中我们简写为ＢＰＳ)路线不是被Frege-Peano-Russell-Whitehead (在下文我们简写为ＦＰＲ)路线取代了吗？不；它只是被掩盖了。” 在ＢＰＳ传统中，Peirce（1839---1914）是位极其重要的人物，这倒不仅是因为他天才般的思维和对哲学和逻辑史上后来工作者的实际影响（美国本土哲学家James、Dewey、
Mead、Lewis等无不受其影响，甚至欧洲大陆的K.O.Apel 等人的思想也多直接源于Peirce），也不仅是因为他涉足领域的广泛（除哲学和逻辑学之外，还有数学、天文学、物理学、语言学、化学、大地测量、心理学、现象学等等）；而主要是因为他在现代逻辑理论史上的诸多实质性的贡献。我们已经很难统计他敏锐的洞察力到底涉及到多少逻辑贡献，但根据迄今为止Peirce学者的研究成果，以下的领域是当然的和主要的：形式逻辑（主要是对传统逻辑的改进）、逻辑代数、关系逻辑、命题逻辑、谓词逻辑、三值逻辑、模态逻辑、语言逻辑、逻辑哲学、归纳逻辑以及逻辑史研究。 Peirce早期的逻辑研究（从1865年到约1885年）主要集中于逻辑代数。在当时，布尔逻辑刚创立不久，布尔的追随者很多，著名的有Venn、Schröder、De Morgon等人，他们之间的研究有相互启发与借鉴之处（有关贡献的纷争，可参看Kneale的《逻辑学的发展》），但主要还是相互独立的。Peirce就是其中一位极具独立性又最有创新的突出人物。身为著名数学家Benjamin Peirce（美国当时科学界的一权威）的儿子，Peirce本人也是一数学家，他对于代数在逻辑中的应用，得心应手，他甚至曾把“三段论”作为“联结词的代数”来研究。事实上，当时的符号逻辑就是逻辑代数（algebra of logic）。 2
1. 下面的选项不是关系数据库基本特征的是（）。 A.不同的列应有不同的数据类型 B.不同的列应有不同的列名 C.与行的次序无关 D.与列的次序无关 2. 一个关系只有一个（）。 A.候选码 B. 外码 C. 超码 D. 主码 3. 关系模型中，一个码是（）。 A.可以由多个任意属性组成 B.至多由一个属性组成 C.可有多个或者一个其值能够唯一表示该关系模式中任何元组的属性组成 D.以上都不是 4. 现有如下关系： 患者（患者编号，患者姓名，性别，出生日起，所在单位） 医疗（患者编号，患者姓名，医生编号，医生姓名，诊断日期，诊断结果） 其中，医疗关系中的外码是（）。 A. 患者编号 B. 患者姓名 C. 患者编号和患者姓名 D. 医生编号和患者编号 5. 现有一个关系：借阅（书号，书名，库存数，读者号，借期，还期），假如同一本书允许一个读者多次借阅，但不能同时对一种书借多本，则该关系模式的外码是（）。 A. 书号 B. 读者号 C. 书号+读者号 D. 书号+读者号+借期 6. 关系模型中实现实体间N：M 联系是通过增加一个（）。
A.关系实现 B. 属性实现 C. 关系或一个属性实现 D. 关系和一个属性实现 7. 关系代数运算是以（）为基础的运算。 A. 关系运算 B. 谓词演算 C. 集合运算 D. 代数运算 8. 关系数据库管理系统应能实现的专门关系运算包括（）。 A. 排序、索引、统计 B. 选择、投影、连接 C. 关联、更新、排序 D. 显示、打印、制表 9. 五种基本关系代数运算是（）。 A.∪－× σ π B.∪－σ π C.∪∩× σ π D.∪∩σ π 11. 关系数据库中的投影操作是指从关系中（）。 A.抽出特定记录 B. 抽出特定字段 C.建立相应的影像 D. 建立相应的图形 12. 从一个数据库文件中取出满足某个条件的所有记录形成一个新的数据库文件的操作是（）操作。 A.投影 B. 联接 C. 选择 D. 复制 13. 关系代数中的联接操作是由（）操作组合而成。 A.选择和投影 B. 选择和笛卡尔积 C.投影、选择、笛卡尔积 D. 投影和笛卡尔积 14. 自然联接是构成新关系的有效方法。一般情况下，当对关系R和S是用自然联接时，要求R和S含有一个或者多个共有的（）。 A.记录 B. 行 C. 属性 D. 元组 15. 假设有关系R和S，在下列的关系运算中，（）运算不要求：“R 和S具有相同的元数，且它们的对应属性的数据类型也相同” 。
关系代数 关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础。 关系代数的9种操作： 并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接运算。 五个基本操作： 并(∪) 差(-) 笛卡尔积（×）投影(σ) 选择(π) 四个组合操作： 交(∩) 联接（等值联接）自然联接(RS) 除法(÷) 关系代数表达式： 由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。 关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用，多做书中的例题可以帮助自己熟能生巧。 关系代数表达式举例 用关系代数表示数据查询的典型例子 [例]设教学数据库中有3个关系： 学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) 下面用关系代数表达式表达每个查询语句。 (1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。 πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC)) (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名 πSNO，SNAME(σCNO='C2'(SSC)) 由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。 此查询亦可等价地写成： πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))） 这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。 （3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。 πSNO，SANME(σCNAME='MATHS'(SSCC)) （4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。 πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC)) （5）检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。 π1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）) 这里（SC×SC）表示关系SC自身相乘的乘积操作，其中数字1，2，4，5都为它的结果
常用数学符号大全、关系代数符号 1、几何符号 丄 /∕∠c Θ≡BA 2、 代数符号 X ∧∨ ? ∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ : 3、运算符号 如加号（ + ）,减号（―），乘号（×或?），除号（÷或/）, 交集（∩）,根号（√）,对数（log , Ig ,In ）,比（：），微分 积分（/）等。 4、集合符号 U ∩ ∈ 5、 特殊符号 ∑ ∏ （圆周率） 6、 推理符号 Ial 丄 S U ≠≡±≥ ΓΔΘ Λ Ξ On Σ ① X Ψ αβ Y δ ε Zn θ IK λμ ξ OnP σ TU φ X ψω I IlmWV^W 两个集合的并集（U ）, （dx ）,积分（∫）,曲线
i ii iii iv VVigi 血ix X
∈∏∑∕√χ∞∟∠∣∕∕∧∨∩u ∫e .?.?.?: ：：S ≈ B= ≠≡≤≥ W 仝< > ? O 丄 "C C 指数0123 : 0123 7、数量符号 如：i, 2+i，a，x,自然对数底e,圆周率n。 &关系符号 如“=”是等号，“≈”是近似符号，“≠”是不等号，“>”是大于符号，“v”是 小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“），"≤”是小于或等于符号（也可写作“》”），。“→”表示变量变化的趋势，“s”是相似符号，“B”是全等号，“//” 是平行符号，“丄”是垂直符号，“％”是成正比符号，（没有成反比符号，但可以用成正比符号配倒数当作成反比）“€”是属于符号，“？?”是“包含”符号等。 9、结合符号 如小括号“（）”中括号“ □”，大括号“”横线“一” 10、性质符号 如正号“ + ”，负号“ —”，绝对值符号“I I ”正负号“ ± ?因为，（一个脚站着的，站不住） ???所以，（两个脚站着的，能站住）总和（∑）,连乘（∏）,从n个元素中每次取出 r个元素所有不同的组合数（C（r）（n））,幕（A, Ac, Aq, x^n ）等。
代数表示理论的简要介绍与近期发展 21511111 xxx 摘要：代数表示理论是代数学的一个新的重要分支. 在近二十五年的时间里, 这一理论有了很大的发展。代数表示论是本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支，它的基本内容是研究一个A r t i n 代数上的模范畴。由于各国代数学家的共同努力,这一理论于最近二十年来有了异常迅猛的发展并逐步趋于完善。本文主要从 Hall 代数和拟遗传代数两个方面介绍代数表示论的一些最新进展。 关键词：Hall 代数;遗传代数; Kac-Moody 李代数; 拟遗传代数; 介绍 早在二十世纪初,W d e d erb u rn的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构,这种代数同构于有限个除环上的全矩阵代数的直和,其上的模都是半单模.那么,非半单代数的结构又如何呢? 经典的结构理论是将一个代数划分为根和半单两部分,将代数看作它的根借助半单部分的扩张.并由幂零根发展到谐零根、J。。o b so n 根等各种不同性质的根.一般来说,半单部分能够给出较好的刻画,但根的结构非常复杂。为此专门发展起了“根论”,进行这方面的研究。1 9 4 5年,美国数学家B a rue r 和T h a r n 提出了关于有限维代数的两个猜测.第一,“有界表示型代数是有限的。”第二,“对于任意一个无限表示型代数,存在无限多个自然数d,使得维数等于d 的模有无限多个。”这两个猜测成为代数表示论的起源。所谓一个代数是有限表示型的,是指它仅有有限多个(在同构意义下) 不可分解模,反之,称为无限型的.众所周知,一个代数的模与代数的表示,即代数到一个全矩阵代数的同态像是一回事.如果我们把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片,则有限表示型代数是用有限张照片就可以揭示清楚的一种代数,当然比较简单.而无限型代数则需用无限多张照片才能表达。代数表示论就是研究一个给定的A r t i n 代数是有限型还是无限型.若是有限型,确定其全体不可分解模;若是无限型,给出模的分布情况.我们大家所熟悉的J o r d a n 标准型就可以看作是单变元多项式环的商环的表示。事实上,令A 是复数域C 上的任意n x n矩阵,则C [ A〕是C上的有限维向代数,C [ A〕上的模是一个复数域上的有限维向量空间V ,带有一个到自身的线性变换A。 V O A.若A 有若当块 ，则“ C [A ]有不可分解模 `
初中代数知识整理简化版 一、实数 1、实数概念 () ?????? ?? ?????????????????????????? ??????????????010010001.02722、、无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数π① ?? ? ??<=>000a a a ②负实数零正实数实数(没有最大实数、也没最小实数) 2、性质（哪个数的××等于他本身）8种 ①倒数 a 1 1=?b a ()0≠a ②相反数a - 0=+b a )0(1≠-=a b a ③绝对值 a ≥0 到原点的距离 ?? ? ??<-=>=000 0a a a a a a 它本身（或相反数） ④平方2 a ≥0 ⑤立方3a 三句话 ⑥平方根a ± 三句话 ⑦算术平方根)0(0≥≥a a ⑧立方根3a 三句话 3、数轴 ①三要素 原点、正方向、单位长度 ②数轴上的点实数一一对应 ?? ?→← ③如何读数轴 大小 绝对值大小 ④两点间距离 B A x x AB -=
4、比较大小 ①正数＞0＞负数 ②两个正数，绝对值大就大 ③两个负数，绝对值大的反而小 ④无理数一般采用平方法 5、近似数 ①科学记数法 把一个数记成10n a ?的形式，其中1≤a ＜10，n 为整数 ②有效数字 ③精确到×位 7、计算步骤（计算步骤的清晰性、计算结果的预见性） ①看 运算符、括号、几段 ②想 法则、简便计算（连加减＼连乘除＼乘法分配律、乘法公式顺逆使用）、个人注意点 ③定 定顺序、分段定符号、定绝对值
二、整式 1、整式定义 ???（注意书写规范） 代数式的和 多项式：几次几项式单项式：系数、次数 整式\ 3、代数式求值 ①找（代数式、未知数的值） ②化（化简代数式、化简未知数值） ③代（遇什么换什么） ④算 注意整体思想 4、应用 ①找规律用代数式表示 ②用数量关系进行顺逆推理 ③代数思想，设而不求
常用数学符号及其意义 1 几何符号 ?∥∠??≡ ≌△ 2 代数符号 ∝∧∨～∫ ≠ ≤ ≥ ≈ ∞ ∶ 3运算符号 × ÷ √ ± 4集合符号 ∪∩ ∈ 5特殊符号 ∑ π（圆周率） 6推理符号 |a| ??△∠∩ ∪≠ ≡ ± ≥ ≤ ∈← ↑ → ↓ ↖↗↘↙∥∧∨ &; § ?????????? Γ Δ Θ Λ Ξ Ο Π Σ Φ Χ Ψ Ω α β γ δ ε δ ε ζ η θ ι κ λ
μ ν π ξ ζ ηυ θ χ ψ ω ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨⅩⅪⅫ ⅰⅱⅲⅳⅴⅵⅶⅷⅸⅹ ∈∏ ∑ ∕ √ ∝∞ ∟ ∠∣∥∧∨∩ ∪∫ ∮ ∴∵∶∷?≈ ≌≒≠ ≡ ≤ ≥ ≦≧≮≯⊕?? ??℃ 指数0123：o123 上述符号所表示的意义和读法（中英文参照） ＋plus 加号；正号 －minus 减号；负号 ±plus or minus 正负号 ×is multiplied by 乘号 ÷is divided by 除号 ＝is equal to 等于号 ≠ is not equal to 不等于号 ≡ is equivalent to 全等于号 ≌ is approximately equal to 约等于 ≈ is approximately equal to 约等于号 ＜is less than 小于号 ＞is more than 大于号
≤ is less than or equal to 小于或等于≥ is more than or equal to 大于或等于％per cent 百分之… ∞ infinity 无限大号 √ (square) root 平方根 X squared X的平方 X cubed X的立方 ∵ since; because 因为 ∴ hence 所以 ∠ angle 角 ? semicircle 半圆 ? circle 圆 ○ circumference 圆周 △ triangle 三角形 ? perpendicular to 垂直于 ∪ intersection of 并，合集 ∩ union of 交，通集 ∫ the integral of …的积分 ∑ (sigma) summation of 总和 °degree 度 ′ minute 分 〃second 秒
2.现有关系数据库如下： 学生(学号，姓名，性别，专业，奖学金)。 课程(课程号，名称，学分)。 学习(学号，课程号，分数)。 用关系代数表达式实现下列1-4小题： 1. 检索"英语"专业学生所学课程的信息，包括学号、姓名、课程名和分数。 П学号，姓名，课程名，分数(σ专业='英语'(学生∞学习∞课程))。 2. 检索"数据库原理"课程成绩高于90分的所有学生的学号、姓名、专业和分数。 П学号，姓名，专业，分数(σ分数>90∧名称='数据库原理'(学生∞学习∞课程))。 3. 检索不学课程号为"C135"课程的学生信息，包括学号，姓名和专业。 П学号，姓名，专业(学生)-П学号，姓名，专业(σ课程号='C135'(学生∞学习))。 4. 检索没有任何一门课程成绩不及格的所有学生的信息，包括学号、姓名和专业。 П学号，姓名，专业(学生)-П学号，姓名，专业(σ分数<60(学生∞学习))。 5.检索选修全部课程的学生姓名 6.检索至少选修了李强同学所选修的全部课程的学生姓名。
3.现有关系数据库如下： 学生(学号，姓名，性别，专业、奖学金)。 课程(课程号，名称，学分)。 学习(学号，课程号，分数)。 用关系代数表达式实现下列1—4小题： 1. 检索“国际贸易”专业中获得奖学金的学生信息，包括学号、姓名、课程名和分数。 Π学号，姓名，课程名，分数(σ奖学金>0∧专业=国际贸易(学生∞学习∞课程))。 2. 检索学生成绩得过满分(100分)的课程的课程号、名称和学分。 Π课程号，名称，学分(σ分数=100(学习∞课程))。 3. 检索没有获得奖学金、同时至少有一门课程成绩在95分以上的学生信息，包括学号、姓名和专业。 Π学号，姓名，专业(σ奖学金<=0∧分数>95(学生∞学习))。 4. 检索没有任何一门课程成绩在80分以下的学生的信息，包括学号、姓名和专业。 Π学号，姓名，专业(学生)-Π学号，姓名，专业(σ分数<80(学生∞学习))。 4．设有关系S、SC和C，试用关系代数表达式完成下列操作。 S（snum,sname,age,sex）,例：（1，“李强”，23，‘男’）是一条数据记录。SC(snum,cnum,score)，例：（1，“C1”，83）是一条数据记录。C(cnum,cname,teacher) 例：（“C1”，“数据库原理”，“王华”）是一条数据记录。
代数式中的相关概念 1. 代数式：用运算符号（+、—、×、÷、乘方）将数与表示数的字母连接起来 的式子叫做代数式。单独一个数或者一个字母也称代数式。 注意：代数式中不含“=、≠、≤、≥、<、>、≈”等符号 2. 代数式的书写规范： （1）数与字母，字母与字母相乘，乘号可以省略，数字与数字相乘，乘号不能省略，数字要写在前面； （2）带分数与字母相乘一定要写成假分数； （3）在含有字母的除法中，一般不用“÷”号，而写成分数的形式； （4）式子后面有单位时，和差形式的代数式要在单位前把代数式括起来。 3. 单项式：由数与字母的乘积形式组成的代数式；单独的一个数字，单独的 一个字母也是单项式． （1）单项式的系数：数字因数（带符号） （2）单项式的次数：所有字母的指数和 注意：（1）π 是数字，不是字母。 （2）分母上含有字母的不是单项式 4. 多项式：由几个单项式的和组成的代数式 （1）多项式的项：多项式中每一个单项式称为该多项式的项（带符号） （2）多项式的次数：次数最高的项的次数即为该多项式的次数 （3）常数项：不含字母的项称为常数项 （4）多项式通常说成几次几项式，如12324+-n n 是4次3项式。 5. 整式：单项式和多项式统称为整式。（整式中不含有字母） 6. 难点：（1）已知系数和次数求代数式中某个字母的值类型，如 已知多项式2223434n x y z x y -+-是八次三项式，则n = ____； （2）当多项式中不含某一项（某一项“名存实亡”），那么该项的系数即为0. （3）规律类的题目：一定要学会列表，注意观察序列号（n=1,n=2,n=3……n ）与变化的数（个数）之间的对应变化关系。
数据库关系代数表达式学习 关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础 一、关系代数的9种操作： 关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。 五个基本操作： 并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π) 四个组合操作： 交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷) 注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列 二、关系代数表达式： 由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。 三、举例说明： 设教学数据库中有3个关系： 学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) (1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩 ------------------------------------ SELECT SNO,GRADE FROM SC WHERE CNO='C2' ------------------------------------ π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC)) ************************************ (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名 ------------------------------------ SELECT SC.SNO,S.SNAME
代数与代数基本定理的历史 1.关于代数的故事 在十九世纪以前，代数被理解为关于方程的科学。十九世纪，法国数学家伽罗华（Evaristr Galois）开创群论以后，代数不再以方程为中心，而是以各种代数结构为中心。作为中学数学课程的代数，其中心内容就是方程理论。代数的发展是和方程分不开的。代数对于算术来说，是一个巨大的进步，代数和算术的主要区别说在于前者引入了未知量，根据问题的条件列同方程，然后解方程求出未知量，我们举一个例子：一个乘以3，再除以5，等于60，求这个数。算术求法（公元1200年左右伊斯兰教的数学家们就是这样解的：既然这个数的3/5是60，那么它的1/5就是20一个数的1/5是20那么这个数是20的5倍，即100。代数解法：设某数为x ，则可见代数解法与算术思路不同。各有自己的一套规则，代数解法比较简单明了。古埃及人、巴比伦人在一些实际计算问题已使用过代数的方法。据说，1858年苏格兰有一位古董收藏家兰德在非洲的尼罗河边买了一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及的纸莎草卷，他惊奇地发现，这卷草卷中有一些含有未知数的数学问题（当然都是用象形文字表示的）。例如有一个问题翻译成数学语言是： “啊哈，它的全部，它的1/7，其和等于19。” 如果用x表示这个问题中的求知数，就得到方程，解这个方程，得到。令人惊奇的是，虽然古埃及人没有我们今天所使用的方程的表示和解法，却成功得到解决了这个答数。我国古代的代数研究在世界上一直处于领先地位，在经典数学著作《九章算术》中，除了方程外，还有开平方、开立方、正负数的不同表示法和正负数的加减法则等代数的最基本问题，到宋、元时代，我国对代数的研究达到了高峰。贾宪等的高次方程数值解方法，秦九韶的联立一次同余式解法，李治的列方程一般方法，朱世杰的多元高次方程组解法，及其有限级数求和的“招差法公式”，都早于欧洲几百年。“代数学”这个名称，在我国是1859年正式开始使用的，来自拉丁文（Algebra），它又是从阿拉伯文变来的，其中有一段曲折的历史。公元825年左右，花拉子模的数学家阿尔——花拉子模写了一本书《Kitabaljabr-W’al-mugabala》意思是“整理”和“对比”，这本书的阿拉伯文版已经失传，但12世纪的一册拉丁文译本却流传到今，在这个译本中，把“aljabr”译成拉丁语“Aljebra”,并作为一门学科，它的课题最首要的就是用字母表示的式子的变形和解方程的规则方程。我国清代数学李善兰，1859年编译西方代数时，把“Algebra”译成了“代数学”。从些，“代数”这个名词便一直在我国沿用下来。 2.代数基本定理 任何n（n>0）次多项式在复数域中至少有一个根。一元一次方程有且只有一个根，一元二次方程在复数域中有且只有两个根，因此，人们自然研究一元n次方程在复数域中有几个根。此外，当初的积分运算中采用部分分式法也引起了与此有关的问题：是不是任何一个实系数多项式都能分解成一次因式的积，或分解成实系数的一次因式和二次因式的积？这样的分解，关键证明代数基本定理。代数基本定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但他的证明是首先默认了数学分析中一条明显的引理：定义在有限闭区间上的连续函数一定在某一点取得最小值，而这个引理在达朗贝尔的研究100年以后才得到证明。接着，欧拉也给出了一个证明，但有缺陷，拉格朗日于1772年又重新证明了代数基本定理，后经高斯分析，发现他的证法中把实数的尚未证明其真实性的各种性质应用了，所以该证明仍然是很不严格的。1799年，高斯在他的博士论文中第一个严格证明了代数基本定理，其基本思路如下：设f (z)为n次实系数多项式，记z = x + yi (x, y为实数)，考察方程：f (x + yi) = u (x, y) + v (x, y)i = 0即u (x, y) = 0与v (x, y) = 0分别表示oxy坐标平面上的两条曲线，于是通过对曲线作定性的研究，他证明了这两条曲线必有一个交点，从而得出u (a, b) = v (a, b) = 0即f (a + bi) = 0，故此便是代数方程f (z)的一个根。这个论证具有
因为关系被解释为某个谓词的外延，关系代数的每个运算在谓词演算中都有对应者。例如，自然连接是逻辑AND()的对应者。如果关系R和S分别表示谓词p1和p2的外延，则R和S的自然连接(R S)是表示谓词p1p2的外延的关系。 认识到 Codd 的代数事实上关于一阶逻辑不完备是很重要的。实现它会引起不可
R S = {r s| r R, s S} 主条目：投影 (关系代数) 投影是写为的一元运算，这里的是属性名字的集合。这种投影的结果定义为当所有在中的元组被限制为集合的时候所获得的集合。
广义选择是写为 的一元运算，这里的 是由正常选择中所允许的原子 和逻辑算子 (与)、(或) 和 (非)构成的命题公式。这种选择选出 中使 成立的所有元组。 主条目：重命名 (关系代数) 重命名是写为 的一元运算，这里的结果同一于 ，除了在所有元组中 的 字段被重命名为 字段之外。它被简单的用来重命名关系的属性或关系自身。 连接和类似连接的运算 自然连接 (?) 自然连接是写为 (R ? S ) 的二元运算，这里的 R 和 S 是关系。[1]自然连接的结果是在 R 和 S 中的在它们的公共属性名字上相等的所有元组的组合。例如下面是表格“雇员”和“部门”和它们的自然连接: 雇员 Name EmpI d DeptNa me Harry 3415 财务 Sally 2241 销售 George 3401 财务 Harrie t 2202 销售 部门 DeptNa me Manage r 财务 George 销售 Harrie t 生产 Charle s 雇员 ? 部门 Name EmpI d DeptNa me Manage r Harry 3415 财务 George Sally 2241 销售 Harrie t George 3401 财务 George Harrie t 2202 销售 Harrie t
algebraic coding theory revised edition 2015，500 pp hardback isbn9789814635899 1948年沙农（c.shannon）证明了纠错码的存在性，其后20年内代数编码理论创立并取得快速发展，本书作者是在代数编码理论领域作出重要贡献的领军人物之一。基于作者所取得的有关科研成果和在美国加州大学伯克利分校讲授这个理论的课程，作者于1968年出版了本书，第2版则于1984年问世。本次评介的版本是第2版的2015年修订本。本书系统给出代数编码理论的基本数学工具（数论，代数和组合等），基本理论和算法以及实例，其中著名的berlekamp-massey算法等广泛应用于计算机存储和数字通讯工程。本书从问世之日起就成为编码理论的经典著作之一。 现版本除保留前两版的前言外，篇首增加了修订版的前言，概述了代数编码理论的发展历史和重要成果（例如m.sudan荣获2002年nevanlinna奖的工作），并补充了第2版中没有引用的重要文献。本书由16章组成：1.二元码;2.算术运算模;3.给定次数的不可约q-多项式的个数;4.有限域的结构;5.循环二元码;6.有限域上多项式的分解;7.多纠错二元bch码;8.非二元编码;9.lee度量下的负循环二元码;10.hamming度量下的gorenstein-zierler广义非二元bch码;11.线性化多项式和仿射多项式;12.bch码中信息符号的计数;13.最优码的信息率;14.由其它码变形或组合得到的码;15.其他重要的编码和译码方法;16.权计数器。正文后有两个与有限域上多项式的根的计算有关的附录以及前两版本的文献目录。 本书可供编码理论领域科研人员和研究生，以及计算机科学等有关工程研究人员阅读。
六整理和复习 数与代数（一） 1.整数的意义：像…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数统称整数。整数的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最大的整数。自然数是整数的一部分。 2.自然数的意义：在数物体个数的时候，用来表示物体个数的1，2，3，4，5，…叫做自然数。一个物体也没有用0表示。自然数的个数是无限的。最小的自然数是0，没有最大的自然数。 (1)一个自然数有两方面的意义：一是表示事物的多少，称为基数；二是表示事物的次序，称为序数。如“3个学生”中的“3”是基数，“第三个学生”中的“3”就是序数。 (2)自然数的基本单位：任何非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数最基本的单位。 1.正数和负数的意义：像1（或+1），2，3…这样的数叫做正数；像-3，-2，-1，…这样的数叫做负数。自然数是大于或等于0的整数，也可以说是不小于0的整数，即“非负整数”。 2.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。(1)分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数就是这个分数的分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。（注意：带分数只有化成假分数后，它的分子才能是这个带分数中含有分数单位的个数。）(2)分数的分类。真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。带分数实际上就是大于1的假分数的另一种表示形式。 1.百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数通常用“%”表示。 分数和百分数的关系：分数既可以表示一个数，也可以表示两个数的比；而百分数只表示一个数占另一个数的百分比，不能用来表示具体数。因此，百分数是一种特殊的分数，但分数可以有单位，而百分数不能有单位。 1.小数的意义：把整数“1”平均分成10份，100份，1000份，…这样的一份或者几份是十
习题四 1. 试述关系模型的三个组成部分。 关系结构、关系操作、关系完整性约束.关系是由（R，U，D,dom,F ）组成，R 为关系名，U 位组成关系的元组属性集合， D 为属性集合U 来自的域，dom 为对象关系的映像集合， F 为属性依赖关系集合。关系操作为关系代数、关系演算、关系映象操作，此语言表达能和功能强大，约束：参照完整性约束，用户自定义约束，实体完整性约束。 2. 试述关系数据语言的特点和分类。 关系操作语言灵活方便、语言表达能力和功能强，其特点：操作一体化，操作方式一次一集 合，高度的非过程化的操作，关系操作语言包括：关系代数语言、关系演算语言、基于映像 的语言，关系代数语言是对关系的运算来表达查询的语言，关系演算语言查询元组的应该满 足的谓词条件的运算查询语言，基于映像的语言具有关系代数与关系演算的语言的双重特点 语言查询！ 3. 定义并解释下列术语，说明它们之间的联系与区别。 1）主码、候选码、外码。 在一个关系中某个属性（或属性组）能够唯一标识一个元组，则称该属性为候选码，选择其 中一个为主码，在关系R 中属性 F 不是R 的码，h 为K 关系的主码，如果 F 与h 相对应，则称 F 为管系R 的外码 2）笛卡尔积、关系、元组、属性、域。 给定一组域D1,D2,D3 3） 关系、关系模式、关系数据库。 4. 试述关系模型的完整性规则。在参照完整性中，为什么外码属性的值也可以为空？什么 情况下才可以为空？ 5. 试述等值连接与自然连接的区别和联系。 6. 对于学生选课关系，其关系模式为： 学生（学号，姓名，年龄，所在系）； 课程（课程名，课程号，先行课）； 选课（学号，课程号成绩）。 用关系代数完成如下查询。 1）求学过数据库课程的学生的姓名和学号。 2）求学过数据库和数据结构的学生姓名和学号。 3）求没学过数据库课程的学生学号。 4）求学过数据库的先行课的学生学号。
代数K理论的代数基础小结 最近我在读一点代数K理论，尽管这是个比较年轻的分支，但是却在代数数论、代数几何、代数拓扑、算子代数等理论中都有着广泛的应用，可以说是代数学中的“泛函分析”。代数K理论自然是建立抽象代数的基础之上，特别需要交换与非交换环的内容，下面我就结合环上K0、K1群，对所需的代数基础作一点简单的小结。 所谓环R的K0群，就是R上的f.g.（有限生成）投射模在同构下的等价类的半群完备化，也就是相应等价类的Grothendieck群。这里考虑f.g.条件，是因为在无限生成的条件下，会出现类似Hilbert Hotel的情况，使得K=2K→K=0.这样一来，环上的f.g.投射模就比一般的投射模更受关注，最常见的问题就是问它们什么时候是自由的。一个答案是需要环是PID，因为PID上f.g.模有类似Abel 群的结构定理；另一个答案则是局部环（未必交换），这可以通过推广Nakayama lemma来证明。顺便说一下，即使不要求f.g.条件，在局部环上的投射模也都是自由的，只是证明起来要麻烦一些啊！ 对于K0.K1群而言，比较重要的一类环就是Dedekind domain （DD），它是交换的遗传环，有着各种等价的描述：
1）从环的结构上看，DD就是一维的Noether的整闭整环。这里的整闭条件常常用来说明某个环不是DD，比如Z[√-5]就是PID但不是DD的典型例子。 2）从局部化构造来看，DD是Noether的局部DVR.这就使得对任意素理想p，都可以做p-adic赋值。 3）从理想的角度来看：DD的分式理想构成群。此等价于其任意（分式）理想均可逆。 4）从模的角度来看：DD的f.g.投射模是理想的直和。注意比较一下遗传条件，其理想实际上就是投射模。 此外，DD还有一些重要的性质： a）1+1/2的Noether性：理想由两个元素生成，并且其中一个元素可以事先给定。 b）理想的因子分解性：可以分解为素理想（=极大理想）的乘积。因此，相应的理想运算可以转化为素理想因子指数的运算，特别其准素理想是素理想的幂。 c）DD必为半局部环或半单环，前者即为PID.特别有 DD∩UFD→PID. d）DD的环稳定度为2：就是说其矩阵环的能够生成整个环R的行的最小数是2，这样就可以用二阶矩阵群来刻画K1群，导出所谓的Mennicke symbol.
设有如下表所示的三个关系S 、C 和SC 。试用关系代数表达式表示下列查询语句： （1）检索“程军”老师所授课程的课程号（C ＃）和课程名（CNAME ）。 （l ）ΠC ＃,CNAME （σTEACHER=’程军’（C ）） （2）检索年龄大于21岁男学生的学号（S ＃）和姓名（SNAME ）。 （2）ΠS ＃,SNAME （σAGE>21∧SEX=’男’（S ）） （3）检索至少选修“程军”老师所授全部课程的学生姓名（SNAME ）。 （3）ΠSNAME （S （ΠS ＃,C ＃（SC ）÷ΠC ＃（σTEACHER=’程军’（C ）））） （4）检索“李强”同学不学课程的课程号（C ＃）。 （4）ΠC ＃（C ）-ΠC ＃（σS NAME=’李强’（S ）SC ） （5）检索至少选修两门课程的学生学号（S ＃）。 （5）ΠS ＃（σ[1]=[4]∧[2]≠[5]（SC×SC ））
（6）检索全部学生都选修的课程的课程号（C＃）和课程名（CNAME）。（6）ΠC＃,CNAME（C（ΠS＃,C＃（SC）÷ΠS＃（S））） （7）检索选修课程包含“程军”老师所授课程之一的学生学号（S＃）。（7）ΠS＃（SCΠC＃（σTEACHER=’程军’（C））） （8）检索选修课程号为k1和k5的学生学号（S＃）。 （8）ΠS＃,C＃（SC）÷ΠC＃（σC＃=’k1’∨C＃=’k5’（C）） （9）检索选修全部课程的学生姓名（SNAME）。 （9）ΠSNAME（S（ΠS＃,C＃（SC）÷ΠC＃（C））） （10）检索选修课程包含课程号为k2的学生学号（S＃）。 （10）ΠS＃,C＃（SC）÷ΠC＃（σC＃=’k2’（C）） 或ΠS＃(σC#=’k2’（SC）） （11）检索选修课程名为“C语言”的学生学号（S＃）和姓名（SNAME）。（11）ΠS＃,SNAME（SΠS＃（SC（σCNAME=’C语言’（C）））
代数发展简史 一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识， 而历史却能给我们智慧。 傅鹰 数学的历史是重要的，它是文明史的有价值的组成部分， 人类的进步和科学思想是一致的。 F. Cajori 0、引言 数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。在此简要介绍代数学的有关历史发展情况。 “代数”（algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、天文学家阿尔·花拉子米（al-Khowārizmī，约780－850）一本著作的名称，书名的阿拉伯文是‘ilm al-jabr wa’l muqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr 意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah 意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文“aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作“algebra”。
阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料，很少流传下来．一般认为他生于花拉子模[Khwarizm，位于阿姆河下游，今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近]，故以花拉子米为姓．另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī)．祖先是花拉子模人．花拉子米是拜火教徒的后裔，早年在家乡接受初等教育，后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家．东部地区的总督马蒙(al-Ma’mūn，公元786—833年)曾在默夫召见过花拉子米．公元813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，聘请花拉子米到首都巴格达工作．公元830年，马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah，是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关)，花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一．马蒙去世后，花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作，直至去世．花拉子米生活和工作的时期，是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期． 花拉子米科学研究的范围十分广泛，包括数学、天文学、历史学和地理学等领域．他撰写了许多重要的科学著作．在数学方面，花拉子米编著了两部传世之作：《代数学》和《印度的计算术》． 1859年，我国数学家李善兰首次把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方法。