§1 同角三角函数的基本关系
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(1)同角三角函数的基本关系与三角函数的定义有怎样的联系？ (2)同角三角函数的基本关系对于任意角都成立吗？ (3)如何理解“同角”？ 2．例题导读
P 113例1，P 114例2，例3.通过此三例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决已知角的一个三角函数值求这个角的其他三角函数值．
试一试：教材P 117习题3－1 A 组T 1你会吗？
P 114例4.通过本例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决给值求值问题． 试一试：教材P 117习题3－1 A 组T 2、T 3你会吗？
P 115例5，例6.通过此二例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式解决三角函数式的化简问题．
试一试：教材P 117习题3－1 A 组T 5你会吗？
P 116例7.通过此例学习，学会利用同角三角函数的基本关系式进行三角恒等式的证明．
同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系
?
??
??平方关系sin 2α＋cos 2
α＝1变形
商数关系sin α
cos α＝tan α变形?cos α＝sin α
tan α
语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，当α≠k π＋π
2
(k ∈Z )时，同一
个角α的正弦和余弦的商等于α的正切．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“3”)
(1)对任意角α，sin 22α＋cos 2
2α＝1都成立．( )
(2)对任意角α，sin
α2cos
α2
＝tan α
2都成立．( )
(3)对任意的角α，β有sin 2α＋cos 2
β＝1.( )
(4)sin 2α与sin α2
所表达的意义相同．( )
解析：(1)正确．当角α∈R 时，sin 22α＋cos 2
2α＝1都成立，所以正确．
(2)错误．当α2＝k π＋π2，k ∈Z ，即α＝2k π＋π，k ∈Z 时，tan α
2没意义，故
sin
α2cos
α
2
＝tan α
2
不成立，所以错误．
(3)错误．当α＝π2，β＝0时，sin 2α＋cos 2
β≠1，故此说法是错误的．
(4)错误．sin 2α是(sin α)2的缩写，表示角α的正弦的平方，sin α2表示角α2
的正弦，故两者意义不同，此说法是错误的．
答案：(1)√ (2)3 (3)3 (4)3
2．已知sin α＝－4
5
，α是第三象限角，则tan α等于( )
A.34 B ．－34 C.43 D ．－43
解析：选C.因为sin α＝－4
5
，且α是第三象限角．
所以cos α＝－1－sin 2
α＝－35
.
所以tan α＝sin αcos α＝4
3
.
3．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________． 解析：因为3sin α＋cos α＝0， 所以cos α＝－3sin α，
所以tan α＝sin αcos α＝sin α－3sin α＝－1
3.
答案：－1
3
4．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m
m ＋5
，
则m ＝________．
解析：由sin 2θ＋cos 2
θ＝1得，m ＝0或8. 答案：0或8
对同角三角函数的基本关系式的两点说明
(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，
“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π
3
，2α与2α都是同角，二是对“任意”一
个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 2 3
4
α
＝1.
(2)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．
利用同角三角函数关系式求值
已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值． (链接教材P 113例1，P 114例2，例3) [解] 法一：因为tan α＝－2<0，
所以α为第二或第四象限角，且sin α＝－2cos α，①
又sin 2α＋cos 2
α＝1，②
由①②消去sin α，得(－2cos α)2＋cos 2α＝1，即cos 2
α＝15.
当α为第二象限角时，cos α＝－55，代入①得sin α＝255
； 当α为第四象限角时，cos α＝
55，代入①得sin α＝－255
. 法二：因为tan α＝－2<0，所以α为第二或第四象限角．
由tan α＝sin α
cos α
，
两边分别平方，得tan 2
α＝sin 2αcos 2
α
， 又sin 2α＋cos 2
α＝1，
所以tan 2
α＋1＝sin 2αcos 2α
＋1
＝sin 2α＋cos 2αcos 2
α＝1cos 2α
， 即cos 2
α＝11＋tan 2
α
. 当α为第二象限角时，cos α<0，
所以cos α＝－1
1＋tan 2
α ＝－
11＋（－2）2＝－
5
5
， 所以sin α＝tan α2cos α＝(－2)3? ?
?
??－
55＝255. 当α为第四象限角时，cos α>0，
所以cos α＝11＋tan 2α＝11＋（－2）2＝
5
5
， 所以sin α＝tan α2cos α＝(－2)3
55＝－25
5. 方法归纳
已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角所在的象限．当使
用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2
α时，要根据角α所在的象限，恰当选
定根号前面的正负号．这类题通常有下列几种情况：
(1)如果已知三角函数的值，而且角的象限已被指定，那么只有一组解．
(2)如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解．
(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角在哪个象限，则需要进行讨论．
1．(1)已知α为第三象限的角，且tan α＝1
3，则cos α的值为( )
A.
310
10
B ．±31010
C ．－31010
D ．－1010
(2)已知tan α＝3，则2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2
α的值为( )
A ．3
B ．21
10
C.13 D ．130 (3)已知tan θ＝2，求： ①cos θ，sin θ； ②4sin θ－3cos θ6cos θ＋2sin θ
. 解：(1)选C.由题意tan α＝sin αcos α＝13，故cos α＝3sin α，代入sin 2α＋cos 2
α＝
1得sin 2
α＝110，因为α为第三象限的角，所以sin α＝－1010，故cos α＝－31010
.
(2)选B.法一：因为tan α＝3，即sin α
cos α
＝3，所以sin α＝3cos α.
又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2
α＝110，所以cos α＝±110
，
当cos α＝
110
时，sin α＝
310
，
2sin 2
α＋4sin αcos α－9cos 2
α＝23? ????3102＋433103110－93? ????1102＝95＋6
5－
910＝21
10
. 当cos α＝－
1
10时，sin α＝－
3
10
，
2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2
α
＝23? ????－3102＋43? ????－3103? ????－110－93?
????－1102＝95＋65－910＝2110.
综上可知2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2
α＝2110
.
法二：2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2
α
＝2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2
αsin 2α＋cos 2
α
＝2tan 2
α＋4tan α－9tan 2
α＋1
由于tan α＝3，原式＝2332
＋433－932
＋1＝21
10
. (3)①由题意得
?
????tan θ＝2，sin 2θ＋cos 2
θ＝1，即?????sin θcos θ＝2，sin 2θ＋cos 2θ＝1.
所以?
????sin θ＝2cos θ，sin 2θ＋cos 2
θ＝1，所以4cos 2θ＋cos 2
θ＝1， 即cos 2
θ＝15，
若θ为第一象限角，则cos θ＝
55，sin θ＝255
. 若θ为第三象限角，则cos θ＝－
55，sin θ＝－25
5
. ②原式＝4tan θ－36＋2tan θ＝432－36＋232＝510＝1
2
.
三角函数式的化简
(1)若α为第二象限角，则 sin 2α－sin 4α
cos α
＝( )
A ．sin α
B ．－sin α
C ．cos α
D ．－cos α
(2)若tan α2sin α<0，化简 1－sin α1＋sin α＋ 1＋sin α
1－sin α.
(3)化简sin x
1－cos x
2
tan x －sin x
tan x ＋sin x
.
[解] (1)选B.sin 2
α－sin 4
α
＝sin 2α（1－sin 2α）＝sin 2α2cos 2
α＝|sin αcos α|. 因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0， 则|sin αcos α|＝－sin αcos α， 所以原式＝－sin α.
(2)由于tan α2sin α<0，则tan α，sin α异号， 所以α在第二或第三象限，所以cos α<0，
原式＝（1－sin α）2（1－sin α）（1＋sin α）＋（1＋sin α）
2
（1－sin α）（1＋sin α）
＝
（1－sin α）
2
1－sin 2
α
＋（1＋sin α）
2
1－sin 2
α
＝（1－sin α）2cos 2α＋（1＋sin α）2
cos 2
α
＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|＝1－sin α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α
.
(3)原式＝sin x
1－cos x
2
sin x
cos x
－sin x sin x
cos x
＋sin x
＝
sin x 1－cos x 2sin x （1－cos x ）
sin x （1＋cos x ）
＝sin x 1－cos x 21－cos x |sin x |＝sin x |sin x |
＝?????
1，x ∈? ????2k π，2k π＋π2∪? ????2k π＋π2，2k π＋π（
k ∈Z ），－1，x ∈? ????2k π＋π，2k π＋3π2∪? ????2k π＋3π2，2k π＋2π（k ∈Z ）.
若把本例(1)中“α为第二象限角”改为“α为第四象限角”，则结
果如何？
解：由上面化简过程知 sin 2α－sin 4
α＝|sin αcos α|. 因为α为第四象限角，所以sin α<0，cos α>0， 所以|sin αcos α|＝－sin αcos α
，
所以sin 2α－sin 4
αcos α＝－sin αcos αcos α
＝－sin α.
方法归纳
(1)三角函数式的化简方法 对于三角函数式的化简，其本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则，因此，不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形．
(2)对三角函数式化简的原则 ①使三角函数式的次数尽量低； ②使式中的项数尽量少； ③使三角函数的种类尽量少；
④使式中的分母尽量不含有三角函数； ⑤使式中尽量不含有根号和绝对值符号；
⑥能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示．
2．(1)已知sin θ<0，tan θ>0，则 1－sin 2
θ化简的结果为( ) A ．cos θ B ．－cos θ C ．±cos θ D ．以上都不对
(2)化简：1－2sin 40°cos 40°
cos 40°－1－cos 2
40°＝________． (3)化简：
1－2sin α2cos α
2
＋
1＋2sin α2cos α
2
? ??
??0<α<π2.
解：(1)选B.因为sin θ<0，tan θ>0，所以θ在第三象限，
所以原式＝ cos 2
θ＝|cos θ|＝－cos θ.
(2)原式＝sin 240°＋cos 2
40°－2sin 40°cos 40°
cos 40°－sin 2
40° ＝（sin 40°－cos 40°）2
cos 40°－sin 40°
＝|sin 40°－cos 40°|cos 40°－sin 40°＝cos 40°－sin 40°cos 40°－sin 40°＝1.故填1. (3)原式＝
sin
2
α2－2sin α2cos α2＋cos 2α2
＋ sin
2
α2＋2sin α2cos α2＋cos 2α
2
＝ ? ????cos α2－sin α22
＋ ?
????cos α2＋sin α22
＝?
?????cos α
2－sin α2＋??????cos α2＋sin α2.
因为α∈?
????0，π2，所以α2∈? ????0，π4，
所以cos α2－sin α2>0，cos α2＋sin α
2
>0，
所以原式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α
2
.
三角恒等式的证明
求证：2(1－sin α)(1＋cos α)＝(1－sin α＋cos α)2
. (链接教材P 116例7)
[证明] 法一：左边＝1＋1－2sin α＋2cos α－2sin αcos α
＝1＋sin 2α＋cos 2
α－2sin αcos α＋2(cos α－sin α)
＝1＋2(cos α－sin α)＋(cos α－sin α)2
＝(1－sin α＋cos α)2
＝右边．
法二：左边＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α，
右边＝1＋sin 2α＋cos 2
α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α ＝2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α， 所以左边＝右边．
法三：令1－sin α＝x ，cos α＝y ，
则(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2
＝2x .
所以左边＝2x (1＋y )＝2x ＋2xy ＝x 2＋y 2＋2xy ＝(x ＋y )2
＝右边．
方法归纳
证明三角恒等式的常用方法
证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：
(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． (2)证明左右两边等于同一个式子．
(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.
(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．
3．(1)证明：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2
α＝1＋tan α
tan α－1. (2)求证：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）
1＋sin α＋cos α
.
证明：(1)左边＝sin 2α＋cos 2
α＋2sin αcos α
sin 2α－cos 2
α
＝（sin α＋cos α）
2
（sin α－cos α）（sin α＋cos α） ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1
＝右边． (2)左边＝cos α（1＋cos α）－sin α（1＋sin α）
（1＋sin α）（1＋cos α）
＝（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）1＋sin α＋cos α＋sin αcos α
＝2（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）2＋2sin α＋2cos α＋2sin αcos α
＝2（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）
1＋（sin 2α＋cos 2
α）＋2sin α＋2cos α＋2sin αcos α ＝2（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）（1＋sin α＋cos α）
2
＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α ＝右边．
在△[解] 法一：因为sin A ＋cos A ＝
2
2
，① 所以(sin A ＋cos A )2
＝12，
所以2sin A cos A ＝－1
2
，
所以sin A cos A ＜0.
又因为0＜A ＜π，所以sin A ＞0，cos A ＜0，
所以sin A －cos A ＝（sin A －cos A ）2
＝1－2sin A cos A ＝6
2.②
由①②，得sin A ＝
6＋24，cos A ＝2－6
4
， 所以tan A ＝sin A
cos A
＝－2－ 3.
法二：因为sin A ＋cos A ＝
22，所以cos A ＝2
2
－sin A . 又因为sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin 2
A ＋? ????22－sin A 2＝1.
整理，得4sin 2
A －22sin A －1＝0，
解得sin A ＝
2＋64或sin A ＝2－6
4
. 又因为00，
所以sin A ＝2＋64，cos A ＝22－sin A ＝2－6
4，
所以tan A ＝sin A
cos A ＝－2－ 3.
[错因与防范] (1)本题易错解为tan A ＝－2±3，原因在于忽略了三角形内角A 的范围为(0，π)这个隐含条件，进而对sin A ，cos A 的符号判断出现错误．
(2)对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．
一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，
就有sin 2α＋cos 2
α＝1，这一条件往往是解题的关键．
4．(1)若sin α＝m －313，cos α＝4－2m 13，α∈? ??
??π2，π，则m 的取值范围是( )
A ．3 B ．m ＝8 C ．m >8.5或m <3 D ．m >3 (2)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－1 2 ，则tan θ的值为________． (3)已知sin α＋cos α＝－1 3 ，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：(1)选B.由sin 2α＋cos 2 α＝1，得（m －3）213＋（4－2m ）2 13 ＝1，解得m ＝8或m ＝－185.当m ＝－18 5 时，sin α<0，故舍去；当m ＝8时，满足条件．故选B. (2)将sin θ＋cos θ＝3－12两边平方，得1＋2sin θcos θ＝1－3 2 ，即sin θcos θ＝－ 3 4 . 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，又sin θcos θ<0，所以θ∈? ?? ??π2，π， 则sin θ>0， cos θ<0，故sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝ 3＋12 ， 综合已知可得sin θ＝ 32，cos θ＝－1 2 ，所以tan θ＝－ 3.故填－ 3. (3)因为sin α＋cos α＝－13，所以(sin α＋cos α)2 ＝19 ，所以1＋2sin αcos α ＝19，所以sin αcos α＝－49 .因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2 ＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α －cos α＝ 173 . 1．已知α是第四象限角，tan α＝－5 12 ，则sin α＝( ) A.15 B ．－15 C.513 D ．－513 解析：选D.因为tan α＝sin αcos α＝－512 ，sin 2α＋cos 2 α＝1， 所以sin α＝±5 13 . 又因为α是第四象限角，所以sin α＝－5 13 . 2．若tan θ＝2，则2cos θ sin ? ?? ??π2＋θ＋sin （π＋θ）等于( ) A ．－2 B ．2 C ．0 D ．2 3 解析：选A.2cos θsin ? ?? ??π2＋θ＋sin （π＋θ）＝2cos θ cos θ－sin θ ＝21－tan θ ＝－2. 3．已知cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2 α＝5，则tan α＝________． 解析：由题意知，cos 2α＋4sin αcos α＋4sin 2α cos 2α＋sin 2 α ＝1＋4tan α＋4tan 2 α1＋tan 2 α＝5， 整理得tan 2 α－4tan α＋4＝0，所以tan α＝2. 答案：2 4．若sin θ＝－4 5 ，tan θ>0，则cos θ＝________． 解析：因为sin θ<0，tan θ>0，所以θ是第三象限角． 所以cos θ＝－1－sin 2 θ＝－35 . 答案：－3 5 , [学生用书单独成册]) [A.基础达标] 1．已知tan α＝12且α∈? ????π，32π，则sin α的值是( ) A ．－5 5 B ． 55 C. 25 5 D ．－255 解析：选A.因为α∈? ?? ??π，32π，所以sin α<0， 由tan α＝sin αcos α＝12及sin 2α＋cos 2 α＝1，得sin α＝－ 5 5 . 2．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2 ＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B ．35 C.25 D ．15 解析：选B.因为方程4x 2 ＋x －3＝0的根为x ＝34 或x ＝－1， 又因为tan α是方程4x 2 ＋x －3＝0的根且α为锐角， 所以tan α＝34，所以sin α＝3 4cos α， 即cos α＝4 3 sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋169 sin 2 α＝1， 所以sin 2 α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35 . 3．若sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 6θ＋cos 8 θ的值等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．5－1 2 解析：选B.因为sin θ＋sin 2θ＝1，sin 2θ＋cos 2 θ＝1， 所以sin θ＝cos 2 θ， 所以原式＝sin θ＋sin 3θ＋sin 4 θ ＝sin θ＋sin 2θ(sin θ＋sin 2 θ) ＝sin θ＋sin 2 θ ＝1. 4．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝1 3，则sin A ＋cos A 的值为( ) A. 153 B ．－ 153 C.53 D ．－53 解析：选A.因为sin A cos A ＝1 3>0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＝1＋2sin A cos A ＝ 1＋23＝153 . 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ－2sin θ 3cos θ＋sin θ ＝( ) A ．－45 B ．－35 C.35 D ．45 解析：选B.由题意知tan θ＝2，所以cos θ－2sin θ3cos θ＋sin θ＝1－2tan θ3＋tan θ＝1－2323＋2＝－3 5. 6．已知sin α＝4 5 ，且α为第二象限角，则tan α的值为________． 解析：因为α为第二象限角且sin α＝4 5 ， 所以cos α＝－1－sin 2 α＝－35 ， 所以tan α＝sin αcos α＝45－35 ＝－4 3 . 答案：－4 3 7．化简(1＋tan 2α)2cos 2 α＝________． 解析：原式＝? ?? ??1＋sin 2 αcos 2α2cos 2α＝cos 2α＋sin 2 α＝1. 答案：1 8．已知sin α，cos α是方程3x 2 －2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为________． 解析：由Δ≥0知，a ≤1 3. 又? ????sin α＋cos α＝2 3 ，① sin α2cos α＝a 3 ，② 由①式两边平方并化简得：sin αcos α＝－5 18 ， 所以a 3＝－518 ， 所以a ＝－5 6. 答案：－5 6 9．证明：cos 4α－sin 4α1＋2sin （π－α）cos （π＋α）＝1＋tan α 1－tan α . 证明：左边＝（cos 2α＋sin 2α）（cos 2α－sin 2 α） cos 2α＋sin 2 α－2sin αcos α ＝（cos α＋sin α）（cos α－sin α）（cos α－sin α）2 ＝cos α＋sin αcos α－sin α ＝cos αcos α＋ sin α cos αcos αcos α－ sin αcos α ＝1＋tan α1－tan α ＝右边，故原等式成立． 10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝1 5 . (1)求sin A 2cos A 的值； (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值． 解：(1)由sin A ＋cos A ＝1 5 ， 两边平方，得1＋2sin A 2cos A ＝1 25 ， 所以sin A 2cos A ＝－12 25 . (2)由(1)得sin A 2cos A ＝－12 25 <0.