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2013中考数学最后冲刺--几何综合压轴题
专题一：几何综合压轴题预测
几何综合题：是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，具有较强的选拔能力。
一、题型特点：图形较复杂，知识点较多，题设和结论，关系隐蔽复杂，思路难觅，解法灵活。
（一）首先给定几何图形，要求根据已知条件进行计算，求点的坐标或线段的长度；
（二）然后有动点（动线段或图形平移旋转）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围；
（三）最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：
（1）在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形；
（2）在什么条件下图形是是平行四边形、菱形、梯形等；
（3）探索两个三角形满足什么条件全等、相似等；
（4）探究线段之间的数量、位置关系或比值等；
（5）探索面积之间满足一定关系时求x的值等；或直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。
二、解答技巧：解几何综合题，应注意以下几点：
（1）注意观察分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形．（2）要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；
（3）运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法．掌握常规的证题方法和思路．
（4）求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。
（5）找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。
（6）求函数的自变量的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。
三、精讲精练： 一、几何论证型综合题
例1、（盐城）如图，已知：⊙O 1与⊙O 2是等圆，它们相交于A 、B 两点，⊙O 2在⊙O 1上，AC 是⊙O 2
的直径，直线CB 交⊙O 1于D ，E 为AB 延长线上一点，连接DE 。
(1)请你连结AD ，证明：AD 是⊙O 1的直径； (2)若∠E=60°，求证：DE 是⊙O 1的切线。
分析：解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础。
证明：
（1）连接AD ，∵AC 是⊙O 2的直径，AB ⊥DC ∴∠ABD=90°,
∴AD 是⊙O 1的直径 （2）证法一：∵AD 是⊙O 1的直径，
∴O 1为AD 中点 连接O 1O 2，
∵点O 2在⊙O 1上，⊙O 1与⊙O 2的半径相等， ∴O 1O 2=AO 1=AO 2
∴△AO 1O 2是等边三角形， ∴∠AO 1O 2=60°
由三角形中位线定理得：O 1O 2∥DC ， ∴∠ADB=∠AO 1O 2=60° ∵AB ⊥DC ，∠E=60，
∴∠BDE=30，∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90° 又AD 是直径，∴DE 是⊙O 1的切线 证法二：连接O 1O 2，
∵点O 2在⊙O 1上，O 1与O 2的半径相等，∴点O 1在⊙O 2 ∴O 1O 2=AO 1=AO 2，∴∠O 1AO 2=60°
∵AB 是公共弦，∴AB ⊥O 1O 2，∴∠O 1AB=30° ∵∠E=60°∴∠ADE=180°-（60°+30°）=90° 由（1）知：AD 是的⊙O 1直径， ∴DE 是⊙O 1的切线.
说明：本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。 练习一
1．如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BC 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E ，若AD=5，AB=6，BC=9。 ⑴求DC 的长；
⑵求证：四边形ABCE 是平行四边形。 E D
C
B A
O 1O 2
A B C
D
O P 图5－1－2
2．已知：如图，AB 是⊙O 的直径， 点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC 。 求证：（1）BC 平分∠PBD ；（2）BD AB BC ?=2
3． PC 切⊙O 于点C ，过圆心的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，BE ⊥PE ，垂足为E ，BE 交⊙O 于点D ，F 是PC 上一点，且PF ＝AF ，FA 的延长线交⊙O 于点G 。 求证：（1）∠FGD ＝2∠PBC ；（2）
PC PO AG
AB
=
.
4.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，直径CD ⊥AB ，垂足为E 。弦BF 交CD 于点M ，交AC 于点N ，且BF=AC ，连结AD 、AM ，
求证：(1)△ACM ≌△BCM ； (2)AD ·BE=DE ·BC ；
(3)BM 2
=MN·MF 。
5.已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．
求证：（1）AD ＝BD ；
（2）DF 是⊙O 的切线．
F E D
C B A O F
N M O E D C B A
二、几何计算型综合题
解这类几何综合题，应该注意以下几点：
（1）注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形； （2）灵活运用数学思想与方法.
例2．（2005年南通）如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是OA 、OB 的中点． （1）求证：△ADE ≌△BCF ；
（2）若AD = 4cm ，AB = 8cm ，求CF 的长． 解：
（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ＝BC ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ， AD ∥BC ，
∴OA ＝OB ＝OC ，∠DAE ＝∠OCB ，∴∠OCB ＝∠OBC ， ∴∠DAE ＝∠CBF ． 又∵AE ＝
12
OA ，BF ＝
12
OB ，∴AE ＝BF ，
∴△ADE ≌△BCF ．
（2）解：过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠DGF ＝90o， ∵∠DCB ＝90o，∴∠DGF ＝∠DCB ， 又∵∠FDG ＝∠BDC ，∴△DFG ∽△DBC ， ∴FG DF DG BC
DB
DC
==．
由（1）可知DF ＝3FB ，得34
DF DB
=，
∴
3448
FG
DG
==，∴FG ＝3，DG ＝6，
∴GC ＝DC －DG ＝8－6＝2．
在Rt △FGC 中，229413CF FG GC =+=+=.
说明：本题目考查了矩形的性质，三角形全等的判定以及相似三角形的判定及性质。 练习二
1.已知：如图，直线PA 交⊙O 于A 、E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径AB 。
（1）求证：AC 平分∠DAB ；
（2）若DC ＝4，DA ＝2，求⊙O 的直径。 （例2题）
B
C
D O
F
B
（例2）
C
D
F
G
2．已知：如图，以Rt △ABC 的斜边AB 为直 径作⊙O ，D 是⊙O 上的点，且有AC=CD 。过点C 作⊙O 的切线，与BD 的延长线交于点E ，连结CD 。
(1)试判断BE 与CE 是否互相垂直?请说明理由； (2)若CD=2
5
，tan ∠DCE=12
，求⊙O 的半径长。
3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，D 是⊙O 上的一点，且AD ∥CO 。(1)求证：ΔADB ∽ΔOBC ；(2)若AB=2，BC=2，求AD 的长。(结果保留根号)
4．如图,AD 是ABC ?的角平分线, 延长AD 交ABC ?的外接圆O 于点E ,过C D E 、、三点的圆1O 交AC 的延长线于点F ，连结EF DF 、．
(1)求证：AEF ?∽FED ?；
(2) 若6,3AD DE ==, 求EF 的长；
(3) 若DF ∥BE , 试判断ABE ?的形状，并说明理由．
5．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是 BDC 的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、
E ，且 B
F AD =，EM 切⊙O 于M 。
⑴△ADC ∽△EBA ；
⑵AC 2＝1
2
BC·CE ；
⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot ∠CAD 的值。 C
A O
B D 1
O ?A
E
F
C B
D
O
?O E
D
C
B A
能力提高
1、如图矩形ABCD 中，过A ，B 两点的⊙O 切CD 于E ，交BC 于F ，AH ⊥BE 于H ，连结EF 。 （1） 求证：∠CEF ＝∠BAH
（2） 若BC ＝2CE ＝6，求BF 的长。
2．如图，⊙O 的弦AB=10，P 是弦AB 所对优弧上的一个动点，tan ∠APB=2， (1)若△APB 为直角三角形，求PB 的长；
(2)若△APB 为等腰三角形，求△APB 的面积。
3.如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ．
(1)求证：OE=OF ； (2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图1
F M O C
D
B
A
E
图2
F
M
O
C
D
B
A
E
A B O P
4．如图11，在△ABC 中，∠ABC ＝90，AB ＝6，BC ＝8。以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是BC 的中点，连接ED 并延长交BA 的延长线于点F 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求DB 的长；
（3）求S △FAD ∶S △FDB 的值
5．已知：□ABCD 的对角线交点为O ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，分别沿DE 、BF 折叠四边形ABCD, A 、C 两点恰好都落在O 点处，且四边形DEBF 为菱形（如图）．
⑴求证：四边形ABCD 是矩形；
⑵在四边形ABCD 中，求BC AB
的值．
6．
如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在BA 的延长线上，CA=AO ，点D 在⊙O 上， ∠ABD=30°．
⑴求证：CD 是⊙O 的切线；
⑵若点P 在直线AB 上，⊙P 与⊙O 外切于点B ，与直线CD 相切于点E ，设⊙O 与⊙P 的半径分别为r 与R ，求R
r 的值．
A B
D C · · E
O
P
O F
D B
E C · A
7、知直线L与◎○相切于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连接OP交⊙○于点C，连接BC并延长BC交直线L于点D.
(1)若AP=4，求线段PC的长;（4分）
(2)若ΔPAO与ΔBAD相似，求∠APO的度数和四边形OADC的面积.（答案要求保留根号）
8、如图7，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为 BF的中点，BF交AD于点E，且BE EF=32，AD=6.
(1) 求证：AE=BE；(2) 求DE的长；(3) 求BD的长 .
9、如图1：⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在
?
CB上取一点D，分别作直线CD、ED交直线
AB于点F、M。
（1）求∠COA和∠FDM的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在
?
EB上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB
于点F、M，试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。
10、已知：如图12，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝5cm ，CD ＝6cm ，∠DCB ＝60°，∠ABC ＝90°。等边三角形MPN （N 为不动点）的边长为a cm ，边MN 和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l 上，NC ＝8cm 。将直角梯形ABCD 向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。
（1）将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a ≥2cm ，这时两图形重叠部分的面积是多少？ （2）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积，这时等边三角形的边长a 至少应为多少？ （3）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？
11、如图，ABC ?是等边三角形，⊙O 过点B,C ，且与CA BA ,的延长线分别交于点D,E ．弦DF ∥AC ，EF 的延长线交BC 的延长线于点G ． （1）求证：BEF ?是等边三角形； （2）若4=BA ，2=CG ，求BF 的长．
12、已知：如图，BD 是⊙O 的直径，过圆上一点A 作⊙O 的切线交DB 的延长线于P ，过B 点作BC ∥PA 交⊙O 于C ，连结AB 、AC 。
（1） 求证：AB=AC ；
（2） 若PA=10，PB=5，求⊙O 的半径和AC 的长。 I P 图12①②M A D
C B
N O G
E
B
D
C
A F
（图5－11） C
A
P B O D
13、如图，AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，DE ⊥AB 于点E ，且DE 的延长线分别交AC 、⊙O 、BC 的延长线于F 、M 、G.
（1）求证：AE ·BE ＝EF ·EG ；
（2）连结BD ，若BD ⊥BC ，且EF ＝MF ＝2，求AE 和MG 的长.
答案： 练习一
1．⑴解：∵AD ∥BC
∴
AB DC = ∴DC=AB=6
⑵证明：∵AD ∥BC ，
∴∠EDC=∠BCD
又∵PC 与⊙O 相切， ∴∠ECD=∠DBC
∴△CDE ∽△BCD
∴
DC DE BC
DC =
∴DE 49
622==
=
BC
DC
∴AE=AD+DE=5+4=9 ∴AE BC
∴四边形ABCE 是平行四边形。 2. 证明：（1）连结OC 。
∵PD 切⊙O 于点C ， 又∵BD ⊥PD ， ∴OC ∥BD 。 ∴∠1＝∠3。 又∵OC ＝OB ， ∴∠2＝∠3。
∴∠1＝∠2，即BC 平分∠PBD 。 （2）连结AC 。
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°。 又∵BD ⊥PD ，∴∠ACB ＝∠CDB ＝90° 又∵∠1＝∠2，∴△ABC ∽△CBD
∴
AB BC CB
BD
=
，∴2
BC AB BD ＝
3.( 1）连结OC 。
又∵∠PBE＝∠FGD，∴∠POC＝∠FGD。
∵∠POC＝2∠PBC，∴∠FGD＝2∠PBC。（1）连结BG
∵AB是的直径，∴∠AGB＝90°。
又∵OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，
∴∠AGB＝∠PCO。
∵FP＝FA，
∴∠FPA＝∠PAF＝∠BAG。
∴△PCO∽△AGB。∴PC PO AG AB
4.
5. （1）证法一：连结CD，
∵BC为⊙O的直径,∴CD⊥AB
∵AC＝BC,∴AD＝BD．
证法二：连结CD，
∵BC为⊙O的直径
∴∠ADC＝∠BDC＝90°
∵AC＝BC，CD＝CD
∴△ACD≌△BCD,∴AD＝BD （2）证法一：连结OD，
∵AD＝BD，OB＝OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC ∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切线．
证法二：连结OD，
∵OB=OD,∴∠BDO＝∠B
∵∠B＝∠A,∴∠BDO=∠A
G
A B
C D
E
F
O
P
5-1-3图
O
A
B C
D
F
E
练习二 1．（1）证法一：连结BC
∵AB 为⊙O 的直径∴∠ACB ＝90o 又∵DC 切⊙O 于C 点 ∴∠DCA ＝∠B ∵DC ⊥PE
∴Rt △ADC ∽Rt △ACB ∴∠DAC ＝∠CAB
（2）解法一：在Rt △ADC 中，AD ＝2，DC ＝4
∴AC ＝AD 2
＋DC 2
＝2 5 由（1）得Rt △ADC ∽Rt △ACB
∴AB AC ＝AC AD 即AB ＝AC 2
AD ＝20
2 ＝10 ∴⊙O 的直径为10 （1）证法二：连结OC
∵OA ＝OC ∵∠ACO ＝∠CAO 又∵CD 切⊙O 于C 点 ∴OC ⊥DC ∵CD ⊥PA ∴OC ∥PA ∴∠ACO ＝∠DAC ∴∠DAC ＝∠CAO
（2）解法二：过点O 作OM ⊥AE 于点M ，连结OC
∵DC 切⊙O 于C 点 ∴OC ⊥DC 又∵DC ⊥PA ∴四边形OCDM 为矩形 ∴OM ＝DC ＝4 又DC 2＝DA·DE ∴DE ＝8，∴AE ＝6， ∴AM ＝3
在Rt △AMO 中,OA ＝OM 2＋AM 2 ＝5 即⊙O 的直径为10。 2.
3. (1)略；（2）由（1），得△ADB ∽△OBC ，
4.
(1）证明：连结两圆的相交弦CE
在圆1O 中，EFD DCE ∠=∠，
在圆O 中，BAE DCE ∠=∠， ∴EFD BAE ∠=∠，
又因为AE 是BAC ∠角平分线，得∠BAE=∠CAE ， ∴CAE EFD ∠=∠， ∵AEF FED ∠=∠，
∴AEF ?∽FED ?． （2）∵AEF ?∽FED ?， EF DE
∴27)(2
=?+=?=DE DE AD DE AE EF
，
∴33=EF ．
（3）证明：根据同弧上的圆周角相等，
得到：ABC AEC ∠=∠，CBE CAE ∠=∠， ∴ABE AEC CAE ∠=∠+∠，
∵AEC CAE ACE ∠+∠+∠=180°， ∴ABE ACE ∠+∠=180°， 又FCE ACE ∠+∠=180， ∴FCE ABE ∠=∠ ．
∵DF ∥BE ，FDE AEB ∠=∠，
又∵FCE EDF ∠=∠，∴∠AEB =∠ABE ， ∴ABE ?为等腰三角形．
5．⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDA ＝∠ABE ，
∵ BF AD =，∴∠DCA ＝∠BAE ，∴△CAD ∽△AEB
⑵过A 作AH ⊥BC 于H(如图)∵A 是 BDC 中点，∴HC ＝HB ＝12
BC ，
∵∠CAE ＝900，∴AC 2＝CH·CE ＝1
2
BC·CE
⑶∵A 是 BDC 中点，AB ＝2，∴AC ＝AB ＝2，
∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC ＝EM 2 ①
∵AC 2＝1
2
BC·CE ，BC·CE ＝8 ②
①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17
∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE ＝17－22＝13 ∵△CAD ∽△ABE ，∴∠CAD ＝∠AEC ，
∴cot ∠CAD ＝cot ∠AEC ＝AE AC ＝13
2
提高练习 1. 2.
3. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE=∠AOF＝90?．OB＝OA
又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90?=∠AFO+∠MAE
∴∠MEA＝∠AFO
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ∴OE=OF
(2)OE＝OF成立
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE=∠AOF＝90?．OB＝OA
又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF＝90?=∠B+∠OBE
（2）在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8 ∴AC ＝10 ∵BC 2
＝CD ?AC ∴CD ＝
5
32，AD ＝
5
18
又∵△ADB ∽△BDC ∴BD 2
＝AD ?CD ＝
5
32?
5
18 ∴BD ＝
5
24
（3）∵∠FDA ＝∠FBD ∠F ＝∠F ∴△FDA ∽△FBD ∴S △FAD ∶S △FDB ＝16
9)(
2=
BD
AD
5、（1）证明：连结OE
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DO=OB ， ∵四边形DEBF 是菱形， ∴DE=BE ， ∴EO ⊥BD ∴∠DOE= 90°
即∠DAE= 90° 又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形
（2）解：∵四边形DEBF 是菱形
∴∠FDB=∠EDB 又由题意知∠EDB=∠EDA
由（1）知四边形ABCD 是矩形
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90° 则∠ADB= 60° ∴在Rt △ADB 中，有AD ∶AB=1∶3 即3=BC
AB
6、
（1）证明：连结OD 、DA ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BDA=90°
又∠ABD=30°，∴AD=
2
1
AB=OA 又AC=AO ，∴∠ODC=90°∴CD 切⊙O 于点D （2）方法一：连结PE ，由（1）知∠DAB=60°，又AD=AC ∴∠C=30° 又∵DE 切⊙P 于E ，∴PE ⊥CE ∴PE=
2
1CP 又PE=BP=R ，CA=AO=OB= r ∴3r=R ，即3
1=R r
方法二：连结PE ，
又∵DE 切⊙P 于E ，∴PE ⊥CE ∴OD ∥PE ∴
EP
OD =
CP
CO 即
R
r r R
r +=
32 ，∴
3
1=
R
r
7、解：（1）与l ◎○相切于点A ， 0
904=∠∴
222AP OA OP +=∴
2
22434
,321
+=∴===
=OP AP AB OC OP
5=∴OP 235=-=∴PC
（2）? PAO ∽ΔBAD,且∠1>∠2，∠4=∠4=90
，APO ∠=∠∴2
=∴OC
OB O F D B
E C A
APO ∠=∠=∠∴2221
00
903901904=∠∴=∠+∠∴=∠∴APO APO 030=∠∴APO
在Rt ΔBAD 中，0
302=∠=∠APO
323
3630tan 60=?
==∴AD
方法一：过点O 作OE ⊥BC 于点E ，
2
33303,2
33
,3020
0=
?==
∴==∠con BE OE BO 332==∴BE BC
BOC BAD OADC S S S ??-=∴四边形
3
49362
3332
13262
12121-
=?
?-
??=
?-?=
OE BC AD AB
=
34
15
方法二：在Rt ΔOAP 中，AP=6tan600
=33,OP=2OA=6, ∴DP=AP －AD=3,336,3323=-=-==
-OC OP PC
过点C 作CF ⊥AP 于F ，∴∠CPF=300
, ∴CF=2
32
1=PC
∴S 四边形OADC =S ΔOAP －S ΔCDP =
2
1AP ·OA －
2
1DP ·CF =
2
1(2
33333?
-?)
=
4
315
8. (1) 连AF ，因A 为的 BF
中点，∴∠ABE=∠AFB ，又∠AFB=∠ACB ，∴ ∠ABE=∠ACB . ∵ BC 为直径，∴∠BAC=90°，AH ⊥BC ，∴∠BAE=∠ACB ，∴∠ABE=∠BAE ， ∴ AE=BE . (2) 设DE=x(x>0)，由AD=6，BE EF=32，AE EH=BE EF ， 有(6-x)(6+x)=32，由此解得x=2， 即DE 的长为2 .
9、解（1）∵AB 为直径，CE ⊥AB ∴?
AC ＝?
AE ，CG ＝EG 在Rt △COG 中，
∵OG ＝
2
1OC
∴∠OCG ＝300
，∠COA ＝600
又∵∠CDE 的度数
＝
2
1弧CAE 的度数
＝?
AC 的度数
＝∠COA 的度数＝600
∴∠FDM ＝1800－∠CDE ＝1200
（2）证明：
∵∠COM ＝1800－∠COA ＝1200
∴∠COM ＝∠FDM
在Rt △CGM 和Rt △EGM 中
∵??
?==EG
CG GM GM ∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ∴∠GMC ＝∠GME
又∠DMF ＝∠GME ∴∠OMC ＝∠DMF ∴△FDM ∽△COM （3）解：结论仍成立。
∵∠FDM ＝1800
－∠CDE ∴∠CDE 的度数＝
2
1弧CAE 的度数＝?
AC 的度数＝∠COA 的度数
∴∠FDM ＝1800
－∠COA ＝∠COM
∵AB 为直径，CE ⊥AB ； ∴在Rt △CGM 和Rt △EGM 中
∵?
??==EG CG GM GM
∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ∴∠GMC ＝∠GME ∴△FDM ∽△COM
10.（1）重叠部分的面积等于2
3cm （2）等边三角形的边长a 至少为10cm （3）等边三角形的边长为cm )221(+ 11（1）证明：（1）∵ABC ?是等边三角形， ∴ ?=∠=∠60BAC BCA ， ∵ DF ∥AC ，∴，?=∠=∠60BAC D ?=∠=∠60D BEF 又 ∵ ，?=∠=∠60BCA BFE ∴BEF ?是等边三角形．
（2） 62=BF
12.（1）连结AD,由切割线定理可知，
215
=
∴OB 而△PDA ∽△PAB
∴
25
10==
=
PB
PA AB
AD
在Rt △BDA 中，222AD AB BD += 即152
22
)2(AB AB += ∴53=AB 即AC=53
13、证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，DE ⊥AB
∴∠ACB ＝∠BEG ＝∠AEF ＝90
∴∠G ＋∠B ＝∠A ＋∠B ＝900
即∠G ＝∠A
∴Rt △AEF ∽Rt △GEB ∴
BE
EG EF
AE =
，即EG EF BE AE ?=?
（2）∵DE ⊥AB
∴DE ＝EM ＝4
连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，BD ⊥BC
∴∠ACB ＝∠ADB ＝∠DBC ＝900 ∴∠DAF ＝900
由Rt △AEF ∽Rt △ADE 可得EF DE AE ?=2
∴22=AE 由相交弦定理可得BE AE EM DE ?=? ∴EM DE EG EF ?=? ∴82
44=?=
?=EF
EM DE EG ∴MG ＝EG －EM ＝8－4＝4.
教学反思 课后作业
学生对于本次课评价：
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P
B
O
D
2
中考数学复习几何压轴题 1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ； (2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值. 图① 图② 答 案 ： 1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴AC DC BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC C D BC C E '='． ∵ D C E ECD ' '∠=∠,∴ , E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即 D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '?∽D AC '?.∴4 5 ==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE = 2 1 BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大， ∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大． O D E'O E' A D
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析（三） 例题如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE． （1）填空：点D的坐标为，点E的坐标为． （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式． （3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动． ①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标． 思路分析： （1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）本问非常复杂，须小心思考与计算： ①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考； ②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标． 解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1． 如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G． 易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）； 同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）． ∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）． （2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2）， 则 解得
1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的
等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F
解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1
中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
几何图形变换压轴题中考整理 1（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________； （3）在（2）的条件下，若AG＝2 5，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别 3，求线段PQ的长． 与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝ 2 （湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论． （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测 量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长 线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AP ＜ 2 1 （AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥ 2 1 DE ． 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－ 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F )
2020年全国各地中考数学压轴题汇编（贵州专版） 几何综合 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2020?贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（） A．24 B．18 C．12 D．9 解：∵E是AC中点， ∵EF∥BC，交AB于点F， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=BC， ∴BC=6， ∴菱形ABCD的周长是4×6=24． 故选：A． 2．（2020?遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（） A．10 B．12 C．16 D．18 解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ， ∴S △DFP =S△PBE=×2×8=8， ∴S 阴=8+ 8=16， 故选：C． 3．（2020?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（） A．B．1 C．D． 解：连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 4．（2020?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）
第三课时 几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320 ,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接 AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为 m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值. （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程 中，设A ′F ′所在的直线与直线 AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由 . 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD = ，由勾股定理得：BD === ． ∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ， ∴AE===4． 在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得： BE=3．（2）设平移中的三角形为△ A ′ B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠ 1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3． ①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠3=∠4，∴∠3=∠2， ∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3； ②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ， ∴△B ′F ′D 为等腰三角形， ∴B ′D=B ′F ′=3， ∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=． （3）存在．理由如下：
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2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
中考数学压轴题(几何综合题） 1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值； （2）当a＝1 2 时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米， ∴EC＝(4－2a ) 厘米． ∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC = ∴422 64 a - =．∴ 1 2 a=． （2）由题意，AE＝1 2 t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米． ∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE CD AC =， 1 2 34 t EG =．∴EG＝ 3 8 t． ∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF． 当0≤t＜3时，3 3 8 t t =-， 24 11 t=． 当3＜t≤6时，3 3 8 t t=-， 24 5 t=． 综上 24 11 t=或 24 5 （3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD AG＝5 2 t厘米，EG＝ 3 2 t，DF＝3－t厘米，DG＝5－ 5 2 t（厘米）． G D B A C F E （第27题） D B A C 备用图 图1
圆的综合大题 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP． （1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．
3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． （1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）与是否相等？请你说明理由； （3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考） 4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F． （I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小； （II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．
5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF． （1）求证：∠ACD＝∠F； （2）若tan∠F＝ ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长． 6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个
近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①
中考数学几何专题知识点总结78点中考数学 几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
2018年全国各地中考数学压轴题汇编（广西专版） 几何综合 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2018?广西）如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（） A．B．C．2D．2 解：过A作AD⊥BC于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°， ∵AD⊥BC， ∴BD=CD=1，AD=BD=， ∴△ABC的面积为=， S扇形BAC==π， ∴莱洛三角形的面积S=3×π﹣2×=2π﹣2， 故选：D． 2．（2018?桂林）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△
ABF，连接EF，则线段EF的长为（） A．3 B．C．D． 解：如图，连接BM． ∵△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称， ∴AE=AD，∠MAD=∠MAE． ∵△ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF， ∴AF=AM，∠FAB=∠MAD． ∴∠FAB=∠MAE ∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠MAE． ∴∠FAE=∠MAB． ∴△FAE≌△MAB（SAS）． ∴EF=BM． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD=AB=3． ∵DM=1， ∴CM=2． ∴在Rt△BCM中，BM==， ∴EF=， 故选：C． 解法二：如图，过E作HG∥AD，交AB于H，交CD于G，作EN⊥BC于N，则∠AHG=∠MGE=90°， 由折叠可得，∠AEM=∠D=90°，AE=AD=3，DM=EM=1， ∴∠AEH+∠MEG=EMG+∠MEG=90°， ∴∠AEH=∠EMG， ∴△AEH∽△EMG，
2015年中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题 7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题 13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题 38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50 第十讲中考压轴题十大类型之圆 56 第十一讲中考压轴题综合训练一 62 第十二讲中考压轴题综合训练二 68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题． 1. （2008河北）如图，在Rt ABC △中，∠C=90°，AB =50，AC =30， D ， E ， F 分别是AC ，AB ， B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线B C -CA 于 点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ； （2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由； （3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值． 2. （2011山西太原）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为(8，0)，点B 的坐标为(11，4)，动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动，过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒(0t >)，△MPQ 的面积为S ． （1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________． （2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围． （3）试求题(2)中当t 为何值时，S 的值最大，并求出S 的最大值． （4）随着P 、Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？请直接写出t 的值． 3. （的B 备用图 F E D C B A
中考数学压轴题专题十动态几何问题 试题特点 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形等）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变” 、“一般” 与“特殊”的辩证思想．其主要类型有：1．点的运动（单点运动、多点运动）；2．线段 （直线）的运动；3．图形的运动（三角形运动、四边形运动、圆运动等）． 方式趋势 动态几何题已成为中考试题的一大热点题型．在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，总体呈现源于教材、高于教材，入口宽、难易适度、梯度分明，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力． 热点解析 一、点的运动 4 【题1】（2011 盐城）如图1，已知一次函数y＝－x＋7 与正比例函数y＝x 的图象3 交于点A ，且与x 轴交于点B． （1）求点A 和点B 的坐标； （2）过点A 作AC⊥y轴于点C，过点B 作直线l∥y 轴，动点P 从点O 出发，以每秒1 个单位长的速度，沿O－C－A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R，交线 段BA 或线段AO 于点Q．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运 动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒． ①当t 为何值时，以A、P、R 为顶点的三角形的面积为8? ②是否存在以A 、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请说明 理由． 求t 的值；若不存在， 4 【思路】（1）联立方程y＝－x＋7 和y＝3x 即可求出点A 的坐标，令－x＋7＝0 即 3 可得点B 的坐标． （2）①只要把三角形的面积用t 表示，求出即可．应注意分P 在OC 上运动和P 在CA