A ．sin cos A A >
B ．sin cos B A >
C ．sin cos A B >
D ．sin cos B B >
5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ ） A ．090 B ．060 C ．0120 D ．0150
6．在△ABC 中，若2
2tan tan b
a B
A =，则△ABC 的形状是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰或直角三角形
C ．不能确定
D ．等腰三角形
二、填空题
1．在△ABC 中，若,sin sin B A >则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错） 2．在△ABC 中，若,1cos cos cos 222=++C B A 则△ABC 的形状是______________。 3．在△ABC 中，∠C 是钝角，设,cos cos ,sin sin ,sin B A z B A y C x +=+==
则z y x ,,的大小关系是___________________________。 4．在△ABC 中，若b c a 2=+，则=+
-+C A C A C A sin sin 3
1cos cos cos cos ______。
5．在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。 6．在△ABC 中，若ac b =2
，则B B C A 2cos cos )cos(++-的值是_________。
三、解答题
1．在△ABC 中，若)sin()()sin()(2
222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状。
2． 如果△ABC 内接于半径为R 的圆，且,sin )2()sin
(sin
22
2
B b a
C A R -=-
求△ABC 的面积的最大值。
3． 已知△ABC 的三边c b a >>且2
,2π
=-=+C A b c a ，求::a b c
4．在△ABC 中，若()()3a b c a b c ac ++-+=，且tan tan 33A C +=+
，A B 边上的高为43，求角,,A B C 的
大小与边,,a b c 的长
[基础训练A 组]
一、选择题
1.C
tan 30,tan 3023,244,23b b a c b c b a
=====-=
2.A 0,sin 0A A π<<>
3.C cos sin()sin ,
,2
2
A A
B A B π
π
=->-都是锐角，则
,,2
2
2
A B A B C π
π
π
->+<
>
4.D 作出图形
5.D 012sin ,sin 2sin sin ,sin ,302
b a B B A B A A ===
=或0
150
6.B 设中间角为θ，则2
2
2
0000
5871cos ,60,180********
2
θθ+-==
=-=??为所求
二、填空题
1.
12
11sin sin sin cos sin 22
2
A B A A A ==
≤
2.0
120 2
2
2
1c o s ,120
22
b c a
A A bc
+-=
=-
= 3.26-
00
sin 6215,
,4sin 4sin 154sin sin sin 4
a b b A A a A A
B
B
-==
=
===?
4. 0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，
令7,8,13a k b k c k === 2
2
2
1cos ,12022
a b c
C C ab
+-=
=-
=
5. 4 ,,sin sin sin sin sin sin A C B C A B
A C
B C
A B B
A
C B A
C
+==
=
+A C B C + 2(62)(sin sin )4(62)sin cos
2
2
A B A B A B +-=-+=-
m ax 4cos
4,()42
A B A C B C -=≤+=
三、解答题
1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=
sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2
A π
=
或2
B π
=
所以△ABC 是直角三角形。
2. 证明：将ac
b
c a B 2cos 2
22-+=
，bc
a
c b A 2cos 2
22-+=
代入右边
得右边222
222
22
22(
)222a c b
b c a
a b c abc
abc
ab
+-+--=-
=
2
2
a b a b ab
b
a
-=
=
-
=左边，
∴)cos cos (
a
A b
B c a
b b
a -
=-
3．证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2
A B π
+>即
02
2
A B π
π
>>
->
∴sin sin(
)2
A B π
>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++
4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin
cos
4sin
cos
2
2
22
A C A C
B B +-=，
∴13sin cos 2
2
24
B A
C -==，而0,2
2
B π
<<
∴13cos
2
4
B =
，
∴313sin 2sin
cos 22
2
4
4
B B B ==?
?
=
8
39
[综合训练B 组]
一、选择题
1.C 132,,,::sin :sin :sin :
:
1:3:26
3
2
2
2
2
A B C a b c A B C π
π
π
=
=
=
==
=
2.A ,A B A B ππ+<<-，且,A B π-都是锐角，sin sin()sin A B B π<-=
3.D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B ===
4.D sin sin lg
lg 2,
2,sin 2cos sin cos sin cos sin A A A B C B C
B C
===
sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-= sin()0,B C B C -==，等腰三角形
5.B 22
()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=
2
2
2
222
13,c o s ,60
22
b c a
b c a bc A
A bc
+-+-===
= 6.C 222
2cos 9,3c a b ab C c =+-==，B 为最大角，1cos 7
B =-
7.D 2cos sin sin sin 22tan
2
sin sin 2sin
cos
2
2
A B A B A B a b A B A B A B a b
A B
+----=
=
=+-++，
tan
2tan
,tan 022tan
2
A B
A B
A B A B ---=
=+，或tan 12A B += 所以A B =或2A B π
+=
二、填空题
1.
3
392
2
113s i n 3,4,13,13
2
2
2
ABC S bc A c c a a ?=
=
?
===
=
132
39
s i n s i n s i n
s i n 3
3
2
a b c a
A B C A ++=
==+
+
2.> ,2
2
A B A B π
π
+>
>
-，即sin(
)
2
tan tan(
)2
cos(
)
2
B A B B πππ->-=
- cos 1sin tan B B
B =
=
，1tan ,tan tan 1tan A A B B
>
>
3. 2 s i n s i n t a n t a n c o s c o s
B C B C B
C +=
+
s i n c o s c o s s i n s i n ()
2s i n
1c o s c o s
s i n
s i n 2B
C B C B C A B
C A A
+++=
=
=
4. 锐角三角形 C 为最大角，cos 0,C C >为锐角
5. 060 222
84
3
233114cos 22
6222(31)
222b c a
A bc
++-+-+=
=
=
=
+?
?+?
6．(5,13) 222222222
222213,49,513,51394a b c c a c b c c c c b a c ??+>>??+>+><<<<
????+>+>??
三、解答题
1.解：1sin 3,4,2
A B C S bc A bc ?=
=
=
2
2
2
2c o s ,5a b c b A b c =+-+=，而c b >
所以4,1==c b
2. 证明：∵△ABC 是锐角三角形，∴,2
A B π
+>即
02
2
A B π
π
>>
->
∴sin sin(
)2
A B π
>-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A >
∴sin sin sin sin sin sin cos cos cos ,1cos cos cos A B C A B C A B C A B C >>
∴1tan tan tan >??C B A
3. 证明：∵sin sin sin 2sin cos sin()2
2
A B A B A B C A B +-++=++
2s i n
c o s 2s i n
c o s 2222A B
A B A B A B +-++=+
2s i n
(c o s c o s )
2
2
2
A B
A B A B +-+=+
2c o s 2c o s
c o s 2
22C
A B =?
4c o s
c o s c o s 2
2
2
A B C = ∴2
cos
2
cos
2
cos
4sin sin sin C B A C B A =++
4．证明：要证1=+++c
a b c
b a ，只要证
2
2
2
1a ac b bc ab bc ac c
+++=+++，
即222a b c ab +-=
而∵0120,A B +=∴060C =
2
2
2
2220
cos ,2cos 602a b c
C a b c ab ab ab
+-=+-==
∴原式成立。
5．证明：∵2
2
3cos
cos
2
2
2
C
A b a c +=
∴1cos 1cos 3sin sin sin 2
2
2
C
A
B A
C ++?
+?
=
即sin sin cos sin sin cos 3sin A A C C C A B +++= ∴sin sin sin()3sin A C A C B +++=
即sin sin 2sin A C B +=，∴2a c b
+=
[提高训练C 组]
一、选择题
1.C sin cos 2sin(),4
A A A π
+=
+
而520,
sin()14
4
4
2
4
A A A π
π
ππ
π<<<+
<
?-
<+
≤
2.B
sin sin sin sin sin a b A B
A B c
C ++=
=+
2s i n c o s 2c o s 2
2
2A B
A B A B +--==
3.D 0
11cos ,60,sin 632
2
A B C A A S bc A =
==
=
4.D 090A B +=则sin cos ,sin cos A B B A ==，00045,A << s i n c o s A A <
，004590,sin cos B B B <<>
5.C 2222220
1,,cos ,1202
a c
b b
c b c a bc A A -=++-=-=-
=
6.B 2
2
sin cos sin cos sin ,,sin cos sin cos cos sin sin cos sin A B A B A
A A
B B A B B A B
?=== s i n 2s i n 2,2222A B A B A B π==+=或
二、填空题
1. 对 ,s i n s i n B A >则22a b a b A B R
R
>?>?> 2. 直角三角形
2
1(1c o s 21
c o s 2)
c o s ()1,
2
A B A B +++++= 2
1(cos 2cos 2)cos ()0,2
A B A B +++=
2
cos()cos()cos ()0A B A B A B +-++=
cos cos cos 0A B C =
3. z y x << ,,s i n c o s ,s i n c o s ,
22
A B A B A
B B A y z ππ
+<<-<<< ,s i n s i n s i n ,,c a b C A B x y x y z
<+<+<<< 4．1 s i n s i n 2s i n
,2s i n c o s 4s i n c o s
222
2
A C A C A C
A C
A C
B +-+++
=
= cos 2cos ,cos cos 3sin sin 222222A C A C A C A C -+==
则2
2
1
sin sin 4sin
sin
3
2
2
A C A C =
1cos cos cos cos sin sin 3
A C A C A C +-+
2
2
(1cos )(1cos )14sin sin
2
2
A C A C =---++
2
2
2
2
2sin
2sin
4sin
sin
112
2
2
2
A C A C =-?++=
5. )2
,3[
π
π 2
tan tan tan tan tan ,tan tan()tan tan 1
A C
B A
C B A C A C +==-+=
-
2
t a n t a n
t a n t a n ()t a n 1
A C
B A
C B +=-
+=- 3
tan tan tan tan 2tan tan 2tan B B A C A C B -=+≥= 3
tan 3tan ,tan 0tan 33
B B B B B π
≥>?≥
?≥
6．1 2
2,sin sin sin ,b ac B A C ==B B C A 2c o s c o s )c o s (++-
2
cos cos sin sin cos 12sin A C A C B B =+++-
cos cos sin sin cos 12sin sin A C A C B A C =+++- cos cos sin sin cos 1A C A C B =-++
cos()cos 11A C B =+++=
三、解答题
1. 解：2
2
2
2
2222
sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b
A B a A B A
a b A B b A B B
++===--
c o s s i n ,s i n 2s i n 2,222c o s s i n
B A A B A B A B A
B π=
==+=或2
∴等腰或直角三角形
2. 解：2sin sin 2sin sin (2)sin ,R A A R C C a b B ?-?=-
2
2
2
sin sin (2)sin ,2,a A c C a b B a c ab b -=--=
-
222
222
22,cos ,45
22
a b c
a b c ab C C ab
+-+-==
=
=
2
2
2
2,2sin 2,22,sin c R c R C R a b R ab C
===+-=
2
2
22
2222,22
R R ab a b ab ab +=+≥≤
-
2
1222sin ,2
4
4
22
R S ab C ab =
=
≤
?
-
2
max 2
12R S +=
另法：122sin 2sin 2sin 2
4
4
S ab C ab R A R B =
=
=
??
2
22sin 2sin 2sin sin 4
R A R B R A B =
??=
2
12[cos()cos()]2
R A B A B =?
?--+
2
2
122[cos()]
2
2
22(1)
2
2R A B R =??-+
≤
?+
2
m ax 212
S R +∴=
此时A B =取得等号
3. 解：sin sin 2sin ,2sin
cos 4sin cos 2
2
2
2
A C A C A C A C A C
B +-+++==
12147sin cos ,cos
,sin 2sin
cos
2
2
2
4
2
4
2
2
4
B A
C B B B B -===
==
3,,,2
4
2
4
2
B B A
C A C B A C π
ππ
π-=
+=-=
-
=
-
33371sin sin(
)sin
cos cos
sin 4
4
4
4
A B B B πππ+=-=-=
71sin sin(
)sin
cos cos
sin 4
4
4
4C B B B π
π
π
-=-=-=
::sin :sin :sin a b c A B C ==)77(:7:)77(-
+
4. 解：2220
1()()3,,cos ,602
a b c a b c ac a c b ac B B ++-+=+-==
=
t a n t a n 33
t a n ()
,3
,
1t a n t a n
1
t a n t a n
A C A C A C A C +++=-=--
t a n t a n 2
3A C =
+，联合
tan tan 33A C +=+
得tan 1
tan 23
tan 1
tan 23A A C C =??=+
???
?==+????或，即0
7545
45
75
A A C C ??==????==????或
当0075,45A C ==时，434(326),8(31),8sin b c a A =
=-=-=
当0045,75A C ==时，4346,4(31),8sin b c a A
=
==+=
∴当00075,60,45A B C ===时，8,4(326),8(31),a b c ==-
=-
当00045,60,75A B C ===时，8,46,4(31)a b c ===+。
高中数学必修五 知识点总结【经典】
《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=
（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.
高中数学三角函数、解三角形知识点
三角函数、解三角形 1.弧长公式：r l α= 扇形面积公式：22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式： 平方关系：1cos sin 2 2 =+αα 商数关系：sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式（把角写成απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式： βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如： x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径） 8.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，2 2 2 2cos b a c ac =+-B ，2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=．
解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A
高中数学的必修五解三角形知识点归纳
解三角形 一.三角形中的基本关系： (1)sin()sin ,A B C += cos()cos ,A B C +=- tan()tan ,A B C +=- (2)sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== (3)a>b 则Ａ＞Ｂ则sinA>sinB,反之也成立 二.正弦定理： 2sin sin sin a b c R C ===A B ．R 为C ?AB 的外接圆的半径） 正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边求其他的两边及一角. ②已知两边和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、无解）) 三．余弦定理： 222 2cos a b c bc =+-A 222 2cos b a c ac =+-B 222 2cos c a b ab C =+-． 注意：经常与完全平方公式与均值不等式联系 推论： 222 cos 2b c a bc +-A = 222 cos 2a c b ac +-B = 2 2 2 cos 2a b c C ab +-= ．
最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若2 2 2 a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系 （１）平方关系：ｓｉｎ2α＋ｃｏｓ2α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：α α ααααsin cos cot ,cos sin tan ==
高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题
第一章 解三角形 1、正弦定理： 在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有： 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。 2、已知两角和一边，求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当ab 时，B 有一解
注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ， 2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,
必修5-解三角形知识点归纳总结
第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形： 1）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 2）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 3）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 4）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正 弦定理C A c a sin sin =求出c 边 二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21 sin 21sin 21===? 2. r c b a S ABC )(2 1 ++=?,其中r 是三角形内切圆半径. 3. ))()((c p b p a p p S ABC ---=?, 其中)(2 1 c b a p ++=, 4. R abc S ABC 4=?,R 为外接圆半径 5.C B A R S ABC sin sin sin 22=?,R 为外接圆半径
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
三角函数及解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义： 设〉是任意一个角，p （x, y ）是〉的终 边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin ： cos ： tan ： 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式（把角写成2 …形式，利用口诀：奇变偶不变，符 （2）商数关 系： tan-E 屮一、 cos 。（用于切化弦） （1）平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点
5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限） sin （2k .亠 x ） = sin x cos （2k ■亠 x ） = cosx ［）tan （2k ，亠 x ）二 tanx sin （ -x ） - - sin x cos （-x ） =cosx H ）tan （-x ） - - tanx m ） |sin （，亠 x ） = -sin x cos （m ） = - cosx tan （二 x ） IV ） Sin （兀 _x ） =sin x cos （兀—x ） = —cosx tan （兀一 sin （— -〉）= cos ..z sin （二：）=cos ： V ） -?） = sin :
高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳与测试卷.doc
第十二讲 解三角形 1 、三角形三角关系： A+B+C=180 °； C=180 °— (A+B) ； 3 、三角形中的基本关系： sin( A B) sin C , cos( A B) cosC , tan(A B) tanC , sin A B cos C ,cos A B sin C , tan A B cot C 2 2 2 2 2 2 4 、正弦定理：在 C 中， a 、 b 、 c 分别为角 、 、 C 的对边， R 为 C 的外接圆的半 径，则有 a b c 2R ． sin sin C sin 5 、正弦定理的变形公式： ①化角为边： a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2R sin C ； ②化边为角： sin a ， sin b c ； ， sin C 2R 2R 2R ③ a : b: c sin :sin :sin C ；④ a b c a b c ． sin sin sin C sin sin sin C 7 、余弦定理：在 C 中，有 a 2 2 c 2 2bc cos 等，变形： cos b 2 c 2 a 2 b 等， 2bc 8 、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9 、三角形面积公式： 1 1 1 S C bc sin ab sin Cac sin ． 2 2 2 10 、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形 式或角的形式设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则： ①若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；②若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ；③若 a 2 b 2 c 2 ，则 C 90o ． 11 、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点
必修5-解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B ． 2）化边为角： C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a =;sin sin C B c b =;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边：R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin = == 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b =;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正 弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b <三角函数与解三角形知识点总结
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(
三角函数及解三角形知识点总结
三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(
解三角形知识点归纳总结归纳
欢迎阅读 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 4. ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b <三角函数及解三角形知识点
三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．
必修5_解三角形知识点归纳总结
z 第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解；③b a A b <高中数学必修五--第一章---解三角形知识点归纳
- 1 - 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。
高中数学必修五解三角形知识点
必修五不等式 1、0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b -?<； ②,a b b c a c >>?>； ③a b a c b c >?+>+； ④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>； ⑦()0,1n n a b a b n n >>?>∈N >； ⑧)0,1a b n n >>?>∈N >． 小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。 在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。 3、一元二次不等式解法： （1）化成标准式：2 0,(0)ax bx c a ++>>；（2）求出对应的一元二次方程的根； （3）画出对应的二次函数的图象； （4）根据不等号方向取出相应的解集。 线性规划问题： 1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解 2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 3．解线性规划实际问题的步骤： （1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值； （4）验证。 两类主要的目标函数的几何意义: ①z ax by =+-----直线的截距；②22()()z x a y b =-+------两点的距离或圆的半径； 4、均值定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b +≥． ()20,02a b ab a b +??≤>> ???； 2a b +称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 5、均值定理的应用：设x 、y 都为正数，则有 ⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ． ⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值． 注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。
解三角形知识点复习
解三角形 一、基础知识 1、相关三角函数公式 （1）两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ± （2）二倍角的正弦、余弦、正切公式 αααcos sin 22sin = ααα22sin cos 2cos -=22cos 1α=-212sin α=- α α α2tan 1tan 22tan -= (3)降次公式 221cos 21cos 2sin ,cos .22 αα αα-+= = 21cos 2tan 1cos 2ααα-= +. (4）辅助角公式 )sin(cos sin 22?ααα++=+b a b a 其中 cos tan b a ???= = = 2、三角形相关定理、公式 （1）正弦定理 a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC ＝2R (2R 为三角形外接圆的直径) 变形:①a :b:c ＝sinA:sinB:sinC ②a ＝2RsinA b ＝2RsinB c ＝2RsinC ③sinA ＝a 2R sinB ＝b 2R sinC ＝c 2R （2）余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bccosA b 2＝a 2＋c 2－2a ccosB c 2＝a 2＋b 2－2a bcosC 变形:①b 2＋c 2－a 2＝2bccosA a 2＋c 2－b 2＝2a ccosB a 2＋b 2－c 2＝2a bcosC ②cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac cosC ＝a 2＋b 2－c 2 2ab ③sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sinBsinCcosA (正余弦定理相结合)
