回归分析的基本思想及其初步应用（一）
【学习要求】
1．了解随机误差、残差、残差图的概念．
2．会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果． 3．掌握建立线性回归模型的步骤．
【学法指导】
通过对典型案例的讨论，了解回归分析的基本思路、方法及其初步应用．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．学习中应该通过生活中详实事例理解回归分析的方法，其步骤为通过散点图，直观地了解两个变量的关系，然后，通过最小二乘法建立回归模型，最后通过分析残差、相关指数等，评价模型的好坏．重点是了解回归分析的思想方法，对其理论基础不做要求，避免单纯记忆和机械套用公式进行计算.
【知识要点】
1．线性回归模型
（1）函数关系是一种 关系，而相关关系是一种 关系．
（2）回归分析是对具有 关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
（3）对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，回归直线的斜率和截距的最小二乘
估计公式分别为b ^
＝ ＝
∑n
i ＝1
x i y i －n x y
∑n
i ＝1
x 2i －n x
2
，a ^
＝ ，其中 称为样本点的中心．
（4）线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e ，其中a 和b 是模型的未知参数，e 称为 ，自变量x 称为 ，
因变量y 称为 ． 2．残差的概念
对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )而言，它们的随机误差为e i ＝ ，i ＝1,2，…，n ，
其估计值为e ^
i ＝ ＝ ，i ＝1,2，…，n ，e ^
i 称为相应于点(x i ，y i )的 ．
3．刻画回归效果的方式 （1）残差图法
作图时 为残差， 可以选为的样本编号，或身高数据，或体重的估计值等，这样作出的图形称为残差图．在残差图中，残差点 地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度 ，说明模型拟合精度越高． （2）残差平方和法
残差平方和∑n
i ＝1
(y i －y ^
i )2，残差平方和 ，模型拟合效果越好．
（3）利用R 2刻画回归效果
R 2＝ ；R 2表示 变量对于 变量变化的贡献率．R 2越接近于 ，表示回归的效果越好.
【问题探究】
[课堂导入] “名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？
探究点一 线性回归方程
问题1 两个变量之间的关系分几类？ 问题2 什么叫回归分析？
问题3 对具有线性相关关系的两个变量进行回归分析有哪几个步骤？
例1
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172 cm 的女大学生的体重．
思考 根据前面得到的回归方程，能否预测一名美国女大学生的体重？建立回归模型后能否一劳永逸，在若干年后还可以使用，或者适用于多年以前的女大学生体重预测？ 小结 在使用回归方程进行预报时要注意：
（1）回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； （2）我们建立的回归方程一般都有时间性；
（3）样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；
（4）不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值． 跟踪训练1 某班5名学生的数学和物理成绩如表：
（1（2）求物理成绩y 对数学成绩x 的回归方程；
（3）一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 探究点二 线性回归分析
问题1 利用求得的回归方程进行预报，为什么得到的预报值和实际值并不相同？ 问题2 给出两个变量的回归方程，怎样判断拟合效果的好坏？ 问题3 如果R 2≈0.64，表示什么意义？
例2 某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：
（1）作出散点图； （2）求出回归方程； （3）作出残差图；
（4）计算相关指数R 2；
（5）试预测该运动员训练47次及55次的成绩．
小结 解答本类题目应先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求回归方程的公式求解回归方程，并利用残差图或相关指数R 2来分析函数模型的拟合效果，在此基础上，借助回归方程对实际问题进行分析．
跟踪训练2 假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：
（1）以x 为解释变量，y 为预报变量，作出散点图；
（2）求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗； （3）计算各组残差，并计算残差平方和；
（4）求相关指数R 2，并说明残差变量对有效穗的影响占百分之几？
【当堂检测】
1．下列各组变量之间具有线性相关关系的是 ( )
A ．出租车费与行驶的里程
B ．学习成绩与学生身高
C ．身高与体重
D ．铁的体积与质量
2．若劳动生产率x (千元)与月工资y (元)之间的线性回归方程为y ^
＝50＋80x ，则下列判断正确的是 ( ) A ．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元
B ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元
C ．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元
D ．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元
3．实验测得四组(x ，y )的值是(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 对x 的线性回归方程是( )
A ．y ^
＝x ＋1 B ．y ^
＝x ＋2 C ．y ^
＝2x ＋1 D ．y ^
＝x －1
4．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( )
A ．y ^
＝1.23x ＋4 B ．y ^
＝1.23x ＋5 C ．y ^
＝1.23x ＋0.08 D ．y ^
＝0.08x ＋1.23
【课堂小结】
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；
（2）画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；
（3）由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
)；
（4）按一定规则估计回归方程中的参数；
（5）提出结果后分析残差图是否有异常(个别数据对应的残差过大，或残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误或模型是否合适等.
【课后作业】
一、基础过关
1．在下列各量之间，存在相关关系的是
( )
①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系； ⑤某户家庭用电量与电价之间的关系． A ．②③
B ．③④
C ．④⑤
D ．②③④
2．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是 ( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y ) C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 3．某产品的广告费用x
根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 ( ) A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑n
i ＝
1 (y i －y ^
i )2
如下表
哪位同学的实验结果体现拟合A ，B 两变量关系的模型拟合精度高？
( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel 软件计算得y ^
＝0.577x －0.448(x 为人的年龄，y (单位：%)为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是 ( )
A ．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90% B
．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为21.01% C ．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90% D ．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为31.50% 6．下表是x 和y 之间的一组数据，则
( )
A ．点(2,3)
B ．点(1.5,4)
C ．点(2.5,4)
D ．点(2.5,5)
二、能力提升
7．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈________，表明“气温解释了85%的热茶销售杯数变化”或者说“热茶销售杯数差异有85%是由气温引起的”．
8．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据已求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．
9．一组观察值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝a ＋bx i ＋e i (i ＝1,2，…，n )，若e i 恒为0，则R 2
为________．
10．如图是x 和y 的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关指数最大．
11
若加工时间y 与零件个数x 之间有较好的相关关系．
（1）求加工时间与零件个数的回归方程； （2）试预报加工10个零件需要的时间．
12．在一段时间内，分5
已知∑5
i ＝1
x i y i ＝
62，∑5
i ＝
1
x 2
i ＝16.6. （1）画出散点图；
（2）求出y 对x 的回归方程；
（3）如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．
三、探究与拓展
13．关于x 与y 有如下数据：
有如下的两个线性模型：
①y ^
＝6.5x ＋17.5； ②y ^
＝7x ＋17. 试比较哪一个模型拟合的效果更好．
回归分析的基本思想及其初步应用（二） 【学习要求】
1．进一步体会回归分析的基本思想．
2．通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．
【学法指导】
两个具有相关关系的变量不一定都呈现线性相关关系，我们可以通过散点图确定回归模型，并从变换后数据的散点图、残差平方和、相关指数等方面比较模型的拟合效果．通过将非线性模型转化为线性回归模型，体会“转化”的思想，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用.
【知识要点】
1．如果两个变量不呈现线性相关关系，常见的两个变量间的关系还有指数关系、二次函数关系．
2．两个变量间的非线性关系可以通过对解释变量的变换(对数变换、平方变换等)转化为另外两个变量的 关系．
3．比较不同模型的拟合效果，可以通过 的大小，
的大小.
【问题探究】
探究点一 非线性回归模型
问题1 有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？ 问题2 如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？ 例1
小结 根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y ＝c 1e 的周围，其中c 1和
c 2是待定参数；可以通过对x 进行对数变换，转化为线性相关关系．
跟踪训练1 在彩色显影中，由经验知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式y ＝A e (b <0)表
试求y
探究点二 非线性回归分析
问题1 对于两个变量间的相关关系，是否只有唯一一种回归模型来拟合它们间的相关关系？ 问题2 对同一个问题建立的两种不同回归模型，怎样比较它们的拟合效果？ 例（（2）描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系；
（3）计算相关指数．
小结 研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模
型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残差e ^
1，e ^
2，…，e ^
n 来判断原始数据中是否存在可疑数据，用R 2来刻画模型拟合的效果．
跟踪训练2 对两个变量x ，y 取得4组数据(1,1)，(2，1.2)，(3,1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲y ＝0.1x ＋1，乙y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，丙y ＝－0.8·0.5x ＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．
【当堂检测】
1．散点图在回归分析中的作用是 ( ) A ．查找个体个数 B ．比较个体数据大小关系 C ．探究个体分类 D ．粗略判断变量是否相关
2．变量x ，y 的散点图如图所示，那么x ，y 之间的样本相关系数r 最接近的值为 (
)
A ．1
B ．－0.5
C ．0
D ．0.5 3．变量x 与y 之间的回归方程表示 ( ) A ．x 与y 之间的函数关系 B ．x 与y 之间的不确定性关系
C ．x 与y 之间的真实关系形式
D ．x 与y 之间的真实关系达到最大限度的吻合 4．非线性回归分析的解题思路是______________________
【课堂小结】
非线性回归问题的处理方法
（1）指数函数型y ＝e bx ＋
a
①函数y ＝e bx ＋
a 的图象：
②处理方法：两边取对数得ln y ＝ln e bx ＋
a ，即ln y ＝bx ＋a .令z ＝ln y ，把原始数据(x ，y )转化为(x ，z )，再根据线性回归模型的方法求出
b ，a .
【课后作业】
一、基础过关 1．下列说法正确的是
( )
①线性回归方程适用于一切样本和总体；②线性回归方程一般都有时间性； ③样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围； ④根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．
A ．①③④
B ．②③
C ．①②
D ．③④
2．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样
本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝1
2
x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 ( )
A ．－1
B ．0
C ．1
2 D ．1
3
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是 ( )
A ．y ＝2x －2
B ．y ＝(12)x
C ．y ＝log 2x
D ．y ＝1
2
(x 2－1)
4．某地财政收入x 与支出y 满足回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0.8，a ＝2，|e |<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过
( ) A ．10亿 B ．9亿 C ．10.5亿
D ．9.5亿
5．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ②相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好． 其中正确命题的个数是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、能力提升
6．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知在两个人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值恰好相等，都为s ，对变量y 的观测数据的平均值也恰好相等，都为t .那么下列说法正确的是 ( ) A ．直线l 1和l 2有交点(s ，t ) B ．直线l 1和l 2相交，但是交点未必是点(s ，t ) C ．直线l 1和l 2由于斜率相等，所以必定平行 D ．直线l 1和l 2必定重合
7．研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X )及其母亲的不耐心程度(Y )进行了评价结果如下，家庭1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.
下列哪个方程可以较恰当的拟合
( )
A ．y ^ ＝0.771 1x ＋26.528
B ．y ^ ＝36.958ln x －74.604
C ．y ^
＝1.177 8x 1.014 5 D ．y ^
＝20.924e0.019 3x
8．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为______，残差平方和为_______，相关指数为________． 9．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝e bx
＋a
的周围，令z ＝ln
y ，求得线性回归方程为z ^
＝0.25x －2.58，则该模型的回归方程为________．
10．某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测
值，计算得：∑8
i ＝1x i ＝52，∑8
i ＝1y i ＝228，∑8
i ＝1x 2
i ＝478，∑8
i ＝1
x i y i ＝1 849，则
y 与x 的线性回归方程是________________．
11．某种产品的广告费支出x (
（1）画出散点图；
（2）求y 关于x 的线性回归方程.
12
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程y ＝b x ＋a ； （2）利用（1）中所求出的线性回归方程预测该地2012年的粮食需求量．
三、探究与拓展
13检验每册书的成本费y 元与印刷册数的倒数1x 之间是否有线性相关关系，如有，求出y 对1
x
的回归方程．
独立性检验的基本思想及其初步应用 【学习要求】
1．了解分类变量的意义． 2．了解2×2列联表的意义． 3．了解随机变量K 2的意义．
4．通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．
【学法指导】
独立性检验的基本思想是统计上的假设检验思想，利用两个分类变量的列联表，构造随机变量K 2，K 2
越大说明两个变量有关系的可能性越大.
【知识要点】
1．分类变量和列联表 （1）分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的
，像这样的变量称为分类变量． （2）列联表
①定义：列出的两个分类变量的 称为列联表． ②2×2列联表
一般地，假设两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为
和 ，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)为下表.
2（1）定义：利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． （2）K 2＝ ，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . （3）独立性检验的具体做法
①根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定 k 0.
②利用公式计算随机变量K 2的 k .
③如果 ，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在 不超过α的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或者在样本数据中 支持结论“X 与Y 有关系”.
3. 等高条形图
（1）等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否 ，常用等高条形图展示列联表数据的 ．
（2）观察等高条形图发现a a ＋b 和c
c ＋d
相差很大，就判断两个分类变量之间 ．
【问题探究】
[课堂导入] 5月31日是世界无烟日．有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手．这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？
探究点一 列联表和等高条形图 问题1 举例说明什么是分类变量？
问题2 什么是列联表？怎样从列联表判断两个分类变量有无关系？ 问题3 等高条形图对分析两个分类变量是否有关系，有何帮助？
例1 某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人．调查结果是：吸烟的220人中有37人患呼吸道疾病(简称患病)，183人未患呼吸道疾病(简称未患病)；不吸烟的295人中有21人患病，274人未患病．
根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？(用列联表和等高条形图说明)．
小结 利用数形结合的思想，借助等高条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量相关的常见方法之一．一般地，在等高条形图中，a a ＋b 与c
c ＋d
相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大．
跟踪训练1 在调查的480名男人中有38人患色盲，520名女人中有6名患色盲，试利用图形来判断色盲与性别是否有关？
探究点二 独立性检验
问题1 利用列联表及等高条形图判断两个分类变量是否有关有什么优缺点？ 问题2 随机变量K 2有何作用？
问题3 独立性检验的基本思想是什么？
例2 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶．
（1）利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？ 小结 （1）利用随机变量K 2进行独立性检验的步骤： ①根据实际问题需要的可信度α确定临界值k 0；
②根据给出数据计算得出随机变量K 2的观测值k ；
③如果k ≥k 0，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下，认为两变量有关系；否则，认为两个分类变量没有关系．
（2）独立性检验能精确判断可靠程度，而等高条形图的优点是直观，但只可以粗略判断两个分类变量是否有关系，一般在通过图表判断后还需要用独立性检验来确认．
跟踪训练2 为了探究吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关，调查了339名50岁以上的人，获数据如下：
吸烟习惯与患慢性气管炎是否相关？试用独立性检验的思想说明理由．
【当堂检测】
1．下面是一个
则表中a 、b 处的值分别为
( )
A ．94,96
B ．52,50
C ．52,60
D ．54,52 2．观察下列各图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是( )
3．经过对K 2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当K 2的观测值
k >3.841时，我们 ( ) A ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A 与B 有关 B ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A 与B 无关 C ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下可认为A 与B 有关
D ．没有充分理由说明事件A 与B 有关系 4．根据下表计算：
K 2的观测值k ≈________.(【课堂小结】
1．列联表与等高条形图
列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有关联关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有关联关系． 2．对独立性检验思想的理解
独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量K 2的值，如果K 2值很大，说明假设不合理．K 2越大，两个分类变量有关系的可能性越大．
【课后作业】
一、基础过关 1．下面说法正确的是
( )
A ．统计方法的特点是统计推断准确、有效
B ．独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法
C ．任何两个分类变量有关系的可信度都可以通过查表得到
D ．不能从等高条形图中看出两个分类变量是否相关
2．用独立性检验来考察两个分类变量x 与y 是否有关系，当统计量K 2的观测值 ( ) A ．越大，“x 与y 有关系”成立的可能性越小 B ．越大，“x 与y 有关系”成立的可能性越大 C ．越小，“x 与y 没有关系”成立的可能性越小 D ．与“x 与y 有关系”成立的可能性无关
3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得K 2的观测值k ＝7.097，则这两个变量间有关系的可能性为 ( ) A ．99%
B ．99.5%
C ．99.9%
D ．无关系
4．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是
( )
A ．若K 2的观测值为k ＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中
必有99人患有肺病
B ．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误
D ．以上三种说法都不正确
5．在等高条形图中，下列哪两个比值相差越大，要推断的论述成立的可能性就越大( )
A ．a
a ＋
b 与d
c ＋
d B ．c a ＋b 与a c ＋d C ．a a ＋b 与c c ＋d D ．a a ＋b 与c b ＋c
6
根据以上数据，可得出()
A．种子是否经过处理跟是否生病有关B．种子是否经过处理跟是否生病无关
C．种子是否经过处理决定是否生病D．以上都是错误的
二、能力提升
7．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是()
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
8．如果K2的观测值为6.645，可以认为“x与y无关”的可信度是________．
9．为研究某新药的疗效，给50
设H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则K2的观测值k≈________(小数点后保留三位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．
10．在某测试中，卷面满分为100分，60分为及格，为了调查午休对本次测试前两个月复习效果的影响，特
（1
（2）根据列联表可以得出什么样的结论？对今后的复习有什么指导意义？
11．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得数据，试问：在出错概率不超过0.025的前提下，能否判断“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”？
12．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表是性别与吃零食的列联表：
请问喜欢吃零食与性别是否有关？
三、探究与拓展
13
试说明在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大？
章末复习课
【知识结构】
【题型解法】
题型一 回归分析思想的应用
回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化．如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题．
例1 一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下
（1）画出散点图，并初步判断是否线性相关； （2）若线性相关，求线性回归方程； （3）求出相关指数； （4）作出残差图； （5）进行残差分析；
（6）试制订加工200个零件的用时规定．
小结 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤是先画出散点图，并对样本点进行相关性检验，在此基础上选择适合的函数模型去拟合样本数据，从而建立较好的回归方程，并用该方程对变量值进行分析；有时回归模型可能会有多种选择(如非线性回归模型)，此时可通过残差分析或利用相关指数R 2来检验模型的拟合效果，从而得到最佳模型．
跟踪训练1
且知x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的线性回归方程，并说明拟合效果的好坏． 题型二 独立性检验思想的应用
独立性检验的基本思想是统计中的假设检验思想，类似于数学中的反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量K 2应该很小，如果由观测数据计算得到的
K 2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理． 例2 为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B .下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2)
表1
表2
物B 后的疱疹面积有差异”． 表3:
小结 （1）通过列联表确定a ，b ，c ，d ，n 的值；根据实际问题需要的可信程度确定临界值k
0； （2）利用K 2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
求出K 2的观测值k ；
（3）如果k ≥k 0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“两个分类变量有关系”．
跟踪训练2 某电视台联合相关报社对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查，数据如下表所示：
根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为对这一问题的看法与性别有关系？[P (K 2≥10.828)≈0.001]
【课堂小结】
1．建立回归模型的基本步骤：
（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量． （2）画出散点图，观察它们之间的关系． （3）由经验确定回归方程的类型．
（4）按照一定的规则估计回归方程中的参数． （5）得出结果后分析残差图是否有异常．
2．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．常用的直观方法为等高条形图，等高条形图由于是等高的，因此它能直观地反映两个分类变量之间的差异的大小，而利用假设的思想方法，计算出某一个随机变量K 2的值来判断更精确些．
章末检测
一、选择题
1． 下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是
( )
A ．瑞雪兆丰年
B ．名师出高徒
C ．吸烟有害健康
D ．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧 2． 下列结论正确的是
( )
①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系； ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①②
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④
3． 独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系，则在H 0成立的情况下，P (K 2≥6.635)≈0.010表示
的意义是
( )
A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%
B ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99.9%
C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%
D ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99% 4． 下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^
＝－0.7x ＋a ^
，则a ^
等于
( ) A ．10.5
B ．5.15
C ．5.2
D ．5.25
5． 下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好． 其中说法正确的是
( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
6． 若线性回归方程为y ^
＝2－3.5x ，则变量x 增加一个单位，变量y 平均
( )
A ．减少3.5个单位
B ．增加2个单位
C ．增加3.5个单位
D ．减少2个单位
7． 根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程y ^
＝7.19x ＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身高，有关叙述正确的是 ( )
A ．身高一定为145.83 cm
B ．身高大于145.83 cm
C ．身高小于145.83 cm
D ．身高在145.83 cm 左右 8． 下列关于残差图的描述错误的是
( )
A ．残差图的横坐标可以是编号 B
．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量 C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小 D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 9． 下列是x 与y 之间的一组数据
则y 关于x 的回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
，对应的直线必过点
( )
A ．(3
2
，4)
B ．(3
2
，2) C ．(2,2)
D ．(1,2)
10．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则在犯错误的概率不超过0.005
的前提下推断实验效果与教学措施
( )
A ．有关
B
二、填空题
11．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^
＝1.197x －
3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为_____ cm.
12．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一．在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年
人受过9年或更少教育的百分比(x )和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y )的数据，
建立的线性回归方程为y ^
＝0.8x ＋4.6.斜率的估计值为0.8说明__________． 13．下面是一个2×2列联表：
则b －d ＝________.
14．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x (万元)与公司所获得利润y (万元)的统计资料如下表：
则利润y 三、解答题
15．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下
面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．
根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
16．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了4次试验，得到数据如下：
（1
（2）求y 关于x 的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
； （3）试预测加工10个零件需要的时间．
17．某校团对“学生性别与是否喜欢韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的1
2
，男生喜欢韩剧
的人数占男生人数的16，女生喜欢韩剧的人数占女生人数的2
3.若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为
是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？
18．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：
（1）参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？
（2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．
19．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录
了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100
颗种子中的发芽数，得到如下资料：
选取的2组数据进行检验．
（1）(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于
x 的线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？
§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一)参考答案
1．D 2.D 3.B 4.D 5.C 6.C 7．0.85 8.y ^
＝－10＋6.5x 9.1
10．D (3,10)
11．解 (1)由表中数据得x ＝72，y ＝72，∑4i ＝1x 2i ＝54，∑4i ＝1y 2
i ＝51.5，∑4
i ＝1
x i y i ＝52.5，
高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用
教学案例 我所带的是高二（2）班，她是个庞大的班级，有56名学生。 在第一周上课的几天里，我渐渐的发现一名“怪”学生——张勇明。这名学生坐在教室正中间第二排的位置上。这样的位置是老师能看到的最佳位置，就在老师眼皮底下。上课时，其他这种位置的同学慑于被老师盯上，一般都规规矩矩的坐着，认认真真的听课，而这位同学却不然，他好象一点也不怕被我盯上。 上课时，先是看着黑板听一会儿，然后就弯下腰半趴在课桌上什么也不看，懒懒的样子，不知道在干什么。下课后我走到他跟前问他是不是有什么事，他笑着摇摇头说没有。 课后（2）班主任周老师告诉我，其实那个学生的数学基础挺扎实的，只是有些懒不能长久坚持下去，应该多注意多关照一下。 在以后的上课中，我在提问其他同学问题的时候，也有意无意的去提问他。课后，走到他跟前问他有没有不清楚的问题。 渐渐的在以后的课堂上，这位同学半趴在课桌上的次数少了，当讲到关键处时，我也能看到他在集中精力听。而且我还发现他一个很好的学习习惯——提前预习书本内容，提前做课后练习及习题。有一次我讲四种命题的关系，下课后我走到张勇明跟前，看到他已经把下一节充分必要条件的练习题做过啦，而且准确无误。 中段考试成绩出来了，张勇明的数学考了75分（满分150分），全班第一名。其中有一道数学大题难度较大，我曾在课堂上给同学们讲过，可是只有张勇明一个学生作对，其他做对的同学寥寥无几。 由此，我体会到：由于（2）班大部分同学基础比较薄弱，而高中阶段新内容新知识的接受又需要以前所学内容做铺垫，而以前的知识又没真正掌握，这样恶性循环下去以致使他们失去了学习的兴趣。所以在课堂上，多数同学听的蒙蒙胧胧似懂非懂。 针对这种现象，我要求同学做到：（1）把以前的数学课本从家里找到带到教室来，放在课桌上有意识的经常翻一翻。这样有些没记住的公式或不熟悉的公理定理就能记住了。（2）同学们作课堂笔记的时候，对于涉及到的旧知识内容如果不了解，那么也要做笔记。这样易于查漏补缺，新旧内容一起巩固并掌握。（3）当天事情当天做。每天上完新课后，若有不懂的问题争取当天解决，或者问我或者问同学。（4）经常复习巩固。 高二（班）路玉
高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/f71519884.html, 对高中数学选修课的几点思考 作者：黄银海 来源：《文理导航》2017年第02期 【摘要】本文从现状与建议两个维度阐述了自己的主张。 【关键词】数学；选修课程；现状；评价；统筹 普通高中新课程在安徽省各地市已经实施了近九年的的时间了，在充分体现新课程理念的前提下，选择性的数学选修课程的实施现状如何，备受我们教育界关注。基本上每个学校都是把选修系列1和2的课程作为必修课程进行教学，可由学生自选的选修系列3、4开设状况，以及如何面对。就笔者自己的一点学习经验和教学中的一些现状，本文将加以分析和思考。 一、课程开设不容乐观 1.旧瓶装新酒。必修内容以及选修系列1，系列2，基本覆盖了《大纲》的内容，所以基本上每个学校对选修系列1，系列2都是按照高考要求同等对待，开设的课时数，作业量，师生的重视程度和必修实际上是没有任何差别。 选修系列3的6个专题基本上没有高中开设课程，只有少数学校为学生配发了《数学史选讲》教材；没有安排具体的课时，极少数学校在适当的时候请一些高校教授为中学生做一些讲座的形式加以补充，以此来增加学生的学习兴趣。 选修系列4只有3个与传统课程内容相关的专题很多学校高中开了课。基本上所有高中都开设了4-4：坐标系与参数方程；4-5：不等式选讲；而几何证明选讲课程基本没有学校开设课程，只有极少数学校通过初高中衔接以及数学竞赛辅导的形式加以补充；目前还没有学校开设过4-2：矩阵与变换；4-3：数列与差分；4-7：优选法与试验设计初步；4-8：统筹法与图论初步；4-9：风险与决策；4-10：开关电路与布尔代数。 2.心有余而力不足。很多非示范高中在开设选修系列4专题课程课时投入不足。由于众所周知的高考考查方向问题，所以少数学校一直持观望态度，等高考方案下达后才开设系列4课程，所以开设系列4课程存在困难，一直普片于一些学情较一般的学校。理论上按新课程计划，学生可根据自己的兴趣和发展方向选择2至4个专题，并取得相应学分，实际上这些设想基本落空。现实状况是高考考什么，教师就教什么，学生也就学什么，根本就没有改变传统的教育理念，这些新的理论本质上就没有操作的空间。 虽然在我们选修课程中，系列1的2个模块，为想在人文、社会科学等方面发展的学生选择；系列2的3个模块，为想在理工（含部分经济类）等方面发展的学生选择；系列3有6个
高中数学教学设计案例分析 对数学概念的反思——学会数学的思考 对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的 眼光去看世界去了解世界。而对于数学教师来说，他还要从“教”的角度 去看数学去挖掘数学，他不仅要能“做”、“会理解”，还应当能够教会 别人去“做”、去“理解”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。 以函数为例： 从逻辑的角度看，函数概念主要包含定义域、值域、对应法则三要素，以及函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质和一些具体的特殊函数，如：指数函数、对数函数等这些内容是函数教学的基础，但不是函数的全部。 从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其他中学数学内容也有着密切的联系。 方程的根可以作为函数的图象与轴交点的横坐标；
不等式的解就是函数的图象在轴上方的那一部分所对应的横坐标的集合； 数列也就是定义在自然数集合上的函数； 同样的几何内容也与函数有着密切的联系 2.对学数学的反思 教师在教学生是不能把他们看着“空的容器” ，按照自己的意思往这些“空的容器” 里“灌输数学” 这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学 活动的感觉通常是不一样的。 要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。 3.对教数学的反思
教得好本质上是为了促进学得好。但在实际教学过程中是否能够合乎我们 的意愿呢？ 我们在上课、评卷、答疑解难时，我们自以为讲清楚明白了，学生受到了一定的启发，但反思后发现，自己的讲解并没有很好的针对学生原有的知识水平，从根本上解决学生存在的问题，只是一味的想要他们按照某个固定的程序去解决某一类问题，学生当时也许明白了，但并没有理解问题的本质性的东西。 教学反思的四个视角 1.自我经历 在教学中，我们常常把自己学习数学的经历作为选择教学方法的一个重要 参照，我们每一个人都做过学生，我们每一个人都学过数学，在学习过程中所品尝过的喜怒哀乐，紧张、痛苦和欢乐的经历对我们今天的学生仍有一定的启迪。 当然，我们已有的数学学习经历还不够给自己提供更多、更有价值、可用作反思的素材，那么我们可以“重新做一次学生”以学习者的身份从事一些探索性的活动，并有意识的对活动过程的有关行为做出反思。
选修2-2 知识点及习题答案解析 导数及其应用 一.导数概念的引入 1. 导数的物理意义： 瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-?， 我们称它为函数 () y f x =在 x x =处的导数，记作 0() f x '或 |x x y ='，即 0()f x '=000 ()()lim x f x x f x x ?→+?-? 2. 导数的几何意义： 曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00()()n n n f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数 ()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率 k ，即00 ()()lim ()n x n f x f x k f x x x ?→-'==- 3. 导函数：当x 变化时， ()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有 时也记作 y ',即 ()()()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=? 二.导数的计算 基本初等函数的导数公式: 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α=,则1 ()f x x αα-'=; 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 7 若 ()log x a f x =,则1()ln f x x a '= 8 若 ()ln f x x =,则1()f x x '= 导数的运算法则 1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=± 2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? 3. 2 ()()()()()[]()[()] f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'= 复合函数求导 ()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=? 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)a b 内
数学与逻辑思维选修课程 一、总体目标 数学不仅具有基础性、工具性和广泛的应用性价值，而且蕴含了丰富的人文价值。数学在育人方面主要有以下体现：一是有利于学生思维能力与创新能力的培养，二是可以为学生的发展奠定基础，三是可以优化学生的个性品质。 着眼于学生发展和社会发展的需要，学生在学习数学知识的同 时，应当对数学问题的破题思路和解题方法有所了解和认识，这不仅因为数学的发展为人类文明积累了大量宝贵的科学思想和科学方 法，需要学生去学习和掌握，更重要的是为学生将来能独立地开展科 学探究、创新活动奠定坚实的基础和所必须具有的思想与方法。因此本课程着眼于：把“学生所求的、把学生所缺的、把学生所急的” 数学好东西尽可能以通俗易懂、深入浅出的方式传授给学生；引领学生拓宽数学知识视野，渗透常用数学思想方法，加深对数学本质的认识；培养学生的应用意识、创新意识、协作意识和良好的思维品质与 科学态度；感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，让学生学得兴致，学有所成。 二、具体目标 具体目标表现为以下几个方面： 1．知识与技能 学习和掌握高中数学知识基底，完成高中知识与大学知识的衔
接。深刻理解数学的有关概念，掌握数学相关规律。掌握数学的科学 思想和科学方法，初步能应用数学的思想和方法来分析数学问题和解决数学问题。 2．过程与方法 经历学习过程，懂得如何进行科学探究的活动；体会数学的科学思想和科学研究方法；学会如何分析数学情景，学会如何进行建模， 熟练掌握分析问题和解决问题的常规和典型的方法与技巧。 3．情感态度及价值观 通过对数学思想和方法的学习，培养学生热爱数学、关注数学的 发展和数学为社会的发展所带来的巨大贡献，树立热爱科学、崇尚科学的科学观和人生观。 三、课程内容 本课程以高中数学与大学数学衔接点为抓手，充分注意到现有高中数学教材的课程简介：通常定位于那些核心类、支撑性知识。选修 课程中的基础性内容是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置的。提高性内容则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的.拓展性内容则是对数学有兴趣和希望进一步提高数学 素养的学生而设置的。对于数学探究、数学思想方法、数学建模、数 学文化则是贯穿于整个选修数学课程的重要内容，这些内容不单独设置。
高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 高中数学解题基本方法 一、配方法 二、换元法 三、待定系数法 四、定义法 五、数学归纳法 六、参数法 七、反证法 八、消去法 九、分析与综合法 十、特殊与一般法 十一、类比与归纳法 十二、观察与实验法 高中数学常用的数学思想 一、数形结合思想 二、类讨论思想 三、函数与方程思想 四转化（化归）思想 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数
高中数学选修2-2知识点汇总 目录 第一章导数及其应用 (2) 常见的函数导数和积分公式 (2) 常见的导数和定积分运算公式 (3) 用导数求函数单调区间的步骤 (3) 求可导函数f(x)的极值的步骤 (3) 利用导数求函数的最值的步骤 (4) 求曲边梯形的思想和步骤 (4) 定积分的性质 (4) 定积分的取值情况 (4) 第二章推理与证明 (5) 第三章数系的扩充和复数的概念 (7) 常见的运算规律 (8)
高中数学选修2-2知识点总结 第一章 导数及其应用 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 常见的函数导数和积分公式
常见的导数和定积分运算公式 若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤 ①求函数f (x )的导数'()f x ②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域。(2) 求函数f (x )的导数'()f x (3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的 点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/ ()f x 在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值
高中数学新课程创新教学设计案例等比数列 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
47 等比数列 教学内容分析 这节课是在等差数列的基础上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特殊数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用． 教学目标 1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识，并熟练加以运用． 2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力． 3. 感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感． 任务分析 这节内容由于是在等差数列的基础上，运用同样的方法和步骤，研究类似的问题，学生接受起来较为容易，所以应多放手让学生思考，并注意运用类比思想，这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别，而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注意加以比较． 教学设计 一、问题情景 在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会遇到下面的特殊数列： 1. 在现实生活中，经常会遇到下面一类特殊数列．下图是某种细胞分裂的模型． 细胞分裂个数可以组成下面的数列： 1，2，4，8，… 2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是 1，20，202，203，…
（3）除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利”．按照复利计算本利和的公式是 本利和＝本金×（1＋利率）存期 例如，现在存入银行10000元钱，年利率是%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是（计算时精确到小数点后2位）： 表47-1 时间年初本金（元）年末本利和（元） 第1年10000 10000× 第2年10000×10000× 第3年10000×10000× 第4年10000×10000× 第5年10000×10000× 各年末的本利和（单位：元）组成了下面的数列： １００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５． 问题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究 二、建立模型 结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而归纳出等比数列的定义及符号表示： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列 叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即 ［问题］ 1. ｑ可以为0吗有没有既是等差，又是等比的数列 2. 运用类比的思想可以发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了“比”，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗如果能得出，试用以上例子加以检验． 对于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１与（ｎ－１）个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与（ｎ－１）个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式． 3. 你如何论证上述公式的正确性．
选修4-4数学知识点 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化： 6。圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(π a C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数?? ?==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数 ，
人教版高中数学选修2-1 全册导学案
目录 1.1.1命题及其关系 1.1.2四种命题的关系 1.2.1充分条件 1.2.2充要条件 1.3.1逻辑联结词1 1.3.2简单的逻辑联结词2 1.4全称量词与存在量词 2.1.1曲线与方程(1)学案 2.1.2曲线与方程(2)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(1)学案 2.2.1椭圆及其标准方程(2)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)学案 2.2.2椭圆及其简单几何性质(2)学案 2.3.1双曲线及其标准方程学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(1)学案 2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学案 2.4.2抛物线的简单几何性质（1） 2.4.2抛物线的简单几何性质（2） 2.5曲线与与方程学案 第二章圆锥曲线与方程复习学案 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算 3.1.3 空间向量的数量积运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 3.1.5 空间向量运算的坐标表示 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法一 3.2 立体几何中的向量方法二--利用向量方法求距离 3.2 立体几何中的向量方法三--利用向量方法求角 3.2 立体几何中的向量方法一--平行与垂直关系的向量证法
§1.1.1 命题及四种命题 一．自主学习 预习课本2—6页完成下列问题 1、命题：； 2、真命题：假命题：。 3、命题的数学形式：。 4、四种命题：。 （1）互逆命题：。（2）互否命题：。 （3）互为逆否命题：。 注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若p，则q”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若p，则q”的形式，从而得到该命题的条件和结论。 二、自主探究： 〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？ （1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数； （3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？ x<；（6）平面内不相交的两条直线一定平行； （5）215 > （7）明天下雨；（8）312 〖例2〗将下列命题改写成“若p，则q”的形式。 （1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。 〖例3〗把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题： （1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。 课堂小结
2020年高中数学选修2-2《分析法》教学 案例精品版
人教版高中数学（选修2-2）《分析法》教学案例本节课的教学课题是：人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学（选修2-2）》，第二章“2.2.1综合法和分析法”中“分析法”的第一课时。 一、设计要点 本教案在挖掘教材中的创新因素和蕴涵的数学思想方法的基础上，以“创设情境、切入主题、感受新知、合作交流、尝试练习、感悟探究、综合提高、回顾小结”为基本教学过程，通过揭示知识的发现和发生过程，使学生在掌握分析法的同时，体验有关的数学思想，提高观察与交流、分析与解决问题的能力，培养“用数学”的意识和合作意识。 二、教学目标 1．知识与技能：结合数学实例，了解用分析法思考问题的过程和特点，对分析法的有一个较完整的认识； 2．过程与方法：通过学习分析法，掌握探索和分析问题的基本方法，培养思维的灵活性和深刻性，提高分析问题、解决问题的能力，提高观察、交流能力和发散性思维能力； 3．情感、态度与价值观：体会数学证明的特点，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，激发勇于探索、创新的精神，磨练意志品质。 三、教学重点、难点、关键 1．重点：（1）了解分析法的思考过程和特点； （2）运用分析法证明数学问题。
2．难点：对分析法的思考过程和特点的概括。 3．关键：展现知识的内在联系，启发学生思考、探索。 四、教学方法 启发式与探究式相结合 五、教学过程 1．创设情境 教师请全体学生一起完成如下填空。 已知：如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,D为直线BS上一点，求证：BC⊥AD 证明：∵SA⊥平面ABC ∵BC?平面ABC ∴(___________________) ∵(___________________) ∴BC⊥平面SAB ∵点D在直线BS上 ∴AD?平面SAB ∴BC⊥AD 教师教学时注意知识点拨：综合法表述形式：因为…,所以…；综合法思维过程：由因导果；综合法推理特点：顺推。并通过思路分析启发学生产生新的 证明思路和方法。 思路分析： 要证BC⊥AD 只需证BC⊥平面SAB( ∵______________) 只需证BC⊥SA( ∵____________________) 由SA⊥平面ABC知上式成立 ∴BC⊥AD成立
高中数学必修与选修课程下的整合随着社会进步，经济高速发展，社会对人才的要求也变得越来越高。然而，社会对我们的学校教育的要求更高，从而，教育为了适应社会发展，满足人们的心声，只有对教育制度及政策实施改革，顺应社会的发展，才能让我们的教育得到发展。根据社会对人才多样化得需求，适应学生不同潜能和发展的需要，在共同必修的基础上，各科课程标准分类别、分层次设置若干选修模块，供学生选择。根据社会、经济、科技、文化发展的需要和学生的兴趣，开设必修与若干选修模块，供学生选择。高中数学分为必修课和选修课：在课程安排上，《大纲》指出：必修课为所有学生必须掌握的，面向高校的需求，文史专业必须选修选修Ⅰ，理工专业和经济类需选修选修Ⅱ。必修课总计280课时，选修Ⅰ总计52课时，选修Ⅱ总计104课时。学校根据教学实际目标自行安排必修课、选修课的开设。每学期至少安排一个研究课程。在课程结构设置方面，《标准》有较大的变化，课程结构框架彻底打破了传统模式，在整个高中课程领域一学科一模块的统一安排下，进行高中课程框架的重新构建。 重视“双基”是我们的传统，基础知识和基本技能，“双基”需要与时俱进也是我们的共识，整体地把握数学课程是值得特别关注的。知识和技能是需要一个一个的学习，数学课也需要一节一节地上，但是，在高中数学课程中，还是有一些“内容”或“思想”更重要，更基础，贯穿在课程的始终。 在本次课程改革中，高中数学本着十大基本理念，构建共同的
基础，提供发展平台；提供多样课程，适应个性选择；倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注意提高学生的数学思维能力；发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”；强调本质；注意适度形式化；体现数学文化价值；注重信息技术与数学课程的整合；建立合理科学的评价体系。 在课程知识点方面，内容如下：必修1：包含集合、函数概念及基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）三个章节内容。必修2：为立体几何初步和平面解析几何初步两个大方向。必修3：是算法初步、统计、概率。必修4：三角函数、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。选修内容为：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及应用、统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图、常用逻辑用语、园锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、计算原理、统计案例、概率、几何证明选讲、矩阵与变换、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数、数学史选讲、信息安全与密码、球面上的几何、对称与群、欧拉公式与曲面分类、三等分角与数域扩充。这其中，必修中的集合贯穿于整个高中数学课程中，函数是高中教材中的主流，数列作为一种特舒的函数放在必修4中，同时，选修中的导数的应用和必修中的函数单调性联系起来，必修中的立体几何简单化，而在选修中加入几何学证明、球面上的几何和欧拉公式。在必修中体现了不
高中数学人教A版选修2-3第三章3.2独立性检验的基本思 想及其初步应用教学设计 一、教材分析 本节课是人教A版（选修)2—3第三章第二单元第二节第一课时的内容.在本课之前，学生已经学习过事件的相互独立性、正态分布及回归分析的基本思想及初步应用。本节课利用独立性检验进一步分析两个分类变量之间是否有关系，是高中数学知识中体现统计思想的重要课节，也是高考的重要考点。 在本节课的教学中，要把重点放在独立性检验的统计学原理上，理解独立性检验的基本思想，明确独立性检验的基本步骤。在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用。独立性检验的基本思想和反证法类似，它们都是假设论不成立，反证法是在假设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的。因为小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据。 学习独立性检验的目的是“通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及其初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用”。在大数据时代，我们每天都会接触到影响生活的统计方面的信息，因此具备一些统计知识已经成为现代人已具备的一种数学素养。 二、学情分析 授课对象：高二理科15班（重二班）。 知识上：学生已经学习过统计、变量回归分析等知识，这为本节课的学习提供了知识基础。但本节课的内容独立性检验对学生来说是新的内容,为什么有这么一个方法?为什么要学习这个方法?通过课前的新闻引入可以让学生体会到本节课知识的应用性。独立性检验相当于建立一个判别“两个分类变量之间有关系”这一结论是否成立的规则,并且给出该规则把“两个分类变量之间没有有关系”错判成“两个分类变量之间有关系”的概率。所以首先要教会学生的是了解并初步理解这个规则,而后才是会用这个规则解决问题。 能力方面：学生具备了一定的认知、分析、归纳能力；能够进行小组活动。 但学生缺少深入探究问题的方法；运算能力和语言表达能力有待提高。针对这个问题，课堂上我通过适时引导学生探究，鼓励学生积极展示来解决。
第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。 命题的构成――条件和结论 定义：从构成来看，所有的命题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若p，则q”或者“如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件,q叫做命题结论． 真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做真命题． 假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫做假命题． 四种命题：定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题． 定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题． 定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题． 形式： 原命题：若P，则q．则： 逆命题：若q，则P． 否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示 p的否定；即不是p；非p） 逆否命题：若￢q，则￢P． 四种命题间的相互关系：
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 1.2 充分条件与必要条件 定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p q,那么我们就说p是q的充分条件；q 是p必要条件． 一般地,如果既有p q ，又有q p 就记作 p ? q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件. 一般地， 若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件； 若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件； 若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 1.3 简单的逻辑连接词 一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q 读作“p且q”。 一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q,读作“p或q”。 一般地，我们规定： 当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p ∧q是假命题；当p，q两个命题中有一个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题。 一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p 的否定”。 若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题； 命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定。 1．4全称量词与存在量词 所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。 “存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。并用符号“?”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或存在命题）。 一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题P： ?∈ ,() x M p x 它的否定￢P ￢P(x)
高中数学选修2-2知识点总结 第一章、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y = 在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 . 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() .用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()