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高等数学考研大总结系列之一预备知识

第一章预备知识一，函数

1 函数的定义：⑴传统定义：如果在某变化过程中的两个变量x ,y 并且对于x 在某个范围内的每一个．．．确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一．．确定的值与之对应，那么y 就是x 的函数。

⑵近代定义：函数就是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。记：

()y x f x f →=:（X ∈A ）其中x 称为自变量，y 称为因变量。()x f 表示函数f 在点x 处

的值，A 称为函数的定义域，记为：()f D ；()(){}

B A x x f A f ?∈=称为函数的值域，记为：()f R 。

解析：两变量之间是否构成函数关系，不在于一个变量引起另一个变量的变化，而在于是否存在对应法则（对函数变量的作用模式）使一个变量在其取值范围内任取一值时，另一个变量总有确定的值与之对应。函数的本质就是对应关系。 2 函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

解析：⑴常见函数定义域的求法：①分式函数分母不能为0。②)(*2N n x y n

∈=定义域

{}0≥x x 。

③)(N n x y n

∈=-定义域{}0≠x x 。④x

a y log =（ａ>O ，ａ≠1）定义域{}0>x x 。

⑤x y tan =定义域?

??∈+

≠Z k k x x ,2π

π。⑥x y cot =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。⑦x y arcsin =定义域{}11≤≤-x x 。⑧x y arccos =定义域{}11≤≤-x x 。⑨x y sec =定

义域?

??∈+

≠Z k k x x ,2π

π。⑩x y csc =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。⑾某些实际问题要注意函数的实际意义。⑿求复杂函数的定义域时要综合考虑取各部分的交集。

⑵在研究函数时要树立定义域优先的原则。 ⑶注意定义域与定义区间的区别：对于初等函数定义区间即为它的连续区间，但须小心定义域与定义区间是不同的例如：1cos -=

x y 的定义域由)(2Z k k x ∈=π这些孤立的点组成

而无定义区间。（结合幂级数的收敛域和收敛区间）

⑷函数值域的常见求法：①配方法（类二次函数）②判别式法（要求X R ∈）③反函数法（即互换法）。④均值定理法。⑤函数的单调性法（一般方法）⑥换元法：㈠代数换元法㈡三角换元法。⑦复数法（利用复数的模）⑧构造法（构造函数，向量（内积与模积的关系），绝

对值不等式（利用其性质，两点间距离公式等。）⑨形如)0(>+=k x

x y 的对号函数（图象命名）在不能用重要不等式的情况下（等号不成立）可考虑用函数的单调性当x >O 时，

单减区间为(]k ,0，单增区间为[

)+∞,k 其分界点为

(

)

k k 2,至于x

偶性解决。

3 函数的表示法：⑴具体函数的表示法：①表格法（清晰，直观，精确） ②图象法（形象，明显，易比较） ③解析法，公式法（便于分析与计算）

⑵抽象函数的表示方法：①坐标法()y x ,（概括）②叙述法（语言描述具有启发性） 4 函数的性质（定义域范围内，假设性定义）：㈠界性：①有界性：如果存在正数M 使得

()M x f ≤对任意ｘ∈Ｘ都成立，则称函数()x f 有界；若()M x f ≤则()x f 有上界，若

()M x f ≥则()x f 有下界。既有上界又有下界称为有界。②无界性：对于任给的正数Ｍ，

总存在X x ∈使得()M x f >则称函数()x f 无界。即：对任意给定一个正数Ｍ都不可能是

()x f 的界，但相对于每一部分却是有上或下界的。

㈡单调性：设函数R I f →:，对于任意的．．．∈21,x x I （代数角度）

①如果当1x <2x 时恒有()()21x f x f ≤(或()()21x f x f ≥)则称()x f 在I 上是单调增(减) 函数(单调函数)。

②如果当1x <2x 时恒有()()21x f x f < (或()()21x f x f >)则称()x f 在I 上是严格增(减)函数(严格单调函数)。

解析：与导数的关系：设∈21,x x []b a ,那么

()()

121x x x f x f -->0(或<0)?()x f 在[]b a ,上是

增(减) 函数,几何属性: 增(减) 函数图象上任意两．．．点连线的斜率．．．．．．

大于(小于)0。㈢奇偶性:设对于任意的x 属于A 有-x 属于A 如果f 在A 上定义并且对于任意的x 属于A 满足()x f - =()x f -（()()x f x f =-)则称f 是一个定义在A 上的奇(偶)函数。解析：⑴定义域关于原点对称是奇偶性存在的必要条件。

⑵奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称。（利用其画图象） ⑶如果()x f 是奇函数,那么()x f 在关于原点对称的区间上的单调性相同,若为偶函数,那么()x f 在关于y 轴对称的区间上的单调性相反。

⑷一般情况，证明定义在R 奇函数时要考虑特殊点()0,0即:()00=f ；此外若函数()x f 满足()()()y f x f y x f +=+，则函数()x f 是奇函数。

⑸可对关系等式进行四则运算即：①奇函数()()0=-+?x f x f 或

()()

1-=-x f x f 。②偶函

数?()()0=--x f x f 或

()()

1=-x f x f ，这样的操作对于某些函数是行之有效的。 ⑹奇，偶函数的运算性质：①几个奇函数的代数和为奇函数，几个偶函数的代数和为偶函数。②几个偶函数的积为偶函数。奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数。③奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。④若()x f 是奇函数则()dt t f x

是偶函数；

若()x f 是偶函数则

()dt t f x

是奇函数。

㈣周期性：设有函数R A f →:如果存在常数0≠T 使对于任意的x ∈A 有A T x ∈+并且

()()x f T x f =+则称f 是定义在A 上的周期函数，并且Ｔ是它的一个．．

周期。解析：⑴从()()x f T x f =+来看是自变量x 本身（即：单位x ）加的常数。 ⑵周期函数的周期不止一个，若T 是周期则()Z k kT ∈一定也是周期。

⑶在周期函数()x f 中T 是周期，若x 是定义域内的一个值，则kT x +也属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集（无界的）。

⑷如果周期函数中存在一个最小的正数就把这个最小的正数叫做最小正周期（或基本周期），但并不是每个周期函数都有最小正周期，如常数函数。

⑸周期函数的定义域不一定是实数集R .如x y tan =。 ⑹若T 是()x f 的周期则()b ax f +(R b a ∈≠,0)其周期为

。 ⑺如果函数是几个周期函数的和且仍为周期函数此函数的周期为:分子是几个周期的分子的最小公倍数,分母是几个周期的分母的最大公约数。

⑻如何求出周期T :对定义中()x f =()T x f +变形为()x f -()T x f +=0或

()T x f +-()x f =0将T 看作末知量求解.若解出的T 依赖于自变量x 或0则()x f 不是周期

函数。若可以求出不依赖于x 的非零常数解(一般都不唯一)其中最小的正数解．．．．．．就是所求的周期。

⑼若()x f 的周期是T 则()x f /

的周期也是T 。

5 常用的几类函数关系:

⑴反函数:假设函数y=()x f 作为映射()()f R f D f →:我们将f 的逆映射1

-f

叫做

y =()x f 的反函数.

解析：⑴单调性：原函数与反函数在其相对应的定义域内具有相同的单调性。 ⑵奇偶性：原函数是奇函数则其反函数是奇函数，原函数是偶函数则一般不存在反函

数。

⑶互换法：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。 ⑷对称性：原函数与反函数的图象关于直线x y =对称。 ⑸还原性：设原函数的定义域为Ａ，值域为Ｂ，则：①()[

]()B x x x f f ∈=-1

②()[]()A x x x f f

∈=-1

⑹连续性：如果函数()x f 在区间上严格单调且连续，那么它的反函数也在对应的区间上严格单调且连续。

⑺反函数存在定理：严格单调的函数存在反函数。（一一映射的函数）

⑵复合函数：假设函数()u f y =的定义域为()f D ，值域为()f R ，而函数()x g u =的定义域为()g D 值域为()()f D g R ?则对任意的ｘ∈()g D 通过()x g u =有唯一．．的

()()f D g R u ?∈再通过()u f y =又有唯一．．

的y ∈()f R ，这样对任意ｘ∈()g D 通过ｕ有唯一．．

的ｙ∈()f R 与之对应，因此我们称这个函数为()u f y =与()x g u =的复合函数。记作：()()()[]()g D x x g f x g f y ∈=,:ο并称ｕ为中间变量，其中称()x g u =为内层函数，

()u f y =外层函数。

解析：⑴单调性：内层函数与外层函数的增减性相同时，整个复合函数为增函数。内层函数与外层函数的增减性相异时整个复合函数为减函数。 ⑵奇偶性：：内层函数与外层函数同为奇函数时，整个复合函数才为奇函数，其余全部为偶函数。

⑶显隐函数：①显函数：我们把用仅含自变量ｘ的解析式()x f 直接表示出来的函数

()x f y =称为显函数。②隐函数：如果ｘ与ｙ的对应关系是由方程()0,=y x F 给出的，则

称ｙ是ｘ的隐函数。 ⑷分段函数：在自变量不同变化范围内对应法则用不同的式子来表示的函数。有些分段函数并不一定要分段，分段只是为了更加明确而已。 6 常用函数及其性质

⑴第一类：初等函数（由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所得到的函数）：①常数函数：C y =。无增减性，无最小正周期，平行于ｘ轴的水平直线。②线性函数（一次函数）：b kx y +=。ｋ为斜率，ｂ为纵截距。③二次函数：)

0(2

≠++=a c bx ax y （标准型）a b ac a b x a y 44222

-+??? ??+=（顶点坐标型。其顶点坐标：???

? ??--a b ac a b 44,22）

()()21x x x x a y --=（横轴截距型。21,x x 横轴交点且()ac b a

x x 4221-=??=

）。重要特性：ⅰ。()()()a f f f 20211=--+ ⅱ。建立一次函数与二次函数之间的关系：

21211,21212

2--+=?

??--??? ??+=x x x x x 。ⅲ。根据图象研究其根的分布。④绝对值函数：x y =，其图象为第一，二象限角分线。⑤指数函数：()1,0≠>=a a a y x 。ⅰ。定义域：R x ∈。ⅱ。值域： ()+∞∈,0y ，图象恒过()1,0点。ⅲ。当1>a 是为增函数，当1

0<=a a y x

a ⅰ。定义域：()+∞∈,0x 。ⅱ。值域：R y ∈，

图象恒过()0,1点。ⅲ。当1>a 时为增函数，当10<

A x x y ∈=,α（由于α取值的不同其定义域A 的情况也不同）ⅰ。当α＞0时，函数在[)

+∞,0上有定义且是严格增函数。α＜0时函数在()+∞,0上有定义且是严格减函数。ⅱ。当α越小时，其图象越接近于直线1=y 。ⅲ。当α取某些有理数时其定义域可扩展到负半轴。⑧函数名称正弦函数

x y cos = x y tan = x y cot =

函数图象

ⅱ。一般表达式：()k x A y ++=?ωsin （其中，A 为振幅决定伸缩性（纵轴），ω决定伸缩性（横轴）周期ω

2=T ，相位?ω+x ，初相?决定奇偶性。）

称函数符号 x y arcsin =

x y arccos =

x y arctan = x arc y cot =

x arccos 2arccos -==π

()Z k a k x ∈±=arccos 2π

x a x a arcsin 2,arcsin ,01arcsin ,arcsin ,10+=+=<≤--==≤≤πππ

()()Z k a k x k

∈-+=arcsin 1π

)Z k ∈⑩多项式函数：()n n n n a x a x a x a x P ++++=--11

10K 。有理函数：()()()

x q x p x Q =

（()()x q x p ,均为多项式函数）

⑵ 第二类函数：①符号函数：()()

()??

??>=<-==010001sgn x x x x y 奇函数；单调上升（非严格）

；非周期；有界 1|)sgn(|≤x ②最大整数函数： []()K 2,1,1,±±=+≤≤==n n x n n x y 取整

的两个重要关系：㈠[][]11+<<-x x x ㈡[]()()()?

??<-->-=0;10

;x x x x x x x （()x 表示小数部分）

非奇非偶；单调上升（非严格）；非周期；无界③小数部分函数：[]x x y -= 非奇非偶；非单调；周期函数，周期为1；有界 1≤y ④狄里克雷(Dirichlet)函数：

()??

?-∈∈==Q

R x Q

x x D y ,0,1（使得数学研究函数的计算转变到研究函数的概念，性质，结构。）偶函数；非单调；周期函数，任意有理数是它的周期，不存在最小周期；有界 1|)(|≤x D

⑤整标函数（数列）：我们将定义在正整数集*

N 上的函数*,:N n R n f ∈→叫做整标函数

（数列）。常用关系：()

*1N

n s s a n n n ∈-=+⑥黎曼(Riemann)函数：

()()

??-∈>∈≠=Q R x q N k kq p q p x q

x R ,00,,,1*（周期为1且在无理数时连续）⑦双曲函数（工程技术中经常用到，属于初等函数）：ⅰ。双曲正弦函数：()+∞∞-∈-=

x ⅲ。双曲正切函数：()+∞∞-∈+-=--,,x e e e e thx x x x x ⅳ。双曲余切函数：()0,coth ≠-+=--x e

e e e x x

x x

x ⅴ。双曲正割函数：x x e e chx hx -+==21sec ⅵ。双曲余割函数：x

x e e shx hx --==21csc 。

⑧反双曲函数:ⅰ。反双曲正弦：1ln 2++

==x x arcshx y ⅱ。反双曲余弦：

()

1ln 2

-+==x x archx y ⅲ。反双曲正切：x

x x x arcthx y -+=--==11

ln 2111ln

2 ⅳ。反双曲余切：1

ln 2111ln coth 2-+=--==x x x x x ar y ⅴ。反双曲正割：

x x hx ar y 211ln sec -+±== ⅵ。反双曲余割：()()

1 常用不等式：⑴设R b a ∈,则()0,02

≥-≥b a a （当且仅当b a a ==,0时取等）。⑵绝

22222b a b a b a b a b a b a ab b a +≤+???

? ??+≥+?+≥+?≥+

⑷均值不等式：设()+∞∈,0,b a 则

ab b

a ≥+2

（当且仅当ａ=ｂ时取等）反映了和与积的关系。推广：设

x x x n x x x x x x x x x n

n n n

2221212121111K K K K ++≤++≤≤+++（分

别称为：调和平均，几何平均，算术平均，平方平均）

⑸伯努力（Bernoulli ）不等式：设01,≠<-∈+

x Q r 则

()()()()

1111011>+>+<<+<+r rx x r rx x r

αααb a b a b a b a ⑺柯西(Cauchy)不等式：对任意实数

()n i b a i i K 3,2,1,=有

()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++++≤+++K K K

（当且仅当i i kb a =时取等）（可以顺利地求出某些含有约束条件的多变量函数的最值问题）⑻排序不等式：设n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ΛΛ2121,为两组实数，n c c c ,,,21Λ为

b b b ,,,21Λ的任一排列，则有

n n n n n n n b a b a b a c a c a c a b a b a b a +++≤+++≤+++-ΛΛΛ221122111121（即：反序和

≤乱序和≤顺序和）当且仅当n n b b b a a a =====ΛΛ2121或时等号成立。⑼切比晓夫

不等式：设n n b b b a a a ,,,;,,,2121ΛΛ为任意两组实数，①如果n a a a ≤≤≤Λ21且

n b b b ≤≤≤Λ21或n a a a ≥≥≥Λ21且n b b b ≥≥≥Λ21，则：

??+++??? ??++≥+++n b b b n a a a n b a b a b a n n n n ΛΛΛ21212211②如果n

a a a ≤≤≤Λ21而n

b b b ≥≥≥Λ21或n a a a ≥≥≥Λ21而n b b b ≤≤≤Λ21，则：

??+++??? ??++≤+++n b b b n a a a n b a b a b a n n n n ΛΛΛ21212211上述两式中当且仅当

n n b b b a a a =====ΛΛ2121或时等号成立。⑽加权平均不等式：设n a a a ,,,21Λ为正

数，n p p p ,,,21Λ都是正有理数，并且121=+++n p p p Λ，那么有：

n p

n p p n n a a a a p a p a p ΛΛ21212211≥+++⑾杨格（W 。H 。Young ）不等式：设q p ,为有理

数，满足条件11

1,1=++∞<<+∞<

p q p （q p ,互称共轭指标），b a ,为正数，则： ab q

b p a q

p ≥+（体现了有理数逼近无理数的思想，与定积分的联系）。 2 常用不等式的证明方法：⑴比较法⑵综合法⑶分析法⑷反证法⑸放缩法⑹判别式法⑺换元法⑻构造法⑼归纳法：①不完全归纳法②完全（枚举）归纳法③数学归纳法三，任意小正数ε

假设ａ，ｂ为两实数，如果对任意给定的小正数ε都有ε<-b a 则必有b a =。解析：任意小正数ε的灵魂所在是任意小的，它的本质所在是确定的正常数。四，邻域

a 的δ邻域(){}δδ<-=a x x a U ,及ａ的无（去）心邻域(){}

δδ<-<=a x x a U 0,0。

解析：数学分析的基础性概念。附注1：三角函数公式

1 两角和差的三角函数公式：⑴()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ⑵()βαβαβαsin sin cos cos cos μ=± ⑶()β

αβ

αβαtan tan 1tan tan tan μ±=

±，特别地，

ααπtan 1tan 14tan μ±=???

2 二倍角和三倍角公式：⑴αααcos sin 22sin =

⑵ααααα2

sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⑶α

sin 4sin 33sin -= ⑹αααcos 3cos 43cos 3

运用隶莫弗公式()ααααn i n i n

sin cos sin cos +=+得：

()()ααα1212210

sin cos 1sin ++-??????-≡∑-=

C n 222sin cos 1cos -∑-=

其中，()！k！k n n ！C k

n -=，??

?????-=??????为奇数为偶数n n n n

k k n =∑≡ 对于任意实数x 和任意实数

()()??? ??++=+∑=αααα121sin 2

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

αβαβα-+-=- ⑸()βαβαβαcos cos sin tan tan ±=

⑹()βαβαβαsin sin sin cot cot ±±

=± ⑺()β

αβαβαsin cos cos cot tan μ±

=± 5 积化和差公式：⑴()()[]βαβαβα-++=

sin sin 21

cos sin ⑵()()[]βαβαβα--+=sin sin 21

sin cos

⑶()()[]βαβαβα-++=cos cos 21

cos cos

⑷()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2

sin sin

6 辅助角公式：⑷()a

b a b a ±=++=

±??αααtan sin cos sin 22其中

7 基本公式：⑴1csc sin =αα； ⑵1sec cos =αα； ⑶1cot tan =αα； ⑷

1cos sin 22=+αα； ⑸1tan sec 22=-αα ；⑹1cot csc 2

2=-αα ；⑺ sin tan cos ααα

⑻cos cot sin ααα=⑼2arccos arcsin π=+x x ；⑽2

cot arctan π

=+x arc x

8 常见公式：若()0,,cos cos ,sin sin ≠=+=+b a b a βαβα则：

⑴()2

22sin b a ab +=+βα ⑵()2222cos a b a b +-=+βα ⑶()22cos 22-+=-b a βα ⑷()2

b b a a 2sin sin sin ===（其中R 为外接圆半径） ⑵余弦定理：A b

a b a c b a b a B A +-=

（其中r 为内切圆半径，p 为周长之半，且()()()p

()211sin sin sin sin 2sin sin sin 224abc ah ab C Rr A B C R A B C rp R

==++==== =()()()()()2

12cot 2cot 2cot b a b a C B A r c p b p a p p ρρρρ-=

=---（R ，r ，p 所

代表的意义同上）=

()()()()122312231

x x y y y y x x -----(其中

112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y )。

附注2：双曲函数公式

1 双曲函数的和差公式： ⑴()chxshy shxchy y x sh ±=±

⑵()shxshy chxchy y x ch ±=± ⑶()thxthy

thy

thx y x th ±±=

±1

2 双曲函数的二倍角公式： ⑴shxchx x sh 22=

⑵x sh x ch x sh x ch x ch 2

3双曲函数的半角公式：⑴212-±=chx x sh

?∈∈∈-∈=Z k k n a Z k k n a a n n

2,12,

⑵n m n

m a a

=；()0>=+a a a a n m n m ；()

()0>=a a a mn n

；

()()0,0>>=b a a a ab m

m m

2 对数运算：如果0,0,1,0>>≠>n m a a 那么， ⑴n a

-=；⑶()R n n m a m a n

log log 1-=；⑹()1,log 1log >∈=n N n n m

m log log =；⑼1log =a a ；⑽0log 1=a ； ⑾N N a a

=log

；⑿()1,0log ≠>=a a N a

log log log =（换底公式，固定了底，避免了分类讨论）

附注4：数学方法

1 变换与转化：把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决的问题中去。

⑴问题转化：①特殊化②简单化③一般化④极端化⑤明朗化 ⑵结构变换：改变问题的条件或结论，可以简化解题途径。 ⑶等价变换：恒等式与不等式的证明中常常采用此种方法。①配方法②裂项法③待定系数法

④特殊值法0或1。

⑷易元变换：化繁为简，转难为易。①线性代换②倒数代换③指对数代换④三角代换⑤复变

量代换⑥增量代换等。

2 分解与组合：分解深入内部，把握本质。组合实现化归，宏观把握。分解的对象：①问题本身②问题条件③问题外延④实现目标。

3 关系映射反演（RMI ）⑴函数法⑵坐标法⑶复数与向量法⑷参数法。

4 模型与构造：⑴模式构造⑵公式构造⑶特例构造⑷方程构造⑸图形构造⑹命题构造⑺函数

构造。

5 概括与抽象：

解决具体问题解决模型问题数学模型具体问题反演数学方法概括抽象??→????→????→?

6 观察与实验：发现数学事实，深入事物本质，反映规律。

7 比较与分类：发现差异，建立关系；确立标准，完备思维。

8 类比与猜想：发现概念，方法，定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段。类比：①简单类比：从对象的某些属性相同，推出它们的其他属性也相同。②普遍类比：从对象的相同可以得出原因相同的结论。猜想：经验与事实基础上的创新，证明的前提。猜想的分类：①归纳猜想②类比猜想③实验猜想④构造猜想。

9演绎与归纳①不完全归纳法②第一类数学归纳法③第二类数学归纳法④跳跃归纳法⑤反向归纳法⑥翘翘板归纳法 10 假说与证明：

?????

???????????????????

??类比法归纳法归纳法待定系数法同一法反证法（唯一性问题）

间接证明迭合法比较法综合法（由因导果）

执果索因）分析法直接证明证明方法(

高等数学考研知识点总结

高等数学考研知识点总结一、考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。 5、理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。 6、掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。 7、掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。 8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。1

1、掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系、（2）复合函数: y=f(u), u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域、（3）分段函数: 注意，为分段函数、（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性* 注： 1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。特别：若为偶函数且存在，则 2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数； 3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。 4、若f(x+T)=f(x), 且，则仍为以T为周期的周期函数、 5、设是以为周期的连续函数，则， 6、若为奇函数，则；若为偶函数，则 7、设在内连续且存在，则在内有界。 2、极限 (1) 数列的极限： (2) 函数在一点的极限的定义： (3)

考研数学知识点总结

考研数学考点与题型归类分析总结 1高数部分 1.1高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向： 1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则型和 ∞ ∞ 型直接用洛必达法则 ∞ 0、0∞、∞1型先转化为型或 ∞ ∞ 型，再使用洛比达法则； 3.利用重要极限，包括1 sin lim = → x x x 、e x x x = + → 1 ) 1( lim、e x x x = + ∞ → ) 1(1 lim； 4.夹逼定理。 1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第三章《不定积分》提醒：不定积分?+ =C x F dx x f) ( ) (中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分?dx x f) (的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是?+ =C x F dx x f) ( ) (中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于?-a a dx x f) (型定积分，若f(x)是奇函数则有?-a a dx x f) (=0；若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f) (=2?a dx x f ) (；对于?20)( π dx x f型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t- = 2 π 的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质0 = ?-a a奇函数、? ?= - a a a0 2偶函数偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.3高数第五章《中值定理的证明技巧》用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A?E、(A B)?C、(C D E)?F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A?E就可能有A?H、A?(I K)、(A B) ?M等等公式同时存在，

考研数学知识点总结(不看后悔)

考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板函数极限数列的极限特殊——函数的极限一般极限的本质是通过已知某一个量自变量的变化趋势去研究和探索另外一个量因变量的变化趋势由极限可以推得的一些性质局部有界性、局部保号性……应当注意到由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续函数在某点的极限等于函数在该点的取值连续的本质自变量无限接近因变量无限接近导数的概念本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限更简单的说法是变化率微分的概念函数增量的线性主要部分这个说法有两层意思一、微分是一个线性近似二、这个线性近似带来的误差是足够小的实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它但是当误差不够小时近似的程度就不够好这时就不能说该函数可微分了不定积分导数的逆运算什么样的函数有不定积分定积分由具体例子引出本质是先分割、再综合其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分然后再综合最后求极限当极限存在时近似成为精确什么样的函数有定积分求不定积分定积分的若干典型方法换元、分部分部积分中考虑放到积分号后面的部分不同类型的函数有不同的优先级别按反对幂三指的顺序来记忆定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法微元法微分和导数的应用判断函数的单调性和凹凸性微分中值定理可从几何意义去加深理解泰勒定理本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容需要考虑两个问题一、这些多项式的系数如何求二、即使求出了这些多项式的系数如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度即还需要求出误差余项当余项随着项数的增多趋向于零时这种近似的精确度就是足够好的考研英语作文万能模板考研英语作文万能模板多元函数的微积分将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数最典型的是二元函数极限二元函数与一元函数要注意的区别二元函数中两点无限接近的方式有无限多种一元函数只能沿直线接近所以二元函数存在的要求更高即自变量无论以任何方式接近于一定点函数值都要有确定的变化趋势连续二元函数和一元函数一样同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数上册中已经说过导数反映的是函数在某点处的变化率变化情况在二元函数中一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关有可能沿不同方向会有不同的变化率这样引出方向导数的概念沿坐标轴方向的导数若存?诔浦际?通过研究发现方向导数与偏导数存在一定关系可用偏导数和所选定的方向来表示即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况高阶偏导数若连续则求导次序可交换微分微分是函数增量的线性主要部分这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小若是则微分存在仅仅有偏导数存在不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小即偏导数存在不一定有微分存在若偏导数存在且连续则微分一定存在极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂极值若函数在一点取极值且在该点导数偏导数存在则此导数偏导数必为零

考研数学做题心得

考研数学做题心得考研数学经验心得1 一、基础阶段这个阶段主要是夯实基础,时间从大三下学期开学至暑假,每天3到4个小时,以为大三上学期学校课程本身比较繁重,所以建议用一个下午或者晚上的整块的时间来专门复习数学。复习根据历年考研数学大纲要求结合教材对应章节系统进行,打好基础,特别是对大纲中要求的基本概念、基本理论、基本方法要系统理解和掌握。在这个阶段把基础打扎实,是考验数学取得好成绩的前提。这个阶段,建议大家分为两轮来复习。第一轮精读材料:10月到次年6月中旬,9个月时间。这一阶段主要是复习教材,按大纲要求结合教材对应章节全面复习,按章节顺序完成教材的课后习题,通过练习掌握教材知识和内容。教材的编写是循序渐进的,所以我们也要按照规律来复习,重复复习会起到事半功倍的效果。第二轮练习测试、巩固基础知识:6月中旬到7月中旬,约1个月时间。这一阶段主要是练习测试、巩固所学知识。建议大家使用教材配套的复习指导书或习题集,通过做题来巩固知识,在练习过程中遇上不懂或似懂非懂的题目要认真对待,多思考,不要一看不会就直接看答案,应当先查看教材相关章节,把相关知识点彻底

搞懂。建议按要求完成练习测试后,还要对教材的内容进行梳理,对重点、难点做好笔记,以便于后面复习把它消化掉。第一阶段的复习主要靠自己,遇到难点和不会做的测试,这样能够帮助基础阶段复习有效的节约时间,更好的掌握知识点,为之后的强化阶段夯实基础。二、强化巩固阶段这一阶段主要是巩固第一阶段的学习成果。时间从7月中旬到11月初,约4个月时间,每天保证3小时以上。通过对辅导材料和真题的学习,了解考试难度和明确考试方向,进行专项复习提高自己的解题效率和质量。本阶段是考研复习的重点,对考研成绩起决定性作用。第一轮:学习时间是7月中旬到8月底两个月,主要任务是完整的、认真研读一遍考研辅导书和分析2 套考研真题,全面了解考查内容,熟悉考研数学的重点题型以及其解题方法。如果有条件的情况下,尽量参加一下考研培训行业中比较好的辅导班。第二轮:大概用一个月的时间也就是9月10月初一个多月,主要考研辅导书与专项模拟题、真题或习题的复习,对考试重点题型和自己薄弱的内容进行攻坚复习。第三轮:本阶段的最后时间段,时间是10月初到11月初。主要是学习笔记的梳理和套题的训练,检测你的解题速度和准确率,查漏补缺、薄弱加强,目的是巩固基础提高能力。

考研数学概率论重要章节知识点总结

2018考研数学概率论重要章节知识点总结第一章、随机事件与概率本章需要掌握概率统计的基本概念，公式。其核心内容是概率的基本计算，以及五大公式的熟练应用，加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式以及贝叶斯公式。第二章、随机变量及其分布本章重点掌握分布函数的性质;离散型随机变量的分布律与分布函数及连续型随机变量的密度函数与分布函数;常见离散型及连续型随机变量的分布;一维随机变量函数的分布。第三章、多维随机变量的分布在涉及二维离散型随机变量的题中，往往用到“先求取值、在求概率”的做点步骤。二维连续型随机变量的相关计算，比如边缘分布、条件分布是考试的重点和难点，考生在复习时要总结出求解边缘分布、条件分布的解题步骤。掌握用随机变量的独立性的判断的充要条件。最后是要会计算二维随机变量简单函数的分布，包括两个离散变量的函数、两个连续变量的函数、一个离散和一个连续变量的函数、以及特殊函数的分布。第四章、随机变量的数字特征本章的复习，首先要记住常见分布的数字特征，考试中一定会间接地用到这些结论。另外，本章可以与数理统计的考点结合，综合后出大题，应该引起考生足够的重视。第五章、大数定律和中心极限定理本章考查的重点是一个切比雪夫不等式，以及三个大数定律，两个中心极限定理的条件和结论，考试需要记住。第六章、数理统计的基本概念重点在于“三大分布、八个定理”以及计算统计量的数字特征。第七章、参数估计本章的重点是矩估计和最大似然估计，经常以解答题的形式进行考查。对于数一来说，有时还会要求验证估计量的无偏性，这是和数字特征相结合。区间估计和假设检验只有数一的同学要求，考题中较少涉及到。考生要对每章的出题重点做到了如指掌，加以题目训练，相信会有好的成绩!

2018考研数学：重点整理自己的错题集

2018考研数学：重点整理自己的错题集 2018考研的同学们在复习备考的初期阶段需要准备一个错题本，把自己平时做错的题抄在上面，然后自己解析，逐渐形成自己的复习指导书。下面是在整理错题本时的一些注意要点，希望对考生能够有所帮助。 1.高等数学极限、导数和不定积分这三个部分是考试中考查的重点，其他部分都是在这三个的基础上进行延伸。 2.线性代数是初等变换，含有参数的线性方程式解的讨论，还有就是方程的特征值、特征向量，有了他们，线性代数的复习就会很流畅。 3.概率论与数理统计第一章的概念，其中的条件概念，乘法公式、等三个方面; 第二章是几何分布，这章是该理论的核心，特别是二维联系变量的平均分布密度、条件分布密度，离散型的实际变量的特征和定义; 第三章数据变量的数据特征，主要就是四个概念数学期望、方差、线方差、相关系数。此外，大家在复习的过程中，应重视自己的错题，因为他们在一定程度上反映出你的知识漏洞。在数学试卷中，客观题部分主要分填空和选择。其中填空6道题，选择8道题，共56分。占据了数学三分之一多的分数。在历年的考试中，这部分题丢分现象比较严重，很多一部分同学在前面的56分可能才得了20多分，如果基本题丢掉30多分，这个时候总分要上去是一件非常不容易的事情。【填空题】 (1)考查点：填空题比较多的是考查基本运算和基本概念，或者说填空题比较多的是计算。 (2)失分原因：运算的准确率比较差，这种填空题出的计算题题本身不难，方法我们一般同学拿到都知道，但是一算就算错了，结果算错了，填空题只要是答案填错了就只能给0分。 (3)对策：这就要求我们同学平时复习的时候，这种计算题，一些基本的运算题不

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

考研高数各章重点总结

一、一元函数微分学求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。二、一元函数积分学计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。三、函数、极限与连续求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。四、向量代数和空间解析几何

计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。五、多元函数的微分学判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。六、多元函数的积分学二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。七、无穷级数判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛;

考研高数知识总结

考研数学讲座（1）考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。阳春三月风光好，抓好基础正当时。考研数学讲座（2）笔下生花花自红在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。” 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。或“依据已知条件，我首先能得到什么？”（分析法）；或“要证明这个结论，就是要证明什么？”（综合法）。在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。 “连续函数与不连续函数的和会怎样？” 写成“连续A + 不连续B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。

考研数学备考：概率论各章节知识点梳理.doc

考研数学备考：概率论各章节知识点梳理考研备考时间已然快要过半，还在为了备考方法焦灼？不用担心！老司机带你上车，下面由我为你精心准备了“考研数学备考：概率论各章节知识点梳理”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！考研数学备考：概率论各章节知识点梳理众所周知，概率论的知识点又多又杂，需要我们系统的归类并掌握，这样才能获得高分。为此我整理了相关内容，希望对大家有所帮助。第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，请各位研友务必重视起来。第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布

其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质 (4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算。第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理

考研数学通关秘籍：高数篇

考研数学通关秘籍：高数篇在考研冲刺阶段，考生要认真做往年试题。作为考研公共课“最头疼”的学科——数学，提高复习效率和解题能力就显得尤为重要，建议考生通过历年试卷反映出考研数学的出题思路和出题重点，通过对考研试题的类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题。以下是我们为大家整理分享的考研数学通关秘籍之高数篇，希望对大家有所帮助。一、注重“题感” 要想在数学考试中取得好成绩，一定要注重“题感”，也就是一定数量的题目，通过做题才能更准确、更熟练的一些公式、结论的用法，并且题目做的多了，才有可能在考场上迅速形成做题思路。另外，题目做的多了，才有可能提高解题速率和正确率。选择题和填空题在数学考卷中所占的比重很大，这些题目的解答往往会“一失足成千古恨”，稍不留神，一步做错就全军覆没。不能说只要考场上认真，仔细地做题就不会有“会做但做错”的情况出现，其实有些看似由于粗心引起的错误是由于考生之前没有碰到过这种错误，考生时大脑中意识不到要注意这些问题，所以这种错误是不能仅仅认真、仔细就可以避免得了的。二、养成良好的做题习惯考生在做题目时，要养成良好的做题习惯，做一个有心人，认真地将遇到的解答中好的或者陌生的解题思路以及自己的思考记录下来，平时翻看，久而久之，自己的解题能力就会有所提高。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解题的针对性，又能提高解题速度和正确率。最后，预祝考生们取得理想的成绩!

凯程考研：凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里；信念：让每个学员都有好最好的归宿；使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构；激情：永不言弃，乐观向上；敬业：以专业的态度做非凡的事业；服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。如何选择考研辅导班：在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩

考研数学知识点总结

2 0 19 考研数学三知识点总结考研数学复习一定要打好基础，对于重要知识点一定要强化练习，深刻巩固。整合了考研数学三在高数、线性代数及概率各部分的核心知识点、考察题型及重要度。 2019考研数学三考前必看核心知识点

知识点口诀，掌握解题技巧 1、函数概念五要素，定义关系最核心

分段函数分段点，左右运算要先行。变限积分是函数，遇到之后先求导。奇偶函数常遇到，对称性质不可忘。单调增加与减少，先算导数正与负。正反函数连续用，最后只留原变量。一步不行接力棒，最终处理见分晓。极限为零无穷小，乘有限仍无穷小。幂指函数最复杂，指数对数一起上。、待定极限七类型，分层处理洛必达。、数列极限洛必达，必须转化连续型。、数列极限逢绝境，转化积分见光明。、无穷大比无穷大，最高阶项除上下。、 n 项相加先合并，不行估计上下界。、变量替换第一宝，由繁化简常找它。、递推数列求极限，单调有界要先证，两边极限一起上，方程之中把值找。、函数为零要论证，介值定理定乾坤。、切线斜率是导数，法线斜率负倒数。、可导可微互等价，它们都比连续强。、有理函数要运算，最简分式要先行。、高次三角要运算，降次处理先开路。、导数为零欲论证，罗尔定理负重任。 23 、函数之差化导数，拉氏定理显神通。 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

24、导数函数合（组合）为零，辅助函数用罗尔。 25、寻找En无约束，柯西拉氏先后上。 26、寻找En有约束，两个区间用拉氏。 27、端点、驻点、非导点，函数值中定最值。 28、凸凹切线在上下，凸凹转化在拐点。 29、数字不等式难证，函数不等式先行。 30、第一换元经常用，微分公式要背透。 31、第二换元去根号，规范模式可依靠。 32、分部积分难变易，弄清u、v是关键。 33、变限积分双变量，先求偏导后求导。 34、定积分化重积分，广阔天地有作为。 35、微分方程要规范，变换，求导，函数反。 36、多元复合求偏导，锁链公式不可忘。 37、多元隐函求偏导，交叉偏导加负号。 38、多重积分的计算，累次积分是关键。 39、交换积分的顺序，先要化为重积分。 40、无穷级数不神秘，部分和后求极限。 41、正项级数判别法，比较、比值和根值。 42、幕级数求和有招，公式、等比、列方程。 2019考研数学各科核心考点梳理

考研数学解题技巧高数总结

函数极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近导数的概念本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了不定积分：导数的逆运算什么样的函数有不定积分定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆定积分的几何应用和物理应用高等数学里最重要的数学思想方法：微元法微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性微分中值定理，可从几何意义去加深理解泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的

考研数学：高数重要公式总结(基本积分表)

凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研数学：高数重要公式总结（基本积分表）考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦!

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考研数学(一)知识点汇总

1：数列极限手册P13 1.01：求极限时候，函数中有阶乘且趋近于无穷大，要用级数法，即证明函数是收敛的（可以用根值，比值），故趋近于无穷大为0. 1.02：已知0x lim ()x f x A ->=，则()f x A α=+，0 x lim 0x α->= 1.1：奇+奇=奇，偶+偶=偶， ()==奇偶奇奇，（奇）偶，偶偶偶 1.2：f(x)为周期函数，0x =(t)dt x F f ?（），不一定是周期函数，但是f （x ）如果是奇函数，这个就成立了。且为奇函数时候。00(t)dt (t)dt x x f f -=?? 1.3：判断函数有无上下界，用绝对值放缩或导数最大最小，文登P3 1.305：奇函数的原函数一定是偶函数。 1.31：()lim ()n f x g x ->∞ =，一般把g （x ）给分段 1.4：证明连续：00->0 lim[f(x +)-f(x )]x x ?? 1.5： 22sin(1)(1)sin[(1)]n n n n ππ+=-+-这个让原本不是交错级数的变成了交错级数。 1.6： xlny=xln （y-1+1),于是等价无穷小于x （y-1）前提是y 趋近于1

1.7：20f(x)-g(x),0....o x 37 式出现可以对二者使用迈克劳林，然后消去相同项，注意不能消去（）文登P 1.8：测试函数：（1）x 大于0,为1，小于0为-1 （有界不收敛）（2）x=sinn ，y=1/n （x 发散，y 收敛，无穷大时xy=0）（3）x （n ）在n 为奇数时为n ，为偶数时为0，y （n ）反过来，xy 都是无界，但是xy=0 1.9：文登P26.1.55 P23.1.49 1.91：证连续就是要证，左值=右值=等于该点值，证可导是左导数等于右导数即可。 1.92：看到导数大于小于0的时候，不仅有递增递减，还可以写出导数的极限表达式，然后利用保号性可以通过极限分式下半部的正负性决定上半部的正负性。注意在x0的左右两个领域内，0x x -正负不一，而决定 0()()f x f x -的正负，模拟卷1.1 1.93：对于一阶导数的方程，由一阶导数方程的24b ac -<0知道一阶导数恒大于0或者恒小于0，知原函数恒增或恒减模拟卷1.4 1.94：不连续点求导用极限求模拟卷3.9 2：收敛数列三性质（唯一性，有界性，保号性）手册P14 3：函数极限手册P15

考研数学总结高数篇

上册：函数（高等数学的主要研究对象）极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近导数的概念本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了不定积分：导数的逆运算什么样的函数有不定积分定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法：微元法微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性微分中值定理，可从几何意义去加深理解泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的下册（一）：多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数最典型的是二元函数极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况

考研高数知识总结1

考研数学讲座（17）论证不能凭感觉一元微分学概念众多，非常讲究条件。讨论问题时，要努力从概念出发，积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。 1． x趋于∞时，求极限 lim xsin（2x∕(x平方+1) ,你敢不敢作等价无穷小替换? 分析只凭感觉，多半不敢。依据定义与规则，能换就换。 x 趋于∞时，α = 2x∕(x平方+1)是无穷小，sinα是无穷小， sinα（x）～α（x）且sinα处于“因式”地位。可以换。等价无穷小替换后，有理分式求极限，是“化零项法”处理的标准∞∕∞型，答案为 2 2．设f(x)可导，若f(x)是奇（偶）函数（周期函数，单调函数，有界函数），它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性（周期性，单调性，有界性）？分析有定义数学式的概念，一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如奇函数 f(－x)= －f(x) 周期为T的函数 f(x+T)= f(x) 等式两端分别求导，得 fˊ(－x) = fˊ(x) fˊ(x+T)= fˊ(x) （实际上，由复合函数求导法则，（f(－x)）ˊ= fˊ(－x) (－x)ˊ= －fˊ(－x)）所以，奇函数的导数是偶函数；偶函数的导数是奇函数。（如果高阶可导，还可以逐阶说下去。）周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是，因为 (x)ˊ= 1 ，有的非周期函数，比如y = x + sinx ，的导数却是周期函数。（潜台词：周期函数的原函数不一定是周期函数。）单调函数定义中没有等式的概念，可以先在基本初等函数中举例观察。如y = x单增，yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在（0，π/2）单增，yˊ = conx 单减，没有确定的结论。有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到，在x趋于x0时，要是导数值无限增大，相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然，圆周上就有具竖直切线的点。取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趋于 1 时，其导数的绝对值趋于正无穷。这个反例说明有界函数的导数不一定有界。（画外音：写出来很吓人啊。 x → 1 时，lim f (x) = 0 ，而 lim fˊ(x)= －∞） 3．连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗？分析连续函数的复合，花样更多。原因在于复合函数f（g（x））的定义域，是f（x）的定义域与g（x）值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而，有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如：取分段函数g（x）为，x ＞ 0 时 g =1 ， x ≤ 0 时 g = －1，0是其间断点。取f（u）=√u ，则f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 时有定义且连续。还有一些原因让“病态点”消失。如果只图简单，你可以取f（u）为常函数。以不变应万变。取f（u）= u的平方，则f（g（x））= 1 ，显然是个连续函数。 4．设 f (x)可导，若x趋于 +∞时，lim f (x) = +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞ 分析稍为一想，就知为否。例如 y = x 更复杂但颇为有趣的是 y = ln x ，x 趋于 +∞时，它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0 ，这就是对数函数异常缓慢增长的原因。

考研数学高数部分重难点总结

考研数学高数部分重难点总结 1高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、连续》 1.2 求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小； 2.利用洛必达法则，对于00型和 ∞ ∞ 型的题目直接用洛必达法则，对于∞ 0、0 ∞、∞ 1型的题目则是先转化为 00型或∞ ∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括 1sin lim =→x x x 、e x x x =+→1 )1(lim 、e x x x =+ ∞ →)1(1lim ；4.夹逼定理。 1.3 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分 ?+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分?dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是 ?+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于 ? -a a dx x f )(型定积分，若 f(x)是奇函数则有 ? -a a dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有?-a a dx x f )(=2?a dx x f 0)(；对于?2 )(π dx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -= 2 π 的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量