第二讲
代表偏好关系的效用函数的存在性及其性质研究
偏好关系?效用函数?需求函数（即两大问题：效用函数的存在性、效用最大化问题）
Mill 和Edgeworth ：效用可以测量，可比较。
Pareto(1896)：对效用的可测量性表示怀疑。(可能性)
Slusky(1915)：第一次不用可测量的效用却推导出了需求理论。（必要性） Hicks(1935)：边际效用递减规律（凸性假设），对需求规律既不必要，也不充分。
Samulson(1947)：在其博士论文《经济分析的基础》中完成了消费者行为最优化的方法。 Debreu(1959)：完成了标准的消费理论的推导，其效用概念公依赖于偏好关系。 Theory of V alue,New York: John Wiley.及其系列论文。
其他人：古诺、瓦尔拉斯、马歇尔、冯·诺伊曼、阿罗等人。
静态理性公理化体系，新古典经济学以此为基础，成为现代经济学的主流。
公理化分析是指：选择原始概念，形成有关假设，运用与任何对原始概念的主观解释无关的数学推理工具（因为数学是迄今我们能够利用的最为严密的又为最广泛的人们所接受的科学），从那些假设中推出结论。这一方法始于欧几里德（见其《几何原本》），希尔伯特在其《几何基础》（1899）中做了最终的总结。将这一方法引入经济学的则是德布鲁。正如他在接受诺贝尔经济学奖的讲演《数学形式的经济学》中所阐述的：“经济理论的公理化可以使一个理论假设完全明确化，可以对这个理论的适用范围做出比较健全的判断……他坚持了数学的严格性，满足了当代许多经济学家追求严格性本身的学术需要……他建立了一个坚实的基础，在这个基础上，经济学家能够用非常经济的方式去相互交流、去思考……探讨能够从新的方向上开始，在以前，研究者必须在每一细节上都怀疑前辈的著作，现在则可以从中解放出来”（德布鲁，1984）。
2.1 什么是效用函数？
第一讲，我们介绍了偏好关系的公理性假设
第二讲，将以此为基础，进一步说明效用函数的存在性及其性质 ——什么是效用函数？
——为什么我们非常希望．．
效用函数的存在？ ——那么效用函数存在吗？有何条件？ ——如果存在效用函数的话，偏好关系的一些约束在效用函数上面又有何反映？效用函数的性质？
定义：2.1 一个效用函数被定义如下：
一个实值函数:n
u +→R R ，在下列条件下被称为代表偏好关系的效用函数，该条件是：
对于所有的01,n x x +∈R ，01()()u x u x ≥?01
x x f
2.2 为什么非常希望效用函数存在？
2.2.1 效用函数反映了偏好关系所传递的信息（等价）
现代理论中，偏好关系被当作偏好的最原始、最基本的特征。而包含在消费者偏好关系中的信息被效用函数精确地总结，效用函数只“代表”或总结由偏好关系所传递的信息。
2.2.2 效用函数是一种方便的研究工具
可以使用现成的数学工具（定理，计算方法）进行分析，得到更为严谨深刻的结论，且便于研究者观点的交流和学习。
2.3效用函数存在吗？
定理2.1：假定X 上的理性偏好关系是连续的，则必定存在一个代表f 的连续效用函数。 要证明上面的命题，即可知在此条件下效用函数是存在的。 证明之前所需要的解释：
（1）其为存在性定理，说明至少存在一个这样的效用函数，但也许可能还有多个。 （2）注意到凸性假设和单调性假设在此并不是必需的（作图表示后者的含义） （3）为了使证明简化和易于理解，在此加入严格单调性的条件来完成证明。
证明：
设定单位向量(1,,1)n e +=∈R L ，并考虑一个满足如下条件的实值函数:n
u +→R R ：
()u x e x （2.1）
？1：如何理解上面条件的含义？
？2：是否存在一个数()u x ，使得上面的想法成立？
？3：这个数值集()u x 是否被良好的定义（即，从x 到函数值()u x 的映射路径是唯一的）。
x 2
x 1
图2.1
？4：这个效用函数与偏好关系是否等价？
？5：还希望这个效用函数最好是连续且可微的，能行吗？
KEY TO ？1：
理解上面的表示形式：
给定有三种水果，苹果，梨和桔子。现在果篮1中有水果（1，1，1），这代表三种水果各有一个。又知道，果篮2中有（2，2，2），果篮3中有（3，3，3）。现将果篮1作为标准篮。 （1）则果篮2和3与标准果篮的关系？（其序数性质的说明） （2）如果有果篮4（2，2，3），则其与果篮2和3的偏好关系？ （3）结合图示2.2，(2,1)x =
（4）标准果篮是否一定得是（1，1，1）？如果可以改变，则对()u x 意味着什么？
KEY TO ？2：
是否存在？
首先应明确n
x +∈R ，并且希望能够存在如下两个实数的子集：
{0}A t te =≥f {}B t o te =≥p
并且，若有*
t A B ∈I ，那么*t e x ，即可得*
()u x t =。
所以我们首先得证明，A 、B 都非空，而且A B I 也必须得保证非空。
——A 、B 都非空成立吗？
首先，根据偏好关系的单调性：只要t 足够大，A 必为非空； 同样根据单调性，B 也非空，因为至少t=0在B 中。
x 2
x 1
1}x
u(x)
图2.2
——能保证A B I 也是非空吗？
首先，A 与B 是闭的（由偏好关系的连续性）。
偏好关系意味着A 和B 都是闭的？（其实两者是等价的） 证明：以B 为例进行说明
将{}B t o te x =≥p 中的te 看作是序列 n
y ，只要n
x y f 对所有的n 都成立，且
lim n n y y →∞=，我们就有x y f （只要令，对于所有的n ，n x x =）
第二，根据严格的单调性和上面的闭性质，
对所有的t t ′≥，t A ∈，意味着t A ′∈，因此A 必定是[,]t ∞形式的一个闭区间。 同理，B 是[0,]t 形式的一个闭区间。
现在对于任何一个0t ≥，偏好关系的完备性意味着，要么te x f ，要么te x p ，即下式成立：
[,][,]A B o t t +==∞R U U
所以必有：t t ≤，从而使得A B ≠?I 得证。
KEY TO ？3：
这个数值集()u x 是否被良好的定义（即，从x 到函数值()u x 的映射路径是唯一的）。 要证明，存在唯一的一个数0t ≥，使得te x 成立。
容易看到，若有：
1t e x 和2t e x
则根据无差异偏好关系的传递性，有：12t e t e 。 再根据严格单调性：12t t =
现在我们得出结论，认为：对于n
x +∈R ，存在并且恰好存在一个正数u(x)使得(2.1)式成立。 这样，我们就得到了：01x x f ?01()()u x u x ≥。
我们还需要对另一个方向的关系做出证明，才能得到效用函数存存性的完整证明，即：
01x x f ?01()()u x u x ≥
如果证明了上式，再结合上面的证明，即得到了——
KEY TO ？4：
证明如下：
第一步关系根据u 的定义，第二步根据偏好关系的传递性，第三步根据严格单调性。
KEY TO ？5：
还希望这个效用函数最好是连续且可微的，能行吗？ 先看连续性：
1.回忆函数的连续性，和不连续情况（第一间断点——收敛，第二间断点——发散）
2.首先证明u(x)是收敛的（即排除了第二间断点的不连续情况）
3.再证明u(x)只收敛于一点，这一点是在效用函数存在性中已确定的。（排除第二类间断点）
1. 连续和不连续
——连续性的函数定义法：
设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值0()f x ，即：
0lim ()()x x f x f x →=
那么称函数f(x)在0x 处连续。
——设函数f(x)在0x 的某去心邻域内有定义，如果有以下情形之一，便为间断点（不连续）： （1） 在0x x =没有定义 （效用函数的存在性的证明，已表明这一情形不成立） （2） 虽在0x x =有定义，但0
lim ()x x f x →不存在；
（第二类间断点，发散的情形） 如：无穷间断点（2
lim tan x x π
→
=∞）和振蒎间断点（sin(1/)y x =在x=0处）
（3） 虽在0x x =有定义，且0
lim ()x x f x →存在，但0
0lim ()()x x f x f x →≠（第一类间断点）
可去间断点和跳跃间断点，加图示。
要证明u(x)在所有x 上都是一连续函数；即对于任意序列lim n n x x →∞=，我们有：
lim ()()n n u x u x →∞=
1
00110101()()()()()()
o x x u x e x x u x e u x e u x e u x u x ???≥f f f
即，lim ()()n n
x x u x u x →=
2. 首先证明u(x)是收敛的
用到一个定理：紧集内的无限序列都必然有一个收敛的子序列。 ——先构造一个紧集：
任给0ε>，对于所有使得x x ε′?≤的x ′，()u x ′位于+R 的紧子集01[,]u u 中。 ——找到有关的无限序列：
由于n x 序列收敛于x ，因而存在一个N ，使得对于所有n>N ，()n
u x 位于这一紧集中。
再根据上面的定理，()n u x 一定有一个收敛的子序列。
3.再证明u(x)只收敛于一点，这一点是在效用函数存在性中已确定的。（排除第二类间断点） 即要证明：()n
u x 的所有收敛子序列均收敛于u(x) 反证法。
假定：存在某一严格增函数()m ，该函赋予每个正整数n 一个正整数m(n)。并且对于该函数来说，子序列()
()m n u x
收敛于()u u x ′≠。
我们先来证明()u u x ′>将导致矛盾（()u u x ′<亦同理可致矛盾）： 若()u u x ′>，则由单调性得：
()u e u x e ′f （2.2）
现在，令
1
?[()]2u u u x ′=+ （2.3） 则点?ue
是Z 上介于u e ′和()u x e 之间的中点。 根据单调性有：
?()ue
u x e f （2.4） 由于()
?()m n u x
u u
′→>，因而存在一个N ，使得对于所有n N >，有()?()m n u x u > 根据单调性：()
?()m n u x e ue
f （2.5） 因此，对于所有这样的n ，有()()?()m n m n x u x e ue
f (2.6) 由于偏好是连续的，这将意味着?x ue
f (2.7)
但是由于()x u x e ，我们有：?()u x e ue
f (2.8) (2.4)与(2.8)矛盾。因此排除()u u x ′>，()u u x ′<亦可同理排除。
因此，()n
u x 的所有收敛子序列均收敛于u(x)
在效用函数存在的事实基础上，我们还有更多的美好愿望：
最好效用函数是连续可微（二次可微）的——这样分析起来就能用到以前学过的数学工具了（导数、微分、求极值的最优化方法等）。
那么这个愿望能实现吗？
首先，关于连续性。
存在性中的证明已经说明，给定连续的理性偏好关系，则必存在一个连续的效用函数。 但是，由于效用函数并不唯一，其可通过单调变换获得多种形式，在这些形式中，并不一定都是连续的（反例：根据单调变换，我们可以找到一个对原来连续效用函数保序的，但并不连续的效用函数，如图2.4）。因此只能说，其中至少有一个是连续的。幸运的是，还好我们总能找到一个代表原来偏好关系的连续效用函数。这就解决了连续性的问题。
定义2.2 单调变换：
当12u u >意味着12()()f u f u >时，则称f(u )为原效用函数u(x)的单调变换。 （保序） 常见的单调变换例子：
（1）对原效用函数乘上一个正数； （2）对原效用函数加上任意一个数 （3）对原效用函数取奇次幂； （4）取对数函数或指数函数
x 2
1图2.3