第十三章函数列与函数项级数
教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。
教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。
教学时数：20学时
§ 1 一致收敛性
一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：
收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.
逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“”定义.
例1 对定义在内的等比函数列, 用“”定义验证其收敛域为, 且
例2 .用“”定义验证在内
.
例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: .
⑴. .
⑵. .
⑶设为区间上的全体有理数所成数列. 令
, .
⑷. , .
⑸
有, , . （注意.）
二. 函数列的一致收敛性:
问题: 若在数集D上, . 试问: 通项的解析性质是否必遗传给极限函数? 答案是否定的. 上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但
.
用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初等
函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓
“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.
定义( 一致收敛 )
一致收敛的几何意义.
Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列在数集D上一致收敛,
, .
( 介绍另一种形式.)
证 ( 利用式)
易见逐点收敛. 设,……,有
. 令, 对D成立, 即, ，D.
推论1 在D上, ，.
推论2 设在数集D上, . 若存在数列 D , 使, 则函数列在数集D上非一致收敛 .
应用系2 判断函数列在数集D上非一致收敛时, 常选为函数
―在数集D上的最值点.
验证函数一致收敛性:
例4. 证明函数列在R内一致收敛.
例5. 证明在R内, 但不一致收敛.
证显然有,在点处取得极
大值,. 由系2 , 不一致收敛.
例6. 证明在内,
.
证易见而
在内成立. 由系1 , ……
例7 对定义在区间上的函数列
证明: , 但在上不一致收敛. P38—39 例3, 参图13-4.
证时, 只要, 就有. 因此, 在上有
. , .于是, 在上有. 但由于, , 因此 , 该函数列在上不一致收敛.
例8 . 考查函数列在下列区间上的一致收
敛性:
⑴ ; ⑵.
三. 函数项级数及其一致收敛性:
1．函数项级数及其和函数：，, 前项部分和函数列，收敛点，收敛域, 和函数, 余项.
例9 定义在内的函数项级数( 称为几何级数 )
的部分和函数列为, 收敛域为.
2.一致收敛性: 定义一致收敛性.
Th2 (Cauchy准则 ) 级数在区间D上一致收敛,
, 对D成立.
推论级数在区间D上一致收敛, , .
Th3 级数在区间D上一致收敛,
.
例10 证明级数在R内一致收敛 .
证令=, 则时
对R成立. ……
例11几何级数在区间上一致收敛；但在
内非一致收敛.
证在区间上 , 有
, . 一致收敛 ;
而在区间内 , 取, 有
, .
非一致收敛.
( 亦可由通项在区间内非一致收敛于零,非一致收敛.)