科目：数学教案（第一册）
初中知识复习（1-4）
第一节 乘法公式、因式分解
重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分解法，试根法
难点：公式的灵活运用，因式分解
教学过程：
一、 乘法公式
引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变化）那三数
和的平方公式呢？ac bc ab c b a c b a 222)(2
222+++++=++
（从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如?)(3=+b a ，
能用学过的公式推导吗？（平方―――立方） 32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++==++=+ ···················①
那?)(3=-b a 呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从①式看出结果？将3
)(b a +中的
b 换成－b 即可。（R b ∈ ）▲这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候才可以代换 3223333)(b ab b a a b a -+-=-············符号的记忆，和――差 从代换的角度看
问：能推导立方和、立方差公式吗？即（ ）（ ）＝3
3b a ±
由①可知，))(()33()(2222333b ab a b a ab b a b a b a +-+==+-+=+ ······②
立方差呢？②中的b 代换成－b 得出：))((2233b ab a b a b a ++-=-
▲符号的记忆，系数的区别
例1：化简)1)(1)(1)(1(22+++--+x x x x x x
法1：平方差――立方差
法2：立方和――立方差
（2）已知,012=-+x x 求证：x x x 68)1()1(33-=--+
▲注意观察结构特征，及整体的把握
二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变形。初中学过
的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差等）
（1）十字相乘法
试分解因式：)2)(1(232++=++x x x x
要将二次三项式x 2
+ px + q 因式分解，就需要找到两个数a 、b ，使它们的积等于常数项q ，
和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即
x 2 + px + q = x 2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
用十字交叉线表示
a +
b （交叉相乘后相加）
若二次项的系数不为1呢？)0(2≠++a c bx ax ，如：3722+-x x 如何处理二次项的系数？类似分解：1 －3
2 －1
-6 + -1 = -7
)12)(3(3722--=+-x x x x
整理：对于二次三项式ax 2
+bx+c （a ≠0），如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即
a=a 1a 2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c 1c 2，把a 1，a 2，c 1，c 2排列如下：
a 1 +c 1
a 2 +c 2 a 1c 2 + a 2c 1 = a 1c 2 + a 2c 1
按斜线交叉相乘，再相加，得到a 1c 2+a 2c 1，若它正好等于二次三项式ax 2+bx+c 的一次项系数
b ，即a 1
c 2+a 2c 1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a 1x+c 1与a 2x+c 2之积，即 ax 2+bx+c=（a 1x+c 1）（a 2x+c 2）。〔按行写分解后的因式〕
十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项系数为负时，
如何简化
例2：因式分解：（1）5762++-x x （2）2
2865y xy x -+ （3）2)322)((----y x y x
（2）分组分解法
分解yn ym xn xm +++，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法及十字
相乘法
两种方法
适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，····叫分组分解法
▲如何适当分组是关键（尝试，结构），分组的原则，目的是什么？分组后可以提取公因式，
或；利用公式
练习：因式分解（1）x x x 33923+++ （2）224)1(4y xy x +-+
（3）433
-+x x （试根法，竖式相除）
归纳：如何选择适当的方法
作业：
将下列各式分解因式
（1）652-+x x ； （2）652+-x x ； （3）652++x x ；（4）652
--x x
（5）2223a ax x -+； （6）2233xy y x y x +--；（7）b a ab b a +-+-2222
（8）646-a ；（9）a x a x ++-)1(2
第二节 二次函数及其最值
重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最值问题
难点：给定区间的最值问题
教学过程：
一、韦达定理（二次方程根与系数之间的关系）
二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 什么时候有根（判别式≥0时），此时由求根公式得，a
ac b b x 242-±-=，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方程，直接从方程中看出两根和（积）与系数的关系吗，
a
b a a
c b b a ac b b x x -=---+-+-=+24242221 a
c a ac b b a ac b b x x =---?-+-=24242221 反过来，若21,x x 满足a
c x x a b x x =-=+2121,，那么21,x x 一定是)0(02≠=++a c bx ax 的两根，即韦达定理的逆定理也成立。
作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系
（2）已知两数，构造出以两数为根的一元二次方程（系数为1）：0)(21212=++-x x x x x x
例1：21,x x 是方程05322
=--x x 的两根，不解方程，求下列代数式的值；
①2221x x + ②||21x x - ③3231x x +
第一章集合
§1．1 集合的概念（5-6）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解集合、元素及其关系；
（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．
能力目标：
通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.
【教学重点】
集合的表示法．
【教学难点】
集合表示法的选择与规书写．
【教学设计】
（1）通过生活中的实例导入集合与元素的概念；
（2）引导学生自然地认识集合与元素的关系；
（3）针对集合不同情况，认识到可以用列举和描述两种方法表示集合，然后再对表示法进行对比分析，完成知识的升华；
（4）通过练习，巩固知识．
（5）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学．【教学过程】
*新阶段学习导入语
介绍中职阶段学习数学的必要性，数学的学习容、学习方法、学习特点等等．
同学们就要开始新的人生阶段了，很高兴可以和大家一起度过这段美好的时光.希望同学们可以通过自己不懈的努力，在毕业后能够找到一个合适的工作，能够独立生存，能够成为为家庭、为企业、为社会做出自我贡献的能工巧匠.当然要达到这样的目的需要你脚踏实地的认真的学做人、学做事，那么现在请让我们从学习开始……
1．学习——旅程
学习是一段旅程，对知识的探求永无止境，而且这段旅程可以从任何时候开始！未来的成功在现在脚下！
2．老师——导游
与大家一起开始这一段新的旅程、一起分享学习中的快乐、一起体会成长与进步的滋味.
3．目的——运用
我们应当能够理解数学，而且通过运用数学进行沟通和推理，在现实生活中应用数学来解决问题，养成一种数学上的自信心理.请不要害怕学数学，每个人都可以根据自己的能力和实际需要学好自己的数学．
4．准备——必需品
轻松愉快的心情、热情饱满的精神、全力以赴的态度、踏实努力的行动、科学认真的方法、及时真诚的交流．
*揭示课题
缤纷多彩的世界，众多繁杂的现象，需要我们去认识．将对象进行分类和归类，加强对其属性的认识，是解决复杂问题的重要手段之一．例如，按照使用功能分类存放物品，在取用时就十分方便．这就是我们将要研究学习的1.1集合．
*创设情景兴趣导入
某商店进了一批货，包括：面包、饼干、汉堡、彩笔、水笔、橡皮、果冻、薯片、裁纸刀、尺子．那么如何将这些商品放在指定的篮筐里？
面包、饼干、汉堡、果冻、薯片组成了食品集合，彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子组成了文具集合．
而面包、饼干、汉堡、果冻、薯片、彩笔、水笔、橡皮、裁纸刀、尺子就是其对应集合的元素．*动脑思考探索新知
由某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集．组成集合的对象叫做这个集合的元素．
如大于2并且小于5的自然数组成的集合是由哪些元素组成？
一般采用大写英文字母,,,
a b c…表示集合的元素．
A B C…表示集合，小写英文字母,,,
拓展
集合中的元素具有下列特点：
(1)互异性：一个给定的集合中的元素都是互不相同的；
(2)无序性：一个给定的集合中的元素排列无顺序；
(3) 确定性：一个给定的集合中的元素必须是确定的.
不能确定的对象，不能组成集合．例如，某班跑得快的同学，就不能组成集合．
例1下列对象能否组成集合：