南京大学
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课题：3-2 正弦交流电的向量表示及本章相关概念
教学目的要求：掌握正弦交流电的向量表示
知道感抗容抗功率因数谐振条件
教学重点、难点：正弦交流电的向量表示
授课方法：讲授法问题教学法范例教学法练习法
教学参考及教具（含多媒体教学设备）：教材、教参、讲义、
多媒体_
授课执行情况及分析：_____________________________________ 板书设计或授课提纲
《电工学（少学时）》第三章正弦量的相量表示法 学习目标： 1. 掌握复数的基本知识。 2 ．掌握正弦量的相量表示法。 重点：正弦量的相量表示法。 难点：相量图 一、相量法的引入 一个正弦量可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。但是用这两种方法进行正弦量的计算是很繁琐的，有必要研究如何简化。 由于在正弦交流电路中 , 所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。 二、复数概述 1 ．复数：形如的式子称为复数，为复数的实部，为复数的虚部，、 均为实数，为虚数单位。 图 4-3 复数的图示法 2 ．复数的图示法
式中为复数 A 的模，为复数 A 的辐角。 3 ．复数的表示形式及其相互转换 其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。 4 ．复数的运算法则 ①相等条件：实部和虚部分别相等（或模和辐角分别相等）。 ②加减运算：实部和实部相加（减），虚部和虚部相加（减）。 ③乘法运算：模和模相乘，辐角和辐角相加。 ④ 除法运算：模和模相除，辐角和辐角相减。 三、相量表示法 1 ．正弦量与复数的关系 = sin( ψ )= [ ]= [ ] 正弦电压等于复数函数的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素。 2 ．相量 ---- 分有效值相量和最大值相量 ① 有效值相量：= / ψ ② 最大值相量：= / ψ 3 ．相量图
在复平面上用一条有向线段表示相量。相量的长度是正弦量的有效值I ，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相。这种表示相量的图称为相量图。 例 4-4 ：。写出表示 1 和2 的相量，画相量图。 解： 1 =100 /60 ° V 2 =50 /-60 ° V 相量图见图 4-4 。 例 4-5: 已知 1 =100 sin A ， 2 =100 sin( -120 ° )A ，试用相量法求 1 + 2 ，画相量图。 解： 1 =100 /0 °A 2 =100 /-120 ° A 1 + 2 =100 /0 ° + 100 /-120 ° =100 /-60 ° A 1 + 2 =100 sin( -60 ° )A 相量图见图 4-5 。 作业： 4-5 、 4-7 、 4-8
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理 考纲解读 考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度 1.向量的线性运算及几何意义1.理解平面向量的有关概念及向量的表 示方法 2.掌握向量加法、减法、数乘的运算,理 解其几何意义 3.理解两个向量共线的含义 4.了解向量线性运算的性质及其几何意 义 Ⅱ 2019课标全国Ⅱ,4; 2019福建,10; 2019四川,12 选择题 填空题 ★★☆ 2.平面向量基本定理及向量的坐标运算1.了解平面向量基本定理及其意义 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表 示 3.会用坐标对向量进行线性运算 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条 件 Ⅲ 2019山东,11; 2019课标全国Ⅱ,13; 2019四川,9; 2019课标Ⅰ,2 ★★★ 分析解读 高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握. 五年高考 考点一向量的线性运算及几何意义 1.(2019课标全国Ⅱ,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则() A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 答案A 2.(2019陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立 ···· 的是() A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
向量的概念及运算知识点与例题讲解 【基础知识回顾】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度） ，记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0。由于0的方向 是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a ∥b 。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向 量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的 ⑤相等向量 长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?21 21y y x x 。 2．向量的运算 （1）向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC 。 规定： （1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 A B C a b
河北经济管理学校教案 序号：1 编号：JL/JW/ 河北经济管理学校教案
一、课堂导入与提问（10min） 人们为了便与研究正弦交流电，常用三种方法来表示正弦交流电，对于三种表示方法都有哪些了解 二、讲授新课（25min） 1.解析式法解析正弦交流电 解析式法就是用三角函数式来表示正弦交流电的方法，即写出瞬时值表达式。它是表示正弦交流电最基本的方法。正弦交流电电动势、电压、电流的解析式一般表示为e=Emsin（ωt+Φe）=Em sinα u=Umsin（ωt+Φe）=Um sinα i=Imsin（ωt+Φe）=Im sinα 2.理解波形图法 波形图是与正弦交流电解析式相对应的函数图像，它能形象、直观的表示正弦量用波形图表示正弦交流电u = Um sinωt 3.旋转向量与正弦量（重难点） 一个正弦量可以用一个旋转向量来 表示，如图所示 得出结论：一个正弦量可以用一个 起始位置等于正弦初相的旋转向量来表 示 4.运用向量法分析正弦交流电（重难 点） （1）复数法：正弦量可以用复平面内的矢量表示，复数也可以用复平面内的矢量表示，因此正弦量可以用复数表示 （2）相量图法：向量在复平面上的图形称为向量图。作图时可以根据正弦量的最大值和初相画出最大值向量图，也可以根据正弦量的有效值和初相画出有效值相量图。一般我们使用有效值相量图，有效值相量图简称相量图。用相量图表示正弦量的方法称为相量图法三、计算举例（30min）
四、课堂小结（15min） 1.解析式法就是用三角函数式来表示正弦交流电的方法，即写出瞬时值表达式。它是表示正弦交流电最基本的方法。 2.波形图是与正弦交流电解析式相对应的函数图像，它能形象、直观的表示正弦量 用波形图表示正弦交流电u = Um sinωt 3.一个正弦量可以用一个旋转向量来表示 4.用旋转矢量表示正弦量时： （1）矢量的长度表示正弦交流电的最大值（也可表示有效值）； （2）矢量与横轴的夹角表示初相。 （3）矢量旋转速度表示正弦交流电的角频率。 五、布置作业（10min） 课本P157自我测评4、5、6、7
正弦量相量表示 1、基本概念 （1）正弦电路相量表示方法。正弦量的相量表示实质上就是用复数表示正弦量。为与一般的复数相区别，将表示正弦量的复数称为相量。正弦量的相量表示如表1所示。 表1正弦量的相量式三角函数式 相量的极坐标式相量的直角坐标式电压t U u ωsin 2=o 0∠=U U ）（o o 0sin j 0cos +=U U 电流)30sin(2o +=t I i ωo 30∠=I I ）（o o 30sin j 0cos3+=I I 电动势)30sin(2o -=t I e ωo 30-∠=E E ）（o o 30sin j 0cos3-=E E （2）相量的实质与目的。相量表示的实质上就是用复数表示正弦量。正弦量可用三角函数式、波形图等表示，但以此方法分析正弦交流电路比较困难，引入相量的目的是为了简化正弦交流电路的分析方法，即将正弦交流电路的计算变成复数式的代数运算。 2、正弦交流电路的相量分析方法 正弦交流电路引入相量后，正弦交流电路就有相量式法和相量图法两种分析方法。 （1）相量式法 1）将电路中已知的正弦量电压、电流、电动势用相量表示； 2）将电路中无源元件用阻抗表示，如R 、jX L 、-jX C ；
3）用各种电路分析方法求解，所有方程均为相量方程。一般加减运算用代数式；乘除运算用指数式或极坐标式。 （2）相量图法 1）选取参考相量，一般并联电路选电压U 、串联电路选电流I ，复联电路要视具体情况而定； 2）以参考相量为基础，根据元件上电压与电流的相位关系画出电路的相量图； 3）根据相量的几何关系（平行四边形法则）求解待求物理量。 2、注意事项 （1）正弦量与相量间为对应关系，不是“相等”或“等效”关系。 （2）相量法是分析计算正弦交流电路的一种辅助数学工具，可使正弦量的数学运算更为简便，且只适应于同频率的正弦量的分析计算。 （3）分析和计算正弦交流电路时，必要时可借助相量图的几何关系，同一相量图中各正弦量必须频率相同。
第九讲 正弦量的相量表示法 一、相量法的引入 1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。 2、正弦量的复数表示法： 假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y a b arctg b a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅； 复数的幅角：表示电压的初相。 正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量 1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。 3-2-1 正弦电压和电流的相量 2、正弦电压相量与正弦电压的关系 （1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。 （2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。 实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数 虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数
图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影 （3）正弦量与相量表示法的相互关系 三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1?+=t t i ， A )120314cos(10)(2?--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。 解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1?+=t t i 的相量为 A 605A e 560j m 1 ∠==I 用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。 将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m 2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图 3-2-2。从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。 i m m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=?→←+=∠=?→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A )180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=?→?+=+?+-=--=I t t t t i
向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、 实数与向量的积、向量的数量积及其运算法则，理解 向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向 量平行。<注意与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可 以重合，记为b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则 a + b =+=。向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法
则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换 律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ） )(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则 a = b -,b =a -,a +b =0 。 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，记作： )(b a b a -+=-。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 b a -的作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量 （a 、b 有共同起点）。 注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 4)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ；
05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一) 平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 平面向量的有关概念 [典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b | 成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | (2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [解析] (1)因为向量a |a |的方向与向量a 相同，向量b |b |的方向与向量b 相同，且a |a |＝b |b | ，所以向量a 与 向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |，故a ＝2b 是a |a |＝b |b | 成立的充分条件． (2)向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0 平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. [答案] (1)C (2)D [易错提醒] (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上． 突破点(二) 平面向量的线性运算 1．向量的线性运算：加法、减法、数乘 2．平面向量共线定理：向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa . 平面向量的线性运算 [例1] (1)在△ABC 中， AB ＝c ， AC ＝b .若点D 满足 BD ＝2 DC ，则 AD ＝( ) A.13b ＋23c B.53c －23b C.23b －13c D.23b ＋13 c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN ＝12 NC ，P 是BN 上一点，若 AP ＝m AB ＋29 AC ，则实 数m 的值是________． [解析] (1)由题可知 BC ＝ AC － AB ＝b －c ，∵ BD ＝2 DC ，∴ BD ＝23 BC ＝23 (b －c )，则 AD ＝ AB ＋ BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋1 3c ，故选D. (2)如图，因为 AN ＝12 NC ，所以 AN ＝13 AC ，所以 AP ＝m AB ＋29 AC ＝ m AB ＋23 AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13 . [答案] (1)D (2)1 3 [方法技巧] 1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求． 平面向量共线定理的应用 [例2] 设两个非零向量a 和b 不共线． (1)若 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线． (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．
《复数 正弦量的相量表示》 1．复数的实部、虚部和模 复数叫虚单位，数学上用i 来代表它，因为在电工中i 代表电流，所以改用j 代表虚单位，即j=-1。 如图4.5所示，有向线段A 可用下面的复数 表示为 A =a +j b 图4.5 有向线段的复数表示 由图4.5可见， r 表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用Φ表示， 规定幅角的绝对值小于180°。 2．复数的表达方式 复数的直角坐标式 ： 复数的指数形式 ： 复数的极坐标形式 ： 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用A *表示A 的共轭复数， 则有 A =a +j bA *=a-j b 例 写出下列复数的直角坐标形式。 5∠48°；1∠90°； 解： 复 数 的 运 算 1复数的加减 若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。如：A 1=a 1+j b 1 A 2=a 2+j b 2 则 A 1±A 2=（a 1+j b 1）±a 2+j b 2）=（a 1±a 2）+j （b 1±b 2） 即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。 复数与复平面上的有向线段（矢量）对应， 复数的加减与表示复数的有向线段（矢量）的加减相对应， 并且复平面上矢量的加减可用对应的复数相加减来计算。 2．复数的乘除 两个复数进行乘除运算时，可将 其化为指数式或极坐标式来进行。 )sin (cos sin cos ????j r jr r jb a A +=+=+=? j re A =?∠=r A 72 .335.348sin 548cos 5485j j +=?+?=?∠（1） j j =?+?=?∠90sin 90cos 901（2） A 1=a 1+jb 1= 11? ∠r A 2=a 2+jb 2 = 22?∠r )(212 1221121????-∠=∠∠=r r r r A A 22b a r +=
向量的概念及其线性运算 This manuscript was revised on November 28, 2020
平面向量的概念及其线性运算 数学：安送杰 一、教学目标： 1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法； 2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识，加强理解，掌握运用知识的技巧与方法； 3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。 二、重点与难点： 三、教学设计： 1、知识点回顾： （1）、向量的概念及表示；
（2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模； ②、零向量； ③、单位向量； ④、平行向量（共线向量）； ⑤、相等向量和相反向量； ⑥、一个规定； （3）、向量的线性运算： ①、向量的加法运算； ②、向量的减法运算； ③、向量的数乘运算； 2、复习知识，练习巩固： （1）、向量的概念及表示： ①、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。 ◎与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大小。 ②、向量的表示方法： A 、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长度； B 、字母表示法：手写使用→AB 或 → →→c b a ,,，印刷使用黑体小写字母。 （2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模：向量→AB 的模（或长度），就是向量→ AB 的大小，记作： → AB ，向量的模可以比较大小；
②、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作： 0，其方向是任意的； ③、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量； ④、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共线向量； ⑤、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方向相反的向量叫做相反向量； ⑥、一个规定：零向量与任一向量平行； 习题一： 1、给出下列六个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若两向量|a|＝|b|，则a＝b； ③若向量AB=DC,则A、B、C、D构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD中，一定有向量AB=DC； ⑤若向量m=n，n=p，则m=p； ⑥若向量a//b，b//c，则a//c； 其中错误的命题为：（①②③⑥） 解析：对①而言，起点相同，终点相同的两个向量肯定相等，但反之不一定； 对②而言，向量是有方向的，模相等，方向不一定一样； 对③而言，向量相等可能会共线，共线则不能构成平行； 对⑥而言，若向量b为零向量，则不成立； 2、设a为单位向量，判断下列命题为假命题的个数（3）
同步练习同步练习 g3.1053 向量的概念和基本运算 1．下面给出四个命题：①对于实数m 和向量,a b ，恒有() m a b ma mb -=- ②对于实数m 、n 和向量a ，恒有()m n a ma na -=- ③若(,0),ma mb m R m a b =∈≠=则 ④若(0)ma na a =≠，则m=n 其中正确的命题个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形 3．已知8,5AB AC ==，则BC 的取值范围是 （ ） A. [3，8] B. （3，8） C. [3，13] D. （3，13） 4.（04年浙江卷.文4）已知向量(3,4),(sin ,cos ),a b αα==且//a b ,则tan α=（ ）. A ．34 B. 34 - C. 43 D. 43 - 5．下列命题中，正确的是（ ） A. 若a b =，则a b = B. 若a b =，则//a b C. 若a b >，则a b > D. 若1a =，则1a = 6．下列说法中错误的是（ ） A.向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 B.任一非零向量都可以平行移动 C.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 D.两个有共同起点而且相等的向 量，其终点必相同. 7. （05全国卷III ）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线， 则k= 8.（05湖北卷）已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是 9.（05广东卷）已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为_____________． 10．,,D E F 分别是ABC ?的边,,BC CA AB 的中点，且,,BC a CA b ==给出下列命题 ①12 AD a b =-- ②12 BE a b =+ ③ 112 2 CF a b =-+ ④0AD BE CF ++= 其中正确的序号是_________. 11．若112()(3)03 2x a b c x b --+-+=，则x =__________. 12．两列火车，先各从一站台沿相反方向开出，走了相同的路程，这两列火车位移的和是___. 13．已知12,e e 不共线，1212,a ke e b e ke =+=+，当k =______时，,a b 共线.
5．2 正弦量的相量表示法 一、复数及其运算 1、复数的形式及其相互转换 （1）代数形式（直角坐标形式）：A j a b =+ 其中：a 为实部，[]A a Re =，b 为虚部,[]A b Im =；每一个复数在复平面上都可找到唯一的点与之对应，而复平面上的每一点也都对应着唯一的复数。 复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。复数A j a b =+，可以用一个从原点O 到P 点的矢量来表示，这种矢量称为复矢量。由图可知： 复数A 的模——矢量的长度：A r == 复数A 的辐角：矢量和实轴正方向的夹角?：规定 π?≤ a b arctan =?（复数落于第Ⅰ、Ⅳ象限） 或π?±=a b arctan （复数落于第Ⅱ、Ⅲ象限） 实部：??cos cos A r a == 虚步：??sin sin A r b == （2）复数的三角形式：()????sin j cos sin j cos +=+=A A A A （3）复数的指数形式：? j e A A =（欧拉公式：??? jsin cos j +=e ） （4）复数的极坐标形式：?∠=A A 例5-3 写出复数12A 4j3 , A 3j4=-=-+的极坐标形式。 解 1A 的模 15r = = 辐角 3 arctan 36.94 ?1-==-? （在第四象限） 则1A 的极坐标形式为1A 5=∠-36.9?。 2A 的模 25r = = 辐角 9.1261803 arctan 2=+-=?（在第二象限） 则 2A 的极坐标形式为2A 5126.9=∠?。 例5-4 写出复数A 10030=∠?的三角形式和代数形式。 解 三角形式： A 100(cos30jsin 30)=?+?
平面向量1 1.数量和向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母b a ,等表示；③用有向线段的起点与终点字母表示：AB ；向量AB 的大小——长度称为向量的模，记作|AB |。 3.有向线段： 具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。 向量与有向线段的区别： ⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量； ⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。 4.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0。 ②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 5.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明：⑴向量a 与b 相等，记作a =b ； ⑵零向量与零向量相等； ⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。 6.平行向量的定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行。 说明：⑴综合①②才是平行向量的完整定义； ⑵向量c b a 、、 平行，记作c b a ////。 二、向量的运算法则 1.向量的加法 某人从A 到B ，再从B 到C ，则两次的位移和：AC BC AB =+； ⑴向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 ⑵三角形法则：AC BC AB b a =+=+ ⑶四边形法则：OC AC OA OB OA b a =+=+=+ 三角形法则 四边形法则
4－１ 正弦交流电路的分析方法 一、用向量表示正弦量 表示正弦量的方法：三角函数式、波形图、相量图（式）。 一、正弦量的旋转矢量表示 1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的”矢量， 称为相量。如：?m I 、? m U 、? m E 。 有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。如：? I 、? U 、? E 。 2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则无法进行比较和运算。 二、同频率正弦量的加、减 确定m I 和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。 １、 相量作图法的步骤：先用出相量 1? I 和2 ?I ，而后以1?I 和2? I 为邻边作一平行四 边形，其对角线即为合成电流i 的相量? I 。 ? I 的长度为有效值，? I 与横轴正方向的夹角 即为初相ψ。 ２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。
例如： ? ????-+=-=)(2121I I I I I ３、三角形法求矢量加、减 两矢量求和：两相量“头尾相连”，第三条边即是它们的和。 两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。 多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。 三、相量的复数表示式 把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。 jb a I +=? 其中，a----实部，b----虚部 ψ ψsin ,cos I b I a == 则 ： ()ψψψψsin cos sin cos j I jI I jb a I +=+=+=? ， 式中，Ｉ----复数的模，ψ----复数的幅角 a b tg b a I = += ψ,2 2 复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：
向量的概念及其线性运算 Prepared on 22 November 2020
平面向量的概念及其线性运算 数学：安送杰 一、教学目标： 1、知识与技能：掌握平面向量的相关概念，线性运算的规律与几何意义，理解并熟练运用共线向量进行解题，体会数形结合的数学思想方法； 2、过程与方法：在复习回忆之前学习的知识点的同时，通过习题巩固知识，加强理解，掌握运用知识的技巧与方法； 3、情感、态度与价值观：通过对一些实际问题的解答，体会知识与生活的紧密联系，学习与生活是密不可分的。 二、重点与难点： 三、教学设计： 1、知识点回顾： （1）、向量的概念及表示；
（2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模； ②、零向量； ③、单位向量； ④、平行向量（共线向量）； ⑤、相等向量和相反向量； ⑥、一个规定； （3）、向量的线性运算： ①、向量的加法运算； ②、向量的减法运算； ③、向量的数乘运算； 2、复习知识，练习巩固： （1）、向量的概念及表示： ①、定义：既有大小，又有方向的量叫向量。 ◎与数量相比，数量只有大小，可比大小；向量既有大小又有方向，无法比较大小。 ②、向量的表示方法： A 、几何表示法：用有向线段表示向量，三个要素：起点、方向和长度； B 、字母表示法：手写使用→AB 或 → →→c b a ,,，印刷使用黑体小写字母。 （2）、和向量相关的一些概念： ①、向量的模：向量→ AB 的模（或长度），就是向量→ AB 的大小，记作：→ AB ，向量的模可以比较大小；
②、零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作：→ 0，其方向是任意的； ③、单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量； ④、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也称为共线向量； ⑤、相等向量和相反向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量，长度相同方向相反的向量叫做相反向量； ⑥、一个规定：零向量与任一向量平行； 习题一： 1、给出下列六个命题： ① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若两向量|a|＝|b|，则a ＝b ； ③ 若向量AB=DC,则A 、B 、C 、D 构成平行四边形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有向量AB=DC ； ⑤若向量m=n ，n=p ，则m=p ； ⑥若向量a 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →) ＝(1－m)AC →＋m 2AB →＝m 2 a ＋(1－m) b ， ∴ ? ????1－λ＝m 2， 1－m ＝λ 2 ， 解得λ＝m ＝2 3， ∴ AG →＝13a ＋13 b . → → -b a → → +b a → a → b
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 向量及向量的基本运算 一、教学目标：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的 积、向量的数量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件. 2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 二、教学重点：向量的概念和向量的加法和减法法则． 三、教学过程： （一）主要知识： 1）向量的有关概念 ①向量：既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：。向量的大小即向量的模（长度），记作||。 ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行。<注意 与0的区别> ③单位向量：模为1个单位长度的向量。 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移 到同一直线上。相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反 向量。记作-a 。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合，记为 b a =。 2）向量加法 ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。设b a ==,，则a +b =+=。 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。 说明：（1）a a a =+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法 ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i ）)(a --=a ； (ii) a +(a -)=(a -)+a =0 ；
第八章 相量法 本章重点：正弦信号的相量表示、电路元件伏安关系的相量表示 本章难点: 复数的计算 第十五讲 8.1复数 相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便有效的方法。应用相量法，需要用到复数的运算 1.复数的表示形式 1)代数形式 复数可用复平面上的向量表示： 2)三角形式 3)指数形式 4)极坐标形式 8.2正弦量 一．正弦量： 电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。对正弦量的数学描述，可以采用sin 函数，也可采用cos 函数。但在用相量法进行分析时，要注意采用的是哪一种形式，不要两者同时混用。本书采用cos 函数。 周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。 周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。，f =1/T 。 交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。可见，正弦量不仅是周期量，而且还是交变量。 ) 1( -=+=j jb a F ) sin (cos ||θθj F F +=) ( sin cos 欧拉公式θθθ j e j += θ ∠=||F F
二．正弦量的表达式 1. 函数表示法：m ()cos()f t F t ωψ=+ m F —最大值，反映正弦量在整个变化过程中所能达到的最大值； t ωψ+—相位，反映正弦量变动的进程； ω—角频率（rad /s ） ，反映正弦量变化的快慢。22,2T f T π ωπωπ=== ()ψπψπ-≤≤—初相位，反映正弦量初值的大小、正负。 m F ，ω，ψ—正弦量的三要素。 已知m 10A,50Hz,15o I f ψ===-， 则()10cos(31415)A o i t t =-。 2. 波形表示法 0t ωψ+=， t ωψ=-。当0>ψ时，最大值点由坐标原点左移ψ。如下图。 三．两个同频率正弦量的相位差? 设 m u ()cos()u t U t ωψ=+ )cos( )(i m t I t i ψω+= 则u (t )与i (t )的相位差 i u i u t t ψψψωψω?-=+-+=)()( 设电压u=6cos(ωt+90o)V ，电流i=2cos(ωt-150o)A ， 问哪个正弦量滞后？滞后的角度是多少？ 解：相位差?＝?u －?i ＝90o－(－150o)＝240o>0 所以电压u 比电流i 超前240°。 另作分析： 相位差?＝?u －?i ＝240o-360o = -120o 所以电压u 比电流i 滞后120°。 t
§5.1 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有______又有______的量；向量的大小叫做向量的______(或称______) 平面向量是自由向量 零向量 长度为______的向量；其方向是任意的 记作______ 单位向量 长度等于________的向量 非零向量a 的单位向量为±a |a | 平行向量 方向____或____的非零向量 0与任一向量______或共线 共线向量 __________________的非零向量又叫 做共线向量 相等向量 长度______且方向______的向量 两向量只有相等或不等，不能 比较大小 相反向量 长度______且方向____的向量 0的相反向量为0 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运 算 (1)交换律：a ＋b ＝ ____________.(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.
减法 求a 与b 的相反向 量－b 的和的运算叫做a 与b 的差 ________法则 a －b ＝a ＋(－b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝________； (2)当λ>0时，λa 的方向与 a 的方向________；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向________；当λ＝0时，λa ＝______ λ(μa )＝______；(λ＋μ)a ＝________； λ(a ＋b )＝_______ 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本 疑点清源] 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 1.化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果为________. 2.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE → ＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD → ，则实数λ的值为________. 5.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D.2AO →＝OD →