第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 自主探究学习
1.数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母a 、b （黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 名师要点解析 要点导学
1. 向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
2.向量a 与b 相等，记作a ＝b ；零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．.
3.零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
4. 平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
【经典例题】
【例1】下列命题正确的是 【 】 A .a 与b 共线，b 与ｃ共线，则a 与ｃ也共线
B .任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C .向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量
D .有相同起点的两个非零向量不平行
【分析】由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与b 不都是非零向量，即a 与b 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与b 共线，不符合已知条件，所以有a 与b 都是非零向量.
A(起点)
B （终点） a
【解】选C .
【点拨】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，注意这两方面的结合.
【例2】 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
【分析】首先区别零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系，再一一判别正误.. 【解】①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上.
②不正确.单位向量的模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.
【点拨】本题考查基本概念，平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 自主探究学习
1. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
2. 向量的加法有三角形法则和平行四边形法则.
3.122311n n n A A A A A A A A -+++=. 名师要点解析 要点导学
1. |+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号；
2.几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的
3. 向量加法有如下规律：＋=＋(交换律)； a +(b +c )=(a + b )+c （结合律）；+0=,＋(－
)=0. 因此，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
【经典例题】
【例1】若a =“向东走8 km”，b =“向北走8 km”，则｜a +b |=_______，a +b 的方向是_______. 【分析】画出图形，以a 、b 为邻边的平行四边形是正方形，根据勾股定理可得|a +b |=6464+=82（km ），a +b 的方向是东北方向..
【解】82 km 东北方向
【点拨】解决这样的问题，画出以a 、b 为邻边的平行四边形以后，问题就会迎刃而解.
【例2】如图，一艘船从A 点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
2km/h ，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
【分析】画出图形，以AB 、AD 为邻边作平行四边形，根据勾股定理即可得解.
【解】设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD ,AB 为邻边作平行四边形
ABCD ，则AC 就是船的实际航行的速度.
在ABC Rt ?中，2||=，32||=.
所以4||==.
因为tan CAB CAB 60∠=
∠=?. 答：船的实际航行的速度的大小为h /km 4，方向与水流速间的夹角为 60.
【点拨】：向量的加法可以用几何法进行，正确理解向量的各种运算的几何意义，进一步加深对“向量”的认识，体会用向量处理问题的优越性.
2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 自主探究学习
1. 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a. （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0.
如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0. （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b
3.向量减法的几何表示：三角形法则， 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 名师要点解析 要点导学
以向量=a 、=b 为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量AC =a +b ,=b －
a ,=a －
b 且有︱a ︱－︱b ︱≤︱a ±b ︱≤︱a ︱+︱b ︱．
【经典例题】
【例1】在下列各题中,正确的命题个数为 【 】
(1)若向量a 与b 方向相反,且|a |＞|b |,则a +b 与a 方向相同 (2)若向量a 与b 方向相反,且|a |＞|b |,则a -b 与a +b 方向相同
(3)若向量a 与b 方向相同,且|a |＜|b |,则a -b 与a 方向相反 (4)若向量a 与b 方向相同,且|a |＜|b |,则a -b 与a +b 方向相反
A .1
B .2
C .3
D .4 【分析】画出具体的向量进行判定正误. 【解】D .
【点拨】正确理解向量减法的几何意义，即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量可快速解决本题.
【例2】在四边形ABCD 中，AB －－等于 【 】 A .
B .
C .
D .
【分析】－DC －CB =－=+=. 【解】C .
【点拨】考查向量加法与减法的几何意义，深入理解向量的减法是向量加法的逆运算. 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 自主探究学习
1.实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
.
（1）|λa |=|λ||a
|.
（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=.
2. 向量共线定理 向量b 与非零向量a
共线，当且仅当只有一个非零实数λ，使b =λa
名师要点解析 要点导学
若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa ，则a 与b 为共线向量；反之若a 与b 共线(a
≠0)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa ；当a 与b 反向时b =-μ 从而得向量b 与非零向量a
共线，当且仅当
只有一个非零实数λ，使b =λ
【经典例题】
【例1】若3ｍ＋2ｎ＝a ，ｍ－3ｎ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n .
【分析】可把已知条件看作向量ｍ、ｎ的方程，通过方程组的求解得向量m 、n . 【解】记3m ＋2n ＝a ① , m －３n ＝b ②. 3×②得３m －９n ＝３b ③.
①－③得11n ＝a －３b . ∴n ＝
111a －113
b ④. 将④代入②有 m ＝b ＋３n ＝113a ＋11
2
b.
【点拨】在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从中我们知道
解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
【例2】已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点，若++= 0，则O 是△ABC 的 （填内心、重心、垂心、外心等）.
【分析】可利用平行四边形法则进行向量的加法运算，由于连续的加法运算满足交换律与结合律，即与代数中的加减运算方式一样，进行等式的变形后，再找出O 与△ABC 之间（内心、重心、垂心、外心）的关系.
【解】∵++= 0，
∴)(+-=，即+是与OA 方向相反且长度相等的向量. 如图所示，以OB 、OC 为相邻的两边作平行四边形BOCD ，则
+=，
∴-=.
在平行四边形BOCD 中，设BC 与OD 相交于E ，=，则=.
A
O
C
B
E
∴AE 是△ABC 的BC 边的中线，且.||2||=
∴点O 是△ABC 的重心.
【点拨】以三角形的重心为起点，以其各顶点为终点的三个向量之和为零向量.除此还有首尾相连的向量之和为零向量.这两个结论在用数形结合的方法研究零向量时是有力的工具.
2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.
3.1 平面向量基本定理 自主探究学习
平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e .
名师要点解析 要点导学
1.平面向量基本定理中不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
2.基底不惟一，关键是不共线；
3.由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
4.基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的实数. 【经典例题】
【例1】设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，求证：OP =λOA +μOB ，且λ+μ=1，λ、μ∈R . 【分析】根据点P 在AB 上，AP 与AB 共线入手解决问题. 【证明】∵P 在AB 上，∴AP 与AB 共线. ∴AP =t AB .∴OP －OA =t （OB －OA ）. ∴=+t －t =（1－t ）+t .
设1－t =λ，t =μ，则=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R .
【点拨】本题重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.本题以、为基向量通过引入参数，在OAB ?OAP ?中利用三角形法则寻求与、的关系.本题结论应用较广,要求掌握.
【例2】已知平行四边形OADB 中，= a ，= b ，AB 与OD 交于C . 且|BM | =31|BC |，|CN |=31
|CD |，
用a 、b 表示OM ，，.
【分析】选取基底以后，运用向量加法或减法的三角形法则或平行四
边形法则求解.
【解】
∵=-=a – b ， 6
1
6131===
BA BC BM a 61-b ，
D
∴+= = b +61a 6
1
-b =
b a 6
5
6+； 3
1
21+=
+= =32
326121==+OD OD OD (a + b ) =b a 3
2
32+； -==
6
2b
a -. 【点拨】平面内的任何一个向量可以用平面内不共线的两个向量a 、
b 表示，这是用向量解题的基本功.在处理这类问题时，除了正确利用向量加法、减法、数乘运算外，还要注意如下解题规律：尽可能的把要用a 、b 表示的向量连同a 、b 向同一个三角形或平行四边形转化，再利用三角形法则或平行四边形法则求解.
2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 自主探究学习
1．平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，
由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=，我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标.
2.平面向量的坐标运算：
（1）若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±±； （2）若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--；
（3）若a =(x ,y )，则λa =(λx , λy ). 名师要点解析 要点导学
1.相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；
2.向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关. 【经典例题】
【例1】已知三个力1F (3, 4), 2F (2, -5), 3F (x , y )的合力1F +2F +3F =.求3F 的坐标
【分析】根据向量的坐标运算求解.
【解】由题设1F +2F +3F = 得：(3, 4)+ (2, -5)+(x , y )=(0, 0). 即：??
?=+-=++054023y x ∴???=-=1
5
y x ∴3F =(-5,1).
【点拨】相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.
【例2】已知：四点A (5, 1), B (3, 4), C (1, 3), D (5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形 【分析】要证明四边形ABCD 是梯形，需要证明一组对边平行且不相等. 【解】∵=(-2, 3) , =(-4, 6) , ∴=2 .
∴∥，∴AB ∥DC ，且 ||≠||， ∴四边形ABCD 是梯形.
【点拨】注意向量的平行与直线的平行不同.
2.3.4 平面向量共线的坐标表示 自主探究学习
设a = (x 1，y 1)，b = (x 2，y 2)，若a ∥b ，则x 1y 2 – x 2y 1 = 0. 名师要点解析 要点导学
1.向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理.
平面向量 实数对(x , y ). 任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一. 也就是说，向量的坐标表示和向量不
是一一对应的关系，但和起点为原点的向量是一一对应的关系. 即向量OA 点A (x , y ). 向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
2.已知向量的始点和终点坐标求向量的坐标时一定要搞清方向，用对应的终点坐标减去始点坐标. 要避免将向量的终点坐标误认为是向量坐标.
【经典例题】
【例1】平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题： （1）求满足n m +=的实数m ,n ；
（2）若(
)()
k -+2//，求实数k ；
（3）若满足()()+-//5=
，求.
【分析】依据条件特点，可将所求向量坐标看作未知数列出方程或方程组，求解得到的方程或方程组即可.
【解】（1）由题意得()()()1,42,12,3n m +-=,
所以???=+=+-2234n m n m ，得??
??
?
==9895n m （2）()()2,52,2,43-=-++=+k k k .
()()()13
16
,025432-
=∴=+--+?∴k k k （3）设d =（x ,y ）,则()()4,2,1,4=+--=-y x , 由题意得()()()()??
?=-+-=---5
140
12442
2y x y x 得???-==13y x 或?
??==35y x 从而，d =（3，-1）或d =（5，3）.
【点拨】运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，要熟练把握向量的坐标运算.本题在求解参
数或向量坐标时，都以向量共线的条件为等量关系列方程. 一一对应 一一对应
【例2】已知O (0, 0)，A (1, 2)，B (4, 5)及= t +(t ∈R). 试问：
（1）t 为何值时，点P 在x 轴上？在y 轴上？点P 在第二象限？
（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.
【分析】（1）对向量的坐标表示为(x , y )后，分别求y = 0；x = 0；x ＜0且y ＞0时t 的值；（2）属于存在型问题，可以假设其存在，若有解（即求出相应t 值）就是能成为平行四边形，若t 值无解，就是不能成为平行四边形.
【解】
（1）AB t OA OP AB +==),3,3(= (1 + 3t , 2 + 3t ). 若P 在x 轴上，则2 + 3t = 0，解得t =3
2
-. 若P 在y
轴上，则1 + 3t = 0，解得31-=t . 若P 在第二象限，则???>+<+.
032,031t t 解得32-＜t ＜31
-.
（2）∵OB PO PB OA +==),2,1(= (3 – 3t , 3 – 3t ). 若四边形OABP 为平行四边形，则PB OA =，而
?
?
?=-=-2331
33t t 无解. ∴四边形OABP 不能成为平行四边形.
【点拨】本题依据向量的坐标运算，将向量用坐标表示解决具体问题，其特点是简捷明了，有章可循. 2.4平面向量的数量积
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 自主探究学习
1.数量积定义：设a ,b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cosθ叫做a 与b 的数量积（也叫内积），记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cosθ．
规定：0与任何向量的数量积为0；非零向量夹角的范围：πθ≤≤0
2.投影的定义：非零向量a ,b 的夹角为，则数量|b |cosθ称为向量b 在a 方向上的投影.注意；投影是一个数量.
3.数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cosθ的乘积．
4.向量的数量积的运算律： (1) a ·b = b ·a （交换律）；(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa. 名师要点解析 要点导学
1. 两个向量的数量积的性质：
设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2?a ⊥b ? a ?b = 0；
3?当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |；特别的a ?a = |a |2或a a a ?=||；
4?cos θ =
|
|||b a b
a ?；
5?|a ?b | ≤ |a ||b |.
2．“投影”的概念：作图
定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影
投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0?时投影为 |b |；当θ = 180?时投影为 -|b |
3. 向量的数量积不满足结合律,即)(c b a c b a ????≠）（.
4.代数中的命题 “若ab =0,则a =0或b =0”是真命题；向量中的命题 “若b a ?＝，则→a ＝或→
b ＝”是假命题.
5.对于非零实数a ,b ,c ,有ab =bc ?a =c . 但对于向量这个结论不成立，即 c a c b b a ==??不能推出. 【经典例题】
【例1】 判断正误，并简要说明理由
①a ·0＝0；②0·a ＝０；③0－＝BA ；④｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠０；⑥a ·b ＝０，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有（a ·b ）c ＝a （b ·c ）；⑧a 与b 是
两个单位向量，则a ２＝b ２
【分析】对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝０； 对于②：应有０·a ＝0；
对于④：由数量积定义有｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜·｜cos θ｜≤｜a ｜｜b ｜，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜；
对于⑤：若非零向量a 、b 垂直，有a ·b ＝０； 对于⑥：由a ·b ＝０可知a ⊥b 可以都非零； 对于⑦：若a 与c 共线，记a ＝λc 则a ·b ＝（λc ）·b ＝λ（c ·b ）＝λ（b ·c ）， ∴（a ·b ）·c ＝λ（b ·c ）c ＝（b ·c ）λc ＝（b ·c ）a 若a 与c 不共线，则(a ·b )c ≠（b ·c ）a 【解】只有③⑧正确.
【点拨】这一类型题，要把握好数量积的定义、性质、运算律,才能正确作答. 【例2】已知｜a ｜＝３，｜b ｜＝６，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b 【分析】可根据数量积的定义、性质、运算律进行解答. 【解】①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°， ∴a ·b ＝０；
③当a 与b 的夹角是60°时，有
a ·
b ＝｜a ｜｜b ｜cos60°＝3×6×2
1＝9.
【点拨】两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a ∥b 时，有0°或180°两种可能
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 自主探究学习
1.数量积的坐标表示：
设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +. 2.重要的公式：
（1）长度公式：y x a a a 21
2122
+=
==
（a =11(,)x y ） （2
）夹角公式：cos θ=
(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).
（3）平面两点间的距离公式： ,A B d =||AB AB AB =
?=(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).
（4）不等式：b a b a b a ≤=?θcos
3.向量的平行与垂直的充要条件： 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a //b ?b =λa
12210x y x y ?-=.a ⊥b (a ≠0)?a ·b =012120x x y y ?+=.
名师要点解析
要点导学
1. 两向量的夹角与三角形的内角的范围不同.因此转化方法也不同.三角形的内角的范围是()0,π,因此ABC ?中A 为锐角?cos A >0, A 为钝角?cos A <0,而两向量的夹角的范围是[]0,π,若采用相同的转化方法就错了.
向量的夹转化为用数量积与夹角公式解决时要注意等价性.①a 与b 的夹角为锐角? cos ＜a ，
b ＞＞0且cos ＜a ，b ＞≠1,容易忽略cos ＜a ，b ＞≠1；
②a 与b 的夹角为钝角?cos ＜a ，b ＞<0且cos ＜a ，b ＞≠-1,容易忽略cos ＜a ，b ＞≠-1. 2．a ∥b ?x 1y 2 – x 2y 1 = 0与a ⊥b ?x 1x 2 – y 2y 1 = 0要区分清楚；
3．由于向量有多种表达形式，又向量的各种运算都可用坐标表示，于是在运用向量知识解决有关问题时往往有多种方法. 其中坐标法是最常用，最重要的一种方法.
4.平面向量的数量积将角度和长度有机地联系在一起，因此，涉及到角度与距离有关的问题，可优先考虑用向量的数量积进行处理.
【经典例题】
【例1】已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b
的夹角是多少?
【分析】为求a 与b 夹角，需先求b a ?及｜a
｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
【解】由a
＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１） 有a ·
b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a
｜＝２，｜b ｜＝２2． 记a
与b 的夹角为θ，则cos θ＝22=??b
a b a .
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
4
π
. 【点拨】已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
【例2】如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90?，求点b
和向量的坐标【分析】设出向量b
的坐标，列出等量关系解方程求解.
【解】设b
点坐标(x , y )，则OB = (x , y )，= (x -5, y -2)
∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0, 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29,
由???
?????????=
=-==????=+=--+272323272941002522112
2
y x y x y x y x y x 或
∴b 点坐标)23,27(-或)27,23(；AB =)2
7,23(--或)23
,27(-.
【点拨】结合图形，能快速的找到向量b
的坐标满足的条件.
2.5平面向量应用举例 自主探究学习
1.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.
2.力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法,因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解,运动的叠加也用到了向量的加法.
3. 动量mv 是数乘向量.
4.力所做的功就是作用力F 与物体在力F 的作用下所产生的位移s 的数量积. 名师要点解析 要点导学
用向量研究物理问题的方法:首先把物理问题转化成数学问题,即将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.
【经典例题】 【例1】平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1）、B （－1，3），若满足=α+β，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为 【 】
A .3x +2y －11=0
B .（x －1）2+（y －2）2=5
C .2x －y =0
D .x +2y －5=0
【分析】C 点满足OC =αOA +βOB ，且α+β=1，∴A 、B 、C 三点共线.∴C 点的轨迹是直线AB . 【解】选D
【点拨】本题设出点C 的坐标，代人向量等式，也可得到坐标的关系，再代人条件α+β=1，即可得 点C 的轨迹方程.即设()y x C ,，则()()()3,1,1,3,,-===OB OA y x OC ， 由OB OA OC βα+=得()()()()βαβαββαα3,33,,3,+-=-+=y x .
于是??
?
??=++=-=133βαβαβαy x ，
先消去β，由αβ-=1得??
?-=-=α
α231
4y x
再消去α得052=-+y x .
此方法关键在于寻求等量关系列出点C 坐标(),x y 所满足的方程.条件βα+=与
1=+βα均为等量关系.由此列出的方程组除x 、y 是未知数外，α、β为参数，通过消参即可得C 坐标
(),x y 所满足的方程，即为点C 的轨迹方程.
【例2】如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg 和2 kg 的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量）
【分析】先进行受力分析，列出平衡方程，然后用数学方法求解.
【解】设所求物体质量为m kg 时，系统保持平衡，再设F 1与竖直方向的夹角为θ1，F 2与竖直方向的夹角为θ2，则有
??
?=+=22②
，
①，mg g g g g θθθθcos 2cos 4sin 2sin 411
（其中g 为重力加速度）. 由①式和②式消去θ2，得 m 2－8m cos θ1+12=0， 即m =4cos θ1±23c o s
412
-θ.
③
∵cos θ2＞0，由②式知，③式中m =4cos θ1－23cos 412-θ不合题意，舍去. 又∵4cos 2θ1－3≥0，解得2
3
≤cos θ1≤1. 经检验，当cos θ1=2
3
时，cos θ2=0，不合题意，舍去. ∴23＜m ＜6.
综上，所求物体的质量在23 kg 到6 kg 之间变动时，系统可保持平衡.
【点拨】（1）m 的范围是通过函数y =4x +2342-x 的单调性求得的.（2）实际问题的处理要注意变量的实际意义，本题容易忽略cos θ2＞0的实际限制.
作 者 于华东 责任编辑 庞保军
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时，
仁爱/诚信/勤奋/创新 授课教师：蒋金凤 课程名称：平面向量基本定理授课地点：高一（12）班
授课日期： 3 月 15 日星期四序号课题 2.3.1平面向量基本定理共 1 课时第 1 课时 教学目标1.了解平面向量基本定理，会运用它来解决一些简单的问题. 2.通过观察、猜想、验证、概括得到平面向量基本定理，使学生体会研究问题的过程与方法. 3.通过定理的推导使学生感受到数学思维的严谨性，体会化归转化的方法和数与形的完美结合. 重 点 平面向量基本定理 难点在平面向量基本定理探究过程中“不共线”和 “任意性”的验证 突破 方法 通过实例画图和类比平面直角 坐标系的象限归纳总结 教学模式讲授式、探究式 板书设计 平面向量基本定理 平面向量基本定理例题：定理说明：多媒体投影 小结： 教学过程 教学活动学生活动设计意图一、情景引入 两个小朋友在荡秋千，那么在所有条件都相同 的前提条件下，哪个秋千的绳子更容易断掉？ 二、新课探究 1.给定向量 2 1 e,e请根据平面坐标的线性运算 （1）作出向量) e ( ) e ( 2 1 3 2+ 下面我们把刚刚的作图痕迹擦去，给定向量 2 1 e,e和 1 OC，你能将 1 OC用 2 1 e,e表示成 2 2 1 1 e eλ λ+的形式吗？ 看图观察并 思考，说出自己 的判断和依据 学生口述，作图 过程得结果 独立完成，个别 展示 从实际生活 问题入手，贴近 学生的日常生 活，能很好地激 发学生的求知欲 望 复习向量的 线性运算和共线 向量定理，为后 续的向量的分解 和唯一性作铺垫 进入向量分解的 探究，刚刚作图 的过程还记忆犹 新，按照来的痕 迹寻找构造平行 四边形的方法
科组长签字：
高中数学必修4 平面向量 基本知识回顾： 1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示-----AB u u u r (几何表示法)； ②用字母a r 、b r 等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）： 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i r 、j r 作为基底。任作一个向量a ，由平 面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj r r ，),(y x 叫做向量a 的（直 角）坐标，记作(,)a x y r ，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特 别地，i r (1,0) ，j r (0,1) ，0(0,0) r 。a r ),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x ， AB 3.零向量、单位向量： ①长度为0的向量叫零向量，记为0； ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.| |a 就是单位向量） 4.平行向量： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0r 与任一向量平行.向量a r 、b r 、c r 平行，记作a r ∥b r ∥c r .共线向量与平行向量 关系：平行向量就是共线向量. 性质：//(0)(a b b a b r u r r r r r 是唯一）||b a b a a b u r r u r r r r 0,与同向方向---0,与反向长度--- 1221//(0)0a b b x y x y r u r r r （其中 1122(,),(,)a x y b x y r u r ） 5.相等向量和垂直向量： ①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2 性质：0a b a b r u r r r g
2.3平面向量的基本定理及坐标表示 第4课时 §2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决 实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时 λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ 2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例： 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e . 例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且=a ，=b ，用a ，b 表示，，和 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任 意一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t ∈R)用， 表示. （2）设OA 、OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且 (1)()OP t OA tOB t R =-+∈ .求证：A 、B 、P 三点共线. 例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实 数,d a b λμλμ=+ 、使与c 共线. 四、课堂练习： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R ) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系 A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填 共线或不共线). 五、小结（略）
第五章 平面向量 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程： 一、开场白：课本P93（略） 实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、 提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量 等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大 小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学 体系，用以研究空间性质。 2． 向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） 2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里） 3． 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的 4． 两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ A B A(起点) B （终点） a
答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 = = = 例：（P95）略 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,） 四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1 第二教时 教材：向量的加法 目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作 几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向 量计算。 过程： 六、复习：向量的定义以及有关概念 强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何 向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 七、 提出课题：向量是否能进行运算？ 5．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ a b c A B C
平面向量基本定理及坐标表示强化训练 姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB u u u r =3a, CD u u u r =－5a ,且||||AD BC =u u u r u u u r ,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =13CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB u u u r =a +2b ,BC u u u r = -5a +6b ,CD u u u r =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、 D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD u u u r =x AB u u u r ,AE u u u r =y AC u u u r ,xy ≠0，则11 x y +的值 为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB u u u r =2AC u u u r ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB u u u r =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2 π),则α+β= *11．已知 a =(1,2) , b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为
2．3．1平面向量基本定理（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理． 一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa . 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e 1,e 2，请作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2，平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢？. 在平面内任取一点O ，作OA =e 1，OB =e 2，OC =a ，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N . 由向量的线性运算性质可知，存在实数λ1、λ2，使得OM =λ1e 1，ON =λ2e 2. 由于OC OM ON =+，所以a =λ1e 1+λ2e 2，也就是说任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式. 1． 平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使得
人教版必修四第二章平面向量教案 教学目标： 三维目标 1、知识与技能 （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 （3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点。 教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。 学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不易理清，这些是学习中的难点。 教法设计：引导启发式教学 学法设计：指导学生自主学习 课时计划：一课时 教具学具：多媒体、彩笔、三角板 教学过程 一、创设情景、导入新课 1.我们知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不同与路程、质量等量，他们具有什么样的共同特征？………（学生讨论作答） 2.你能举出几个具有以上特征的量吗？年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗？（学生思考作答） 3.在数学上，我们把具有这种特征的量称为向量，（教师在黑板上书写课题，然后大屏幕展示课题，学生阅读课本P74） 二、推进新课 1.定义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度等。 注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，可以比较大小；向量既有方向 又有大小，不能比较大小（强调）。 2.向量的表示方法：
平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为
平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相
2.3.1 平面向量的基本定理 教学目的： 要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量． 教学重点： 平面向量的基本定理及其应用． 教学难点： 平面向量的基本定理． 教学过程： 一、复习提问： 1．向量的加法运算（平行四边形法则）； 2．向量的减法运算； 3．实数与向量的积； 4．向量共线定理。 二、新课： 1．提出问题：由平行四边形想到： （1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．新课 1e ，2e 是不共线向量，a 是平面内任一向量， =1e ，=λ1 2e ，=a =+=λ1 1e +λ2 2e ， =2e ，=λ 2 2e ． 1e 2e a C
得平面向量基本定理： 如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ 1 ，λ2使a ＝λ 1 1e +λ2 2e ． 注意几个问题： （1）1e ,2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底； （2）这个定理也叫共面向量定理； （3）λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量． 例1 已知向量1e ,2e ，求作向量-2.51e +32e ． 作法：（1）取点O ，作=-2.51e ，=32e ， （2）作平行四边形OACB ，即为所求． 已知两个非零向量a 、b ，作OA = a ，OB = b ，则∠AOB ＝θ（0°≤θ≤180°），叫做向量a 与b 的夹角． 当θ＝0°，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向，如果a 与b 的夹角为90°，我们说a 与b 垂直，记作：a ⊥b ． 三、小结： 平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合． 1 e 2e
《平面向量的加法》教案 课题名称：平面向量的加法 教材版本：苏教版《中职数学基础模块*下册》 年级：高一 撰写教师：徐艳 一、理解课程要求 教材分析： (1)地位和作用 《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法﹑减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的三角形法则和运算律.向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课,为后继学习向量的减法运算及其几何意义﹑向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用.因此，本节学习起着承上启下的作用. （2）教学内容及教材处理 教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知.同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情. 教学目标： （1）知识目标 ①理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量； ②掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；
③掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算. （2）能力目标 ①经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程； ②通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力. (3) 情感目标 努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态. 二、分析学生背景 (1)认知分析:学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础. (2)能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力. (3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，好在11综计1班学生对数学学习尚有一定兴趣，与教师沟通较好，故此应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流. 教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法﹑启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作﹑自主探究以及练习法. 三、选择媒体资源 媒体资源1 名称：两岸直航视频 媒体格式： avr 媒体资源2 名称：《爱的直航》 媒体格式： MP3
《平面向量基本定理》教学教案 ----新余一中蒋小林 一、背景分析 1．教材分析 函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。 2．学情分析 从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。 从学生能力层面看：通过以前的学习，已经初步具备类比归纳概括的能力，能在教师的引导下解决问题。 教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点． 二.学习目标 1）知识与技能目标 1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量。 2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。 2）过程与方法目标 1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培
养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。 2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。 3）情感、态度与价值观目标 1、用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识； 2、经历定理的产生过程，让学生体验由特殊到一般的数学思想方法，在探究活 动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 [设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现 了培养学生核心素养的要求． 三．教学过程设计 教学过程 1．创设问题、引出新课 （一）通过击鼓传花游戏复习的向量的运算及平行向量基本定理，我们知道可以用(0)a a λ≠表示任意和a 共线的向量，那么再随便画一个方向的向量b ，你还可以用a 表示出来吗？一个向量不够那么需要几个向量来表示呢？za 此问题激发了学生的学习兴趣，蕴含着本节课设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系。（二）情景1：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度；情景2：斜坡上物体所受的重力G ，课分解为力沿斜坡向下的力和垂直于斜坡的力；让学生对数学中的任意向量也可以用两个不共线的向量表示，有了充分的事实根据和感性认识。总之，整个引入，是从学生熟知的数学基础知识和物理基础知识为入手点，让学生轻松接受本节课的内容，让本节课的内容新而不新，难而不难了。 [设计意图]：两个生活常景抓住学生的兴趣，完成从生活到数学的建模过程，培养了学生，在生活中感知和发现数学，即知识问题化，问题情景化，情景生活化，生活学科化。体现了数学与生活密不可分的关系，为探究定理作好铺垫。 2.问题驱动、探究新知 问题（1）给定平面内任意两个向量21,e e 请你做出2121223e e e e -+和两个向量。 [设计意图]：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示
教学设计 向量的加法 一、高考统览 平面向量在高考中的考查内容主要集中在三个方面：一是向量的基本概念，二是向量的坐标运算，三是向量的数量积，其中向量的数量积及其应用是考查的重点。从试题形式上看，该部分主要以选择题、填空题的形式出现。另外，平面向量具有几何与代数形式的双重性，是中学数学知识网络的重要交汇点，它与三角函数、解析几何、平面几何都能够整合在一起，在高考中以解答题为主，要予以高度重视。 二、教学目标 1．知识与技能 掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们实行向量计算。 使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移水平，增强学生的数学应用意识和创新意识。 3．情感态度与价值观 注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心。 三、教学重点、难点 1、重点：向量加法的两个法则及其应用； 2、难点：对向量加法定义的理解。 突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，持续渗透数形结合的思想，使学生从感性理解升华到理性理解。 教学方法 结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。通过创设问题情境，使学生对向量加法有一定的感性理解；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提升思维品质，
力求把传授知识与培养水平融为一体。 采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优化课堂结构，提升教学质量。 四、教学过程
2.3.1平面向量基本定理 学习目标： 1. 了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量. 2. 掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 3. 两个向量的夹角与两条直线所成的角. 学习重点：平面向量基本定理 学习难点：两个向量的夹角与两条直线所成的角. 课上导学： ［基础初探］ 教材整理1平面向量基本定理 阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题. 1. ____________ 定理：如果e i, e是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的____________ 向量a, ______________ 实数入，入2，使a= _________________________ 2. ____________ 基底：___________________________ 的向量e1, e2叫做表示这一平面内______________________________ 向量的一
组基底. 判断(正确的打“，错误的打“X” ) (1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所 有向量的基底.() (2) 若e i, e是同一平面内两个不共线向量，则入& + 说 k, 入2为实数)可以表示该平面内所有向量.() (3) 若ae i + be2=ce i + de2(a, b, c, d€ R)，则a = c, b = d.( ) 教材整理2两向量的夹角与垂直 阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题. 1. __________________ 夹角：已知两个_________________ a 和b,作OA= a, OB= b,则__ = B叫做向量a与b的夹角.
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
§2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 b =λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e . 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例：
高中数学必修4第二章平面向量教案（12课时) 本章内容介绍 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.） 第1课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目标： 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、 单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、情景设置： 如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否 追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、 A B C D
平面向量基本定理 [学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题． 知识点一 平面向量基本定理 (1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG → ， a . 答案 通过观察，可得： AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF → ＝4e 1－4e 2， GH → ＝－2e 1＋5e 2，HG → ＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向． (2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a⊥b .
思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC → 的夹角为60°； ②AB →与CA → 的夹角为120°； ③BA →与CA → 的夹角为60°； ④AB →与BA → 的夹角为180°. 题型一 对向量的基底认识 例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝ λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③ 解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)
篇一：平面向量概念教案 平面向量概念教案 一．课题：平面向量概念 二、教学目标 1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。 2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。 3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣 三．教学类型：新知课 四、教学重点、难点 1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。 2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。 五、教学过程 （一）、问题引入 1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？ 2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？ 3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。 在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。 （二）讲授新课 1、向量的概念 练习1 对于下列各量： ①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度 其中，是向量的有：②③④⑤ 2、向量的几何表示 请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？ （1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模 （4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量 练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？ 总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。 3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义 六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记 篇二：平面向量的实际背景及基本概念教学设计 平面向量的实际背景及基本概念教学设计