1.2 空间几何体的三视图
一、三维目标
1．了解平行投影与中心投影的概念和简单性质。
2 理解三视图的含义，能画出简单几何体的三视图，掌握画法规则。 3．能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形。
二、导学提纲
1．平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线 。在平行投影中，投影线 时，叫做正投影，否则叫做
2．空间几何体的三视图是指 、 、 。
3．三视图的排列规则是 放在正视图的下方，长度与正视图一样， 放在正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样。
4．三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从 、 、 观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
5．三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？
三小试牛刀
1．下列命题正确的是（ ）
A ．一个点在一个平面内的投影仍是一个点
B ．一条线段在一个平面内的投影仍是线段
C ．一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线
D ．一个三角形在一个平面内的投影仍是三角形 2．一个圆柱的三视图中，一定没有的图形是（ ） A ．正方形
B ．长方形
C ．三角形
D ．圆 3．一个正方形的平行投影的形状可能是
。
4．一个几何体的三视图如下图。
则这个几何体的名称是
。
四、典例剖析
1．如图甲所示，在正方体1111D C B A ABCD 中，E 、F 分别是1AA 、11D C 的中点，G 是正方形11B BCC 的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的
。
分析：在面ABCD 和面1111D C B A 上的投影是图乙（1）；在面11A ADD 和面11B BCC 上的投影是图乙（2）；在面11A ABB 和面11D DCC 上的投影是图乙（3）。
答案：（1）（2）（3）
点评：本题主要考查平行投影和空间想象能力。画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影。如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间相象来完成。
2．如图（1）所示，E 、F 分别为正方体面A D AD ''、面B C BC ''的中心，则四边形E D BF '在该正方体的各个面上的投影可能是图（2）的
。
分析：四边形E D BF '在正方体D C B A ABCD ''''-的面A D AD ''、面B C BC ''上的投影是C ；在面D C DC ''上的投影是B ；同理，在面A B AB ''、面ABCD 、面D C B A ''''上的投影也全是B 。
答案：B C
3．右图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状。
分析：由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何
体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体。
答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体，该几何体的形状如图所示。
4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）
A．①②B．①③C．①④D．②④
分析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C。
答案：D
点评：虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题。
5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）
A．三棱锥B．四棱锥
C．四棱台D．三棱台
分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥。
答案：B
6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，
该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要
的小正方体的块数是（）
A．8 B．7 C．6 D．5
分析：由正视图和侧视图可知，该几何体有两
层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有5个
小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则
共有6个小正方体。
答案：C
空间几何体的三视图
No.038 班级姓名学号成绩
A 组
1．直线的平行投影可能是（）
A．点B．线段C．射线D．曲线
2．如图所示，空心圆柱体的正视图是（）
3．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②④
4．三棱柱111C B A ABC ，如图所示，以11B BCC 的前面为正前方画出的三视图正确的是（ ）
B 组
5．如图所示是一个几何体，则其几何体俯视图是（ ）
6．下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是（ ）
7．下列各图，是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是（ ）
8．如图，图（1）、（2）、（3）是图（4）所表示的几何体的三视图，其中图（1）是
，图（2）是 ，图（3）是 。（说出视图名称）
C 组
9．根据图中的三视图想象物体原形，并分别画出物体的实物图。
10．如图，E 、F 分别是正方体1AC 的面11A ADD 和面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的正投影（投射线垂直于投影面的投影）可能是图中 （把所有可能图形的序号都填上）。
1.2 空间几何体的直观图
一、三维目标
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。 3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。
4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。
二、导学提纲
1．表示空间图形的 ，叫做空间图形的直观图。
2．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成 于x '轴、y '轴或z '轴的线段。平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中长度 ；平行于y 轴的线段，长度变为原来的 。
3．斜二测画法是一种特殊的 投影画法。
4．用斜二测画法画水平放置的平面图形时会改变两线段的关系吗？
三、小试牛刀
1．利用斜二测画法叙述正确的是（ ） A ．正三角形的直观图是正三角形 B ．平行四边形的直观图是平行四边形 C ．矩形的直观图是矩形 D ．圆的直观图一定是圆 2．下列结论正确的是（ ）
A ．相等的线段在直观图中仍然相等
B ．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
C ．两个全等三角形的直观图一定也全等
D ．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形是全等三角形
3．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB 的实际长度为4cm ，若AB//x 轴，则画出直观图后对应的线段=''B A ，若y AB //轴，则画出直观图后对应的线段B A ''= 。
4．水平放置的ABC ?的斜二测直观图如图所示，已知2,3=''=''C B C A ，则AB 边上
的中线的实际长度为 。
四、典例剖析
1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）
A ．16
B ．64
C ．16或64
D ．都不对
分析：根据直观图的画法，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于x 轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于y 轴，则正方形边长为8，面积是64。
答案：C
2．利用斜二测画法画直观图时：
①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形。 以上结论中，正确的是
。
分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错。
答案：①②
3．一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（ ）
A ．62
B ．64
C ．3
D ．都不对
分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的22倍，而正三角形的高是3，所以原三角形的高为62，于是其面积为
.626222
1
=?? 答案：A
4．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A ．
2
2
21+
B ．2
2
1+
C ．21+
D ．22+
分析：平面图形是上底长为1，下底长为21+，高为2的直角梯形。计算得面积为
.22+
答案：D
5．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点)4,4(M 的直观图中对应点是M '，则点
M '的找法是 。
分析：在x '轴的正方向上取点1M ，使1M O '4=，在y '轴上取点2M ，使22='M O ，
过1M 和2M 分别作平行于y '轴和x '轴的直线的交点就是.M '
答案：在y O x '''中，过点)0,4(和y '轴平行的直线与过)2,0(和x '轴平行的直线的交点即是。
6．根据图中所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状。
分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔。从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔。
解：由此可以推测该物体大致形状如图所示。
7．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（ ）
A ．
42倍 B ．2倍 C ．2
2
倍 D ．2倍 分析：直观图也是三角形，并且有一条公共边，但是这条公共边上的高发生变化。直观
图中公共边上的高是原三角形中公共边上高的
4
2
，则直观图的面积是原来三角形面积的4
2
倍。 答案：A
空间几何体的直观图
No.039 班级 姓名 学号 成绩
A 组
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox 、Oy 、Oz 轴画成对应的x O ''、
y O ''、z O ''，
做y O x '''∠与z O x '''∠的度数分别为（ ）
A ． 90,90
B ． 90,45
C ． 90,135
D ． 45或 90,135
2．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是（ ） A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变 B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的2
1 C ．画与直角坐标系xOy 对应的y O x '''时，y O x '''∠必须是 45 D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 3．两条相交直线的平行投影是（ ） A ．两条相交直线 B ．一条直线
C ．一条折线
D ．两条相交直线或一条直线
4．下列叙述中正确的个数是（ ） ①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等； ③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行； ④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。 A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
B 组
5．水平放置的ABC ?有一边在水平线上，它的直观图是正111C B A ?，则ABC ?（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．任意三角形
6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45、腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（ ）
A ．
2
2
21+
B ．2
2
1+
C ．21+
D ．22+
7．一个长方体去掉一角的直观图和图中所示。关于它的三视图，下列画法正确的是（ ）
8．如图所示的水平放置的三角形的直观图，D '是
C B A '''?中C B ''边的中点，那么B A ''、
D A ''、C A ''三条线
段对应原图形中线段AB 、AD 、AC 中（ ）
A ．最长的是A
B ，最短的是AC
B ．最长的是A
C ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD
D ．最长的是AD ，最短的是AC
9．平面直角坐标系中点)4,4(M 在直观图中对应点M '，则M '的找法是 。 10．若线段AB 平行于投影面，O 是AB 上一点，且n m OB AO ::=，则O 的平行投影
O '分AB 的平行投影B A ''的长度之比为 。
C 组
11．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
12．画水平放置的正五边形的直观图。
1.3 空间几何体的表面积与体积
一、三维目标
1．体会球的体积和表面积公式的推导过程，了解无限分割取极限的思想方法。 2．记住球的体积公式和表面积公式，会运用公式进行计算。
二、导学提纲自学
1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。
2．几何体的表面积是指 ，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、 、
、
。 3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于
。
4．柱体、锥体、台体的体积有何关系？ 三、小试牛刀
1．一个长方体的三个面的面积分别为6,3,2，则这个长方体的体积为（ ） A ．6 B ．6 C ．3 D ．32 2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是π32，则母线长为（ ） A ．2
B ．22
C ．4
D ．8 3．长、宽、高分别为c b a ,,的长方体的表面积S=
。
4．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为13，则这个圆台的体积V= 。
三、典例剖析
1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积。
解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S S =圆柱侧，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为
r S π2，由题意得圆锥的高为r
S
π2，又圆柱的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长2
2)2(r
S r l π+=，根据圆锥的侧面积公式得
.2
4)2(2
422
2S r r
S r r rl S +=
+??==ππππ圆锥侧
2．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）
A ．1:2:3
B ．1:7:19
C ．3:4:5
D ．1:9:27 分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1:2:3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为:]2)2(3[:)3(
22h r h r ?ππ2)3(3
[r π
·]3h
27:8:1=，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为.19:7:1)827(:)18(:1=--
答案：B
3．三棱锥ABC V -的中截面是111C B A ?，则三棱锥111C B A V -与三棱锥BC A A 1-的体
积之比是（ ）
A ．1:2
B ．1:4
C ．1:6
D ．1:8
分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4，将三棱锥BC A A 1-转化为三棱锥ABC A -1，这样三棱锥111C B A V -与三棱锥ABC A -1的高相等，底面积之比为1:4，于是其体积之比为1:4。
答案：B
4．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A ．1
B ．
2
1
C ．
3
1 D ．
6
1 活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。
分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱.,,AC AB PAVAC AB PA ⊥⊥则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体
的体积为.6
11213131=??==
?PA S V ABC 答案：D
点评：本题订考查几何体的三视图和体积，给出几何体的三
视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得，此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视。
5．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A ．318
B ．315
C ．3824+
D ．31624+
分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为32，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该
正三棱柱的表面积为
.38243242
1
2243+=???+??
答案：C
6．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A ．
3
3π B ．
3
32π
C ．π3
D ．
3
π 分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为
.3
331312ππ=???=
V 答案：A
7．已知某几何体的俯视图如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
（1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S 。
解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的
矩形，高为4的四棱锥。设底面矩形为ABCD 。如图所示，
6,8==BC AB ，高.4=VO
（1）.644)68(3
1
=???=V
（2）设四棱锥侧面V AD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面V AB 、VCD 也是全等的等腰三角形，
在VBC ?中，BC 边上的高为24)28
(4)2(
22221=+=+=AB VO h ， 在VAB ?中，AB 边上的高为.5)2
6
(4)2(22222=+=+=BC VO h 所以此几何体的侧面积.22440)582
1
24621
(2+=??+
??=S 点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问。
8．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积
为（ ）
A ．π
B ．π2
C ．π3
D ．π4
分析：设圆锥的母线长为l ，则213+=l ，所以圆锥的表面积
为.3)21(1ππ=+??=S
答案：C
9．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为32，则这个正三棱锥的体积是（ ） A ．
4
27
B ．
4
9 C ．
4
3
27 D ．
4
3
9 分析；可得正三棱锥的高3)3()32(2=-=2h ，于是.4
393343312=???=V 答案：D
10．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的
倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的
倍。
分析：圆柱的体积公式为h r V 2π=圆柱，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积
也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的
1642=倍。
答案：4 16
11．右图是一个正方体，H 、G 、F 分别是棱AB 、AD 、1AA 的中点。现在沿GFH ?所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？
分析：因为锯掉的正方体的一个角，所以HA 与AG 、AF 都垂直，即HA 垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF 为底面，H 为顶点的一个三棱锥。
解：设正方体的棱长淡a ，则正方体的体积为.3a
三棱锥的底面是AGF Rt ?，即FAG ∠为 90，G 、F 又分别为AD 、AA 1的中点，所以
.21a AG AF =
=所以AFG ?的面积为.8
1
2121212a a a =??又因AH 是三棱锥的高，H 又是AB 的中点，所以.2
1a AH =所以锯掉的部分的体积为.4818121312
2a a a =??
又因48148133=
÷a a ，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的.481 12．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是 。
分析：如图，设圆锥底面半径为r 母线长为l 由题意得
?????==,
2,
2
2
r l S l πππ解得.2πS r =所以圆锥的底面积为.2
22S
S r =?=πππ 答案：
.2
S
13．如图，一个正三棱柱容顺路，底面边长为a ，高为a 2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图，这时水面恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是 。
分析：图中容器内水面的高度为h ，水的体积为V ，则
.h S V ABC ?=又图23中水组成了一个直四棱柱，
其底面积为ABC S ?4
3
，高度为a 2，则.2
3243
a S a
S V ABC ABC =?=??
答案：a 2
3
14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）
A ．
3
3
4000cm B ．
3
3
8000cm
C ．32000cm
D ．34000cm
分析：该几何体是四棱锥，并且长为20cm 的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20cm ，底面是边长为20cm 的正方形（如俯视图），所以底面积是24002020cm =?，所以该几何体的体积是.3
80002040031
3
cm =
?? 答案：B
15．问题：有两个相同的直三棱柱，高为
a
2，底面三角形的三边长分别为).0(5,4,3>a a a a 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是
。
探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：
四棱柱有一种，就是边长为a 5的边重合在一起，表面积为28242+a ，三棱柱有两种，边长为a 4的边重合在一起，表面积为32242+a ，边长为a 3的边重合在一起，表面积为
36242+a ，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为48122+a ，
最小的是一个四棱柱，这说明.3
150201248122824222<
150< 空间几何体的表面积与体积 No.040 班级 姓名 学号 成绩 A 组 1．正方体的全面积是96，则正方体的体积是（ ） A ．648 B ．64 C ．16 D ．96 2．若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是（ ） A ．2 B ．2.5 C ．5 D ．10 3．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（ ） A ．2倍 B ．3倍 C ．2倍 D ．5倍 4．如图，在四正体BCD A -中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）的球心O ，且分别截BC 、DC 于点E 、F 。如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥BEFD A -与三棱锥EFC A -的表面积分为1S 、2S ，则必有（ ） A ．21S S < B ．21S S > C ．21S S = D ．不 5、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，三棱锥C AB D 11-的表面积与正方体的表面积的比为（ ） A ．2:1 B ．3:1 C ．2:1 D ．2:3 B 组 5．六棱柱的两底面是正六边形，侧面是全等的矩形，它的底面边长为4，高为12，则它的全面积是（ ） A ．288348+ B ．288324+ C ．144348+ D ．144324+ 6．若长方体的三个面的面积分别是.6,3,2则长方体的体积为（ ） A ．32 B ．6 C ．6 D ．12 7．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别为4cm 和6cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是5cm ，则它的侧面积是 。 8．正三棱锥的底面边长是a ，高是a 2，则它的全面积为 。 9．圆台的两个底面半径是2cm 、4cm ，截得这个圆台的圆锥的高为6cm ，则这个圆台的体积是 。 C 组 10．由8个面围成的几何体，每一个面都是正三角形，且有四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个平面内，ABCD 是边长为20cm 的正方形，求此几何体的表面积和体积。 11．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2。 12．圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，顶点均在上、下底面的圆周上是正三角形，如果三棱柱的体积为V ，圆柱的底面直径与母线长相等，那么圆柱的体积为多 13：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，用截面截下一个棱锥D D A C ''-，求棱锥D D A C ''-的体积与剩余部分的体积之比。 14：如图，已知三棱锥BCD A -的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1且 30=∠BAC ，M 、N 分别在棱AC 和AD 上，求BM+MN+NB 的最小值。 必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空 1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是 6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5 ．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的 高中数学集合之间的关系学案新人教B版必修1 一、三维目标： 知识与技能：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3） 能利用Venn图表达集合间的关系；（4）了解空集的含义。过程与方法：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的 关系，掌握并能使用Venn图表达集合间的关系。 情感态度与价值观：通过学习，提高利用类比发现新结论的能力，加强从具体到抽象的思维能 力，树立数形结合的思想。 二、学习重、难点： 重点：子集与空集的概念；能利用Venn图表达集合间的关系。 难点：弄清属于与包含的关系。 三、学法指导：研读学习目标，了解本章重难点，精读教材，独立完成学案，通过小组学习解决部分疑难问题，再通过课堂各小组展示及质疑对抗，共同提高，完成学习任务。 【小组活动一】 想一想：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： （1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =； （2）}167|{班的同学级为国际学校x x C =；}67|{D 级的同学 为国际学校x x = （3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形 【小组活动二】 1.阅读教材10---12页，完成下列表格： （1 ） 空集是任何集合的子集； （2） 空集是任何非空集合的真子集； （3） 任何一个集合是它本身的子集； 例1、写出集合A={1,2,3}的所有子集和真子集。 例2 、说出下列每对集合之间的关系 （1）A={1,2,3,4,5} B={1,3,5} （2）P={1 x}Q={1 |2= x x} x | ||= （3）C={1 x x} |≥ |> x x} D={2 跟踪练习：用适当的符号填空 ⑴___{0} ? ⑵2___{(1,2)} ⑶?___2 ∈+= x x {R|20} ⑸{3,5}___N ⑹{(2,3)}___{(3,2)} ⑺ {(1,2)}___2 -+= x x x {|320} ⑻{1,2}___2 -+= x x x {|320} 例3、设{|13},{|} =-<<=>，若A B，则a的取值范围是______ A x x B x x a 跟踪练习：1.已知集合A=},5 + ≤ ≤ {- =m x m x B且 x}1 {≤ | 2 | < -x 1 2 A?,求实数m的取值范围 B §2.3 幂函数2学习目标1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(易错点).2.结合幂函数y＝x，y＝x，1123 y＝x，y ＝，y＝x的图象，掌握它们的性质(重点).3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大x小(重点)．预习教材P77－P78，完成下面问题：知识点1 幂函数的概念α一般地，函数y＝x叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”) 4－(1)函数y＝x是幂函数．( ) 5x－(2)函数y＝2是幂函数．( ) 12 (3)函数y＝－x是幂函数．( ) 45 －提示(1)√ 函数y＝x符合幂函数的定义，所以是幂函数；x－(2)× 幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2不是幂函数； 12α (3)× 幂函数中x的系数必须为1，所以y＝－x不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)幂函数的性质：1231－幂函数 y＝x y＝x y＝x y＝x 2 y＝x (－∞，0)∪定义域 [0，＋∞) R R R (0，＋∞) *0，＋∞) 值域 [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0} R R 偶奇奇偶性奇非奇非偶奇 x∈[0，＋∞)，增增单调性增增 x∈(0，＋∞)，减 x∈(－∞，0]，减x∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1,1) 【预习评价】5 3 (1)设函数f(x)＝x，则f(x)是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数33－－(2)3.17与3.71的大小关系为________．解析(1)易知f(x)的定义域为R，又f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．13－(2)易知f(x)＝x＝在(0，＋∞)上是减函数，又 3.17<3.71，所以 第一章 立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定 与性质定理证明与应用。 第一课时 棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用 名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何 体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类． 【课堂互动】 自学评价 1． 棱柱的定义： 表示法： 思考:棱柱的特点：. 【答】 2． 棱锥的定义： 表示法： 思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义： 表示法： 思考:棱台的特点：. 【答】 4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1：设有三个命题： 甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱； 乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥； 丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。 以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考７页例１ ⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去． 互助参考７页例１ 点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔： 解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点： 例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能． 点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？ 答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？ 答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。 答：４个面，四面体． 第二课时圆柱、圆锥、圆台、球 【学习导航】 知识网络 A C B D A1 C1 B1 D1 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 一、课前准备 （预习教材P2~ P4，找出疑惑之处） 引入：小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等，现实生活中，我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体，它们占据着空间的一部分，比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和大小，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.它们具有千姿百态的形状，有着不同的几何特征，现在就让我们来研究它们吧! 二、基础探究 1.观察下面的图片，请将这些图片中的物体分成两类，并说明分类的标准是什么？ 图1 2.【研读课本】 （1）多面体的概念：叫多面体， 叫多面体的面，叫多面体的棱， 叫多面体的顶点。 ①棱柱:两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四 边形的公共边都，这些面围成的几何体叫作棱柱 ②棱锥：有一个面是，其余各面都是的三角形，这些面 围成的几何体叫作棱锥 ③棱台：用一个棱锥底面的平面去截棱锥，， 叫作棱台。 （2）旋转体的概念： 叫旋转体，叫旋转体的轴。 ①圆柱：所围成的 几何体叫做圆柱. ②圆锥：所围成的 几何体叫做圆锥. ③圆台：的部分叫 圆台. ④球的定义 三、能力探究 例1．（1）如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（） A.（1）是棱台 B.（2）是圆台 C.（3）是棱锥 D.（4）不是棱柱 （2）下列说法错误的是（） A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 （3）下列命题中正确的是（） A.棱台各侧棱的延长线交于一点 B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线 D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 （4）下列几个命题中， ①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台; ②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台; ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体; ④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. 其中正确的有__________个.（） A.1 B.2 C.3 D.4 （5）下列说法中不正确的是（） A 棱与侧棱是同一概念 B 三棱锥与四面体是同一概念 C四棱柱有4条体对角线 D 存在这样的棱锥，它的各个面都是直角三角形 （6）一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为______cm. 例2有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？如果不是，请举例说明。 §1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1．下列说法正确的是（ ） （A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是 （ ） A ．}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．}01|{2 =+-x x x 3．方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{. 4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝ 5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． ．例：x 2 －3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 小结 用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的． 1 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； 9.1随机抽样 考点学习目标核心素养 抽样调查 理解全面调查、抽样调查、总体、个体、 样本、样本量、样本数据等概念 数学抽象 简单随机抽样 理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机 抽 样的两种方法：抽签法和随机数法 数学抽象、逻辑推理分层随机抽样 理解分层随机抽样的概念，并会解决相关 问题 数学抽象、逻辑推理 问题导学 预习教材P173－P187的内容，思考以下问题： 1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？ 2.什么叫简单随机抽样？ 3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？ 4.抽签法是如何操作的？ 5.随机数法是如何操作的？ 6.什么叫分层随机抽样？ 7.分层随机抽样适用于什么情况？ 8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？ 9.获取数据的途径有哪些？ 1.全面调查与抽样调查 （1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ. （2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ. （3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况 作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ. （4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ. （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ. （6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样 （1）有放回简单随机抽样 一般地，设一个总体含有N （N 为正整数）个个体，从中逐个抽取n （1≤n 幂函数（学案） 学习目标 1.理解幂函数的概念，能区分什么样的函数是幂函数； 2.体会幂函数在第一象限内的变化规律； 3.借助解析式研究幂函数的性质，并能根据性质作出幂函数的图象； 学法指导 自学课本108页——109页例1上方。 通过课本引例，体会幂函数在第一象限内的变化规律。 特别强调：指数决定曲线的趋势。 ; 自学检测 1.幂函数的定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中α为常数. 注：幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，为“形式”定义。 练习1：判断下列函数哪些是幂函数 . ①1 y x =； ②22y x =； ③3y x x =-； ④1y = ； ⑤x 2.0y =；⑥5 1x y =； ⑦3x y -=； ⑧2x y -=. ` 练习2：已知某幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________ 练习3：函数3 22 )1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，求其解析式。 | 2.根据课本引例，你能总结出幂函数的图象在第一象限内的变化规律吗 （1）0<α<1时， （2） α=1时， （3） α>1时， ` （4） α<0时， 4.研究函数1 2 132x y ,x y ,x y ,x y ,x y -=====的性质，完成下表： 课堂小结 幂函数的的性质及图象变化规律： （1）所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都过点 ； （2）0α>时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0,)+∞上是 （增、减）函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当01α<<时，幂函数的图象上凸； — （3）0α<时，幂函数的图象在区间(0,)+∞上是 （增、减）函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（形状类似于x y 1 = 在第一象限的图象） 能力提升 求出下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性，并且作出简图。 （1） 32 x y =（2）23x y =（3）5 3x y =（4）0 x y =（5）3 2-=x y （6） 2 3x y - =（7）5 3- =x y 高中数学必修二复习全册导学案 必修2 第一章 §2-1 柱、锥、台体性质及表面积、体积计 算 【课前预习】阅读教材P1-7,23-28完成下面填空1．棱柱、棱锥、棱台的本质特征 ⑴棱柱：①有两个互相平行的面（即底面），②其余各面（即侧面）每相邻两个面的公共边都互相平行（即侧棱都）. ⑵棱锥：①有一个面（即底面）是，②其余各面（即侧面）是 . ⑶棱台：①每条侧棱延长后交于同一点， ②两底面是平行且相似的多边形。 2．圆柱、圆锥、圆台、球的本质特征 ⑴圆柱： . ⑵圆锥： . ⑶圆台：①平行于底面的截面都是圆， ②过轴的截面都是全等的等腰梯形， ③母线长都相等，每条母线延长后都与轴交于同一点. (4)球： . 3．棱柱、棱锥、棱台的展开图与表面积和体积的计算公式 (1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面展开图分别是 ①若干个小矩形拼成的一个， ②若干个， ③若干个 . （2）表面积及体积公式： 4．圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 5．球的表面积和体积的计算公式【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列命题正确的是（） (A).有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱。 (B)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 (C) 有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱。 (D)用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台。 2．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称： （1）由8个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他面都是全等的矩形。 （2）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形。 3．五棱台的上下底面均是正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。 4．一个气球的半径扩大a倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5．如图：右边长方体由左边的平面图形围成的是（）（图在教材P8 T1 (3)） 【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案 §1.1.1集合的含义及其表示 [自学目标] 1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法; 2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ?. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集. 5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作* N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测] 例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数; （5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点. 分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性. 例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 例3.设()()() {} 2 2 ,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+== -+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A. 例4.已知{}2,,M a b =,{} 22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习] 1．下列说法正确的是（ ） （A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合? ?????∈= =+N n n x x A ,1 是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是 （ ） A ．}33|{=+x x B },,|),{(2 2R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2 ≤x x D ．}01|{2 =+-x x x 3．方程组2 0{ =+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{. 4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝ 5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B= . [归纳反思] 1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便． ．例：x 2 －3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}． 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}． 小结 用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}， 2.2.3两条直线的位置关系 [学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标,能根据直线的一般式方程判定两条直线的位置关系,能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.进一步体会几何问题代数化的基本思想. [知识链接] 1.直线的倾斜角α的取值范围0°≤α＜180°. 2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝ y2－y1 x2－x1 . 3.直线方程的形式有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式. [预习导引] 1.两条直线相交、平行与重合的条件 (1)两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系, 可以用方程组 ?? ? ??A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0 的解的个数进行判断,也可用直线方程的系数进行判断,方法如下： 方程组的解位置关系 交点个 数 代数条件无解平行无交点 A1B2－A2B1＝0且 B1C2－B2C1≠ 0(A2C1－A1C2≠0) 或 A1 A2＝ B1 B2≠ C1 C2 (A2B2C2≠0) 有唯一解 相交 有一个 交点 A 1 B 2－A 2B 1≠0 或A 1A 2 ≠B 1 B 2 (A 2B 2≠0) 有无数个解 重合 无数个 交点 A 1＝λA 2, B 1＝λB 2, C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1 A 2＝B 1B 2 ＝C 1 C 2 (A 2B 2C 2≠ 0) (2)两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系,也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断.具体判断方法如表所示. 位置关系 平行 重合 相交一般 相交垂直 图示 k ,b 满足 条件 k 1＝k 2且b 1≠b 2 k 1＝k 2且b 1＝b 2 k 1≠k 2 k 1·k 2＝－1 对坐标平面内的任意两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,有l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝0. 如果B 1B 2≠0,则l 1的斜率k 1＝－A 1B 1,l 2的斜率k 2＝－A 2 B 2. 又可以得出：l 1⊥l 2?k 1k 2＝－1. 要点一 直线的交点问题 例1 求经过原点,且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的 班级： 组别： 组号：___________ 姓名： 2.2.1对数（1） 【学习目标】 1. 理解对数的概念； 2. 能够进行对数式与指数式的互化； 3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。 【自主学习】认真阅读教材62页至63页例2，探究并思考: 1.问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？ 请问：（1）问题具有怎样的共性？ （2）已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：由1.01x m =，求x . 2.一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）. 记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 试试：将问题1中的指数式化为对数式. 3我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技 术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N 试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义. 4.思考： （1）指数与对数间的关系？ 0,1a a >≠时，x a N =? . （2）负数与零是否有对数？为什么？ （3）log 1a = ， log a a = . (4) log ____;n a a = log _____a N a = 5. 1)将下列指数式写成对数式： （1）4 216=； （2）3 1 3 27 -= ； （3）520a =； （4）10.452b ??= ??? ． 2)将下列对数式写成指数式： （1）5log 1253=； （2） log 32=-； （3）lg 0.012=-； （4） 2.303=． 小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 【合作探究】 1．求下列各式的值： ⑴2log 64； ⑵2 1 log 16 ； (3)lg10000； 解析几何 2.1.1 直线的斜率 ? 2.11,,172 - 3. 4.3,3 5.180α?- 6.1 7.(1)m>1或m<-5; （2）m=-5; (3)-5 第一章三角函数 [基础自学] 一、角的概念 1．角的概念 (1)角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． (2)角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为角的始边； 终边：用OB表示，用语言可表示为角的终边． 2．角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： 1．象限角：若角的顶点在原点，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角． 2．轴线角：若角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限． 三、终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．[自我小测] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点．() (2)锐角是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角．() (3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的．() 提示：(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)下列各组角中，终边不相同的是() A．60°与－300°B．230°与950° C．1050°与－300°D．－1000°与80° 答案 C (2)将－885°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 答案195°＋(－3)×360° 课堂合作探究KETANGHEZUOTANJIU 1 终边相同的角之间有什么关系？ 提示：与α终边相同的角，可表示为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即两角相差360°的整数倍． 2 如何表示终边在坐标轴上的角和象限角？ 提示：终边在x轴非负半轴上的角：α＝k·360°(k∈Z)； 终边在y轴上的角：α＝90°＋k·180°(k∈Z)； 第二象限角：90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)． 题型一正确理解角的概念 例1下列结论： ①锐角都是第一象限角； ②第一象限角一定不是负角； ③第二象限角是钝角； ④小于180°的角是钝角、直角或锐角． 其中正确的序号为________(把正确结论的序号都写上)． [解析]①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以①正确； ②－330°角是第一象限角，但它是负角，所以②不正确； ③480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以③不正确； ④0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故④不正确． [答案]① 角的概念的理解 正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、 必修一模块总复习 学习目标 1. 理解集合有关概念和性质，掌握集合的交、并、补等三种运算的，会利用几何直观性研究问题，如数轴分析、Venn 图； 2. 深刻理解函数的有关概念，理解对应法则、图象等有关性质，掌握函数的单调性和奇偶性； 3. 掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质；了解五个幂函数的图象及性质； 4. 体会函数的零点与方程根之间的联系，掌握零点存在的判定条件，能用二分法求方程的近似解； 5. 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函. 学习过程 一、课前准备 2113 复习1：集合部分知识结构. 复习2：函数部分知识结构. 二、新课导学 ※ 典型例题 例1已知全集U={|06}x N x ∈<≤，集合A =｛|15}x N x ∈<<，集合B ＝{|26}x N x ∈<<.求： （1）A B I ； (2) (U C A )B U ；（3）()()U U C A C B I . 例2 对于函数2()21 x f x a =-+（a R ∈）. （1）探索函数()f x 的单调性； （2）是否存在实数a使函数() f x为奇函数？ 例3 某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路. 该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差. 如果销售额与广告费的算术平方根成正比，根据对市场进行抽样调查显示：每付出100元的广告费，所得的销售额是1000元. 问该企业应该投入多少广告费，才能获得最大的广告效应，是不是广告做得越多越好? ※动手试试 练1. 如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线(0) =>左侧的图形的面 x t t 积为() f t的解析式为_____________. f t，则函数() 练2. 某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B 连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是（）. A．多赚5.92元 B．少赚5.92元 C．多赚28.92元 D．盈利相同 三、总结提升 ※学习小结 1. 集合的有关概念及三种运算； 2. 函数的三要素及性质（单调性、奇偶性）； 3. 指、对、幂函数的图象及性质； 4. 零点存在定理及二分法； 5. 函数模型的应用. ※知识拓展 基本初等函数包括以下6种： （1）常值函数：y =c（其中c为常数）； （2）幂函数y =x a（其中a为实常数）； （3）指数函数y =a x（a＞0,a≠1）； （4）对数函数y =log a x（a＞0,a≠1）； 第二章平面向量 2.1 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 【自主学习】 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________ 思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； b c，则a和c是方向相同的向量； （4）向量a和b是共线向量，// v1.0 可编辑可修改 §1-1 集合及其运算 【知识点回忆】阅读教材完成下面填空 1．元素与集合的关系:用 或 表示； 2．集合中元素具有 、 、 3．集合的分类： ①按元素个数可分： 限集、 限集 ；②按元素特征分：数集，点集等 4．集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N={0，1，2，3，…}； ②描述法 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集* N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系: 6．熟记：①任何一个集合是它本身的子集；②空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集；③如果B A ?，同时A B ? ，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么.④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 7．集合的运算（用数学符号表示） 交集A∩B= ; 并集A ∪B= ； 补集C U A= ，集合U 表示全集. 8.集合运算中常用结论: ;A B A B A ??=A B A B B ??= 【5分钟练习】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1．下列关系式中正确的是（ ） A. 0∈? B. 0{0}∈ C. 0{0}? D. {0}??≠ 2． 方程3 231x y x y +=?? -=? 解集为______. 3．全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}I =，{1,2,3}A = {2,5,6,7}B =，则A B ＝ ，A B ＝ ，() I C A B ＝ 4．设{ } 2 20,M x x x x R =++=∈，a =lg(lg10)，则{a }与M 的关系是( ) A ．{a }=M B ． M {a } C ．{a }?M D ．M ?{a } 强调（笔记）：人教版高中数学必修二全册导学案
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