目 录
第一讲行列式 (1)
第二讲矩阵及其运算 (7)
第三讲n维向量 (19)
第四讲线性方程组 (30)
第五讲矩阵的特征值与特征向量 (35)
第六讲二次型 (42)
参考答案 (47)
2015考研数学基础班线性代数辅导讲义
1
第一讲 行列式
考研大纲
1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.
2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.
知识要点
一、行列式的概念 1．n 阶行列式的定义
nn
n n n
n
a a a a a a a a a D 2122221
11211=
1111121211111==+++=∑ n n n j j j a A a A a A a A ，
其中111(1)+=?j
j j A M ，且212,12,12313,1
3,1311,1
,1?+?+?+=
j j n j j n
j n n j n j nn
a a a a a a a a M a a a a ，(1,2,,)= j n ．
二、行列式的性质
1．行列式与它的转置行列式相等．
T nn n n n n nn n n n n
D a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ===
212
2212
1
21112
12222111211．
2．互换行列式的两行（列），行列式变号．
nn
n n n jn j j j in i i i n
a a a a a a a a a a a a a a a a D
32
1
321321
1131211
=nn
n n n in i i i jn
j j j n a a a a a a a a a a a a a a a a
32
1
321
3211131211?=．
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2
推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零．
3．行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数λ，等于用数λ乘此行列式．
nn
n n n in i i i n
a a a a a a a a a a a a D
3
2
1
321
1131211
λλλλ=nn
n n n in i i i n a a a a a a a a a a a a 32
1
3211131211?=λ． 推论：（1）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面．
（2）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零．
4．如果行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，两
个行列式在该行（列）分别取第一个和第二个元素，其余各行（列）都不变．
nn
n n n in in i i i i i i n a a a a b a b a b a b a a a a a 3
2
1
3
32
21
11131211++++ nn n n n in i i i n
a a a a a a a a a a a a 3
2
1
321
1131211=nn
n n n in i i i n a a a a b b b b a a a a 3
2
1
3211131211+． 5．把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数，然后加到另一行（列）对应的元素上去，
行列式的值不变．
nn
n n n jn j j j in i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a D
3
2
1
321321
1131211
=nn n n n in
jn i j i j i j in i i i n
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
32
1332
211321113
1211λλλλ++++=．
6．行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．
in in i i i i A a A a A a D +++= 2211（其中n i ≤≤1）．
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3
nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211（其中n j ≤≤1）
． 推论：行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应的元素的代数余子式乘积之和等
于
零．
02211=+++jn in j i j i A a A a A a （其中n j i ≤≠≤1）． 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （其中n j i ≤≠≤1）
． 7．拉普拉斯定理：行列式等于某几行的所有子式与其对应的代数余子式乘积的和．
三、克莱姆法则
设含有n 个未知数n x x x ,,,21 的n 个线性方程的方程组
??????
?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111)(Ι???????=+++=+++=+++0
00221122221211212111n nn n n n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a )(ΙΙ 定理：如果线性方程组)(Ι的系数行列式不等于零，即021
2222111211
≠=
nn
n n n
n a a a a a a a a a D
，那
么，方程组)(Ι有唯一解D
D x D D
x D D x n n ===
，，， 2211，其中： nn
j n n
j n n n
j j j a a b a a a a b a a D
1
,1
,111,111
,111+?+?=)21(n j ，，，
=． 推论：
（1）如果线性方程组)(Ι无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零． （2）如果齐次线性方程组)(ΙΙ有非零解，则它的系数行列式必为零．
例1．设A 是n 阶矩阵，证明：存在非零的n 阶矩阵B 使0=AB 的充要条件是0=A ．
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四、重要公式
1．111112121222221122120000
00=
=
=
n n nn n n nn nn
a a a a a a a a D a a a a a a a ．
2．11(1)2
12221
1
0000
00(1)00
00
n n
n n n n n a a a a D a a a a a a a ?????????===?????
?
?
．
3．奇数阶反对称行列式等于0．
4．范德蒙德行列式∏≤<≤?????==n
j i i j n n
n n n n
n
n x x x x x x x x x x x x x x D 11
1312
1
12
23222
1
321)(1111
． 5．设A 是m 阶矩阵，B 是n 阶矩阵，则
B A B O A B O A ?=?=?；
B A O
B A B
A O
mn ??=?=?)1(． 典型例题
一、填空题
例2．设12125376????
=??????
A a ，
B 是3阶非零矩阵，且0=AB ，则_____=a ．
例3．设A 为三阶矩阵，将A 的所有关于次对角线对称的元素对换得到的矩阵记为B ，已
知A a =，则______B =．
例4．设γβααα,,,,321都是4维列向量，且5,,,321=βααα，
4,,,123=+αααγβ，
则______,,,2321=αααγ．
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例5．设γβα,,是方程03
=++q px x 的三个互异实根，则行列式______=α
γββαγγ
βα．
二、n 阶行列式的计算 1．利用行列式定义计算
例6．计算n 阶行列式x
y y x y x y x D n 000000000
000
=．
2．各行（列）元素之和相等的行列式
例7．计算n 阶行列式x
a a a
x a a a x D n =
．
例8．计算n 阶行列式1
1111111
1111
n n n n D n ????=．
3．各行（列）加减同一行（列）的倍数
例9．计算n 阶行列式n
n D n 2222
2122222322
222222
2221 ?=
．
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4．各行（列）依次加减上一行（列）的倍数
例10．计算n 阶行列式123121312
3112341
2
341n n n n n n n
D n n
???=
．
例11．计算行列式1
231111
00
1
001
0n n
a a D a a =
，其中021≠n a a a ． 5．加边法
例12．计算n 阶行列式n
n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a D λλλλ++++=
3
2
1
3
32132
21321
1，其中： 12n λλλ 0≠．
6．拆分法
例13．计算n 阶行列式111212122212111111111n n
n n n n n
x y x y x y x y x y x y D x y x y x y ++++++=+++ ．
例14．设n 阶矩阵12(,,,)n A ααα= ，12231(,,,)n B αααααα=+++ ，其中
12,,,n ααα 为n 维列向量，已知A a =(0)a ≠，则行列式B 的值．
7．递推法
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7
例15．计算n 阶行列式n
n n a a a a a x
x x D 1
3
21
10000010
0001????=
．
8．三对角行列式
例16．计算n 阶行列式2
11
211
211
2112????????=
n D ．
9．利用行列式展开定理
例17．设行列式3
14231315
0111253??????=
D ，D 中ij a 的余子式和代数余子式依次记为ij M 和ij A ，求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++． 三、利用克莱姆法则求方程的解
例18．证明：如果n 次多项式n n x c x c c x f +++= 10)(对1+n 个不同的x 值都是0，则此多项式恒等于0．
第二讲 矩阵及其运算
考研大纲
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.
2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式性质.
3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.
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4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.
5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算方法.
知识要点
一、矩阵的概念
1.矩阵：由n m ×个数ij a )2121(n n m i ，；，==排成m 行n 列的数表，称为n m ×的矩阵，记作
??
?
?
?
?
?
???
????=×mn m m n n n
m a a a a a a a a a A 2
1
2222111211
．
2.几类特殊矩阵
（1）方阵：矩阵A 行数和列数相等的矩阵.
（2）零矩阵：若矩阵A 中所有元素都是0，记O A =．
（3）三角矩阵：主对角线下方的元素全为零的方阵为上三角矩阵；主对角线上方的元素全
为零的方阵为下三角矩阵．
（4）对角矩阵：主对角线上元素为任意常数，而主对角线外的元素都是零的矩阵，记作：
??????
????
???
?=Λn λλλ
2
1
． （5）数量矩阵：主对角线上元素均相等的对角矩阵，记作：???????????
?
??=Λλλλ
． （6）单位矩阵：主对角线上元素均为1的数量矩阵，记作：???
???
???
?
?
?
??=111
E ． （7）同型矩阵：若矩阵A 与B 的行数和列数分别相等的矩阵.
（8）相等矩阵：若同型矩阵A 与B 对应元素也相等，记作A B =．
备注：若A B =，则A B =，反之不成立．
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二、矩阵的运算
1.矩阵的加法：设矩阵n m ij a A ×=)(，n m ij b B ×=)(，则n m ij ij b a B A ×+=+)(．
2.矩阵的减法：设矩阵n m ij a A ×=)(，n m ij b B ×=)(，则n m ij ij b a B A ×?=?)(．
3.数与矩阵相乘：设矩阵n m ij a A ×=)(，λ是一个常数，则n m ij a A ×?=?)(λλ．
4.矩阵与矩阵的乘法：设矩阵n m ij a A ×=)(，p n ij b B ×=)(，则p m ij c B A ×=×)(，其中
∑=?=n
k kj ik ij b a c 1
，m i 2,1=，p j 2,1=．
5.矩阵与矩阵乘法的运算律
（1）结合律：)()(BC A C AB =；)()()(B A B A AB λλλ==． （2）分配律：AC AB C B A +=+)(；CA BA A C B +=+)(．
备注：（1）一般情况下BA AB ≠，若BA AB =，则称B A ，为可交换矩阵，特殊地： n n n n A E ××?n n n n E A ××?=；
（2）设0=AB ，则B A ，不一定为零矩阵；（3）设AC AB =， 0≠A ，则C B ，不一定相等；但AC AB =,且0≠A ，则C B =．
（3）方阵的幂：n
A A A A =? ．
例1．判断下列命题是否正确，错误的命题举出反例． （1）若02=A ,则0=A .
（2）若A A =2
,则0=A 或E A =. （3）若AC AB =,且0≠A ，则C B =.
（4）若B A ，为n 阶矩阵，且0=AB ，则2
22)(B A B A +=+． （5）若T
A A =，T
B B =，则()T
AB AB =．
例2．证明下列命题．
（1）两个上（或下）三角矩阵的乘积仍是上（或下）三角矩阵.
（2）主对角元全为0的上（或下）三角矩阵的乘积，仍是主对角元为0的上（或下）三角
矩阵.
（3）主对角元全为1的上（或下）三角矩阵的乘积，仍是主对角元为1的上（或下）三角
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矩阵．
例3．设12n λλλ????
??Λ=????
?
? ，其中12,,,n
λλλ 两两不相等，证明：与Λ可交换的矩 阵只能是对角矩阵．
三、矩阵的转置及其运算律
1.定义：把矩阵A 的行换成同序数的列得到一个新矩阵，称为矩阵A 的转置，记作T
A . 2.矩阵转置的运算律
（1）A A T T =)(. （2）T T T B A B A +=+)(. （3）T
T A A ?=λλ)(. （4）T
T
T
A B AB ?=)(．（5）1
1()
()T T A A ??=. （6）**()()T T A A =.
3.对称矩阵：若A A T
=，则A 为对称矩阵. 4.反对称矩阵：若A A T
?=，则A 为反对称矩阵．
例4.对于任意的n 阶矩阵A ，证明：（1）T
A A +是对称矩阵，T
A A ?是反对称矩阵. （2）A 可表示为对称矩阵与反对称矩阵之和.
四、行列式的乘法定理
1.定理：设A ，B 是两个n 阶矩阵，则乘积AB 的行列式等于A 和B 行列式的乘积，即
B A AB ?=.
备注：一般情况下，A B A B +≠+. 2.方阵行列式的性质
（1）A A n λλ=.（2）A A T
=.（3）1
*
n A A
?=.（4）1
1
A
A ??=.
（5）若~A B ，则A B =.
五、逆矩阵及其运算律
1.定义：对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==,则A 可逆，且
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B A =?1．
2.逆矩阵的运算律 （1）A A =??1
1)
(. （2）111
)(???=
A A λ
λ(0)λ≠.（3）111)(????=A B AB .
（4）11
()()T T A A ??=. （5）1
1
??=A A . （6）11()()A A ????=.
（7）n n A A )()
(11
??=. （8）???=
A A
A 1
1. 例5．求下列矩阵的的逆矩阵． （1）???
?
?
?=d c b a A ，其中0≠?bc ad ． （2）????
??
????
?
??
?=n a a a A
2
1，其中021≠?n a a a ． （3）??????
??????
??
=n a a a A
2
1，其中021≠?n a a a ． 例6．设B A ，为n 阶矩阵，下面命题是否正确． （1）若B A ，皆可逆，则B A +也可逆． （2）若B A ，皆不可逆，则B A +也不可逆． （3）若AB 可逆，则B A ，都可逆． （4）若AB 不可逆，则B A ，都不可逆．
例7．证明下列命题．
（1）可逆的对称矩阵的逆矩阵仍是对称矩阵．
（2）可逆上（或下）三角矩阵的逆矩阵仍是上（或下）三角矩阵．
（3）主对角元全为1的上（或下）三角矩阵的逆矩阵仍是主对角元为1的上（或下）三角矩阵．
六、转置伴随矩阵
1．定义：由行列式A 的各个元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵：
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??
??
?
?
?
???????=?nn n n
n n A A A A A A A A A A 2122212
12111 称为矩阵A 的转置伴随矩阵． 2．伴随矩阵的运算律
（1）**A A AA A E ==．（2）1
*
n A A ?=(2)n ≥． （3）2
**()n A A
A ?=．
（4）*
1
*()n kA k
A ?=． （5）*1A A A ?=． （6）*11
()A A A
?=
． （7）*1
1*()
()A A ??=． （8）**()()T T A A =． （9）***()AB B A =?．
例8．设A 是3阶可逆矩阵，且A 的伴随矩阵*
T
A A =，证明：1=A ．
七、分块矩阵的运算法则
1．+??????2221
1211A A A A ??????22211211
B B B B ??
?
?
??++++=22222121121211
11B A B A B A B A ．
2．?????
??22211211A A A A ??????2221
1211
B B B B ??
?
?
???+??+??+??+?=2222122121
2211212212121121
121111B A B A B A B A B A B A B A B A ．
3．T
A A A A ???
???2221
1211???
?
????=T T
T T A A A A 2212
2111． 4．1
11
11
2
21S S A A A A A A ??????
??
??
??
?
???=???????????
??
?
，其中0≠i
A ，)2,1(s i =．
5．1
112
12
1
1
s s
A A A A A A ??????????
?
?
?
???=????
??????????
，其中0≠i
A ，)2,1(s i =．
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6．
1
2
12S S
A A A A A A =?
．
7．12
12
()()()????
?
?=+++?????
?
s S A A r r A r A r A A ．
八、矩阵的初等变换与初等矩阵
1．初等变换：下面三种变换称为矩阵的初等变换 （1）交换矩阵的两行（列），记作j i r r ?)(j i c c ?．
（2）以数k )0(≠k 乘某一行（列）的所有元素，记作i r k ?)(i c k ?．
（3）某一行（列）的所有元素的k )0(≠k 加到另一行（列）的对应元素上，记作
i j r k r ?+)(i j c k c ?+．
2．矩阵A 与B 等价：把矩阵A 经过初等变换变成矩阵B ，记作A B ～． 3．初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵．
101101ij E ??????????=???????????? ．11()11i E k k ????
??????
=??????
?
?????
．
11()11ij E k k ??
??
??????
=??????
??
????
．
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4．初等矩阵的运算性质
（1）T
ij ij E E =，()()T i i E k E k =，()()T
ij ji E k E k =． （2）1
ij
ij E E ?=，11
()()i i E k E k
?=，1()()ij ij E k E k ?=?．
（3）对A 进行一次初等行变换相当于对A 左乘一个对应的初等矩阵；对A 进行一次初等列变换相当于对A 右乘一个对应的初等矩阵．
5．利用初等变换求逆矩阵
定理：方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵s P P P ,,,21 ，使得
s P P P A 21?=．
典型例题
一、选择题
例9．设???
?
????
??=3332
31
232221
131211
a a a a a a a a a A ， ???
?
?
?????+++=323132
3322212223
121112
13
a a a a a a a a a a a a B ， ??????????=1000110011P ，??????????=1000100112P ，???
?
?
?????=0010101003P ，则______=B ．
)(A 21P AP ．)(B 31P AP ．)(C 13P AP ．)(D 3
2P AP ． 例10．设A ，P 均为3阶矩阵，T
P 为P 的转置矩阵，且????
?
?????=200010001AP P T ，若
),,(321ααα=P ，),,(3221αααα+=Q ，则______=AQ Q T ．
)(A ??????????200011012．)(B ??????????200021011．)(C ??????????200010002．)(D ????
?
?????200020001．
例11．设A ，B ，B A +，11
??+B A
均为n 阶可逆矩阵，则______)(111=+???B A ．
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)(A B A +．)(B 11??+B A ．)(C B B A A 1)(?+．)(D 1)(?+B A ．
例12．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，?
?
B A ,分别为B A ,的伴随矩阵，则??
?
???=B A C 00的伴
随矩阵为______．
)(A ????
??
????B B A A 00．)(B ????
??????A A B B 00． )(C ????
??
?
???A B B A 00．)(D ???
????
???B A A B 00． 二、填空题
例13．设C B A ,,均为n 阶方阵，且E CA BC AB ===，则______2
2
2
=++C B A ．
例14．设A ，B 为3阶矩阵，且3A =，2B =，12A B ?+=，则1
______A B ?+=.
例15．设T
)321(，，?=α1
(11)2
β=?，T ,T
A αβ=，则______100=A ．
例16．设A 为3阶矩阵，2
1
=A ，则______5)2(1=???A A ．
例17．设4阶矩阵52002
10000120
11A ??
???
?
=???????
，则行列式A 的所有代数余子式的和为_____．
三.解答题
1．矩阵的运算
例18．设(c)α=，，T a b ,()β=，，T x y z ,246123123αβ??????=?????????
T ，求αβT
．
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例19．设????????????=111201111P ,????
???????=Λ321,Λ=P AP ,求A A A A 32)(2
3?+=?．
2．方阵的幂
例20．设????
??????=λλλ001001A ，求n
A ．
例21．设111222333A ????=??????
，求n
A ．
3．有关对称矩阵的证明
例22．设B A ，为n 阶对称矩阵，证明:AB 是对称矩阵的充要条件是BA AB =．
例23．设A 是实对称矩阵，且20A =，证明：0A =．
2015考研数学基础班线性代数辅导讲义
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4．行列式的乘法定理
例24．设A ，B 为4阶矩阵，且2?=A ，3=B ，求T
AB ?．
例25．设A 是n m ×矩阵，B 是m n ×矩阵，证明：BA E AB E n m ?=?．
5．逆矩阵的计算与证明
例26．设0=k A （k 为正整数），证明：121
)(??++++=?k A A A E A E ．
例27．解下列矩阵方程．
（1）???????????=??
????
???
?
???233141*********X ，求X ．
（2）?
????
????????=????????
?
????
????
???
?
?021102341010100001100001010X
，求X ．
2015考研数学基础班线性代数辅导讲义
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（3）设???
?
?????????=11111
1111A ，且满足X A X A 21+=??，求X ．
例28．
设T E A αα?=，其中E 是n 阶单位矩阵，α是n 维非零列向量，证明：（1）A A =2
的充分必要条件是1=ααT ．（2）当1=ααT 时，A 不是可逆矩阵．
6．分块矩阵的运算
例29．???
???
?
?
????????=?00
0000000
000121
n
n a a a a A ，其中021≠?n a a a ，求1?A ．
例30．设??
?
???=D C B A Q ,且A 可逆，证明：B A C D A Q ????=?1．
例31．设B A ,均为n 阶矩阵，证明：
B A B A A
B B
A ??+=．
2015考研数学基础班线性代数辅导讲义
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7．初等矩阵
例32．计算 2013
2014
010123001100456010001789100????????????????????????????
????
．
例33．设1112
132122
233132
33a a a A a a a a
a a ???
?=??????，且3A =，12
11131122
21232132313331222a a a a B a a a a a a a a ???
??
=????????
，求*A B ．
第三讲 n 维向量
考研大纲
1.理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.
2.理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判
别法.
3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.
4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系.
5.了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念（数学二、三不要求）.
6.了解基变换和坐标变换公式，会求过度矩阵（数学二、三不要求）.
7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法.
8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质（数学二、三不要求）.
知识要点
一、n 维向量的概念与运算
1.n 维向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组，记作
),,,(21n a a a =α或T n a a a ),,,(21 =α．
2015年考研数学一真题 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211 23 ()x x y e x e = +-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则 （A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c === 【详解】线性微分方程的特征方程为2 0r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得 213212(),a b =-+=-=?=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ） ３．若级数 1 n n a ∞ =∑ 条件收敛，则3x x ==依次为级数 1 1() n n n na x ∞ =-∑的 （Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的 收敛为1，即11lim n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,) ，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ） ４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy == 与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =-
3、若级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛，则x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的： （A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞=∑条件收敛，故2x =为幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2，因而x = 3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛 点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 12sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4 π θ= ；由y =得，3 π θ= 由21xy =得，2 2cos sin 1, r r θθ== 由41xy =得，2 4cos sin 1, r r θθ==
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ； ； ； ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-∞,+∞)内 (A) (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义， 且所以是的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数().若 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】易求出 再有 于是，存在此时. 当，， = 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其 二阶导函数的图形如右图所示， 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足则与依次是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在 D上连续，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的 拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的： （A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ?
考研数学真题及解析 与 x = 3 依次为幂级数∑ n a (x -1) 的 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸． 指定位置上. (1) 设函数 f (x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，其中二阶导数 f ''(x ) 的图形如图所示，则曲 线 y = f (x ) 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设 y = 1 e 2 x + (x - 1 )e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程 2 3 y '' + ay ' + by = ce x 的一个特解，则 ( ) (A) a = -3, b = 2, c = -1 (B) a = 3, b = 2, c = -1 (C) a = -3, b = 2, c = 1 (D) a = 3, b = 2, c = 1 (3) 若级数 ∑ a n 条件收敛，则 x = n =1 ∞ n n n =1 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 (4) 设 D 是第一象限由曲线2xy = 1， 4xy = 1与直线 y = x ， y = 面区域，函数 f ( x , y ) 在 D 上连续，则 ?? f ( x , y ) dxdy = D 3x 围成的平 ( ) ∞ 3
?π ? ?π ?π ? ?π 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 (A) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (B) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr 4 2 s in 2θ (C) π 3 d θ 1 sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ (D) π 3 d θ ? sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr 4 2 s in 2θ ?1 1 1 ? ?1 ? (5) 设矩阵 A = 1 2 a ? ， b = d ? ，若集合Ω= {1, 2}，则线性方程组 ? ? 1 4 a 2 ? d 2 ? ? ? ? ? Ax = b 有无穷多解的充分必要条件为 ( ) (A) a ?Ω, d ?Ω (B) a ?Ω, d ∈Ω (C) a ∈Ω, d ?Ω (D) a ∈Ω, d ∈Ω (6) 设二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换为 x = Py 下的标准形为2 y 2 + y 2 - y 2 ， 其中 P = (e 1 , e 2 , e 3 ) 下的标准形为 ( ) ，若Q = (e 1 , -e 3 , e 2 ) ，则 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy (A) 2 y 2 - y 2 + y 2 (B) 2 y 2 + y 2 - y 2 (C) 2 y 2 - y 2 - y 2 (D) 2 y 2 + y 2 + y 2 (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( ) (A) (C) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≤ P ( A ) P ( B ) 2 (B) (D) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) P ( A B ) ≥ P ( A ) P ( B ) 2
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（） （A ） 2 +∞ ? （B ）2 ln x dx x +∞ ? (C)2 1 ln dx x x +∞ ? (D)2 x x dx e +∞ ? (2)函数2 0sin ()lim(1)x t t t f x x →=+在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 (3)设函数1cos ,0 ()0,0x x f x x x α β?>?=??≤? (0,0)αβ>>，若()f x '在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ (4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =的拐点个数为（） （A ）0 (B)1 (C)2 (D)3 (5).设函数(u v)f ，满足22 (,)y f x y x y x +=-，则 11 u v f u ==??与1 1 u v f v ==??依次是（） （A ） 12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12 (6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy == 与直线,y x y =围成的平面区域，函数 (,)f x y 在D 上连续，则(,)D f x y dxdy ??=（）
（A ） 12sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? （C ） 13sin 214 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π θπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? (7)．设矩阵A=211112a 14a ?? ? ? ???，b=21d d ?? ? ? ??? ,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个解的 充分必要条件为（） （A ）,a d ?Ω?Ω (B),a d ?Ω∈Ω (C),a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω (8)设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为222 1232,y y y +-其中123P=(e ,e ,e )，若 132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ） (A):2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 222123 2y y y ++ 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. (9) 设223 1arctan ,3t x t d y dx y t t ==?=?=+? 则 （10）函数2 ()2x f x x =在0x =处的n 阶导数() (0)n f = （11）设函数()f x 连续，2 ()(),x x xf t dt ?= ? 若(1)?1=，'(1)5?=，则(1)f = （12）设函数()y y x =是微分方程'' ' 20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y z e xyz +++=确定，则(0,0)dz = （14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B = 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分） 设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2 ()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，
Page 1 of 102015年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列反常积分收敛的是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）2? 2ln x dx x +∞?21ln dx x x +∞?2x x dx e +∞?【详解】当且仅当时才收敛，所以（A ）是发散的；21p dx x +∞? 1p >2+∞?（B ）是发散的；22212ln (ln )|x dx x x +∞+∞==+∞? （C ）是发散的；221ln ln ln dx x x x +∞+∞==+∞?事实上，对于（D ），应该选（D ）．22213()|x x x dx x e e e +∞ -+∞-=-+=?2．函数在内（ ）2 01sin ()lim x t t t f x x →??=+ ??? (,)-∞+∞（A ）连续 （B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点 【详解】220010 sin lim sin ()lim ,t x t x t x x t t t f x e e x x →?→??=+==≠ ???函数在处没有定义，而，所以应该选（B ）．0x =00 1lim ()lim x x x f x e →→==3．设函数 ，若在处连续，则（ ）100000cos ,(),(,),x x f x x x αβαβ?>?=>>??≤? ()f x '0x =（A ） （B ） （C ） （D ）1αβ->01αβ<-≤2αβ->02 αβ<-≤【详解】当时，，当时，，0x >1111()cos sin f x x x x x ααβββαβ---'=+0x <0()f x '=10011000cos (),()lim lim cos x x x x f f x x x αβαβ ++--+→→''===
2015年考研数学一真题及答案解析
2 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数 () ''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个 数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）.
3 (2)设211()23 =+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微 分方程 '''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1 =-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1 ===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程 20 r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方 程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题：1:8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为
32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 = x 3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛，即2x =为幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收 敛区间还是(0,2)。 因而x = 3x =依次为幂级数1 (1)n n n na x ∞ =-∑的收敛点，发散点.故选（B ）。 (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x = ，y =围成的平面区 域，函数(),f x y 在D 上连续，则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ( )34 cos ,sin d f r r rdr π πθθθ? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ( )34 cos ,sin d f r r dr π πθθθ? 【答案】（B ） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D 的图形，
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)设{}n x 是数列,下列命题中不正确的是 ( ) (A) 若lim →∞ =n n x a ,则 221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (B) 若221lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a , 则lim →∞ =n n x a (C) 若lim →∞ =n n x a ,则 331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a (D) 若331lim lim +→∞ →∞ ==n n n n x x a ,则lim →∞ =n n x a 【答案】(D) 【解析】答案为D, 本题考查数列极限与子列极限的关系. 数列()n x a n →→∞?对任意的子列{} k n x 均有()k n x a k →→∞,所以A 、B 、C 正确； D 错(D 选项缺少32n x +的敛散性),故选D (2) 设函数()f x 在(),-∞+∞连续,其2阶导函数()f x ''的图形如右图所示,则曲线()=y f x 的拐点个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C) 【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是()f x ''不存在的点或()0f x ''=的点处产生.所以()y f x =有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数 ()f x ''符号发生改变的点即为拐点.所以从图可知，拐点个数为2，故选C. (3) 设 (){} 2 222,2,2= +≤+≤D x y x y x x y y ,函数(),f x y 在D 上连续,则
https://www.doczj.com/doc/f61246535.html,/ 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ； ； ； ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义， 且所以是的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数， ().若在处连续，则 (A) (B) (C) (D)【答案】A
https://www.doczj.com/doc/f61246535.html,/ 【解析】易求出 ， 再有 不存在，， 于是，存在，此时. 当时，， = 不存在，， 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续，其 二阶导函数的图形如右图所示， 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧 异号，对应的点就是的拐点。 虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足，则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题解析 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，21 2x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）
2015年考研数学一真题及答案（完整版） 一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则 ( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以2,1 为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方程变为
32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 3=x 与3=x 依次为幂级数 1 (1) ∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B ） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛， 即2x =为幂级数1 (1) n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，所以 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛 区间还是(0,2).因而3x =与3x =依次为幂级数1 (1) n n n na x ∞ =-∑的收敛点，发散点.故选（B ）. (4) 设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，3y x =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则 (),D f x y dxdy =?? ( ) (A) ()1 3sin214 2sin2cos ,sin d f r r rdr π θπθ θθθ?? (B) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r rdr π θπθθθθ?? (C) ()13sin 214 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? (D) ()1sin 2314 2sin 2cos ,sin d f r r dr π θπθ θθθ?? 【答案】（B ）
2015年考研数学（一）试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线 ()=y f x 的拐点的个数为 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】（C ） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由()f x ''的图形可得，曲线()y f x =存在两个拐点.故选（C ）. (2)设211 ()23 = +-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一个特解，则( ) (A) 3,2,1=-==-a b c (B) 3,2,1===-a b c (C) 3,2,1=-==a b c (D) 3,2,1===a b c 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知，212x e 、13 x e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解， 所以2,1为特征方程2 0r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =?=，从而原方 程变为32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ） (3) 若级数 1 ∞ =∑n n a 条件收敛，则 3= x 与3=x 依次为幂级数1 (1)∞ =-∑n n n na x 的 ( ) (A) 收敛点，收敛点
2015年考研数学一真题 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图 所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为 （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设211 23 ()x x y e x e = +-（A ）321,,a b c =-==-（B ）a =（C ）321,,a b c =-==（D ）3a =【 21=即得 a x xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ） 3 =依次为级数1 1()n n n na x ∞ =-∑的 （Ａ）收敛点，收敛点（Ｂ）收敛点，发散点 (Ｃ）发散点，收敛点（Ｄ）发散点，发散点 【详解】注意条件级数 1 n n a ∞ =∑条件收敛等价于幂级数 1 n n n a x ∞ =∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1， 即11lim n n n a a +→∞=，所以11()n n n na x ∞ =-∑的收敛半径1 11lim ()n n n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然3x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ） ４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上 连续，则 (,)D f x y dxdy =??（）
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．． (1) 设函数 f ( x)在,内连续，其中二阶导数 f ( x) 的图形如图所示，则曲线 y f ( x)的拐点的个数为() (A)0(B)1(C)2(D)3 【答案】（C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函 数异号。因此，由f(x) 的图形可得，曲线 y f ( x) 存在两个拐点.故选（ C） . (2) 设y 1 e2x(x1)e x是二阶常系数非齐次线性微分方程y ay by ce x的一 23 个特解，则() (A)a3,b2, c1 (B)a3, b2, c1 (C)a3,b2, c1 (D)a3, b2, c 1 【答案】（A ） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已知解来确定微分方程的系数，此 类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一 种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 1 e 2 x、1e x为二阶常系数齐次微分方程y ay by 0 的解，所以【解析】由题意可知， 2,1 23
为特征方程 r 2ar b 0 的根，从而a (12)3，b 1 2 2 ，从而原方程变为 y 3y 2 y ce x，再将特解 y xe x代入得c1.故选（A） (3) 若级数a n条件收敛，则x 3 与x 3 依次为幂级数na n ( x1)n的() n 1n 1 (A)收敛点，收敛点 (B)收敛点，发散点 (C)发散点，收敛点 (D)发散点，发散点 【答案】（B ） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 【解析】因为a n条件收敛，即 x 2 为幂级数a n ( x 1) n的条件收敛点，所以a n ( x 1)n n 1n 1n 1 的收敛半径为1，收敛区间为(0, 2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故na n (x 1)n的收 n 1 敛区间还是 (0, 2)。因而 x3与 x 3 依次为幂级数na n ( x 1)n的收敛点，发散点.故选（B）。 n 1 (4) 设D是第一象限由曲线 2 xy 1， 4 xy 1与直线 y x ，y3x 围成的平面区 域，函数 f x, y在 D 上连续，则f x, y dxdy() D 1 (A)3d sin2f r cos , r sin rdr 1 42sin2 1 (B)3d sin 2f r cos, r sin rdr 1 42sin 2 1 (C) 3 d sin2f r cos, r sin dr 1 42sin 2 1 (D) 3 d sin2f r cos , r sin dr 1 42sin 2
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞（-,+）连续，其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示，则曲线()y f x =的 拐点个数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】(C) 【考点】拐点的定义 【难易度】★★ 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()f x ''的图形可知，曲线()y f x =存在两个拐点，故选(C). 2、设21123x x y e x e ?? =+- ?? ?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解，则（） （A ）3,1, 1.a b c =-=-=- （B ）3,2, 1.a b c ===- （C ）3,2, 1.a b c =-== （D ）3,2, 1.a b c === 【答案】(A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】 211,23 x x e e -为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根，从而
()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得： 1.c =- 3、若级数 1 n n a ∞=∑条件收敛，则x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的： （A ）收敛点，收敛点 （B ）收敛点，发散点 （C ）发散点，收敛点 （D ）发散点，发散点 【答案】(B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为 1 n n a ∞ =∑条件收敛，故2x =为幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的条件收敛点，进而得 ()11n n n a x ∞ =-∑的收敛半径为1，收敛区间为()0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 () 1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛区间仍为()0,2， 因而x =3x =依次为幂级数()1 1n n n na x ∞ =-∑的收敛点、发散点. 4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则 (,)D f x y dxdy =?? （A ） 1 2sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π θπθθθθ?? （B ）24 (cos ,sin )d f r r rdr π πθθθ? （C ） 13sin 21 4 2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ θθθ?? （D ）34 (cos ,sin )d f r r dr π πθθθ? 【答案】(D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★ 【详解】由y x =得，4 π θ= ；由y =得，3 π θ= 由21xy =得，2 2cos sin 1, r r θθ==