关注过程的数学教学
顾继玲
《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)与以往数学教学大纲相比，在课程目标上一个明显的区别是：《标准》在知识技能目标中首次出现了过程性目标，将获取知识和技能的过程本身作为课程的重要目标之一。那么我们为什么要关注过程，数学教学中有哪些过程值得关注，又该如何更好地去体现这些过程呢?本文试对其中一些问题提出自己的想法。
一、为什么要关注数学过程
总的来说，关注数学过程，是数学学科的本质使然，是数学教学的现实所需。具体地说，从数学学科的维度看，数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括、形成方法和理论并进行广泛应用的过程。简单地说，数学就是一个不断发现和应用的过程。正是在这一意义上，人们说“数学是一个过程”。从数学教学的角度看，数学是学习者个人建构的过程，他们带着自己原有的知识背景、活动经验和理解走进学习活动，并通过自己的主动活动，包括独立思考和与他人交流等，去建构对数学的理解。
但人们还是会有这样的疑惑：经历了过程似乎也学不到实质性的东西，那么教学中有必要让学生花费那么多的时间经历过程吗?笔者认为如下几个方面可以回答这样的疑惑。
(一)关注数学过程有利于更好地掌握知识与技能
学生对知识的接受是一个获得经验、思维投入的过程，是一个积极建构的过程，让学生经历数学过程，可以促进知识的理解，积累数学活动经验。如空间观念的发展依赖于学生的实践操作活动，在教学中必须让学生进行实践操作，在实践操作的活动过程中发展学生的空间观念．以被动听讲和练习为主的方式，是难以形成空间观念的。因此，在学习空间图形之初，可以设计大量的实践活动，如要求学生亲自制作相应的空间图形，对空间图形进行切截、展开与折叠等活动，对空间图形进行实际观察、操作获得三种视图等。再如，对于基本的平面图形及其位置关系，如果用观察、操作、想象、推理等多种方式探索图形的性质，一方面可以使学生体验更多的刻画现实世界和认识图形的角度和工具，另一方面为正式学习图形的性质奠定基础，积累几何活动经验。如：从一些概念(如线段、射线、直线、角)的抽象中，学生会认识到数学与生活经验的一致性；从观察、测量、操作的活动中，学生会认识到活动对掌握概念的辅助作用，如折纸得到线段的中点、折纸画出角平分线等；有些活动可以帮助发现图形或元素的某些性质，如两点确定一条直线、两点之间的所有连线中线段最短等；在活动中学生会认识到一些数学方法实质上是一致的，如比较线段的大小和比较角的大小；一些活动为将来进一步探索图形性质积累活动经验，如画平行线、画垂线、探索平行线的性质、探索垂直的性质等。
(二)关注数学过程有利于培养学生主动探究的意识
让学生亲身经历知识的形成和发展过程、知识的应用过程、知识的反思和重组过程，可以培养学生主动探究知识的意识。
如勾股定理，定理本身的结论非常简洁，且容易记忆，如果直接告诉学生，几分钟就可以解决问题，但这样的教学留给学生的知识只是一个数学符号，学生不知道为什么要研究勾股定理，更重要的是丢弃了一次培养学生探究学习的好机会，学生主动探究知识的意识正是通过这样有意识的教学培养起来的。事实上，勾股定理是初中数学中最重要的几个定理之一，它将数与形巧妙地联系在一起，只有让：学生经历这样的过程，学生才会有所体会，只有让学生经历探究的过程，学生才能获得解决问题的方法。
案例：探索勾股定理
(1)观察图1—1。
正方形A中含有——个小方格，即A的面积是个单位面积；
正方形B中含有——个小方格，即B的面积是个单位面积；
正方形C中含有——个小方格，即C的面积是个单位面积。
你是怎样得到上面的结果的?与同伴交流。
(2)在图1—2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?
(3)你能发现图1—1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗?图1—2中的呢?
从直角边的长是整数到不是整数，学生在探究的过程中获得了勾股定理，更主要的是获得了解决问题的方法和策略——尝试、猜想和操作验证，这必定会对其以后的学习产生积极的影响。
(三)关注数学过程有利于增强学生的应用意识
所谓数学应用意识是指人们运用数学的语言描述问题，运用数学的思维思考问题，运用数学的知识方法解决问题的意识。为此，自然应该加强有关数学语言、知识、思想方法的教学，让学生具有解决实际问题的数学基础。但仅有一定的数学基础知识、数学应用意识还难以自发形成。在教科书编制和教学实施中，应尽可能地展现知识的形成与应用过程，即以“问题情境一建立模型一解释、应用与拓展”的模式展开所要学习的数学主题，使学生在了解知识来龙去脉的基础上，理解并掌握相应的学习内容，形成初步的数学应用意识。
事实上，“数与代数”的一些重要课题如方程、不等式、函数等，都是刻画现实世界的数学模型，在教学中，可以结合具体的教学内容采用上述呈现模式来进行。在传统的数学教学中，重视的往往是数学内容本身，而忽视了这些内容所反映的重要的数学思想和教育价值，如方程更多关注的是其等价性、解的讨论以及解法，学生体会不到它是刻画现实世界的数学模型，更没有经历数学建模的过程，应用意识和实践能力的培养也就成了一句空话。
(四)关注数学过程有利于学生形成良好的情感态度
过程和一些具体的知识、技能和方法是联系在一起的，经历过程是想让学生在其中获得探索的体验、创新的尝试和实践的机会，并形成对数学良好的情感态度与价值观。
良好情感态度的形成并不意味着需要开设一门“素质教育课”，素质教育也不是艺术、体育或社会活动的专利。事实上，实施素质教育的主渠道还是学科教育活动，数学课堂中应当，而且能够见到素质教育。从现实情境出发，通过一个充满探索、思考和合作的过程学习数学、获取知识，收获的将包括自信心、责任感、求实态度、科学精神、创新意识和实践能力等重要的公民素质。“学生在教学中采用什么方法进行学习将会深深地左右他们的态度与性格。例如，学生只是被动地接受教师赐予的东西，或是机械地模仿并死记硬背教师灌输的东西，往往会养成学生盲从及屈从的态度与性格。与此相反，唤起学生积极的探究精神，引导他们逐步依靠自己的力量来解决问题、学习课题，发现知识，学生就会养成独立地、创造性地、友善地实现目标的态度与性格，形成锲而不舍的意志与人格。”日本佐藤正夫的这段论述也说明了不同的教学过程对学生的情感态度方面的影响。
二、关注哪些过程
关注过程的数学教学，并不是指所有的数学知识的学习都要设计相应的过程。实际上让学生经历所有知识产生的过程是不可能的，并且也不必要。因此要选择合适的内容，让学生经历一些重要的过程，如数学化的过程、问题解决的过程和反思的过程等等。
(一)关注数学化的过程
数学教学活动就是学生学习数学，探索、掌握和应用数学知识的活动，是让学生经历数学化过程的活动。而“数学化”一直是我们数学教学不够重视的环节，关注学生数学化的过程，应做好如下两个方面。
1．为学生构建合适的数学活动
香港教育学院冯振业认为：“从操作的层面看，由‘数学化’观点指导的教学，就是要让学生经历数学由无到有，由粗疏到精密的演变过程。由此，学生不但可以得知数学产物的来历，更可掌握数学的独特思维和语言运用模式，自然增加学数学的兴趣和自信心。”既然数学化是个过程，在数学教学中教师就要为学生构建合适的数学活动，使学生参与其中。
从一定程度上说，数学问题情境教学不失为一个好的手段，从问题情境到建立数学模型，就是一个数学建模的过程，数学建模的过程就是将数学理论知识应用于实际问题的过程，在建立模型、求解模型和解释实际问题的过程中，学生更能体会到数学知识的来龙去脉。
当然，数学化应包括两个方面：一方面是横向数学化，即对客观现实进行数学化，形成数学概念、运算法则、规律、定理等，另一方面则是纵向数学化，即对某些数学知识进行深化，或对已有的数学知识进行分类、整理、综合、构造，以形成不同层次的公理体系和形式体系，使数学知识体系更系统、更完美。数学问题情境教学可能更为突出第一个方面，这是我们以前关注不够的。对纵向数学化，我们同样要构建合适的活动让学生经历这个过程。如为了让学生体会几何公理化思想，某些教材采用了两阶段的处理方式——先实验几何，后证明几何。在实验几何阶段，《标准》中“图形的认识”所要求的几何命题基本上都通过各种实验方式获得；到了证明几何阶段，再按《标准》的要求，建立一个局部公理体系，对一些结论进行证明，这样可以让学生初步体会公理化的思想。再如在教学中我们还可以让学生尝试定义数学概念或定义数学运算，体会构造数学的过程，感受纵向数学化。
2．为学生的自我建构提供适当的时间和空间
在经历活动之后，一定要为学生提供自我建构的时间和空间，而不是告诉结果，因为教师的体验和理解永远代替不了学生的体验和理解。在教学中，我们往往会犯主观主义的错误：或是担心学生做不好，将问题分解又分解，搭了无数的台阶，这就限制了学生探究的空间；或是觉得某些内容没什么可讲的，没什么难的，上课时一带而过，掩盖了学生的想法和疑问。要避免出现上述问题，就要求我们给学生时间和空间，在此过程中观察学生的行为，不管是错误的还是正确的。这样才能让学生实现自我建构。
如画反比例函数y＝4/x的图像，列表时教师选择了x＝8，—4，—3，—2，—l，1，2，3，4，8，然后画出光滑的双曲线，但学生会有种种疑问：我取的数和老师的不一样，对吗?为什么折线就不正确?为什么图像越来越接近坐标轴，但与坐标轴永不相交?这些结论都是教师告诉的，学生没有真正经历这样的过程。事实上，教师可以在学生所画的折线图中选取一个点来验证其是否满足函数方程，可以反问学生图像与坐标轴相交意味着什么。简单问题的引导或适当的学生之间的交流就可解答上述问题，但在教学中教师往往忽略这一点。
(二)关注问题解决的过程
数学知识不仅来源于数学内部系统，还来源于社会生活实际，同样数学知识的应用不单是在数学内部应用，还有将数学模型及其建立过程中所蕴涵的思想、方法应用于广阔的生活世界中，来解释或解决实际问题，用数学的思维，眼光来看待生活。
1．要重视问题情境的创设
在数学问题解决的过程中，教师应创造使问题解决活跃起来的学习环境，其中问题的表述和呈现方式就成为一个关键因素，重视问题情境的创设是体现数学问题解决过程的一个有效教学策略。笔者认为，一个好的数学问题情境应是趣味性、现实性和数学性三方面的统一，问题情境的创设要注意呈现方式的选择性，要有明确性，并努力形成系列化。
2．结合阶段教学内容，开展课题学习和探究活动
数学问题解决的学习，一方面需要合适的素材，另一方面需要花费较多的时间，在教学中可以结合阶段教学内容，开展相应的课题学习和探究活动，这对发展学生解决问题的能力，形成数学应用意识，具有不可或缺的作用。
与一般教学内容相比较而言，课题学习的内容更具综合性、实践性和探索性，其目标并
非新知识的习得，它以“解决问题”的活动为主线，渗透探究性学习的思想和方法，培养学生的数学素养和数学能力是最终目的。除了课题学习之外，数学探究活动也是展现问题解决过程的很好的形式。数学探究活动的核心是学生的主动探究，通过“操作、观察、猜想、讨论、说理、归纳、应用”等手段，让学生主动探究数量概念、法则、性质和定理等，展示自己的想法，勇于创新，不断增强学生的主体意识，提高学生的主体参与能力，不仅使学生掌握知识，也使学生获得问题解决的能力。
(三)关注反思的过程
弗赖登塔尔指出：“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力。”㈠’新的数学观念形成后，学习者就会试图用新的观念去重新认识已经积累起来的知识、技能和方法，把它们纳入刚刚建立起来的认知结构，这是一个反思过程。数学教学必不可少的一部分就是加强学生的反思，因为数学并不是单纯的知识．而是思想、观念，它既是反思的材料，又是反思的结果。对于反思的能力和其他能力一样，也不是自然形成的，需要教师有意识地培养。
1．要向学生提出明确的反思任务
在数学学习中，要让学生学会反思，首先要使其感受反思的必要性，因此教师在教学方法上可以多采用启发式，在教学内容上有意识地设置一些适当的学习障碍，多组织学生交流，在一项内容学习结束之后增加回顾与思考学习环节，也可以在课后科学地设置作业，给学生留出足够的自由日寸间。
案例：探索三角形相似的条件(第1课时)
为使学生对本课时内容有一个完整而深刻的认识，教师以三个问题结束本节课教学。
问题1：本节课在知识方面你有哪些收获?
问题2：这节课你积累了哪些数学活动经验?
问题3：在说理过程中，应注意什么?
对于问题1，学生说出“两角对应相等的两个三角形相似”的判定条件，以及这一结论是通过实验的方法得到的。
对于问题2，学生可以反思类比猜想或操作验证中的活动经验。
对前者，课上类比三角形全等的判定，对判断三角形相似的条件提出种种猜想，然后将猜想归纳整理为三类，即只与角有关的猜想，只与边有关的猜想，与边和角和有关的猜想。这种类比猜想的方法在数学学习中也是经常使用的。
对后者，因为本课时只研究第一类猜想，而其又可细分为三个猜想。
猜想一：一个角对应相等的两个三角形相似；
猜想二：两个角对应相等的两个三角形相似；
猜想三：三个角对应相等的两个三角形相似。
对于猜想一，举出反例就可说明不成立。
对于猜想二，设计验证方案并进行验证。
对于猜想三，根据三角形内角和，可将猜想三与猜想-：-'fJo归为同一个猜想。
其中涉及化归的思想方法、操作实验的研究方法。
对于问题3，利用“两角对应相等的两个三角形相似”解决问题时，学生要说出找到对应相等的两对角，注意书写的规范。
三个问题，给学生提出了明确的反思任务，包括数学知识方面、数学活动经验和数学思想方法方面。在教学中如果经常设置这样的教学环节，长此以往，学生将逐渐意识到反思的必要性。在课堂教学中，我们不能仅仅把学生置于“活动”之中，还要置于“反思他们的活动”之中，唯有反思，才能促进理解，从而更好地进行建构活动，实现良好的循环。
2．要教会学生如何反思
在学生有了一定的反思意识和习惯之后，应教会学生如何反思。要教给学生一些反思的
方法，如自我提问、自我总结和自我评价等等，同时要教给学生一些常见的反思角度。
(1)反思知识的形成过程
在获得某个知识之后，有时我们回过头去再看一看，会发现其本质或得到一般性的规律。如要说明n边形的内角和等于(n一2)180°，根据三角形内角和定理，把一个多边形分成几个三角形，问题就解决了。但分割的方法除了利用对角线把多边形分成几个三角形外，还可以有新的分法，如在多边形内任取一点，连接各顶点，也可以在多边形边上取一点，连接不相邻的其余各顶点。不同的分割方法更能使学生认识知识的本质：不管点取在何处，只要将多边形分成多个三角形即可。再如，对于给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，而不留一点空隙?显然问题的关键在于分析能用于完整铺平平面的正多边形的内角的特点：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就铺成一个平面图形。
(2)反思知识间的内在联系
对许多重要数学知识的认识往往都不是一次完成的，需要在不同的学习阶段，从不同的角度，不断地对它们进行重组和反思。例如，对函数的认识，最初学生初步感受变化的过程、量与量之间的依存关系、“对应”现象，经历研究函数基本性质的过程，尝试根据函数的基本特征做预测的活动。其次，可以让学生从事函数内容的实质性学习：理解函数的基本概念(白变量、定义域等)，画函数的图像，研究其相关的性质，借助函数的知识和方法解决问题。再次，让学生了解不同函数之间的联系，函数与其他数学内容(如方程、不等式等)的实质性联系，进而构建函数在初中数学知识系统中的地位。
另外，反思还可以帮助学生形成对知识的整体性认识。数学知识具有整体性和系统性，但这不应当简单地由教师(教材)告之学生，而应当让学生自己经历“系统化”的过程。因此，在学习过程中，在学习的一定阶段或一定的学习单元尤其应重视反思与总结，对知识进行再组，形成符合逻辑的系统知识。
此外，反思解题过程，也是解题学习中的重要环节，这方面的论述较多，本文不再赘述。
当然，关注过程并不意味着就可以忽略结果，更不能理解为只有忽略结果才能注重过程，过程也不等同于具体实践活动或操作活动。关于这方面还有许多问题留待我们研究，如如何更好地体现过程，评价中如何考查过程，等等。
摘自《课程教材教法》2010。1（70~74）