高一数学(人教A版)必修2课件： 平面与平面平行的判定

也就是说，如果两个平面平行,那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
思考 如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢?
根据基本事实的推论2,3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个平面。由此想到，如果一个平面内的两条平行或相交直线都与另一个平面平行是否就能使这两个平面平行？
[课本P142-3]
例题讲解
课堂练习
P
证明：
拓广探索
课本第145页14题
课堂练习
1.平面与平面平行的判定定理及应用.如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。 线线平行 线面平行 面面平行2.学习立体几何的过程与方法： 类比、转化，直观感知、操作确认、推理论证.
由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点， 因此很难直接利用定义判断． 那么平面与平面平行的判定，是否有更简便的方法？
平行 相交
两个平面没有公共点
类似于研究直线与平面平行的判定, 我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题.
根据平面与平面平行的定义可知，若两个平行平面，则它们没有公共点，所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.
探究新知
如图（1），a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图（2），c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？
实例观察 探究新知
不一定
平行
实例观察 探究新知
如图，工人师傅在检查桌面是否与水平面平行时，将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的两次气泡都在中央，就能判断桌面是水平的。
7.1.1 数系的扩充和复数的概念第八Fra bibliotek 立体几何初步

桃江一中1数4 学组
面面平行的判定示例
例2 如图，在长方体 求证：平面
平面
A. B中C，D A' B'C ' D'
C ' DB // AB' D'
证明： AB// DC // D 'C '
ABC ' D'是平行四边形
D'
BC '// AD'
A'
又 BC ' 平面 AB ' D' AD' 平面 AB' D'
（1）若平面 内的两条
× （2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则 与 平行；
（3）平行于同一直线的两个平面平行；
× （4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行；
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平
×
行的平面．
×
×
16
课堂小结
1.知识内容
平面与平面平行的判定方法:
①定义；②判定定理；③判定定理的推论
2.数学思想
转化
空间 无限 面面平行
平面 有限 线面平行
线线平行
17
课后再做好复习巩固. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋 wxckt@ 新疆奎屯
α// β?
6
观察探究
问题1 平面α内有一条直线 a 平行平面β,
则α∥ β 吗?
问题2 平面α内有两条直线 a , b 平行平面β, 则
α∥ β 吗?
a // β α
a
b// β
a // b
b
α// β?

2.2.2 《平面与平面平行的判定》
教学目标
• 理解并掌握两平面平行的判定定理。会用这个定 理证明两个平面的平行。 • 教学重点：两个平面平行的判定定理及应用。 • 教学难点：两个平面平行的证明。
复习回顾：
1. 到现在为止,我们一共学习过几种判断直线 与平面平行的方法呢? （1）定义法； （2）直线与平面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行，则该直线与此平面平行．
a b α β β α b a
事实上，
建筑师如何检验屋顶平面是否与 水平面平行？
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
a , b， ab=P a // b // 符号语言
线不在多 贵在相交 //

P b
a

图形语言
面面平行
转化
线面平行
转化
线线平行？
两个平面平行的判定定理： 变式探究
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行 1.线面平行是否可用其它条件代替？ 推论 如果一个平面内有两条 相交 直线分 别平行于另一个平面内的两相交直线，那 么这两个平面平行。 a a , b， ab=P P b // a∥a' , a ' a' b' b∥ , b' b'
无限
转化
有限
启示?
两个平面平行的问题，可以转化为一个 平面内的直线与另一个平面平行的问题。 面面平行
转化
线面平行
2、如果平面α内的任意直线都平 行于平面β，则α∥β吗？
α
β
3、若平面α内有一条直线a平行 于平面β，则能保证α∥β吗？

（E)平面 内不共线的三点到 的距离相等
（F) // r ， // r.
(G) α⊥AA’，β⊥AA’
例1.如图,在长方体 ABCD A'B'C'D' 中, 求证: 平面C'DB // 平面AB'D' .
分析：只要证一个平面内有
两条相交直线和另一个平面平 行即可．
D' A'
C' B'
D A
C B
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
2.2.2 平面与平面平行的判定
回顾：两个平面的位置关系
位置关系 公共点 符号表示
两平面平行 没有公共点
α∥β
两平面相交 有一条公共直线
α∩β=a
图形表示
提问1:平面 内有一条直线与平面 平行， 则 和 平行吗？
提问2:平面 内有两条平行直线与平面 平行，则 和 平行吗？
提问3:平面 内有两条相交直线与平面
D1
F
N
C1
A1
M
B1 E
D A
C B
例2、如图：已知点P为△ABC所在平面外任
一点，点D，E，F分别在线段PA，PB，PC上，
并且 PD PE PF 。
PA PB PC
求证：平面DEC
B
反思~领悟：
1.面面平行,通常可以转化为线面平行来处理.
基本思路: 线线平行 线面平行 面面平行
④两个平面分别经过两条平行直线,则
这两个平面平行.
(×)
⑤过已知平面外一条直线,必能作出与已知
平面平行的平面.
(×)

AA1的中点，求证: 平面BDE//平面B1D1F
A1
分析：添辅助线，证明四边形AGED、四边形AGB1F
是平行四边形
F D
LOGO
C1
B1 E
G C
A
B
3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是
D1
C1
P
棱AA1，CC1的中点，点P在上底面A1B1C1D1内运动， A1 若PE∥平面BDF，请画出点P的轨迹．
2. 平面与平面平行的性质
①两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 .
β // α a ⊂β
a // α 简述为：面面平行线面平行
a
探究新知 LOGO
问题9 类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪些 结论？ （1）其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么样的的位置关系？ （2）分别位于两个平行平面内的直线，具有什么样的位置关系？
MG∥AE, 又 GN 是△DEC 的中位线, GN∥EC, ∴ 平面MGN∥平面α, MN∥平面α.
A a
M
bB
EC ·N G D
例题讲解 变式：3.AB=6，BC=2，EF=3.求DE的长. DE＝9
ab
LOGO
D A
变式：4. 如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB B
与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求CS的长.
直线的条数不是关键，直线相交才是关键.
探究新知 LOGO
两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面．为什么两条相交直线判
定两个平面平行，而不能利用两条平行直线呢？你能从向量的角度解释吗？
D
平面内的两条相交直线代表两个不共线向量， E 而平面内的任意向量都可以以它们为基底进行线 A

2 、 正 方 体 E F G H -E 1 F 1 G 1 H 1 中 ， 下 列 四 对 截 面 中 ，
彼 此 平 行 的 一 对 截 面 是 （ A ）
（ A ） 平 面 E 1 F G 1 与 平 面 E G H 1 （ B ） 平 面 F H G 1 与 平 面 F 1 H 1 G （ C ） 平 面 F 1 H 1 H 与 平 面 F H E 1 （ D ） 平 面 E 1 H G 1 与 平 面 E H 1 G
B1
C1 平线线平行 面
AD1 // BC1
化
又AD1 平面C1BD, BC1 ∴AD1∥平面C1BD D 同理 B1D1∥平A 面C1BD
平面C1BDC
B
线面平行
空 间
归 思 想
又 AD1 B1D1 D1，AD1 平面AB1D1 面面平行
B1D1 平面AB1D1
∴平面AB1D1∥平面C1BD.
F
M
B1
C1 E
D A
C B
证A明B：CD连接ANBCED, B是1D正1 方体，
又且NAANBEB、E//N//EAA分为11BB别平11，，是行NA四ABE1D边1A形,AB11BB1C11 1的中点
证 题 步 骤
AN // BE
要
又AN 平面 EFDB , BE 平面 EFDB
规
AN // 平面 EFDB
MMN、/N/ B分1D别1，为同A1理B1，EFA1/D/ B1的1D中1 点
范
EF // MN
又 MN 平面 EFBD , EF 平面 EFBD
MN // 平面 EFBD
又AN MN N , AN 平面 AMN , MN 平面 AMN
平面 AMN // 平面 EFDB

证明：如图，平面α//平面β ，平面γ分别与平面α，β相交 于直线a，b． ∵α∩γ=a，β∩γ=b， ∴a⊂α，b⊂β． 又 α//β， ∴a，b没有公共点． 又 a，b同在平面γ内， ∴a//b．
知识点二 平面与平面平行性质定理
二、平面与平面平行性质定理
性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么 两条交线平行． 符号语言： α//β，α∩γ=a，β∩γ=b a//b．
3
PARTTHREE
课堂小结
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
请回忆本节课内容，并回答下列问题：
（1）你学习了哪些知识？ （2）本节课所学的知识中蕴含了什么样的数学思想？
类比、转化，特殊与一般的数学思想 （3）直线、平面之间的平行关系是如何相互转化的？？
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
知识点二 平面与平面平行性质定理
问题4：类比直线与平面平行的研究，下面我们研究平面与平面平行 的性质,也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出那些结论. 类比直线与平面平行的研究，已知两个平面平行，我们可以得到哪 些结论？
追问4.1：在分别位于两个平行平面内的直线中，平行是一种特殊情况，什么时候 这两条直线平行呢？在图中，平面A′B′C′D′与平面ABCD平行，在平面ABCD内过 点D有平行于直线B′D′的直线吗？如果有，怎样画出这条直线？
追问1.1：减少到一条可以吗？为什么？ 分析：也就是说“如果一个平面内的一条直线平行于另一个平面，那么这两个 平面平行”．通过分析，这是不一定成立的．
知识点一 平面与平面平行判定定理
问题2：根据基本事实的推论2，3:两条平行直线或两条相交直线， 都可以确定一个平面．由此可以想到，“一个平面内两条平行直线 与另一个平面平行”或“一个平面内两条相交直线与另一个平面平 行”，能否判断这两个平面平行？用自然语言和符号语言表示你的 结论．

（2）分两种情况讨论：
如果平面β内的两条直线是平行直线，平 面α与平面β不一定平行。如图，AD∥PQ， AD∥平面BCC’B’，PQ∥BCC’B’，但平面ABCD 与平面BCC’B’不平行。
如果平面β内的两条直线 是相交的直线，两个平 面会不会一定平行？
Q
β
P
两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行
符号表示：
ａ，ｂ，ａｂ＝Ｐ，ａ，ｂ
图形表示：
bP a
线不在多，重在相交
α
直线的条数不是关键
β
直线相交才是关键
判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面 内的两条直线分别与平面 平行，则
与 平行； ×
（2）若平面 内有无数条直线分别与平面 平行，则
与 平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； ×
线线平行
线面平行
面面平行
D1
N
A1
M
F
B1C1EFra bibliotekD A
C B
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明两条相交直线分别平行于另一个平 面。 第三步：利用判定定理得出结论。
练一练,巩固新知:P58练习1,2,3题
小结：
1、面面平行的定义；
2、面面平行的判定定理； 3、面面平行判定定理的应用：要证面面平行， 只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线 线平行。在立体几何中，往往通过线线、线面、 面面间的位置关系的转化使问题得到解决。
（2）相交
α∥β
a
怎样判定平面与平面平行呢？
生活中有没有平面与平面平行的例子呢? 教室的天花板与地面给人平行的感觉， 前后两块黑板也是平行的。

证明两个平面平行基本思路
线线平行
线面平行
面面平行
证明两个平面平行一般步骤
一：在一个平面内找出两条相交直线
二：证明两条相交直线分别平行于另一个平面
三：利用判定定理得结论
平面与平面平行的性质
下面我们研究平面与平面平行的性质,也就是以平面与平面平行为条件，
探究可以推出哪些结论.
D'
C'
如图示，平面A'C'//平面AC, B'D'⊂平面A'C', 显然，A'
B.如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
√
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
解析
如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，
即两个平面没有公共点，
则两平面平行.
3.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面
两个平面不一定平行. 但若把两条平行直线改成相交直线，则两个平面
就会平行. 下面我们借助长方体来说明这个问题.
如图, 在平面ADD'A'内画一条与AA'平行的直线EF, 显然AA'与EF都平
行于平面DCC'D', 但这两条平行直线所在的平面ADD'A'与平面DCC'D'不平
D'
C'
行. 若平面ABCD内两条相交直线AC, BD分别与平
证明：连接MF，则有MF // A1 D1 // AD,


四边形MFDA为平行四边形，
AM / / DF .

∴MN∥B1D1 B1D1∥EF ∴MN∥EF N D1 F C1
又 MN 平面DBEF,EF 平面DBEFA1
M
E
B1
MN∥平面BDFE
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
D
MF∥A1D1, A1D1∥AD∴ MF∥ADA
且MF=A1D1= AD ADFM为平行四边行，
C B
AM ∥DF 又 AM 平面DBEF 又 DF 平面DBEF
平面和平面平行的判定方法：
线面平行 面面平行
小试牛刀
1.如右图，B为△ADC所在平面外一点， M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心， 求证：平面GMN∥平面ACD.
B
M A
N G D
C
2.在三棱锥P-ABC中，点D、E、F分别 是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求证： 平面DEF//平面ABC.
P
F
A
D
E C
M
N
B
2.2.2 平面与平面平行的判定
我们来思考：
2、空间两平面的位置关系有哪些?
位置关系 图形语言 符号语言 公共点个数
两平面平行
两平面相交
a
//
无
a 一条公共直线
思考：三角板的一条边所
β
在直线与桌面平行，这个三
角板所在平面与桌面平行吗？
思考：三角板的两条边所在直线分别与桌 面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？
C
A
B
能力训练
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，
F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点， 求证：平面AMN∥平面EFDB
N D1