任意角是这样三等分的!
——图学中行为科学的妙用
（一）图学中的科学行为
就图学的结构而言，它是由理论几何学与行为科学组成的，由几何作图（平面几何）奠定基础，发展到画法几何、工程图、地形图等。这些都可表达到二维平面的纸张上，但制图过程总要依据几何原理经过人的科学行为（制图）表达到平面上的，所以图学是几何学与行为科学有机结合的综合性学科。
理论几何学不考虑图形的制做过程，不考虑人的科学行为作为几何理论思维与最终图形之中介存在。它认为点、线、面、体诸元素都是理想中的概念存在。点不占有空间，只有位置，它在空间任何方向上都无量度；线只有长度而无宽窄、厚薄等等。所以理论几何中的图形只是思维运动的一种几何概念，如果按它的点、线、面的定义要求，纸面上是无法使人看得见的。关于这一重要“理论现象”，因为是理论几何学存在的当然现象，反而却被人们忽料了，以为书中作出的可见图形成了当然的存在。这当然是一种习惯疏忽。可是图学不然，图学从几何学的一个分支——几何作图，开始，就要求人运用工具（仪器）做出图来，它从几何形式的思维运动经过“作图”表达这一“几何思维”在二维平面上的。图学要求人的实际制做来完成图形，于是，人的制图行为成为图学的必然过程，引来了“科学行为”问题。
科学行为问题已经形成为当今一门重要的社会科学分支——行为科学。可以简单理解行为科学是理论科学实践的过程中对人的科学行为规律进行研究的学科。从中可见，它是从理论到达实践目的的必然中介，要实践理论，必须人实施以各种科学行为才可。
从上述意义上，也可说图学是理论与实践结合的科学，它受理论几何学的指导，同时又要求作出图来，只有通过人的科学行为才能实现。这就成了纯理论几何学的思维运动“纸面上无法看得见的图形”与通过人的行为实践完成的可以看得见的图形之重大差别，前者只是人脑的思维运动，后者是将思维运动表现成了可见（从外界再反馈给人的思维）的实在图形。图学的图已成了实物，占有了客观，并能够第二次对人的思维进行反馈，而理论几何学的图仅仅是存在于思维的一种运动，它不构成实物、客体，不存在反馈给思维的职能。
更具体、确切些，既然图学中的图是要求人的行为去实现的，构成了客体，那么，图上的元素（几何的）只能是有位置、有空间的元素，而不能还是理论定义中的元素了，事实正是这样的。其次，介入了什么样的行为呢？我们就图学而言，只能说是几何科学行为，比如确定点位置，称为点行为；作直线，称直线行为；作圆，称圆行为等。此外，还有“重复行为”，“测量行为”“同时行为”等。
科学行为不是随意采取的，行为有“标准”，如几何作图中的最简行为标准就是直尺、圆规、铅笔。严格说，铅笔（墨笔）不是标准，它是行为的集中执行者，具有工具与标准两重性。
一旦行为去实践理论时，理论结果与实践结果之间就存在误差。这是因为世界上有一条原理——世界是不可逆的。它是指世界的一切运动都不会重复，一去不复返（大意）。当然也包括人的行为不可逆，因此，只能有近似一样、重复，无有绝对一致的重复。大到天体正在远离而去，宇宙正在扩大之中运动着（哈勃原理），小到针尖第一次扎入的洞孔，跋出后再扎第二次时，不会绝对重复在第一次的洞孔内。
请注意，对于“世界不可逆原理”，不少人都给疏忽掉了。图学中已经存在了这个大漏洞，但从实践要求看又是一种必然，不是什么“漏洞”。图学要求人的行为去实践，实践与理论间存在必然误差，因此可以认为图学中允许可逆，这是图学能够存在的“生
存条件。”只是未被人们注意到，未加以强调罢了。比如，“过线外一点，作该线的平行线”，线外一点与该线的相对位置已被确定，按“世界不可逆原理”，人们是无法再一次准确无误通过那一点（作平行线）的，但图学的“作图理论与方法”允许“再次通过”，等于言明图学允许可逆。因此，以图学是理论与实践相结合的科学观点看，图学允许可逆被人们忽略了。“遗忘”了作图是要加入人的行为的，却按纯理论看待图学，就会出现不恰当的思维方法。
还必须强调指出，图学允许行为可逆，广义为行为的同时、行为的“第三度”进行。允许行为可逆，不光是点、线、面的制图重复，其中“测量行为”也是图学中常见的一种必然行为，实质上，测量是将平面（二度空间）元素，利用允许行为误差存在，取到分规上、直尺上（此时产生第三度空间，因元素已经离开平面）使用比平面多一个维数的立体空间，将点、线、面相对位置转移。“同时行为”更为图学作图所常见，如过O 点作直线长l AB
=”两个行为同时进行。
=，“过O点”与“测量l AB
无论“同时行为”还是“第三度行为”都是在允许行为可逆基础上进行的。行为本身就是四维的运动（时间维、空间维），允许可逆自然是在四维时空中进行。
有了上述图学是几何学与行为科学有机结合的一门综合性学科的基本了解，现在我们看看人们怎样把图学允许可逆忽略掉的：
“仅仅使用直尺与圆规不可能进行任意角三等分”这个世界图学难题，恰恰可以利用科学行为在四维时空中允许可逆得到解决。
吉林职业师范学院工程图教研室主任马一勋同志在该校１９８８年第一期学报上发表《任意角三等分的简便作图法》一文就是一种范例，这里把《作图法》从简节录于下：
作图步骤：
⊥
1．过A点作AF OF
2．过A点作AC OF
3．用圆规（分规）测量OA，将2OA长标记在直尺上，得尺上两点D’、C’，有=。
''2
D C OA
4．将直尺拿到图上来，使D’落在AF上得D点，C’落在AC上得C点，并使O、D、C保持在一直线上，连O、D、C直线即三分角线。
证明：
==。
作DC的二等分点B，连AB。因ADC
?为直角三角形，则AB DB BC
又因作图取2DC OA =，故12
O A A B D B B C D C ====。得两个等腰三角形ABC ?和AOB ?，其中：423225∠=∠+∠=∠=∠（三角形外角等于内对角和）54∠=∠，32∠=∠。 作图使AC OF ，有内错角相等12∠=∠，于是得到522∠=∠。于是得到521∠=∠。
这里
51AOF ∠+∠=∠ 21131AOF AOF
∠+∠=∠∠=∠ 于是 113
AOF ∠=∠ 证毕。 他使用的仅仅是直尺、分规、铅笔两仪器和一支笔将任意角AOF 分成了三等份。 现在我们来分析他是否犯规，何处犯规。
首先我们注意到他的证明无差错，是存在的，重点分析就在“作图步骤”上。 步骤很简单，仅四步：
步骤1，“过A 点作AF OF ⊥”允许，不犯规。步骤2，“过A 点作AC OF 允许，不犯规。
步骤3，“用圆规（分规）测量OA ，将2OA 长标记在直尺上，得尺上两点D ’、C ’，有''2D C OA =。”这是测量行为，在作图中线段测量都是这样做的，与常规测量一样，不犯规。
步骤4，“将直尺拿到图上来，使D ’落在AF 上得D 点，C ’落在AC 上得C 点，并使O 、D 、C 保持在一直线上，连O 、D 、C 直线即三分角线。。”
这是测量行为与过O 点作直线的直线行为的同时行为。能不能被人们接受，是不是犯规动作？问题就产生于什么是图学。
有人说，这个步骤是“硬凑合”的，是否常规作图规则所不允许的？什么是常规作图规则？“硬凑合”与常规规则比比看！
又有人说，这一步是“多次逼近”作出来的，不是“一次就绪”的。那么又有问题，作图中的所谓常规步骤、方法中哪个作法能属于“一次就绪”的？哪个作法不是“多次逼近”的？比如，过一已知位置的点作一直线的作图法，按常规法做，谁能“一次就绪”而不是“多次逼近”这个点的位置上的？
通过这种讨论，问题被引伸与展开，追究到科学行为问题上来，原来图学有个“生存条件”即允许行为可逆被人们忽料了。却不自觉地将理论几何图形当成了“可见的”，不是概念中的思维运动，把它当成了客体存在，进而又用这种思维中的理论存在来要求作图过程产生的“硬凑合”、“多次逼近”等疑团。另一方面，人们将图学与理论几何学等同起来，忽料了科学行为在图学中的介入，并起到关键作用，正所谓“理论脱离实践”者也。
初等几何学中的“几何作图”乃图学的基础，更不例外，也是图学范畴。毫不奇怪，古代希腊人提出：“任意角三等分”问题时，由于科学发展的阶段性质所限，不了解图学是几何学与行为科学有机结合的综合学科是可以理解的，今天的世界已大不一样，自然科学与社会科学交叉现象逐渐增多，科学与生产高度发展，使自然科学与社会科学相互依存、相互发展也日臻完善之中，因此，随着对２０００多年前遗留的问题有了新的更高层次的认识和了解，解决它们的办法也随之应运而生了。“马一勋事件”（前面的任意角三等分的解法）正是这类事件开始阶段的一个典型，今后会有更多此类事件发生。
科学概念也将扩展，它必须是理论与实践相结合的有机客体，科学的发展使之人为地区分社会科学与自然科学，显得很不科学。“马一勋事件”说明，靠自然科学解决不
了的问题，经社会科学与自然科学有机结合后，变为可以处理的、解决的，乃一种科学发展趋势，不是承认与否的简单问题。
我受到启发，使用类似作图法，找到另一作图步骤：
1．取任意长OA为半径作圆
2．从直尺的一端测量''
O B OA
=，标记在直尺上''
O B。
3．将直尺拿到图上来，使直尺的端点O‘落在OF的延线上，得C点，另一点B’落在圆上得B点，并使直尺通过A点。
4．连A，B，C三点后，作OD CA
，OD即AOF
∠的三等分线。
证明：如图
作辅助线OB
因为OA OB BC
==，在两个等腰三角形中有
12
∠=∠，34
∠=∠，
1221
=∠+∠=∠
故得14
AOF
∠=∠+∠
12131
=∠+∠=∠
这里1
DOF
∠=∠证毕
这个作法又进一步，更加简捷、明快。其实，到步骤4，连上A、B、C成直线已
经完成三分AOF
∠，因
1
1
3
AOF
∠=∠。
如果将马一勋的步骤4改写成“将直尺拿到图上来，使C’落在AC上得C点，D’落在AF上得D点，并使直尺通过O点”，两种证明的手法、写法是完全类似的。
（二）图学中的哲学问题
既然理论几何是人脑的一种思维运动，是不可见的纯想象过程，那么思维运动与客体存在哪个是第一性，哪个是第二性的老问题和作用与反作用正向与反向，先与后的问题就出现了。其本质仍然是“认识与物质谁第一性谁第二性”问题。
辩证唯物主义论述“物质是第一性的，意识是第二性的”。
从最简单的宇宙发展史可知，人类后于天体，天体产生人类的事实证实了人类独具的思维现象是在天体上各种物质运动纷繁的衍化过程中由人自身的不断劳动发展到思维活动的。所谓思维活动正是物质运动在人脑中的反映。但它不是简单的“反射”，它在反映过程中交织着分析与综合、由抽象到具体，从低级到高级的辩证发展，即所谓的
反作用产生。此时仍然留存于人脑的运动（思维）正是被我们称做的认识。它尚未变为（形成）客体（人的思维之外）的物质形式存在。
将它用来阐明图学中出现的理论几何与行为过程，“理论几何阶段”仅仅是认识阶段，“作图行为阶段”是实施成现实存在的阶段，变为客体。整个过程是由抽象上升到具体、由思维运动到物质的反作用过程，并经过一系列分析、综合实现的。
以“任意角三等分”的解题过程观察人的认识与实践、作用与反作用、分析与综合如何经抽象到达具体的：
ａ．理论认识阶段。这个问题先从认识开始，它基于几何学理论基础产生。世界的客观运动一部份规律反映成“几何学”，在进入图学阶段时，实施行为占据主要矛盾，因此，它自反作用开始。解决的问题表现为上面两种解法的几何理论关系被找到、认识。
ｂ．认识阶段的分析与概括。应当是第二个阶段，但分析与概括又是认识的“完结”、上升，分析则是认识的开始、初级。划作第二个阶段是因为分析与概括相对下个阶段又是一种开始，认识的完结（相对）行动的开始，这又是一个层次内的辩证发展中的衔接。解决的问题表现为建立在认识阶段几何理论关系基础上的行为准备，但还不是行为本身。
ａ、ｂ两阶段都是人的思维运动过程。
所谓“行为准备”，是作图行为的思想准备。具体说，由于“认识到了一种新的几何理论关系”，产生出“直线行为”、“测量行为”的“同时行为”是存在的分析成果，此其一。其二，“直线行为”是以直尺为标准完成的，“测量行为”也可以直尺为标准完成，因此“直线行为”与“测量行为”可以形成“同时行为”来完成。“行为准备”到直尺上，此则物质准备。
其三，也是最重要最关键的一步，它由行为准备产生：什么是直尺、圆规？什么作用？它们与人的关系、与图的关系是怎样的关系？回答是，尺、规是行为的标准；是由理论到实践的物质保证；是人的思维与物质实在的中介；是体现人的思维之行为的载体。
ｃ．科学行为阶段。
行为的对象是完成图的制做，图就是制图者的产品，物质形式的几何理论思维的发明创造。它是在ａ、ｂ阶段之后，对于“图学”剖析，将其中的纯理论部分与行为部分分开，再剖析行为的标准和物质保障，进而对于尺、规的作用、人的行为要求、自然运动规律的可能与可行三者的关系进行辩证分析，认识到直线行为与测量行为能够确立同时行为，并集中于“尺规”物质上完成的。
到了行为阶段，除了物质基本准备之外，还有“行为规则”，如同工厂加工零件时的工艺规定，加工秩序。只要按“行为规则”去进行，就可以保证完成了制图。在“行为规则”下任何人掌握“尺规这个发明，都可以制出任意角三等分”的图来。
所谓“尺规”，即尺与规的综合行为标准，它具有直线行为与测量行为的同时行为职能，它就是“不可能用直尺、圆规进行任意角三等分”和可以用直尺、圆规进行任意角三等分的逻辑关系的桥梁，或者叫做发明。
每个发明家所发明的创造物，都是完成了两个事物或多个事物间看起来没有逻辑关联，其实存在逻辑关联，并且这种逻辑关联被发现后产生出来的。寻找这种逻辑关联往往成为发明家的中心任务。
此则即辩证唯物论中的“世界普遍联系”规律。
人的这种能力，当今世界统称“创造力”，它与智力是人类不同的两种心理品质，虽然智商低的人其创造力不会很高，但是智商高的人其创造力也不一定高。
创造力研究与人的创造力开发在思维科学里占有很重要与现实意义。
先进的科学仪器、生产工具等发明创造都是人类在各种生产与科学活动中发现问题
后，经过人类思维对问题分析、综合，找到矛盾所在的逻辑关联发明的，它的这种逻辑关联又一定是在某领域内的自然规律制约之中，受规律的支配。
“尺规”就是同样一个简单的新仪器发明。发明的要点，可以归纳为：
１．区分开理论几何学与图学。
２．重新认识理论几何学与图学
３．理论几何学中的图，按其定义是无法看得见的人的思维运动；图学则是理论几何学与行为科学有机结合的科学。
４．“任意角三等分”问题属图学范畴，它不是理论几何学范畴的问题。
５．人的科学行为都是人的某领域的科学实践，任何行为的实践都是不可逆的，这是基本自然规律。图学建立的前提之一就是允许可逆行为存在。这种存在长期以来隐约其中，未被人们明确认识和区分、分辨出来。
６．区分图学的科学行为有直线行为、点行为、圆行为等基本行为；此外还有两种图学行为的测量行为和综合行为（即同时行为）等行为分类。
７．图学行为是允许可逆的，也就是允许可逆过程出现的误差。包括相应的点误差、线误差、测量误差以及综合行为（同时行为）出现的累积误差。这些误差造成的原因主要来自两方面，一是仪器本身的误差，如圆规的定心脚过粗、直尺不直等；二是使用仪器的人的眼睛视觉、手行为的晃动不可能绝对准确等。
尽管这些误差允许出现在图上，图学是理论几何学与行为科学相结合的科学，所以当人制出的图在实现过程中与实现终了的全过程又始终必须满足几何理论的要求和限定。整个过程的任何时间瞬间内，制图行为都是在几何理论的支配下进行的。因此制图行为不是任何人都可以去行为的，它必须是经过相应的几何理论训练并掌握理论与接受过制图训练的人才有这种制图行为的能力。我们说，允许误差就是没有理论错误的制图误差。
８．在上述各认识的基础之下，具体分析了“任意角三等分”的理论关系，除马一勋发现的一种关系外，笔者在他的基础上又发现“任意角等距三截法”（前述过）也出现该任意角的三倍角，两法的共同点都在于：“直线通过定点，且从该直线的一端计起等于两倍定长”。
９．这就是说，可以在制图行为过程中，将直线通过定点的行为与测量两倍定长的行为合并成一次的同时行为来完成！
这种行为制出的三等分角，既在允许误差之内且满足理论要求，它在相对关系中，一次完成多种行为还会使允许误差减少。
１０．如果这样的直尺与测量用的分规结合在一起使用，用来专门去三等分角，它就是一个专用仪器，我们给它个名字叫做“尺规”，因此说，“尺规”应是一个新仪器“发明”。
（三）标准与测量
图学的行为标准中点点，划直线，划圆是三个基本行为，它们的标准就是规针、直尺、圆规。
制图是离不开直尺、圆规的。今天的计算机绘图，在终端屏上仍然是显示屏中的很多个光点建成的线。依靠直尺圆规制图的最基本要求不在图纸的允许可逆行为造成的误差上，严格说乃在于制图人和读图人的思维运动中，不论直尺上用放大镜观察有多么不直，只要满足理论要求都被人们认可，直尺与圆规本身的制造精度也是以满足几何理论要求为最大制造要求的。显而易见，这种基本条件的范围是宽广的。
因此，满足上述基本条件的直尺与圆规等仪器已经成为了图学的科学行为标准。
我们的图学专家们没有另外的统一的、公认的“制图行为准则”，谁人的圈子划的圆与不圆，线划的直与不直，唯一的标准就是圆规与直尺，全凭这几件仪器的制造厂家制造的好坏。当然厂家生产的仪器也“不能太不像样子”，总得“说得过去”，这“说得过去”可能就是目前某些国家计量局的标准了。
此外，还有一个“人的生理标准”。虽然你我都有一双眼睛，但由于我的眼睛存在某些生理障碍，划的圈不圆、直线不直，也“说不过去”。因此，对如此诸类的生理要求，都在不成章的心照不宣中，并不当成必不可少的条件，要求图家的眼睛“必须达到一点八”。如果某位图家已是老眼昏花时，我们可以规劝他配上一付矫正到“正常”程度的眼镜，然后再画也就可以了。
本来这些“标准”在理论几何中，甚至都可以不必提及的事情，由于真的作出了任意角三等分，才认识到图学是几何理论与行为相结合的科学，从而提出“行为标准”来的。
理论毕竟是理论，理论与实践之差别不光中间隔着行为，还有个实践所及实物问题，显见显知差距之存在。
再谈谈测量。几乎有人类生产的那天起，测量就伴随着人类文明发展，至今它既是一门古老的又是崭新的学科，科学进步使人类的测量技术有了根本变化。
就任意角三等分的初等几何作图方法中的测量，来分析一下这种测量的性质。
在这种测量中，如果仅限于平面几何作图的测量，平面是二维的，则测量就是使用空间的第三维（平面二维之外的一维被增加进来）将平面二维中的元素转移的技术。
它当然也是行为的一种，因之也应允许可逆，即允许测量误差在某限度内。
分规在二维平面图形上量好一段线段后，是将此线段固定为规脚距离，使其产生第三维的空间运动得到“量取”或测量的。用常刻有各种长度的直尺直接测量（如丈量土地）也可在平面图上用分规测量误差较小些。
测量误差也在允许之内，即允许可逆行为造成的误差。测量误差的出现，多出于每个人的生理条件，“手眼是否相随”，还是以“说得过去”为准，它不属几何理论错误，更没有统一准则。
至此，一张图画出来了，角被三等分了，它是否正确？从上述各段看，允许可逆过程造成的误差实质是没有限度的，一般“说得过去”则可，唯一的限度是几何理论证明必须存在。恰恰三等分任意角的两种方法，一有几何理论证明、二都“说得过去”的允许可逆，因之它们是存在的。
（摘自《运动论》P47—P59页）
引人入胜的千古难题 ——三大尺规作图问题 尺规作图是我们熟知的内容。尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。 公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。 任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。 正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。 古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。希腊人为解决三大几何问题付出了许多努力，后来许多国家的数学家和数学爱好者也一再向这三大问题发起攻击，可是，这三大问题却在长达2000多年的漫长岁月里悬而未决。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，似乎应该可以用尺规作图来完成，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。
尺规作图三大几何难 题
安溪六中校本课程之数学探秘 尺规作图三大几何问题 一、教学目标 1．让学生了解尺规作图三大几何问题如何产生的？ 2．经历探索尺规作图三大几何问题如何解决的过程，进一步体会数学方法思想。 3．学生通过自主探究、合作交流体会尺规作图三大几何问题有什么教育价值？ 二、问题背景 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是
“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。或描述如下: 这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的： 1.立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 2.化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 3.三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。 三、问题探秘 1.立方倍积 关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛稜长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：「棱二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟
定义：设S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }是n+1个复数，将 (1) Z 0=1 ， Z 1， ... Z n 叫做S-点； (2) 过两个不同的S-点的直线叫S-直线，以一个S-点为圆心、任意两个S-点之间的距离为半径的圆叫S-圆； (3) 由S-直线与S-直线、S-直线与S-圆、S-圆与S-圆相交的点也叫S-点。 上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以P表示全体S-点的集合，那么P 也就是从S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }出发通过尺规作图所得到的全部复数。 定理：设Z 1，... Z n (n≥0)为n个复数。设F= Q(Z 1， ... Z n， Z 1 ' ， ... Z n ')，(Z'代 表共轭复数)，那么，一个复数Z可由S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }作出的充要条件是 Z 属于F(u 1，... u n )。其中u 1 2属于F, u i 2属于F(u 1 ，... u i-1 )。换言之， Z 含于F的 一个2次根号扩张。 系：设S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }，F= Q(Z 1， ... Z n， Z 1 ' ， ... Z n ')，Z为S-点，则 [ F(z) ： F] 是2的方幂。 以下证明三等分任意角不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角： 证明：所谓给了60度角，相当于给了复数Z1=1/2+√3/2 i。从而S={Z0=1, Z1}，F=Q(z1, z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程 4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在Q[x]中不可约，从而[Q(cos20)：Q]=3，于是 6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q] 由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根据上面的系可知cos20不是S-点，从而20度不可能三等分。证毕
浅谈学校创客教育和现代折纸 常州市西夏墅中学 213135 赵燕杰 摘要：创客教育的盛行，是当今社会和国家对创新型人才和工匠型人才需求的体现。然而，创客教育并不仅仅指以信息技术为核心的开源硬件的学习和教育，我们应当关注创客精神的本质，因地制宜的，开创性的开发和实施多领域的多种形式的创客教育。现代折纸就是这样一种具备创客精神的，又极具特色的创客教育新领域。 关键词：创客教育创客精神现代折纸工匠精神 几年前，“创客教育”还只是一个属于极少数老师讨论的话题，但现在，创客教育已经成为众多学术专家和教育人士研究的课题。 创客教育是从国外创客运动引入的，最先由从事信息技术教学的一批热心教师尝试并推动的，国内各类媒体上面的介绍往往是从机器人大赛、三维打印、Scratch编程等话题进入读者的视野，这就给普通读者形成了第一印象，觉得创客就是运用信息技术制造有创意的实物电子作品。目前许多学校考虑建设“创客空间”，首先想到的就是需要配置多少台三维打印机、多少套机器人设备等问题。 江苏师范大学教育科学学院副教授杨现民在一篇学术论文中写到，创客教育在我国已经悄然兴起，并在大踏步地摸索前进。杨现民在归纳总结创客教育的定义时写到：创客教育是一种融合信息技术，秉承“开放创新、探究体验”教育理念，以“创造中学”为主要学习方式和培养各类创新人才为目的的新型教育模式。 但这仅仅是“创客教育”的其中一个定义，创客也不应该仅仅指那些运用信息技术、工程技术的人。事实上，创客和创客教育的定义都有狭义和广义之分。 关于创客的概念，狭义的说法是那些对计算机、机械、技术、科
学、数字艺术、电子技术等有着共同兴趣而在一起社会化协作的人群。广义的说法是指那些出于兴趣与爱好，努力把各种创意转变为现实的人。因此，对创客成果往往也有着狭义和广义的不同理解，狭义的创客成果大多指利用电子技术、计算机、机器人、3D打印、数控设备，以及传统的金属加工、木材加工、传统手工艺等加工制作的产品。广义的创客成果包括一切创新的物质文明产品和非物质文明产品。 创客在美国和欧洲，包括了社会维度和文化维度。在社会维度，比如具有创新精神的社会活动家组织新型的社会团体或活动，高效地解决社会问题，他就是创客。再比如具有创新精神的政治家，提出新的社会制度，促成新型的社会生产关系以更好地推动社会发展，他也是创客。在文化维度，艺术家就是创客，文化创意同样体现着创客精神。 关于创客教育，国内教育界的祝智庭教授及其团队有着深入系统的研究。祝智庭教授指出：“创客有广义和狭义两层概念，创客教育也应有广义和狭义两层理解。广义上创客教育应是一种以培育大众创客精神为导向的教育形态。狭义上的创客教育则应是一种以培养学习者，特别是青少年学习者的创客素养为导向的教育模式。” 作为一名中学教师，本文讨论的创客教育主要是指学校为提升学生创客素养的一种教育模式，是狭义概念上的创客教育，然而其内含的创客概念可以是广义的。学校创客教育除了机器人、3D打印、Scratch编程之外，完全可以因地制宜的、创新性的开发多种领域的内容和形式。
利用渐开线三等分任意角的方法和证明 要求：如果所示，以园心为A，半径为AC的园的渐开线作为辅助线，现在要把∠CAB三等分。 操作：利用渐开线三等分任意角∠CAB的尺规作图步骤： 1、以B点做切线，和渐开线相交于E； 2、在BE线段上做三等分点F，即BF=BE/3； 3、以A点为圆心，AF长为半径，相交渐开线于G； 4、以G点为圆心，BF长为半径，相交基圆于D； 5、连接AD，∠CAD即为∠CAB的三等分角。
证明： 1、先证明△BAF与△DAG全等 根据作图，BE是垂直于AB的圆上点B的切线，所 以∠FBA是直角，BF2=FA2-AB2，DG是垂直于AD的圆上点D的切线，所以∠ADG是直角，DG2=GA2-AD2,其中，AB=AD为园A的半径，且AF=AG，所 以BF=DG，△BAF与△DAG全等。 2、根据渐开线的性质，直线BE的长度=园弧BDC的长度，直线DG的长度 =园弧DC的长度，又因为DG=BF=BE/ 3，所以园弧DC的长度=园弧BDC的长度/3，因 此，∠CAD即为∠CAB的三等分角 总结： 伽罗瓦所证明的是，在不使用任何辅助线或用到除尺规外其他工具的前提下，不能在有限次操作内，使用尺规作图法三等分任意角，也就是说这三个限制只要有一个不成立，那么不能三等分任意角就不成立。 实际上只要引入渐开线，在有限次操作内，使用尺规作图法N等分任意角都是可行的，而且这种方法也同样可以解决化圆为方的问题。这样，通过引入渐开线就一举解决的三大几何作图问题中的两个“不可能”的难题，并且渐开线在物理上是很容易得到的，它的本质是绕基圆展开的线，或者说大家常用的卷尺，就是渐开线所对应的物理实物。
三大几何难题 古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。 古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。 这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。化圆为方 圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。 三等分任意角 用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？ 倍立方 关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题. 由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。而倍立方则是起源于建筑的需要，这也反应了数学的发展是离不开现实社会的推动的。 三个几何难题提出后，有很多人都为之做了不懈的努力。可以说，但凡是数学史上称得上是数学家的人，都研究过这个问题。由三大难题引出的各种结论与发现也数不胜数，例如割圆曲线、阿基米德螺线等。但这些解法并没有完全遵从尺规作图的要求，因此也不算解决了三大难题。但是由19世纪所证出的三大几何难题的不可解，可以发现，只有冲破尺规的限制才能解决问题。正如很多事情，我们觉得无论如何也找不到解决的办法，就是因为有太多的枷锁罩在我们身上，只有打破这些桎梏，才会豁然开朗，找到一片新天地。 三大几何问题的真正解决是在19世纪解析几何创立之后，人们知道了直线与圆分别是二元一次方程和二元二次方程的轨迹，交点则是方程组的解，因此一个几何量是否能用尺规作出，则是它能否由已知量经过有限次加、减、乘、除、开平方运算得到。那么三大难题就可以转换成代数的语言来表示： 1化圆为方设圆的半径为一个单位,要作一面积等于单位圆的正方形,设这个正方形连长为x,则x2=π.集能否用尺规作出一条长为π的线段?
初三数学综合测试题（1） （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题：（本大题共10题，每小题3分，共30分） 每小题给出四个答案，其中只有一个符合题目的要求，请把选出的答案编号填在下面的答题表一内，否则不给分. 答题表一 1、下列计算正确的是 A. 236333=? B. -(-a +1)= a -1 C. 3m 2-m 2=3 D. (-3)2= -3 2、由几个小正方体所搭成的几何体的俯视图如下面左侧图形所示.(正方形中的数字表 示该位置叠放的小正方体的个数)，那么这个几何体的正视图是 3、根据右图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是 A ．7元 B ．35元 C ．45元 D ．50元 4、如果分式 1 x 1x +-的值为零，那么x 的值为 A. -1或1 B. 1 C. -1 D. 1或0 第3题 共52元
5、已知α为等腰直角三角形的一个锐角，则cosα等于 A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．33 6、若一个正多边形的外角等于30°，则这个多边形的边数是 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7、四张完全相同的卡片上，分别画有：线段、等边三角形、平行四边形、圆，现从中随 机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率是 A ． 43 B ．21 C ．4 1 D ．1 8、已知二次函数y = x 2的图象向右平移3个单位后，得到的二次函数解析式是 A.2)3x (y -= B. 2)3x (y += C. 3x y 2-= D. 3x y 2+= 9、如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的长可以是 A ．1.5 B ．2.5 C ．4.5 D ．5.5 第9题 10、如图，圆锥底面直径为6cm ，母线长为12cm ，则其侧面展开为扇形的圆心角为 A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请将答案填入答题表二内，否则 不给分） 答题表二 第10题
任意锐角的三等分 【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和 钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究. 【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）. 为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）. 实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只 能以近似的方式来解决?比如，以a为直径作一个圆，会容易
做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且 S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道. 本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是 指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角 有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究. 下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角. 题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）. 求解：三等分a . 一、作图（参照图2） （1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取 OA=AA2=A2A3. （2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB
【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图: 1、作一条线段等于已知线段; 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； (1)题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段AB,使AB = a . 作法： (1)作射线AP (2)在射线AP上截取AB=a . a ! A rB-P 尺规作图 则线段AB就是所求作的图 形。 (2)题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点0,使M0=N Q即0是MN的中点). 作法： (1)分别以M N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P, Q (2)连接PQ交MN于0. 则点0就是所求作的MN的中点。 (3)题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，/ A0B 求作：射线0P,使/ A0P=Z BOP(即卩0P平分/ A0B 。作法： (1)以0为圆心，任意长度为半径画弧，分别交0A 0B于 M, N; (2)分别以M N为圆 心，大于f的线I段长为半径画弧，两弧交/ A0B内于P; (3)作射线0P A M P 则射线0P就是/ A0B的角平分线。 (4)题目四：作一个角等于已知角。已知：如图，/ A0B 求作：/ A 0 B',使A' 0 B' =/A0B 作法： (1)作射线0' A'; ,最常用的尺规作图，通常称基本作图。
(2) (3) (4) (5) 以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交 OA 于M 交OB 于N; 以O 为圆心，以 OM 的长为半径画弧，交 O A '于M ; 以M 为圆心，以 MN 的长为半径画弧，交前弧于 连接O N' 并延长到B 'o N'; 则/ A O' B '就是所求作的角。 (5)题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线 AB 上一点。 求作：直线 CD,是CD 经过点P,且CD 丄ABo 作法: (1) AB 于M N ； (2) 以P 为圆心，任意长为半径画弧，交 1 分别以M N 为圆心，大于-MN 的长为半径画弧, 2 两弧交于点 Q; (3) 则直线CD 是求作的直线。 (6)题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知： 求作： 过D Q 作直线CD 作法: (1) (2) 如图，直线 AB 及外一点P 。 直线CD,使CD 经过点P, 且 CDL ABo 以P 为圆心，任意长为半径画弧，交 AB 于M N; 1 分别以M N 圆心，大于丄MN 长度的一半为半径画弧，两弧交于点 2 (3) 则直线CD 就是所求作的直线。 (5) 已知 求作 作法 (1) (2) 过P 、Q 作直线CD 题目七：已知三边作三角形。 如图，线段 a , b , c. △ ABC 使 AB = c , AC = b , BC = a. 作线段AB = c ; 以A 为圆心，以b 为半径作弧, 以B 为圆心，以a 为半径作弧与 前弧相交于C; 连接AC, BC (3) 则厶ABC 就是所求作的三角形。 题目八：已知两边及夹角作三角形。 已知 求作 作法 (1) (2) (3) 如图，线段 m n, / . △ ABC 使/ A=z , AB=m AC=n. 作/ A=Z ; 在AB 上截取AB=m ,AC=n ； 连接BC, A Q 则厶ABC 就是所求作的三角 形。
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？ 用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角． 在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则 EG=GF=GA=BA， 从中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC， 并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点． 如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段 E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6． 为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．
MathStudio for iPad 使用方法入门 （36） 阿基米德螺线与 三等分任意角 2016年6月16日
★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。 ★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？ ★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧
直线y=cx=7x c=7 X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289 同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5 同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1 同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5 阿基米德螺线ρ=aθ 螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3 θ3= φ =1.4289 a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498 计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526 θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763
首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的 3个同心圆 半径为0.5、1、1.5 即同心圆的半径比为1:2:3 在同一帧图里 再画出与3 个同心圆相交的 阿基米德螺线 a=r3/atan(c)=1.0498
P3 P 2 P 1 P3的数据 X3=0.211 Y3=1.486 θ3=1.429（弧度） =1.429×180/π=81.9° r3=sqrt(X32 +y32) =sqrt(0.2112 +1.4862) =1.5 O
尺规法三等分任意角到底可行吗？ 1965年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年——用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力。近日在2013年出版的文集中见到《尺规作图破解世界千古三大几何难题》一文，该文是作者（简称黄先生）历时七年的研究成果。该文所说难题之一就是用尺规三等分任意角（另两道难题是倍立方和画圆为方）。为了证明他的方法是近似的，我用他的方法三等分100°角，看看误差有多大。 如图，DG长度为AD的二分之一，G点到E点的直线距离为AG的二分之一，穿过A、E两点的直线与圆弧相交于F点，黄先生认为D、F两点连线所对圆心角θ一定等于图中100°角的六分之一。我们来计算一下θ角的度数（计算过程保留8个有效数）。 设圆半径为1，借助三角函数和勾股定理可算出A、G、E三点坐标。 A点坐标（?0.76604444，?0.64278761） G点坐标（0.38302222，1.8213938） E点坐标（0 ，0.51700505）
设连接A、E两点的直线方程为 y = ax + b，根据A、E两点坐标可求出该直线方程为 y = 1.5140018x + 0.51700505 根据该直线方程与圆方程x2 + y2 =1，可求出F点横坐标x = 0.29052884 所以sinθ= 0.29052884，θ角不小于16.8896°，误差大于 0.2229° 用该方法三等分100°角，误差大于0.4458° 令CE = AE可算出C点坐标。黄先生认为C、B两点连线与圆弧的交点就是F点，其实不然。根据C、B两点坐标可算出C、B两点连线与圆弧的交点坐标。该交点横坐标x = 0.2849388，将该交点视为F点，可算出θ角为16.5552°，少了0.1115°，用该方法三等分100°角，误差大于0.2229°
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴经过两已知点可以画一条直线； ⑵已知圆心和半径可以作一圆； ⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决 了两千年来悬而未决的难题. ⑵四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表 达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.
“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角” .下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角“的方法（如图），将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数1y x = 的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交图象于点R .分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到得到∠MOB ，则13MOB AOB ∠=∠. 要明白帕普斯的方法，请你研究以下问题： （1）设1(,)P a a 、1(,)R b b ，求直线OM 相对应 的函数解析式（用含a,b 的代数式表示）. （2）分别过P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直 线相交于点Q ，请说明Q 点在直线OM 上，据此证明13 MOB AOB ∠=∠. （3）应用上述方法得到结论，你如何三等分一个 钝角（用文字简要说明）. 解：（1）设直线OM 的函数关系式为 )1,(),1,(,b b R a a P kx y =． 则),1,(a b M ∴ab b a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x ab y 1=． （2）∵Q 的坐标)1,(b a 满足x ab y 1=，∴点Q 在直线OM 上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页） ∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=2 1PR ． ∴∠SQR=∠SRQ ． ∵PR=2OP ，∴PS=OP=2 1PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角， ∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ． ∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ． ∴∠SOB=3 1∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可． 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角 利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可． 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角
书法的折纸方法自制作图 解 Prepared on 21 November 2021
书法的折纸方法（自制作图解）五言绝句折纸法： 四尺宣先裁掉一尺 剩下三尺对裁 对折 再对折 再对折 留一方格位折 再折留边框 再折中线和对角线成米字格 七言诗折纸法: 四尺整纸对裁 留出一字格 对折为所留一格的一倍 按所留一格的尺寸折 再折 留出一方格折 再折 再折留出边框 折后为3乘11格 一．四尺开四(66㎝×33㎝) 1．以10字诗句为例 先竖折三等分，但左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折五等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一、二行各5个字，第三行落款。 2．以14字诗句为例 先竖折三等分，但左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折六等分(先対折，再三等分折，上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一、二行各6个字，第三行2个字，接下的空格落款。 3．以20字的“五绝”为例
先竖折四行，但第四行为半行，左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折七等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一、二行各7个字，第三行6个字，第四行落款。 二．四尺开三(66㎝×45㎝) 1．以20字的“五绝”为例 先竖折五行，但第五行为半行，左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折六等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一至三行各6个字，第四行2个字，第五行落款。 2．以28字的“七绝”为例 先竖折五行，但第五行为半行，左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折七等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一至四行各7个字，第五行落款。 3．以33字的“长短句”为例 先竖折五等分，但左右留出边线(即：留适当的空白)；再横折八等分(上、下也要留出边线，即：“天地”留适当的空白)。第一至四行各8个字，第五行1个字，接下的空格落款。
三等分任意角的方法探究 西工大附中 孙开锋 三等分任意角的方法探究 摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文 关键词： 只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。 纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB 平分成了两部分。 用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。 但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？ 早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。 但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。 一、利用工具三等分任意角
如图1所示，叫做“三等分仪” 吧 ， CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E. 具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。 数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。 二、中考中的三等分角 题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上，边OA 与函数y x =1的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交函数y x =1的图象于点R ，分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线交于点M ，连结OM 得到∠MOB ，则∠=∠MOB AOB 13 。要明白帕普斯的方法，请研究以下问题。 （1）设P （a a ,1），R （b b ,1）求直线OM 对应的函数表达式（用含a b 、的代表式表示）； （2）分别过点P 和R 作y 轴与x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，请证明点Q 在直线OM 上，并据此证明∠=∠MOB AOB 1 3 ；
1.立方倍积问题 假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有 x3=2a3. 令a＝1，则上述方程取更简单的形式 x3-2=0. 根据初等代数知识，如果上述的有理系数三次方程含有有理根，不外是±1，±2.但经逐一代入试验，均不符合.可见方程x3-2=0必 不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题. 2.三等分任意角问题 对于已知的锐角∠O=θ，设OP、OS是它的三等分角线. 以O为圆心，单位长为半径画弧，交∠O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CD⊥OA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出. 令OD=x，则有
4x3-3x-cosθ＝0. 如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之. 8x3-6x-1=0. 以2x=y代入此方程，可得较简单的形式 y3-3y-1=0. 根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程y3-3y-1=0含有有理根，不外是±1.但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根.于是，根据本书第14页定理2可知，方程y3-3y-1=0的任何实根不能用尺 规作图来完成，即60°角不能用尺规三等分.三等分60°角尚且不能,这就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题. 当然，这个结论是对一般情形而言的，假如θ等于某些特殊值，则作图未必就不可能.例如，当θ=90°时，便有cos90°=0，此时方程 4x3-3x-cosθ=0就变为 4x3-3x=0. 解之，得
尺规作图典型例题
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典型例题 例1 、求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段 已知：线段 求作：，使∠A＝90°，AB＝AC，BC＝分析：由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为45°，45°，90°，故有如下几种作法： 作法一：1、作线段BC＝ 2、分别过点B、C作BD、CE垂直于BC 3、分别作∠DBC、∠ECB的平分线，交于A点 即为所求 作法二：作线段BC＝ 2、作∠MBC＝45° 3、作∠NCB＝∠MBC，CN与BM交于A点 即为所求 作法三：1、作线段BC＝
2、作∠MBC＝45° 3、过C作CE⊥BM于A 即为所求 作法四：1、作线段BC＝ 2、作BC的中垂线，交BC于O点 3、在OM上截取OA＝OB，连结AB，AC 即为所求 说明：几种作法中都是以五种基本作图为基础， 不要求写出基本作图的作法和证明。 例2、已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形. 已知：线段a、b为两边，m为边长b的中线 求作：，使BC=a，AC=b，且AM=MC，BM=m. 分析：先画草图，假定为所求的三角形，则有BC=a，AC=b，设M为AC边的中点，则MB=m,而，故的三边为已知作出，然后再作出 . 作法：（1）作，使BC=a，，MB=m； （2）延长线段CM至A，使MA=CM;
（3）连接BA，则为所求作的三角形. 小结：本题的突破口是找与所求的的关系.由于的三边已知，故 即可顺利作出. 例3、如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P. 分析：分两步：先作到A、B两点距离相等的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点. 作法：（1）连结AB，做线段AB的垂直平分线DE； （2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P. 则点P为所求作的学校位置. 小结：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求到A，B相等的所有点，再求作到B，C相等的所有点，交点即所求. 扩展资料 三大几何作图问题 三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问