![2014届高考数学(文科,人教版)二轮专题复习提分训练：数列的通项及求和]](https://img.doczj.com/imgf0/077jhqlpptrg0ju7u4u0-01.webp)
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数列的通项及求和
高考试题
考点一数列的通项公式及应用
1.(2012年湖北卷,文17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:
将三角形数1,3, 6,10,…记为数列{a n},将可被5整除的三角形数按
从小到大的顺序组成一个新数列{b n},可以推测:
(1)b2012是数列{a n}中的第项;
(2)b2k-1= .(用k表示)
解析:由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为
a n=
()1
2
n n+
,写出其若干项
有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…
故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….
从而由上述规律可猜想:b2k=a5k=
()
551
2
k k+
(k为正整数),
b2k-1=a5k-1=()()
51511
2
k k
--+
=
()
551
2
k k-
,
故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,
即b2012是数列{a n}中的第5030项.
答案:(1)5030 (2)
()
5512
k k - 2.(2011年浙江卷,文17)若数列{n(n+4) 23
?? ???
n
}中的最大项是第k 项,则k= .
解析:法一 设数列为{a n },则
a n+1-a n =(n+1)(n+5) 23?? ???
n+1-n(n+4)23
?? ???
n =23?? ???
n [23
(n 2+6n+5)-n 2-4n] =123
n
n + (10-n 2), 所以当n ≤3时,a n+1>a n ,即a 1 当n ≥4时,a n+1a 5>a 6>…,故a 4最大,所以k=4. 法二 由题意得 ()()()()()()1 1 2241143322411433k k k k k k k k k k k k --?????+≥--+? ? ?????? ?????? +≥+++ ? ??????? 化简得()2 2110, 10. k k ?-≤??≥?? 又∵k ∈N *,∴k=4. 答案:4 3.(2012年广东卷,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{S n }的前n 项和为T n ,满足T n =2S n -n 2,n ∈N *. (1)求a 1的值; (2)求数列{a n }的通项公式. 解:(1)由题意a 1=S 1=T 1,T n =2S n -n 2, 令n=1得a 1=2a 1-1,∴a 1=1. (2)由T n =2S n -n 2① 得T n-1=2S n-1-(n-1)2(n ≥2)② ①-②得S n =2a n -2n+1(n ≥2), 验证n=1时也成立. ∴S n =2a n -2n+1③ 则S n-1=2a n-1-2(n-1)+1(n ≥2)④ ③-④得a n =2a n -2a n-1-2, 即a n +2=2(a n-1+2), 故数列{a n +2}是公比为2的等比数列,首项为3, 所以a n +2=3·2n-1,从而a n =3·2n-1-2. 4.(2012年大纲全国卷,文18)已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n = 2 3 n +a n . (1)求a 2,a 3; (2)求{a n }的通项公式. 解:(1)由S 2=43 a 2得3(a 1+a 2)=4a 2,解得a 2=3a 1=3, 由S 3=53 a 3得3(a 1+a 2+a 3)=5a 3, 解得a 3=3 2 (a 1+a 2)=6. (2)由题设知a 1=1. 当n>1时有a n =S n -S n-1=23 n +a n -1 3n +a n-1, 整理得a n = 1 1 n n +-a n-1, 于是a 1=1, a 2=31a 1, a 3=4 2 a 2, … a n-1= 2n n -a n-2, a n =11 n n +-a n-1. 将以上n 个等式两端分别相乘,整理得a n =() 12 n n +. 综上,{a n }的通项公式a n = () 12 n n +. 考点二 有关数列前n 项和的问题 1.(2012年大纲全国卷,文6)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,S n =2a n+1,则S n 等于( ) (A)2n-1 (B)32?? ???n-1 (C)32?? ??? n-1 (D)1 12n - 解析:法一 由S n =2a n+1=2(S n+1-S n )可知, 3S n =2S n+1,即S n+1=32 S n , ∴数列{S n }是首项为S 1=1,公比为3 2 的等比数列, ∴S n =32?? ??? n-1 .故选B. 法二 由S n =2a n+1 ①可知a 2=12S 1=12 , 当n ≥2时,S n-1=2a n , ② ∴①-②并化简得a n+1=32 a n (n ≥2), 即{a n }从第二项起是首项为12,公比为32 的等比数列, ∴S n =a 1+ 1 13122312 n -????-?? ???????-=1+32?? ???n-1-1=32?? ??? n-1(n ≥2),当n=1时,满足上式. 故选B. 法三 特殊值法,由S n =2a n+1及a 1=1, 可得a 2=1 2S 1=12 , ∴当n=2时,S 2=a 1+a 2=1+12=32 ,观察四个选项得B 正确.故选B. 答案:B 2.(2012年福建卷,文11)数列{a n }的通项公式a n =ncos π 2 n ,其前n 项和为S n ,则S 2012等于( ) (A)1006 (B)2012 (C)503 (D)0 解析:∵当n ∈N *时, a 4k+1=(4k+1)cos(2k π+π2 )=0, a 4k+2=(4k+2)cos(2k π+π)=-(4k+2), a 4k+3=(4k+3)cos(2k π+ 3π 2)=0, a 4n+4=(4k+4)cos(2k π+2π)=4k+4, ∴a 4k+1+a 4k+2+a 4k+3+a 4k+4=2. 则S 2012=(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+a 7+a 8)+…+(a 2009+a 2010+a 2011+a 2012)=2×503=1006. 答案:A 3.(2012年新课标全国卷,文12)数列{a n }满足a n+1+(-1)n a n =2n-1,则{a n }的前60项和为( ) (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 解析:∵a n+1+(-1)n a n =2n-1, ∴当n=2k(k ∈N *)时,a 2k+1+a 2k =4k-1① 当n=2k+1(k ∈N)时,a 2k+2-a 2k+1=4k+1② ①+②得:a 2k +a 2k+2=8k. 则a 2+a 4+a 6+a 8+…+a 60=(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+…+(a 58+a 60)=8(1+3+… +29)=8×() 151292 ?+=1800. 由②得a 2k+1=a 2k+2-(4k+1), 所以a 1+a 3+a 5+…+a 59=a 2+a 4+…+a 60-[4×(0+1+2+…+29)+30]=1800-(4× 3029 2 ?+30)=30, ∴a 1+a 2+…+a 60=1800+30=1830. 答案:D 4.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文17)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=- 5. (1)求{a n }的通项公式; (2)求数列21211 n n a a -+? ?? ??? 的前n 项和. 解:(1)设{a n }的公差为d,则S n =na 1+ () 12 n n - d. 由已知可得11 330, 5105,a d a d +=??+=-? 解得a 1=1,d=-1. 故{a n }的通项公式为a n =2-n. (2)由(1)知21211 n n a a -+=()()13212n n --=12(123n --121 n -), 从而数列21211 n n a a -+? ?? ??? 的前n 项和为 12(11--11+11-13+…+123n --121n -)=12n n -. 5.(2013年江西卷,文16)正项数列{a n }满足2n a -(2n-1)a n -2n=0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令b n = ()1 1n n a +,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)已知a n 与n 的关系式,求a n ,这一类题目应把式子进行变形,得a n =f(n),从而求出通项公式. 由2 n a -(2n-1)a n -2n=0, 得(a n -2n)(a n +1)=0. 故a n =-1(因数列为正项数列,舍去)或a n =2n. (2)因b n = () 1 12n n +?=12(1n -11n +), 所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =12(11-12)+12(12-13)+12(13-14)+…+1 2(1 n - 1 1 n +) =12(11-12+12-13+13-14+…+1n -11 n +) =12(1-1 1 n +) = () 21n n +. 6.(2013年山东卷,文20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2,a 2n =2a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列{b n }满足 11b a +2 2b a +…+n n b a =1-12n ,n ∈N * ,求{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. 由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1得 ()()111 14684, 212211,a d a d a n d a n d +=+??? +-=+-+?? 解得a 1=1,d=2. 因此a n =2n-1,n ∈N *. (2)由已知 11b a +2 2b a +…+n n b a =1-12n ,n ∈N *, 当n=1时, 11b a =1 2 ; 当n ≥2时, n n b a =1-12n -(1-112n -)=12n . 所以 n n b a =1 2 n ,n ∈N *. 由(1)知a n =2n-1,n ∈N *, 所以b n = 212n n -,n ∈N * . 又T n =12+232+352+…+21 2 n n -, 12T n =212+332+…+232n n -+1212 n n +-, 两式相减得 12T n =12+(222+322+…+22n )-1212n n +- =32-112n - =1212 n n +-, 所以T n =3-23 2 n n +. 7.(2013年安徽卷,文19)设数列{a n }满足a 1=2,a 2+a 4=8,且对任意n ∈N *,函数f(x)=(a n -a n+1+a n+2)x+a n+1cos x-a n+2sin x 满足 f ′π2?? ??? =0. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若b n =2(a n + 1 2n a ),求数列{ b n }的前n 项和S n . 解:(1)由题设可得, f ′(x)=a n -a n+1+a n+2-a n+1sin x-a n+2cos x. 对任意n ∈N *,f ′π2?? ??? =a n -a n+1+a n+2-a n+1=0, 即a n+1-a n =a n+2-a n+1,故{a n }为等差数列. 由a 1=2,a 2+a 4=8, 解得数列{a n }的公差d=1, 所以a n =2+1×(n-1)=n+1. (2)由b n =2(a n + 12n a )=2(n+1+112n +)=2n+12n +2知, S n =b 1+b 2+…+b n =2n+2·()12 n n ++ 11122112 n ???? -?? ? ??????- =n 2+3n+1- 12n . 8.(2013年大纲全国卷,文17)等差数列{a n }中,a 7=4,a 19=2a 9. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n = 1 n na ,求数列{b n }的前n 项和S n . 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d, 则a n =a 1+(n-1)d. 因为71994, 2,a a a =?? =?所以()11164,1828, a d a d a d +=??? +=+?? 解得a 1=1,d=12 .所以{a n }的通项公式为a n =1 2 n +. (2)因为b n = 1 n na =()21n n +=2n -21 n +, 所以S n =(21-22)+(22-23)+…+(2n - 2 1 n +) =21 n n +. 9.(2013年湖南卷,文19)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n -a 1=S 1·S n ,n ∈N *. (1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和. 解:(1)令n=1,得2a 1-a 1=21a ,即a 1=21a . 因为a 1≠0,所以a 1=1. 令n=2,得2a 2-1=S 2=1+a 2,解得a 2=2. 当n ≥2时,由2a n -1=S n ,2a n-1-1=S n-1两式相减, 得2a n -2a n-1=a n ,即a n =2a n-1. 于是数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列. 因此,a n =2n-1.所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1. (2)由(1)知,na n =n ·2n-1. 记数列{n ·2n-1}的前n 项和为B n , 于是B n =1+2×2+3×22+…+n ×2n-1,① 2B n =1×2+2×22+3×23+…+n ×2n .② ①-②,得-B n =1+2+22+…+2n-1-n ·2n =2n -1-n ·2n . 从而B n =1+(n-1)·2n . 10.(2012年浙江卷,文19)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2n 2+n,n ∈N *,数列{b n }满足a n =4log 2b n +3,n ∈N *. (1)求a n ,b n ; (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . 解:(1)由S n =2n 2+n,得 当n=1时,a 1=S 1=3; 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=4n-1 所以a n =4n-1,n ∈N * 由4n-1=a n =4 log 2b n +3,得b n =2n-1,n ∈N *. (2)由(1)知a n b n =(4n-1)·2n-1,n ∈N *, 所以T n =3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1, 2T n =3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n , 所以2T n -T n =(4n-1)2n -[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n +5 故T n =(4n-5)2n +5,n ∈N *. 模拟试题 考点一 数列的通项公式及应用 1.(2013北大附中模拟)在数列{a n }中,已知a 1=2,a 2=7,a n+2等于a n a n+1(n ∈N *)的个位数,则a 2013的值是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)2 解析:a 1a 2=2×7=14,所以a 3=4,4×7=28, 所以a 4=8,4×8=32,所以a 5=2,2×8=16, 所以a 6=6,a 7=2,a 8=2,a 9=4,a 10=8,a 11=2,… 所以从第三项起,a n 成周期排列,周期数为6,2013-2=335×6+1, 所以a 2013=a 3=4.故选C. 答案:C 2.(2012许昌月考)已知数列{a n }的通项公式是a n =231 n n +,那么这个数列是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)摆动数列 (D)常数列 解析:∵1n n a a +=()2134n n ++·312n n +=2234134n n n n +++>1,a n >0, ∴a n+1>a n . 答案:A 3.(2011平顶山模拟)在数列{a n }中,a 1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n (n ≥2,n ∈N *),则3 5 a a 的值是( ) (A) 1516 (B)158 (C)34 (D)38 解析:由已知得a 2=1+(-1)2=2,∴a 3·a 2=a 2+(-1)3, ∴a 3=12,∴12a 4=12 +(-1)4, ∴a 4=3,∴3a 5=3+(-1)5,∴a 5=23 , ∴ 35a a =1 2 ×32=34.故选C. 答案:C 4.(2011江阴模拟)已知数列{a n }满足a 1=2,a n+1=2(1+1 n )2a n (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为 . 解析:∵a n+1=2(1+1n )2a n ,∴1n n a a +=()2 2 21n n -, ∴a n =1n n a a -·12n n a a --·…·32a a ·21a a ·a 1 = () 2 2 21n n -· () () 2 2 212n n -- (22232) ?·2 2221?·2 =2n ·n 2, a 1=2也适合. 答案:a n =2n ·n 2 5.(2013常州模拟)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1,且6S n =(a n +1)(a n +2),n ∈N *.求{a n }的通项公式. 解:由a 1=S 1=16 (a 1+1)(a 1+2), 解得a 1=1或a 1=2,由已知a 1=S 1>1,因此a 1=2. 又由a n+1=S n+1-S n =1 6(a n+1+1)(a n+1+2)-16 (a n +1)(a n +2), 得(a n+1+a n )(a n+1-a n -3)=0, 因为a n >0,所以a n+1-a n -3=0. 即a n+1-a n =3,从而{a n }是公差为3,首项为2的等差数列,故{a n }的通项为a n =3n-1. 考点二 有关数列前n 项和的问题 1.(2012威海一模)数列{a n }中,已知对任意n ∈N *,a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1, 则21a +22a +23a +…+2 n a 等于( ) (A)(3n -1)2 (B)12 (9n -1) (C)9n -1 (D)14 (3n -1) 解析:已知a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1,① 当n ≥2时,a 1+a 2+…+a n-1=3n-1 -1,② 由①-②得a n =(3n -1)-(3n-1 -1)=2·3n-1, ∴{a n }是首项为2,公比为3的等比数列. 2 n a =(2·3n-1 )2 =4·32n-2 =4·9n-1, ∴{2n a }是首项为4,公比为9的等比数列, 故21a +22a +…+2n a = ()41919 n --=1 2 (9n -1). 答案:B 2.(2011河池高中月考)在数列{a n }中,a 1=2,3(a 1+a 2+…+a n )=(n+2)a n ,n ∈N * ,则a n = . 解析:由已知可得3S n =(n+2)a n ,当n ≥2时, 3(S n -S n-1)=(n+2)a n -(n+1)a n-1=3a n , ∴ 1n n a a -=11 n n +-. ∵a 1·2 1a a ·32a a ·…·12n n a a --·1 n n a a -=2×31×42×53×64×… × 2 n n -×1 1n n +-=n(n+1), ∴a n =n(n+1). 答案:n(n+1) 3.(2013山东师大附中模拟)已知等差数列{a n }的首项为a,公差为d,且方程ax 2 -3x+2=0的解为1,d. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和公式; (2)求数列{3n-1a n }的前n 项和T n . 解:(1)方程ax 2 -3x+2=0的两根为1,d. 所以a=1,d=2. 由此知a n =1+2(n-1)=2n-1,前n 项和S n =n 2. (2)令b n =3n-1a n =(2n-1)·3n-1, 则T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =1·1+3·3+5·32+…+(2n-1)·3n-1, 3T n =1·3+3·32+5·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n , 两式相减,得-2T n =1+2·3+2·32+…+2·3n-1 -(2n-1)·3n =1+()161313 n ----(2n-1)·3n =-2-2(n-1)·3n . ∴T n =1+(n-1)·3n . 综合检测 1.(2012潍坊一中检测)若在数列{a n } 中,a 1=1,a 2=2+3,a 3=4+5+6,a 4=7+8+9+10,...,则a 10等于( ) (A)1540 (B)500 (C)505 (D)510 解析:{a n }中的前9项共有正整数 1+2+3+ (9) () 9192 +=45个, 故a 10=46+47+…+55=() 1046552 ?+=505. 答案:C 2.(2012成都石室中学二模)若数列{a n }满足a 1=2且a n +a n-1=2n +2n-1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则log 2(S 2012+2)等于( ) (A)2013 (B)2012 (C)2011 (D)2010 解析:由题意得 a2+a1=22+2,a4+a3=24+23,a6+a5=26+25,…,a2012+a2011=22012+22011, 以上1006个等式相加得 S2012=2+22+23+ (22012) ()2012 212 12 - - =2(22012-1)=22013-2. 故log2(S2012+2)=log2(22013-2+2)=2013. 答案:A 3.(2013北京市海淀区检测)对任意x∈R,函数f(x)满足f(x+1)= 1 2 ,设a n=[f(n)]2-f(n),数列{a n}的前15项的和为31 16 -,则f(15)= . 解析:因为f(x+1)=+1 2 , 所以f(x+1)-1 2 0, 即f(x+1)≥1 2 . 两边平方得[f(x+1)-1 2 ]2=f(x)-[f(x)]2, 即[f(x+1)]2-f(x+1)+1 4 =f(x)-[f(x)]2, 即[f(x+1)]2-f(x+1)+[f(x)]2-f(x)=-1 4 , 即a n+1+a n=-1 4 , 即数列{a n}的任意相邻两项之和为-1 4 , 所以S15=7×(-1 4 )+a15=-31 16 ,即a15=-3 16 . 所以a15=[f(15)]2-f(15)=-3 16 , 解得f(15)=3 4 或f(15)=1 4 (舍去). 答案:3 4 4.(2012浙江省杭州高中模拟)已知数列{a n}的前n项和S n与通项a n 满足S n=1 2 -1 2 a n. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设f(x)=log 3x,b n =f(a 1)+f(a 2)+…+f(a n ),T n =11b +21b +…+1 n b ,求T 2012; (3)若 c n =a n ·f(a n ),求{c n }的前n 项和U n . 解:(1)当n=1时,a 1=13 , 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12 -12 a n -12 +12 a n-1, 所以a n =13 a n-1, 即数列{a n }是首项为13 ,公比为13 的等比数列, 故a n =13?? ??? n . (2)由已知可得f(a n )=log 313?? ???n =-n. 则b n =-1-2-3-…-n=-() 12n n +, 故 1 n b =-2(1n -11n +), 又T n =-2[(1-12)+(12-13)+…+(1n -1 1 n +)] =-2(1- 1 1 n +), 所以T 2012=-4024 2013 . (3)由题意得c n =-n ·13?? ??? n , 故U n =c 1+c 2+…+c n =-[1×13?? ??? 1+2×13?? ??? 2+…+n ×13?? ??? n ], 则13 U n =-[1×13?? ???2+2×13?? ???3+…+n ×13?? ??? n+1], 两式相减可得 2 3U n=-[1 3 ?? ? ?? 1+1 3 ?? ? ?? 2+…+1 3 ?? ? ?? n-n·1 3 ?? ? ?? n+1] =-1 2[1-1 3 ?? ? ?? n]+n·1 3 ?? ? ?? n+1 =-1 2+1 2 ·1 3 ?? ? ?? n+n·1 3 ?? ? ?? n+1, 则U n=-3 4+3 4 ·1 3 ?? ? ?? n+3 2 n·1 3 ?? ? ?? n+1. 上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数列 一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ． 方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ． 方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依 次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模） 已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值 为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n； 1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式 第2讲 数列求和及综合应用 数列求和问题(综合型) [典型例题] 命题角度一 公式法求和 等差、等比数列的前n 项和 (1)等差数列：S n ＝na 1＋ n （n －1）2 d (d 为公差)或S n ＝n （a 1＋a n ） 2 . (2)等比数列：S n ＝???? ?na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1其中(q 为公比)． 4类特殊数列的前n 项和 (1)1＋2＋3＋…＋n ＝1 2n (n ＋1)． (2)1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2 . (3)12＋22＋32＋…＋n 2 ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． (4)13＋23＋33＋…＋n 3＝14 n 2(n ＋1)2 . 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n 2a n ＋3 ，n ∈N * . (1)求证：数列???? ?? 1a n 为等差数列； (2)设T 2n ＝ 1 a 1a 2－ 1 a 2a 3＋ 1 a 3a 4－ 1 a 4a 5 ＋…＋ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ，求T 2n . 【解】 (1)证明：由a n ＋1＝3a n 2a n ＋3，得1a n ＋1＝2a n ＋33a n ＝1a n ＋2 3 ， 所以 1 a n ＋1－1a n ＝23. 又a 1＝1，则1a 1＝1，所以数列???? ??1a n 是首项为1，公差为2 3的等差数列． (2)设b n ＝ 1 a 2n －1a 2n － 1 a 2n a 2n ＋1 ＝? ??? ?1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ， 由(1)得，数列???? ??1a n 是公差为2 3的等差数列， 所以 1 a 2n －1 － 1 a 2n ＋1＝－43，即 b n ＝? ????1a 2n －1－1a 2n ＋11a 2n ＝－43×1a 2n ， 所以b n ＋1－b n ＝－43? ????1a 2n ＋2－1a 2n ＝－43×43＝－16 9. 又b 1＝－43×1a 2＝－43×? ????1a 1＋23＝－20 9 ， 所以数列{b n }是首项为－209，公差为－16 9的等差数列， 所以T 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝－ 209n ＋n （n －1）2×? ?? ??－169＝－49(2n 2 ＋3n )． 求解此类题需过“三关”：第一关，定义关，即会利用等差数列或等比数列的定义，判断所给的数列是等差数列还是等比数列；第二关，应用关，即会应用等差(比)数列的前n 项和公式来求解，需掌握等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝ n （a 1＋a n ） 2 或S n ＝na 1＋ n （n －1） 2d ；等比数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝?????na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1；第三关，运算关，认真运算，此类题将迎刃而解． 命题角度二 分组转化法求和 将一个数列分成若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)，然后分别求和．也可先根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和，再分组求和，即把一个通项拆成几个通项求和的形式，方便求和． 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N * ，且不等式ax 2 －3x ＋2<0的解集为(1， 高三文科数学数列测试题 令狐采学 一、选择题（5分×10=50分） 1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 2．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ） A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 4. 在 等 差 数 列 {} n a 中,已知 11253,4,33,n a a a a n =+==则为( ) A.48 B.49 C.50 D.51 5．在等比数列{n a }中，2a ＝8，6a ＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 6.-1,a,b,c,-9成等比数列，那么（ ） A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 7．数列{}n a 满足11,(2),n n n a a a n n a -=+≥=则（ ） A ．(1)2n n + B.(1)2n n - C.(2)(1) 2n n ++ D.(1)(1) 2 n n -+ 8．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 9．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ） A ．122n +-B ．3n C ．2n D ．31n - 10．设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ） A ． 2(81)7n -B ．12(81)7 n +-C ．32(81)7n +-D ．42 (81)7n +- 二、填空题（5分×4=20分） 11.已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S =． 12．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119 a =，则36a = 13．数列｛an ｝中，若a1=1，2an+1=2an+3 （n≥1），则该数列的通项an=. 14．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，将 数列{}n a 中的各项排成如图所示的一个三角 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 突破点5 数列求和及其综合应用 (对应学生用书第19页) [核心知识提炼] 提炼1 a n 和S n 的关系 若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝??? ? ? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 在使用这个关系 式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法 (1)定义法：①形如a n ＋1＝a n ＋c (c 为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如 a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列． (2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如 a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1 ，求其通项公式． (4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p ，再转化为等比数列求解． (5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1 ，得 a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{ b n }? ? ???其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解． (6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和 数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题 数列综合问题的考查方式主要有三种： (1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小． (2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题． 高考文科数学数列专题 复习 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 高考文科数学 数列专题复习 一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 2 2 C. 2 2.（安徽卷）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 3.（江西卷）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4（湖南卷）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于【 】 A ．13 B ．35 C ．49 D ． 635.（辽宁卷）已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ （A ）－2 （B ）－12 （C ）12 （D ）2 6.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7.（湖北卷）设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{2 1 5+}，[ 21 5+],2 15+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的 数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 9.（宁夏海南卷）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2 110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m = （A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9 10.（重庆卷）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则 {}n a 的前n 项和n S = A ．2744 n n + B ．2533n n + C ．2324 n n + D ．2n n + 11.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 专题达标检测 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋2a 6＋a 10＝120，则a 3＋a 9等于 ( ) A ．30 B ．40 C ．60 D ．80 解析：由等差数列性质：若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，故a 2＋2a 6＋a 10＝4a 6 ＝120，故a 6＝30，a 3＋a 9＝2a 6＝2×30＝60. 答案：C 2．(2009·宁夏、海南理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若 a 1＝1，则S 4等于 ( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．16 解析：设等比数列的公比为q ，则由4a 1,2a 2，a 3成等差数列．得4a 2＝4a 1＋a 3.∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2.∴q 2－4q ＋4＝0 ∴q ＝2，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝15. 答案：C 3．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－1 2，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ， 则Πn 中最大的是 ( ) A ．Π11 B ．Π10 C ．Π9 D ．Π8 解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1· q 1＋2＋… ＋n －1＝29n ????－12(n －1)n 2＝(－1)n (n －1)22－n 2 ＋19n 2 ，∴ 当 n ＝9时，Πn 最大．故选C 答案：C 4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列?? ?? ?? 1f (n )(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：∵f ′(x )＝m x m －1＋a ＝2x ＋1， ∴m ＝2，a ＝1， ∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)， 高考文科数学数列高考 题 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 数列专题复习 一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = ( ) A. 2 1 B. 2 2 C. 2 2.（安徽卷）已知 为等差数列， ， 则 等于 A. -1 B. 1 C. 3 3.（江西卷）公差不为零的等差数列 {}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等 比中项, 832S =,则10S 等于( ) A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4（湖南卷）设n S 是等差数列{}n a 的前 n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等 于【 】 A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 5.（辽宁卷）已知{}n a 为等差数列，且 7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ ( ) （A ）－2 （B ）－12 （C ）12 （D ）2 6.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等 比中项，则数列的前10项之和是 ( ) A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7.（湖北卷）设,R x ∈记不超过x 的最大 整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则 {215+}，[215+],215+ ( ) A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.（湖北卷）古 希腊人常用小石 子在沙滩上摆成 2018届高三第二轮复习——数列 第1讲等差、等比考点 【高 考 感 悟】 从近三年高考看，高考命题热点考向可能为： 1．必记公式 (1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d 2. (3)等比数列通项公式：a n a 1q n － 1. (4)等比数列前n 项和公式： S n ＝?????na 1 （q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）. (5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)． (7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝?????S 1（n ＝1） S n －S n －1 （n ≥2）. 2．重要性质 (1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n － m . (2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1 ＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒 (1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab . 【 真 题 体 验 】 1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.19 2 C ．10 D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝1 4 ，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1 8 3．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________． 4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111 ==3 n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和. 【考 点 突 破 】 考点一、等差（比）的基本运算 1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________． 2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝9 2 . (1)求{a n }的通项公式； (2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 2010届高三文科数学小综合专题练习一一数列 东莞市第一中学老师提供1.已知数列啣N”是等比数列，且a n 0,a^ 2,a^8. (1) 求数列的通项公式； 111 1 (2) 求证:—- - —:::1 ； 31 a? 玄3 3n (3) 设b n = 2log 2 a n 1,求数列：b n/的前100项和. 2.数列｛a n｝中，6=8，34=2，且满足a n.2-a n1 二常数C (1)求常数C和数列的通项公式； ⑵设T20 H a1 | | a2 丨I I ( I a20 I， ⑶T n ^aj ? |a2| 川|a n|, n N 3.已知数列 2n, n为奇数； a n =人 2n—1, n为偶数; 求S2n 4 .已知数列、 = 1. (1)求证： 的相邻两项a n,a n 1是关于X的方程x2-2n x ? b n =0 (n N)的两根， 且 数列』a n— 1汇2" ?是等比数列； (2)求数列◎ ? 的前n项和S n. 5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第 年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？ 6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本 1 年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少-，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建 5 设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加丄. 4 ⑴设n年内（本年度为第一年）总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元，写出a n,b n的表达式； （2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 7.在等比数列｛a n｝(n € N*)中，已知a i> 1, q>0?设b n=log2a n，且切+ b3 + b5=6, b i b3b5=0. 专题34 数列中的奇偶性问题 一、题型选讲 题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题 含参问题最常用的方法就是把参数独立出来,要独立出来就要除以一个因式,此因式的正负与n 的奇偶性有关,因此要对n 进行奇偶性的讨论。 例1、(2015扬州期末）设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＝4＋????－1 2n －1,若对任意n ∈N *,都有1≤p (S n －4n )≤3,则实数p 的取值范围是________． 答案：[2,3] 思路分析 求参数的常用方法是分离参数,所以首先将参数p 进行分离,从而将问题转化为求函数f (n )＝S n －4n 的最大值与最小值,再注意到题中含有??? ?－1 2n －1,涉及负数的乘方,所以需对n 进行分类讨论． 令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－????－1 2n 1－??? ?－12－4n ＝23????1－????－12n . 当n 为奇数时,f (n )＝23????1＋ ????12n 单调递减,则当n ＝1时,f (n )max ＝1； 当n 为偶数时,f (n )＝23????1－ ????12n 单调递增,由当n ＝2时,f (n )min ＝12. 又 1S n －4n ≤p ≤3 S n －4n ,所以2≤p ≤3. 解后反思 本题的本质是研究数列的最值问题,因此,研究数列的单调性就是一个必要的过程,需要注意的 是,由于本题是离散型的函数问题,所以,要注意解题的规范性,“当n 为奇数时,f (n )＝23??? ?1＋ ????12n ,单调递减,此时f (n )∈????23，1；当n 为偶数时,f (n )＝2 3????1－????12n ,单调递增,此时f (n )∈????12，1”的写法是不正确的,因为f (n )并不能取到????12，1∪????23，1＝???? 12，1内的所有值． 例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n } 的前n 项和为T n ,且3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n ∈N *. (1) 求a 1,a 2的值； 第3讲 数列的综合问题 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式． 2．以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 3．将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力． 热点一 利用S n ，a n 的关系式求a n 1．数列{a n }中，a n 与S n 的关系 a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 2．求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式． (2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n . (3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1 a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n . (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 例1 (2017·运城模拟)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2 n ＋3a n ＝6S n ＋4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2n a n ，求数列{ b n }的前n 项和T n . 解 (1)由a 2 n ＋3a n ＝6S n ＋4，① 知a 2 n ＋1＋3a n ＋1＝6S n ＋1＋4，② 由②－①，得 a 2n ＋1－a 2 n ＋3a n ＋1－3a n ＝6S n ＋1－6S n ＝6a n ＋1， 即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0， ∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0， ∴a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3. 又a 2 1＋3a 1＝6S 1＋4＝6a 1＋4， 即a 21－3a 1－4＝(a 1－4)(a 1＋1)＝0，∵a n >0，∴a 1＝4， ∴{a n }是以4为首项，以3为公差的等差数列， 高考文科数学数列复习 题有答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 高考文科数学数列复习题 一、选择题 1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 2．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ） A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 4.在等差数列{}n a 中,已知11253,4,33,n a a a a n =+==则为( ) 5．在等比数列{n a }中，2a ＝8，6a ＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 ,a,b,c,-9成等比数列，那么（ ） A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 7．数列{}n a 满足11,(2),n n n a a a n n a -=+≥=则（ ） A ．(1)2n n + B. (1)2n n - C. (2)(1)2 n n ++ D. (1)(1)2n n -+ 8．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 9．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ） A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n - 10．设4710310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n 等于 （ ） A ．2(81)7 n - B ．12(81)7 n +- C ．32 (81)7 n +- D ．42 (81)7 n +- 二、填空题（5分×4=20分） 11.已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ． 12．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119 a =，则36a = 13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，2a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项 a n = . 14．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，将 数列{}n a 中的各项排成如图所示的一个三角形数表，记 高中数学专题突破练习-数列中的典型题型与创新题型 一、选择题 1．如果等差数列{a n}中,a3＋a4＋a5＝12,那么a1＋a2＋…＋a7等于( ) A．14 B．21 C．28 D．35 答案 C 解析∵a3＋a4＋a5＝12,∴3a4＝12,a4＝4．∴a1＋a2＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a 5 )＋a4＝7a4＝28．故选C． 2．在等比数列{a n}中,a1＝1,公比|q|≠1．若a m＝a1a2a3a4a5,则m等于( ) A．9 B．10 C．11 D．12 答案 C 解析a m＝a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝a23· a2 3 ·a3＝a53＝a51·q10．因为a1＝1,|q|≠1, 所以a m＝a51·q10＝a1q10,所以m＝11．故选C． 3．在递减等差数列{a n}中,若a1＋a5＝0,则S n取最大值时n等于( ) A．2 B．3 C．4 D．2或3 答案 D 解析∵a1＋a5＝2a3＝0,∴a3＝0． ∵d<0,∴{a n}的第一项和第二项为正值,从第四项开始为负值,故S n取最大值时n等于2或3．故选D． 4．在等差数列{a n}中,首项a1＝0,公差d≠0,若a k＝a10＋a11＋…＋a100,则k＝( ) A．496 B．469 C．4914 D．4915 答案 D 解析因为数列{a n}是等差数列,所以a n＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d,因为a k＝a10＋a11＋…＋ a 100,所以a k＝100a1＋ 100×99 2 d－9a 1 ＋ 9×8 2 d＝4914d,又a k ＝(k－1)d,所以(k－1)d＝4914d,所 以k＝4915．故选D． 5．已知数列{a n}的通项为a n＝log n＋1(n＋2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的n叫做“优数”,则在(0,2018]内的所有“优数”的和为( ) A．1024 B．2012 C．2026 D．2036 答案 C 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1.等差数列}{n a 的前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a . （1）求通项n a ； （2）若242=n S ，求n ； （3）若20-=n n a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T 的最小值. 2.等差数列}{n a 中，n S 为前n 项和，已知75,7157==S S . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若n S b n n =，求数列}{n b 的前n 项和n T . 3.已知数列}{n a 满足11=a ，)1(2111>+= --n a a a n n n ，记n n a b 1 =. （1）求证:数列}{n b 为等差数列； （2）求数列}{n a 的通项公式. 4.在数列{}n a 中，0≠n a ，2 1 1=a ，且当2≥n 时，021=?+-n n n S S a . （1）求证数列? ?? ?? ?n S 1为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）当2≥n 时，设n n a n n b 1 --=，求证： n b b b n n n 1)(12)1(2132<+???++-<+. 5.等差数列}{n a 中，2,841==a a . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ； （3）设*)() 12(1 N n a n b n n ∈-= ，*)(21N n b b b T n n ∈+++=Λ，是否存在最大的整数m 使得对任 意*N n ∈，均有32 m T n >成立，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由. 6.已知数列)}1({log 2-n a 为等差数列，且9,331==a a . （1）求}{n a 的通项公式； （2）证明：11 ...1112312<-++-+-+n n a a a a a a . 7.数列{}n a 满足* 1129,21(2,)n n a a a n n n N -=-=-≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n a b n =，则n 为何值时，{}n b 的项取得最小值，最小值为多少？ 8.已知等差数列}{n a 的公差d 大于0,且52,a a 是方程027122 =+-x x 的两根,数列}{n b 的前n 项和为n T ,且n n b T 2 11-=. （1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式； （2）记n n n b a c =，求证:对一切+∈N n ,有3 2≤n c . 9.数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在， 请说明理由. 10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设n a 是n S 与2的等差中项，数列{}n b 中，11b =，点1(,)n n P b b +在 直线2y x =+上. （1）求数列}{n a ,}{n b 的通项公式 高考复习序列----- 高中数学数列 一、数列的通项公式与前n 项的和的关系 ①11 , 1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥? （注：该公式对任意数列都适用） ②1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） ③12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用） ④s n+1?s n ?1=a n+1+a n （注：该公式对任意数列都适用） 二、等差与等比数列的基本知识 1、等差数列 ⑴ 通项公式与公差： 定义式：d a a n n =--1 一般式：()q pn a d n a a n n +=?-+=11 推广形式： ()n m a a n m d =+-m a a d m n --= ?； ⑵ 前n 项和与通项n a 的关系： 前n 项和公式：1() n n n a a s += 1(1)n n na d -=+211 ()2 d n a d n =+-. 前n 项和公式的一般式：应用：若已知()n n n f +=2 2，即可判断为某个等差数列n 的前n 项和，并可求出首项及公差的值。 n a 与n S 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥（注：该公式对任意数列都适用） 例：等差数列12-=n S n ，=--1n n a a （直接利用通项公式作差求解） ⑶ 常用性质： ①若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；特别地：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、 m 、p 成等差数列； ②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，???）仍是等差 数列； ③{}n a 为公差为d 等差数列，n S 为其前．n ．项和．．，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，． ．．也成等差数列, A 、 构成的新数列公差为D=m 2 d ，即m 2 d=(S 2m -S m )- S m ； B 、 对于任意已知S m ，S n ，等差数列{}n a ? ? ????n S n 也构成一个公差为2d 等差数列。上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列
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