2011年高三数学一轮复习精品导学案：
第五章 数 列
【知识特点】
（1）数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容；
（2）数列具有函数特征，又能构成独特的递推关系，故使得数列与函数、方程、不等式等知识有较密切的联系，因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇，考查学生的逻辑思维能力、运算推理能力，呈现出综合性强、立意新的特点；
（3）数列、等差与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识，突出了“小、巧、活”的特点，也提供了知三求二的理论依据；
（4）数列的规律性较强，学习时一定要从其规律入手来计算、分析、解决有关问题。 【重点关注】
（1）要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念，掌握各公式之间的联系和内在规律，掌握公式的灵活运用，甚至要灵活地回归定义，巧用性质，使运算更简捷；
（2）要善于运用函数与方程、化归与转化、分类讨论等思想方法去分析问题、解决问题；
（3）本章另一重点是由递推公式得出数列，以及数列的前n项和Sn与通项
n
a之间的关系。体现了由特殊到一般的思维规律；
（4）与数列有关的应用题也是高考考查的重点，特别是数列建模问题；
（5）数列证明问题与数学归纳法的联系。
【地位和作用】
数列是函数大家庭中的一员，其特殊性在于其定义域是正整数，它是按一定次序排列的一列数，数列在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，因此历年的高考中占有较大的比重，在选择、填空题中，突出“小、巧、活”的特点。
递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力，由给出的前若干项及a
n 与a
n+1
的关系式得到的数列叫递推数列，该关系式叫递推公式。
高考命题中数列善于占有重要一席，而运用递推式是解题的起点。
对于本章而言，从新课改近几年各省份的高考信息可以看出，高考命题呈现出以下几个特点：
1、考查题型较为全面。选择、填空、解答均有所考查，一般一小一大，分值占10%，
其中解答题难度较大；
2、重点考查等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式，注重在知识的交汇处命题，如数列与函数、方程、不等式等知识的综合应用。注意对观察、转化与化归能力及数学归纳法的考查；
3、预计今后高考仍将以等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式为考点，同时与其他章节结合命题将是数列解答题的命题方向。
第一节 等差数列与等比数列
【高考目标定位】
一、数列的概念与简单表示法
1、考纲点击
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；
（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。
2、热点提示
（1）已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项；
（2）以数列的前几项为背景，考查“归纳——推理”思想。
二、等差数列及其前n项和
1、考纲点击
（1）理解等差数列的概念；
（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
（4）了解等差数列与一次函数的关系。
2、热点提示
（1）以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查“方程思想”；
（2）以选择题、填空题的形式考查等差数列的性质；
（3）数列与函数交汇是解答题综合考查的热点。
三、等比数列及其前n项和
1、考纲点击
（1）理解等比数列的概念；
（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
（4）了解等比数列与指数函数的关系。
2、热点提示
（1）以定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；
（2）以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查等差数列、等比数列的综合应用；
3、以选择、填空的形式考查等比数列的性质。
【考纲知识梳理】
一、数列的概念与简单表示法
1、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
2、数列的分类
分类原则 类型 满足条件
3、数列的表示法：
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法。
注：数列可以看作一个函数，其定义域是正整数集N ?（或它的有限子集{1，2，3，……，n}）,可表示为()n a f n =。
4、数列的通项公式
如果数列{n a }的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
注：数列的通项公式不唯一，如数列-1，1，-1，1，……通项公式可以为(1)n n a =?或
1()1()
n n a n ??=??为奇数为偶数，有的数列没有通项公式。
二、等差数列及其前n 项和 1、等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示，其符号语言为：
1(2,)n n a a d n d ??=≥为常数
2、等差数列的通项公式
若等差数列{n a }的首项为1a ，公差是d,则其通项公式为1(1)n a a n d =+?。 注：已知等差数列{n a }的第m 项为m a ，公差为d，则其第n 项n a 可以表示为：
()n m a a n m d =+?。
3、等差中项
如果三个数a,A,b 成等差数列，则A 叫做a 和b 的等差中项，且有2
a b
A +=。 4、等差数列的前n 项和公式
11()(1)
.22
n n n a a n n S na d +?=
=+ 三、等比数列及其前n 项和
等比数列的相关概念
注：2b ac =是a,b,c 成等比的必要不充分条件，∵当b=0,a,c 至少有一个为零时，
2b ac =成立，但a,b,c 不成等比，反之，若a,b,c 成等比，则必有2b ac =
【热点难点精析】
一、数列的概念与简单表示法
（一）由数列的前几项求数列的通项公式 ※相关链接※ 数列的通项公式
（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征；
④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。
（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到
一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n
?或1
(1)
n +?来调整。
（3）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。
※例题解析※
〖例〗写出下列各数列的一个通项公式：
1371531
(1)4,6,8,10,(2),,,,,2481632
210172637
(3),1,,,,,3791113(4)3,33,333,3333,???L L
L
L
思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。
解答：（1）各项是从4开始的偶数，所以22n a n =+；
（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21
，22
，23
，24
，25
，……，故所求数列的
一个通项公式可定为212n n n
a ?=；
（3）带有正负号，故每项中必须含有一个1
(1)
n +?这个因式，而后去掉负号，观察可得。
将第二项-1写成5
5
?。分母可化为3，5，7，9，11，13，……为正奇数，而分子可化
为12
+1，
22
+1，32
+1，42
+1，52
+1，62
+1，……故其一个通项公式可写为：21
1
(1)21
n n n a n ++=?+ ； （4）将数列各项写为9999999999
,
,,,3333
L 分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104
-1，……，所以1(101)3
n n a =?
（二）由递推公式求数列通项公式 ※相关链接※
1、由1a 和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。
（1）构造等比数列，已知首项1a ，递推关系为1()n n a qa b n N ?
+=+∈，求数列{}n a 的
通项公式的关键是将1n n a qa b +=+转化为1()n n a a q a a ++=+的形式，其中a 的值可由待定系数法确定，即1(1)(1).1
n n n b
qa b a qa q a a q q ++==+??=
≠? （2）已知1a 且1()(2),n n a a f n n ??=≥可以用累加法，即1(),n n a a f n ??=，
12(1)n n a a f n ???=?，……，32(3)a a f ?=，21(2)a a f ?=。
所有等式左右两边分别相加，得
1123221()()()()()(1)(3)(2),
n n n n a a a a a a a a f n f n f f ????+?++?+?=+?+++L L 即：1(2)(3)(1)().n a a f f f n f n =++++?+L
（3）已知1a 且
1
()(2),n n a f n n a ?=≥可以用累乘法，即1()n n a
f n a ?=，
12(1)n n a f n a ??=?，……，32(3)a f a =，21
(2)a
f a =，所有等式左右两边分别相乘，得 13212211(2)(3)(1)(),(2)(3)(1)().
n n n n n a a a a
f f f n f n a a a a a a f f f n f n ???=?=? L L L 即 注：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。
2、由n a 与n S 的关系求n a
由n S 求n a 时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析
式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为1
1(1)(2)n n
n S n a S S n ?=?=??≥?。
※例题解析※
〖例〗根据下列条件，确定数列{}n a
的通项公式。
思路解析：（1）可用构造等比数列法求解； （2）可转化后利用累乘法求解；
（3）将无理问题有理化，而后利用n a 与n S 的关系求解。
解答：
（1）
（2）
…
…
累乘可得
，
故
（3）
注：已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由1a 和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想n a 的方法，以及累加n a =（n a -1n a ?）+（1n a ?-2n a ?）+……+（2a -1a ）+1a ；累乘：n a =
121121
n n n n a a a
a a a a ??? L 等方法。
（二）数列的单调性及其应用
〖例〗(12分)已知数列的前n 项和为n S ,并且满足112,(1).n n a na S n n +==++ （1）求{n a }的通项公式；
（2）令4
()5
n n n T S =，问是否存在正整数m,对一切正整数n，总有n m T T ≤，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由。
思路解析：（1）
→
→
→
(2)由已知得n S →n T 的表达式→求n T 最大项→得结论. 解答:(1)令n=1,
(2)
注:(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图象等方法。
（2）求最大项n a ，则n a 满足11n n n n a a a a +?≥??≥?；若求最小项n a ，则n a 满足1
1
n n n n a a a a +?≤??≤?。
二、等差数列及其前n 项和 （一）等差数列的判定 ※相关链接※
1、等差数列的判定通常有两种方法：
第一种是利用定义，1()(2)n n a a d n ??=≥常数，第二种是利用等差中项，即
112(2)n n n a a a n +?=+≥。
2、解选择题、填空题时，亦可用通项或前n 项和直接判断。
（1）通项法：若数列{n a }的通项公式为n 的一次函数，即n a =An+B,则{n a }是等差数列；
（2）前n 项和法：若数列{n a }的前n 项和n S 是2n S An Bn =+的形式（A，B 是常数），则{n a }是等差数列。
注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。
※例题解析※
〖例〗已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足111120(2),2
n n n n S S S S n a ???+=≥= （1）求证：{
1
n
S }是等差数列； （2）求n a 的表达式。
思路解析：（1）1120n n n n S S S S ???+= →
1n S 与1
1n S ?的关系→结论； （2）由
1
n
S 的关系式→n S 的关系式→n a 解答：（1）等式两边同除以1n n S S ? 得
11n S ?-1n S +2=0，即1n S -11n S ?=2（n≥2）.∴{1n
S }
是以
11S =1
1
a =2为首项，以2为公差的等差数列。 （2）由（1）知
1n S =11S +（n-1）d=2+(n-1)×2=2n,∴n S =12n
,当n ≥2时，n a =2n S ·1n S ?=12(1)n n ?。又∵112a =，不适合上式，故1
(1)
2
1(2)
2(1)
n n a n n n ?=??=?
?≥???。
（二）等差数列的基本运算 ※相关链接※
1、等差数列的通项公式n a =1a +（n-1）d 及前n 项和公式
11()(1)
22
n n n a a n n S na d +?=
=+
，共涉及五个量1a ，n a ，d,n, n S ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；
2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而1a 和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。
注：因为
11(1)2
22n S d d d
n a a n n =+?=+?，故数列{n S n }是等差数列。
※例题解析※
〖例〗已知数列{n x }的首项1x =3，通项2(,,)n n x p nq n N p q ?=+∈为常数，且1x ，4x ，
5x 成等差数列。求：
（1）,p q 的值；
（2）数列{n x }的前n 项和n S 的公式。
思路解析：（1）由1x =3与1x ，4x ，5x 成等差数列列出方程组即可求出,p q ；（2）通过n x 利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
解答：（1）由1x =3得23p q +=……………………………………① 又
4545154
24,25,2x p q x p q x x x =+=++=且，得
5532528p q p q ++=+…………………②
由①②联立得1,1p q ==。 （2）由（1）得2n n n x +=，
（三）等差数列的性质 ※相关链接※
1、等差数列的单调性：
等差数列公差为d，若d>0,则数列递增；若d<0,则数列递减；若d=0,则数列为常数列。 2、等差数列的简单性质：
已知数列{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和。
（1）若m+n=p+q,则m n p q a a a a +=+,特别：若m+n=2p，则2m n p a a a +=。 （2）23,,,,m m k m k m k a a a a +++L 仍是等差数列，公差为kd; （3）数列232,,,m m m m m S S S S S L --也是等差数列； （4）1(21)n n S n a ?=?；
（5）若n 为偶数，则2
n
S S d ?=
偶 奇；若n 为奇数，则S S a ?=偶 奇中
（中间项）； （6）数列{}{}{},,n n n n c a c a pa qb ++g 也是等差数列，其中c p q 、、均为常数，是{
}n b 等差数列。 3、等差数列的最值：
若{
}n a 是等差数列，求前n 项和的最值时， （1）若a 1>0,d>0,且满足1
0n n a a +≥??
≤?，前n 项和n S 最大；
（2）若a 1<0,d>0，且满足1
0n n a a +≤??≥?，前n 项和n S 最小；
（3）除上面方法外，还可将{
}n a 的前n 项和的最值问题看作n S 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意n N ?∈。
※例题解析※
〖例1〗在等差数列{
}n a 中，161718936a a a a ++==?，其前n 项和为n S 。 （1）求n S 的最小值，并求出n S 取最小值时n 的值； （2）求12n n T a a a =++L 。
思路解析：（1）可由已知条件，求出a 1,d,利用10
n n a a +≥??≤?求解，亦可用n S 利用二次函
数求最值；
（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。
解答：（1）设等差数列{
}n a 的首项为1a ，公差为d ，∵ 179
1617181717336,12,3,179
a a a a a a a d ?++==?∴=?∴=
=?91(9)363,360n n a a n d n a n +∴=+?=?=? ，令1
3630
,:2021,3600n n a n n a n +=?≤?≤≤?
=?≥?得 202120[60(3)]
6302
S S ×?+?∴==
=?，∴当n=20或21时，n S 最小且最小值为-630.
（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。
∴2(60363)3123
21.222
n n n n n S n n ?+?≤=?=?
=?+当时，T
2212122(60363)3123
21221260.
222
3123
(21)
22
.
31231260(21)
22
n n n n n n T S S S n n n n n T n n n ?+?>=?=
?=?+??+≤??=?
??+>??当时，综上，
〖例2〗已知数列{
}n a 是等差数列。 （1）若,(),;m n m n a n a m m n a +==≠求 （2）若,(),.m n m n S n S m m n S +==>求
思路解析：（1）由通项公式或前n 项和公式得1a 和d 的关系，通过解方程组求得1a 和d ，进而求得m n a +和m n S +。（2）利用等差数列数列的性质可使问题简化。
解答：设首项为1a ，公差为d ， （1）方法一：由,m n a n a m ==，得11(1),(1)a m d n
a n d m
+?=??
+?=?解得11, 1.a m n d =+?=?
1(1)1(1)0.m n a a m n d m n m n +∴=++?=+??+?=
方法二：由,m n a n a m ==，1n m
d m n
?=
=?? ∴()(1)0.m n m a a m n m d n n +=++?=+×?=
（2）方法一：由已知可得11
(1)2,(1)2n n m na d m m n ma d ??
=+?????=+??解得221.2()n m mn m n a mn m n d mn ?++??=???
?+?=??
1()(1)
()()2
m n m n m n S m n a d m n +++?∴=++
=?+
方法二：∵{
}n a 是等差数列，∴可设2
.n S An Bn =+则2
2Am Bn n
An Bm m
?+=??+=??①②
①-②得
222()(),,()1,()()()
m n A m n B m n n m m n A m n B S A m n B m n m n +?+?=?≠∴++=?∴=+++=?+Q
方法三：
=
∴
注：（1）灵活运用性质，求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；
（2）在应用性质：若则时，首先要找到项数和相
等的条件，然后根据需要求解，解决此类问题要有整体代换的意识。
（四）等差数列的综合应用
〖例〗已知{}n a是正数组成的数列，11
a=，
且点
1
)
n
a
+
（n N?
∈）在函数y=x2+1
的图象上。
（1） 求数列{}n a的通项公式；
（2） 若数列{}n b满足b1=1,b n+1=b n+2n a,求证：2
21
n n n
b b b
++
<
。
思路解析：（1）利用点在函数图象上代入即可得
n
a与
1
n
a
+
的关系，易求得
n
a；（2）
可先求
n
b，利用累加法或迭代法求得，而后作差比较即可，也可不用求
n
b而直接利用已知
关系式迭代求证即可。
解答：方法一：（1）由已知得
1
1
n n
a a
+
=+，即
1
1
n n
a a
+
?=，又
1
1
a=，所以数列{}n a
是以1为首项，公差为1的等差数列。故
n
a=1+（n-1）×1=n.
（3） 由（1）知：
n
a= n，从而
1
2n
n n
b b
+
?=，
12
112211
12
()()()222121
12
n
n n n
n n n n n
b b b b b b b b??
???
?
=?+?+?+=++++==?
?
L L。
2212222221 21
2
21
(21)(21)(21)(2221)(2221)20,
.
n n n n n n n n n n n n
n n n
b b b
b b b
++++++ ++
++
?=????=??+??+=?<
<
因为
所以
方法二：（1）同方法一；
（2）因为
1
1,
b=
21211
2111111
11
11
(2)(2)2222
2(2)2(22)2(2)2(2)20
n n n n n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n n
n n n
b b b b b b b b
b b b b
+++
+++++++
++
+
?=?+?=??
=?=+?=?==?=?<
L
，所
以221n n n b b b ++<
注：数列志函数、不等式、解析几何结合命题是高考考查的热点，以函数为载体，求解数列问题时要看清它们之间的关系，灵活应用它们是关键，在证明数列中不等问题时，要弄清题意，灵活采用证明不等式的常用方法，本例采用了求差比较法，也是高考常考方法之一，可适当变形以解决它们。
三、等比数列及其前n 项和 （一）等比数列的判定 ※相关链接※
等比数列的判定方法有： （1）定义法：若
11
()()n n n n a a
q q q q a a +?==≥为非零常数或为非零常数且n 2，则{}n a 是等比数列；
（2）中项公式法：若数列{}n a 中，2
1
20()n n n n a a a a n N ?++≠=∈ 且，则数列{}n a 是
等比数列；
（3）通项公式法：若数列通项公式可写成(,0)n n a cq c q n N ?=∈均为不为的常数，，则数列{}n a 是等比数列；
（4）前
n
项和公式法：若数列
{}
n a 的前n 项和
(0,0,1)n n S k q k k k q =?≠≠ 为常数且，则数列{}n a 是等比数列；
注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
※例题解析※
〖例〗在数列{}n a 中，112,431,n n a a a n n N +==?+∈?。 （1） 证明数列{}n a n ?是等比数列； （2） 求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（3） 证明不等式14n n S S +≤对任意n N ?∈皆成立。
思路解析：证明一个数列是等比数列常用定义法，即
1
n n
a q a +=，对于本例（1）适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明。
解答：（1）由题设1431,n n a a n +=?+得1(1)4(),n n a n a n n N ?+?+=?∈。又111,a ?=所以数列{}n a n ?是首项为1，且公比为4的等比数列。
（2）由（1）可知1
4
n n a n ??=，于是数列{}n a 的通项公式为1
4
n n a n ?=+。所以数列
{}n a 的前n 项和141(1)
32
n n n n S +?+=+。 （3）对任意的n N ?∈，
12141(1)(2)41(1)1
44[](34)032322
n n n n n n n n S S n n ++?++?+?=+?+=?+?≤，所
以不等式14n n S S +≤对任意n N ?∈皆成立。
（二）等比数列的的运算 ※相关链接※
等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量1a ，n ，q ，n a ，
n S ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解。解决此类问题的关
键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。
注：在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式。
※例题解析※
〖例〗设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n b =2-2n S ；数列{}n a 为等差数列，且
6714,20a a ==。
（1） 求数列{}n b 的通项公式；
（2） 若()n n n c a b n N ?=∈ ，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：7
2
n T <。 思路解析：（1）
得结论；
（2）放缩得结论。
解答：（1）由n b =2-2n S ，得1122b S =?，又1S =1b ，所以1b =
2
3
，由n b =2-2n S ……………………①
得1122n n b S ++=?……………………………………………………②
②-①得112n n n b b b ++?=?，∴
，∴{}n b 是以
2
3
为首项，以13为公比的等比数列，所以n b =23·1
(3
n 。
（2）∵{}n a 为等差数列，∴75
375
a a d ?==?，
∴从而
∴231
1112[25()8()(31)(]3333
n n T n =++++? L ………………………………③ ∴23411111112[2()5()8()(34)()(31)(]333333
n n n T n n +=++++?+? L …………………④ ③-④得
=
∴
∴
（三）等比数列性质的应用 ※相关链接※
在等比数列中常用的性质主要有：
（1）对于任意的正整数若，则
特别地，若
；
（2）对于任意正整数
有
；
（3）若数列{}n a 是等比数列，则{}{}{}2
1(
0),,n n n n ca c a a a ??≠????
也是等比数列，若{}n b 是等比数列，则{}n n a b 也是等比数列；
（4）数列仍成等比数列； （5）数列
是等比数列（q≠-1）；
（6）等比数列的单调性
注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。 ※例题解析※
〖例〗已知等比数列前n 项的和为2，其后2n 的和为12，求再往后3n 项的和。 思路解析：由已知条件，根据前n 项和公式列出关于首项1a 和公比q 及n 的两个方程，应能解出1a 和q 关于n 的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，若采用整体处理的思想，问题就会变得简单，也可采用等比数列的性质问题简化。
解答：方法一：利用等比数列的性质。由已知122n a a a +++=L ，
1222122312n n n n n n a a a a a a ++++++++++=L L .注意到
12122212233132334(),(),(),(),n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++++++L L L L L
也成等比数列,其公比为n
q ,于是,问题转化为已知:
234522111111111345111323312,12,2,12,60231122714.378
3n n n n n n n n n n n n n n
n
n n
n n n n
A A q A q A q A q A q A A q A q q q q q A q A q A q q A q q q q q q =+=+=+=+?===?+?=?=+==??=??? 要求+的值,由得，则或，由+（1+）=2
方法二:利用求和公式. 如
果
公
比
q=1,
则
由
于
122
n a a a +++=L ,可知
122212234n n n n n n a a a a a a ++++++++++=L L ,与条件不符,∴q ≠1,由求和公式,得
1(1)
21n a q q
?=?…………………………………………①
又
21(1)
121n n a q q q
?=?……………………………………………………………………② ②式除以①式得2(1)6,6,23n
n
n
n n n q q q q q q +=∴+===?解得或，又再往后3n 项
的
和
为
331(1)1n n a q q S q
?=?………………………………………………………………………………③
③式除以①式得3231122(1),142378
3n
n n n n
n
q S q q q S q q ?=?=++∴==??=???。 【感悟高考真题】
1.（2010浙江理数）（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5
2
S S = （A）11 （B）5 （C）8? （D）11?
解析：解析：通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为083
22=+q a a ，解得q =-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n 项和公式，属中档题
2.（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么
127...a a a +++=
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35 【答案】C
【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()
312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=
==L
3.
（2010辽宁理数）（6）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S
为其前n 项和。已知a 2a 4=1,
37
S =,则
5S =
（A）152 (B)314 (C)334 (D)172
【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n 项和公式，考查了同学们解决问题的能力。
【解析】由a 2a 4=1可得
2411
a q =，因此
121
a q =
，又因为2
31(1)7S a q q =++=，联力两式有11(3)(2)0
q
q +?=，所以q=12,所以5
514(1)3121412S ??
==?，故选B。
4. （2010辽宁文数）（14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若36324S S ==，，则
9a = 。
解析：填15. 3161
32332
656242
S a d S a d ×?
=+=???×?=+=??,解得112a d =???=?，91815.a a d ∴=+=
5. （2010天津文数）（15）设{a n
}是等比数列，公比q =
，S n 为{a n }的前n 项和。记
*21
17,.
n n
n n S S T n N a +?=
∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = 。
【答案】4
【解析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
2015年01月12日1760430779的高中数学组卷 一．选择题（共30小题） 1．（2015?河南二模）已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（） A．138 B．135 C．95 D．23 2．（2015?惠州模拟）已知等差数列a n的前n项和为S n，若a3=18﹣a6，则S8=（） A．18 B．36 C．54 D．72 3．（2015?南充一模）递增等差数列{a n}中，若a1+a9=0，则S n取最小值时n等于（） A．4B．5C．6D．4或5 4．（2015?南充一模）在△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若内角A、B、C依次成等差数列，且a和c是﹣x2+6x﹣8=0的两根，则S△ABC=（） A．B．C．D． 5．（2014?邯郸一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，S 5=3（a2+a8），则的值为（） C．D． A．B． 6．（2014?陕西模拟）已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为210，则此等差数列共有（） A．8项B．7项C．6项D．5项 7．（2014?杭州一模）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（）A．6B．7C．8D．9 8．（2014?安徽模拟）设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=S21，a k=0，则k=（） A．14 B．15 C．16 D．21 9．（2014?宜春模拟）已知数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2（n∈N+），则a3+a6+a9+a12+a15=（） A．120 B．125 C．130 D．135 10．（2014?衡阳模拟）等差数列{1﹣3n}，公差d=（） A．1B．3C．﹣3 D．n 11．（2014?保定二模）已知数列{a n}中，a1=25，4a n+1=4a n﹣7（n∈N*），若其前n项和为S n，则S n的最大值为（）A．15 B．750 C．D．
一、等差数列选择题 1．已知{}n a 是公差为2的等差数列，前5项和525S =，若215m a =，则m =（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 4．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（ ） A ．72 B ．90 C ．36 D ．45 5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 6．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121 B ．161 C ．141 D ．151 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11 2 a = ，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ?? ???? 的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．21 4 a =- B ． 648 211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为 712 D ．1121 n n n n n T T T n n +-= ++ 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）
高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n；
1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式
6 数列 一．基础题组 1. 【2014全国2，文5】等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2010全国2，文6】如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．35 【答案】： C 【解析】∵{a n }为等差数列，a 3＋a 4＋a 5＝12，∴a 4＝4. ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ＝7a 4＝28. 3. 【2006全国2，文6】已知等差数列中，，则前10项的和＝( ) （A ）100 (B)210 (C)380 (D)400 【答案】B 【解析】依题意可知：，，解得：， ∴. 4.【2005全国2，文7】如果数列是等差数列，则（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】∵数列是等差数列，∴， ∴. 5. 【2012全国新课标，文14】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝__________． 【答案】：－2 【解析】：由S 3=－3S 2，可得a 1+a 2+a 3=－3(a 1+a 2)， 即a 1(1+q +q 2 )=－3a 1(1+q )， {}n a 248,,a a a {}n a n S =(1)n n +(1)n n -(1)2n n +(1) 2 n n -177() 2 a a +{}n a 247,15a a ==10S 217a a d =+=41315a a d =+=14,3d a ==101109109 1030421022 S a d ??=+ =+?={}n a 1845a a a a +<+1845a a a a +=+1845a a a a +>+1845a a a a ={}n a m n p q m n p q a a a a +=+?+=+1845a a a a +=+
等差数列 【巩固练习】 1．已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－ C. D. 2 2.已知等差数列{}n a 的前3项依次为1a -，1a +，23a +，则通项公式n a =（ ）. A. 25n - B. 23n - C. 21n - D. 21n + 3．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 5．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 6.已知等差数列{a n }满足：a 3a 7=-12，a 4+a 6=-4，则通项公式a n =________. 7.已知等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，且m n ≠，则m n a +=__________. 8.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差的取值范围是__________. 9.等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，则369a a a ++=_________. 10．首项为21的等差数列，从第10项开始为负数，则公差的取值范围是__________. 11．等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________。 12．等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______。 13．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且13k a =,则k =_________。 14．三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，那么原三数为什么？ {}n a 7a 4a 3a 1212
课题：等差数列（高三文科数学第一轮复习） 开课时间：20XX 年10月 18 日 授课班级：高三（4）班 主讲教师: 张文雅 [教学目标] 1、 知识目标：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能运用 等差数列的性质解决有关问题。 2、 能力目标：培养学生观察能力、探究能力、体现用方程的数学思想方法分析问题、解 决问题的能力。 3、 情感目标：通过等差数列公式的应用，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于思考、善于思考的品质。 [重点]：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式 [难点]：理解并掌握等差数列的有关性质及应用。 [教学方法]:类比式、 探究式、讨论式、合作式。 [教学过程]： 知识梳理： 一、等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则该数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 用式子可表示为 二、等差数列的公式： 2、等差数列的前n 项和公式： 三、等差中项： 巩固练习： {}17611,35)5(S S S n a S n n 求项和，且的前是等差数列已知+= 四、判定与证明方法： ) ,2(1*-∈≥=-N n n d a a n n d m n a a m n )(-+=推广：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=,的等差中项与叫做成等差数列，那么、、如果b a A b A a b a A +=2且为同一常数；的任意自然数，证明定义法：对于12)1(--≥n n a a n )2,(1 ≥∈=-*-n N n d a a n n 即：d n a a n )1(11-+=：、等差数列的通项公式)(*∈N m n 、{}670669668667,20053,1)1(1、、、、）等于（则序号的等差数列，如果公差为是首项D C B A n a d a a n n ==={}614515,70,102a a a a n 求中）等差数列（=={}11128,168,48,)3(a S S S n a n n 求若项和为的前等差数列=={}725,32554a a S a n 求且项和的前）若等差数列（==的思想解决问题。 外两个，体现了用方程，知其中三个就能求另、、、、共涉及五个量及注：n n n n n S a n d a d n n na a a n S d n a a 11112)1(2)()1(-+=+=-+=
1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1) 2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】 等差数列的四种判断方法
一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ． 47 B ． 1629 C ． 815 D ． 45 2．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 4．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 5．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8 B ．13 C ．26 D ．162 6．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29 B ．38 C ．40 D ．58 7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11 B ．12 C ．23 D ．24 8．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12 15 a b =（ ） A ． 3 2 B ． 7059 C ． 7159 D ．85 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<
课时跟踪检测（三十二） 等差数列及其前n 项和 [A 级 基础题——基稳才能楼高] 1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，a 5＝5，则S 7的值是( ) A ．30 B ．29 C ．28 D ．27 解析：选C 由题意，设等差数列的公差为d ，则d ＝a 5－a 3 5－3 ＝1，故a 4＝a 3＋d ＝4，所以S 7＝ 7(a 1＋a 7)2＝7×2a 4 2 ＝7×4＝28.故选C. 2．(2019·北京丰台区模拟)数列{2n －1}的前10项的和是( ) A ．120 B ．110 C ．100 D ．10 解析：选C ∵数列{2n －1}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴S 10＝(a 1＋a 10)×10 2 ＝(1＋19)×102 ＝100.故选C. 3．(2019·豫北重点中学联考)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，则a 4等于( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：选D 因为a 1＝1，a n ＋1＝a n －1，所以数列{a n }为等差数列，公差d 为－1，所以a 4＝a 1＋3d ＝1－3＝－2，故选D. 4．(2019·张掖质检)设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析：选C ∵{a n }是等差数列，∴2a 4－a 6＝a 4－2d ＝a 2＝7，∵a 1a 2＝35，∴a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1＝2，故选C. 5．(2019·南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10 ＋a 11的值为( ) A ．20 B ．40 C ．60 D ．80 解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得??? S 5 ＝5a 1 ＋5×4 2 d ＝50，S 10 ＝10a 1 ＋10×9 2 d ＝200，即
等差数列及其前n项和 突破点一等差数列的基本运算 1.理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题． 4.了解等差数列与一次函数的关系 [基本知识] 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b 2，其中A叫做a，b的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d. (2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1) 2d＝ n(a1＋a n) 2. [基本能力] 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．() (2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.() (3)等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．() (4)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．() 答案：(1)×(2)√(3)√(4)√ 二、填空题 1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________． 答案：3 2．在等差数列{a n}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________． 答案：14 3．已知{a n}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________． 答案：4 4．在等差数列{a n}中，已知d＝2，S100＝10 000，则S n＝________. 答案：n2 [典例感悟] 1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝() A．－12B．－10
等差数列 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可 得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1） 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（ ） 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ， 奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇 等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ， 等于（ ）
高考文科数学数列高考 题 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
数列专题复习 一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = ( ) A. 2 1 B. 2 2 C. 2 2.（安徽卷）已知 为等差数列， ， 则 等于 A. -1 B. 1 C. 3 3.（江西卷）公差不为零的等差数列 {}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等 比中项, 832S =,则10S 等于( ) A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4（湖南卷）设n S 是等差数列{}n a 的前 n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等 于【 】 A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 5.（辽宁卷）已知{}n a 为等差数列，且 7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ ( ) （A ）－2 （B ）－12 （C ）12 （D ）2 6.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等 比中项，则数列的前10项之和是 ( ) A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7.（湖北卷）设,R x ∈记不超过x 的最大 整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则 {215+}，[215+],215+ ( ) A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.（湖北卷）古 希腊人常用小石 子在沙滩上摆成
【学习目标】 1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的递推公式、通项公式及运用。 2.掌握等差数列的性质，能灵活运用等差数列的性质解决问题。 3.掌握等差数列前n 项和公式及其应用，能灵活应用等差数列前n 项和的性质解题。 4会求等差数列前n 项和的最值。 【知识要点】 1.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 2.递推公式：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)。 3.通项公式：以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 。 4.等差数列通项公式可以看作特殊的一次函数，a n ＝nd ＋(a 1－d )，一次项系数为d 。 5.等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，满足的关系式是 a ＋ b ＝2A . 6.常用性质： （1）n m a a d n m --= （2）{a n }是等差数列，若正整数m ，n ，p ，q 满足m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 。特别地，当m ＋n ＝2k (m ， n ，k ∈N ＋)时，a m ＋a n ＝2a k . （3）等差数列{a n }中，若序号成等差数列，那么对应项也成等差数列。 7.等差数列前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 S n ＝na 1＋ n n － 2 d 8.等差数列前n 项和性质： （1）等差数列中，S k ，S 2k -S k ，S 3k -S 2k 成等差数列。 （2）若{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝ S 2n －1 T 2n －1 。 9.等差数列前n 项和公式是特殊的二次函数，因此可以利用此特征求前n 项和的最值。
高考文科数学数列复习 题有答案 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
高考文科数学数列复习题 一、选择题 1．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 2．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（ ） A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a 、3a 、4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．－10 4.在等差数列{}n a 中,已知11253,4,33,n a a a a n =+==则为( ) 5．在等比数列{n a }中，2a ＝8，6a ＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 ,a,b,c,-9成等比数列，那么（ ） A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=- 7．数列{}n a 满足11,(2),n n n a a a n n a -=+≥=则（ ） A ．(1)2n n + B. (1)2n n - C. (2)(1)2 n n ++ D. (1)(1)2n n -+
8．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2- 9．在等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为n S ，若数列{}1n a +也是等比数列，则n S 等于（ ） A ．122n +- B ．3n C ．2n D ．31n - 10．设4710310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n 等于 （ ） A ．2(81)7 n - B ．12(81)7 n +- C ．32 (81)7 n +- D ．42 (81)7 n +- 二、填空题（5分×4=20分） 11.已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ． 12．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119 a =，则36a = 13．数列｛a n ｝中，若a 1=1，2a n +1=2a n +3 （n ≥1），则该数列的通项 a n = . 14．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，将 数列{}n a 中的各项排成如图所示的一个三角形数表，记
一、等差数列选择题 1．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列 {}n a ，已知11a =，2 2a =，且满足()211+-=+-n n n a a （n *∈N ），则该医院30天入 院治疗流感的共有（ ）人 A ．225 B ．255 C ．365 D ．465 2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 4．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4 C ．a 5＝2 D ．a 6＝2 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ≥，下列四个命题：①公差d 的最大值为2-；②70S <；③记n S 的最大值为M ，则M 的最大值为30；④20192020a a >.其真命题的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 6．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且1109a a a +=，则 129 10 a a a a ++???+=（ ） A ． 278 B ． 52 C ．3 D ．4 7．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 10．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55 11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等
《再探等差数列》 一、教学目标 1.知识与技能：掌握等差数列的定义及相关性质、前n 项和公式及相关性质. 2.过程与方法：通过典型例题讲解引导学生回顾等差数列的通项公式、前n 项和公式及相关性质，通过课堂练习和巩固练习提高学生对知识的综合应用能力，通过归纳总结使学生构建等差数列知识网络. 3.情感态度与价值观：通过提出有指向性的问题，培养学生独立思考的习惯和发散思维，通过学生课堂的即时训练和归纳小结，培养对知识的应用意识和观察归纳的能力，通过让学生在课堂上获得成功体验，培养学生学习数学的兴趣. 二、教学重难点 重点：等差数列的通项公式、前n 项和公式及相关性质的理解. 难点：等差数列的通项公式、前n 项和公式及相关性质的应用. 三、教学策略分析 本节课采用了讲练结合的教学策略：教师讲解例题→学生反馈练习→点评→学生巩固提高→点评→学生归纳总结→学生完成课后作业，以学生为本，关注学生的发展.在学生解题的过程中引导他们对等差数列的知识进行整理和深入思考、提高运用知识的能力.设计能够激发学生发散思维的练习题，使学生在掌握方程的基本方法的同时，能够结合等差数列的性质提高解题效率，力求使各层次的学生都有所提高. 四、教学过程 (一)梳理梳理 1、等差数列的定义及相关性质 2、等差数列前n 项和公式及相关性质 (二)共同研讨 例：已知等差数列{a n }的前9项和为-45，a 10＝15. (1)求a 100的值； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ； (3)当n 取何值时， S n 取得最小值； (4)证明：数列n S n ??????为等差数列; (三)课堂练习 1．在等差数列{a n }中a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5 = . 2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＋a 2 ＋a 3 ＝3， a 48＋a 49 ＋a 50 ＝426，求S 50. (四)巩固训练 1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9= . 2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2014，S 20142014－S 20082008 ＝6，则S 2018＝______. (五)归纳小结 1、等差数列的定义和性质 2、等差数列的前n 项和及其性质
高考数学-等差数列典型例题 【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？ 解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98． 代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有 98＝7＋(n －1)·7 解得n ＝14 答 100以内有14个能被7整除的自然数． 【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列． 解 设这五个数组成的等差数列为{a n } 由已知：a 1＝－1，a 5＝7 ∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2 所求数列为：－1，1，3，5，7． 【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间1 2 插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项． 解 d =312 (5) d =d =3 4原数列的公差－＝，所以新数列的公差′ ，期通项为 --3 21 2 a n n n n =-+-=--53413423 4 234 ()即 a =34n 【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N 令，则＝－＝为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ?-43 3m 得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)． 则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3 ∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
一、等差数列选择题 1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48 B ．60 C ．72 D ．24 2．设数列{}n a 的前n 项和2 1n S n =+. 则8a 的值为（ ）． A ．65 B ．16 C ．15 D ．14 3．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 4．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S B ．5S C ． 6S D ． 7S 5．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2 15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ） A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．9 6．已知数列{}n a 中，132a = ，且满足()* 1112,22 n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有 n a n λ ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 7．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ． 43 C ．4 D ．4- 8．在数列{}n a 中，129a =-，() * 13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a ++ +=（ ） A ．10 B ．145 C ．300 D ．320 9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21S B ．20S C ．19S D ．18S 11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ）