柯西不等式的证明及相关应用 摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（Cauchy ）不等式： ()2 2211n n b a b a b a +++Λ()()2 222122221n n b b b a a a ++++++≤ΛΛ()n i R b a i i Λ2,1,,=∈ 等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1 证明：构造二次函数 ()()()2 2 222 11)(n n b x a b x a b x a x f ++++++=Λ =()()() 2 222122112222212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知 ()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L ()()() 0442 2221222212 2211≤++++++-+++=?∴n n n n b b b a a a b a b a b a ΛΛΛ 即()()() 22221222212 2211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+ 即12 12n n a a a b b b ===L 时等号成立 方法2 证明:数学归纳法 （1） 当1n =时 左式=()211a b 右式=()2 11a b 显然 左式=右式 当2=n 时 右式 ( )()()()2 2 22 22222212 1211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++ ()()()2 22 1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式 故1,2n =时 不等式成立 （2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()() 22 221222212 2211k k k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当 i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1= 或120k a a a ====L 时等号成立 设A=22221k a a a +++Λ B=2 2221k b b b +++Λ 1122k k C a b a b a b =+++L 2 C AB ≥∴
利用基本不等式求最值的技巧 在运用基本不等式ab b a 222≥+与2b a ab +≤ 或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数 【例1】已知2 30<
【解】由于2>x ,所以, 3124)2(2124)2(2)2(3)22(26322=+-?-≥+-+-=---+-=-+-=x x x x x x x x x x y 当且仅当2 42-=-x x 即4=x 时，3min =y . 4:巧用”1”代换 【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求y x 21+的最小值. 【解】注意到844244)21()2(21=+?≥++=+?+=+x y y x x y y x y x y x y x ,当且仅当x y y x =4即2 1,41==y x 时，8)21(min =+y x . 一般地有,2)())((bd ac y d x c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求z y x 941++的最小值. 【解】注意到y z z y x z z x x y y x z y x z y x z y x 499414)941()(941++++++=++?++=++ 36492924214=?+?+?+≥y z z y x z z x x y y x ,当且仅当x y y x =4,x z z x =9,y z z y 49=即2 1,31,61===z y x 时，36)941(min =++z y x . 5:换元 【例6】已知c b a >>,求c b c a b a c a w --+--=的最小值. 【解】设c b y b a x -=-=,,则c a y x -=+,y x ,都是正数,所以42≥++=+++=x y y x y y x x y x w ,当且仅当x y y x =即b c a 2=+时，
如何进行柯西不等式的教学 柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用. 在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式. 由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的. 柯西不等式∑∑∑===≥n i i i n i i n i i b a b a 1 21 2 1 2 )(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数” 问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥?不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式
高三理应培优 （用均值不等式求最值的类型及解题技巧） 均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b ab +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞- ，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,]b a ，[,0)b a -. 三、用均值不等式求最值的常见类型与解题技巧 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+ >-的最小值。 （技巧1：凑项）解：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- x a b ab 2-ab 2a b - o y
利用基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,]b a -∞，[,)b a +∞；单调递减区间：(0,b a ，[,0)b a . 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1)y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 3 2 111 31 222(1)x x x --≥??-312≥+52=， 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 30,3202 x x <<->∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=2x arc = “=”号成立，故 23 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤
均值不等式求最值的方法 均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=” 号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧 1、求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+>-的最小值。 解析： 21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- 1 ≥312≥+52=，当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 2、求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析： ①30,3202x x <<->∴，∴23 (32)(0)(32)2 y x x x x x x =-<<=??-
1 利用基本不等式求最值的类型及方法 1 解析：y x 2(x 1) (x 2(x 1) 1) 芳 1(x 1) -1 ?」1(x 1) 2 2 2(x 1) 、几个重要的基本不等式: ① a 2 b 2 2ab a 2 b 2 ab （a 、b R ）,当且仅当a = b 时，"=”号成立; 2 1 2 2(x 1) ② a b 2 ab 2 a b ab （a 、b R ），当且仅当a = b 时，“=”号成立; 2 当且仅当 1)即x 2时，“ 5 ”号成立，故此函数最小值是 -。 2 ③ a 3 b 3 c 3 3abc 3 abc ― b 3 3 3 c ( (a 、 立； ④ a b c 3v abc abc a b 3 c (a abc 3 a 、 b 、 c R ），当且仅当a = b = c 时，“=”号成 b 、 c R ）,当且仅当a = b = c 时，“=”号 成立? 注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一 “正”、二“定”、三“等”； 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型n ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①y x 2 (3 2x)(0 x 2 ② y sin xcosx(0 x ) 2 ② 熟悉一个重要的不等式链: b 2 2 解析：①Q 0 x - ,? 3 2 2x ?- y 当且仅当 (3 2x)(0 x 3 2x 即 x ,?? sin x 2 3 x x (3 2x) 3 )x x (3 2x) [ ] 1 , 2 3 1时，“=”号成立，故此函数最大值是 1 。 0,cos x 0，则y 0 ,欲求y 的最大值，可先求y 2的最大值。 二、函数 f(x) ax X b 0）图象及性质 （1）函数 f(x) ax b a 、 X b 0图象如图： ⑵函数 f(x) ax b a 、 X b 0性质： ①值域：（ J 2 ab] [2 一ab,)； ②单调递增区间：（ 2 . 4 2 y sin x cos x 当且仅当 故此函数最大值是 sin 2 x sin 2 x coSx 1 2 2 2 (sin x sin x 2cosx) 2 1 sin 2 x sin 2x 2co^ x 3 4 「 -------- —) 刃 .2 sin x 2cos x (0 tan x 2，即 x arctan^^ 时“=”号成立, ）;单调递减区间: b ], a ，［ (0, ,0) ? 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型川：用均值不等式求最值等号不成立。 4 x — x 例 3、若 x 、y R ，求 f （x ） （0 x 1）的最小 值。 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型I ：求几个正数和的最小值。 解法一：（单调性法）由函数 f(x) K ax - （a 、b 0）图象及性质知，当 x （0,1］时，函数 x 例1、求函数y 1 x 2^（x 1） 的最小值。 f （x ） x -是减函数。证明: x 任取 X 2 (0,1]且 0 禺 X 2 1，则 f(xj f(X 2) (X 1 X 2) (— —) (X 1 X 2)4 匹 为 (X 1 X 2)4 , x-1 X 2 X !X 2 X 1X 2
上海中学数学2014年第3期 柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明 柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。1‘是基本 百鬲、百7 而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。6，+口：6：+a。63)2揭示了任意两组数组即(n。，n。，n。)、(6，，6。，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。，以。)、(6。，6：，6。)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略． 1一次与二次 例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2， 可知n。+462+9c。≥婺一12，即最小值为12． 例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——． 解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而． 例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得 [4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2 号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2 ≥一5≤z+y+z一2≤5． ．‘．一3≤T+y+z≤7． 故T+y+z之最大值为7，最小值为一3． 评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效． 2整式与分式 2．1两组数组对应的数分别为倒数型 例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]． (1)求m的值； (2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9． 解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m， 由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)， 又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1． (2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R， 由柯西不等式得 Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐 评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。)与分式类型(署，昙，去)(其中夕，q，，一为常数)，其实属于对勾函数的范畴，运用均值不等式也能完成，但不如柯西不等式简洁、方便．2．2分式中分子的次数高于分母型 例5(2009浙江高考)已知正数T，y，2，z+y 忙1．掘彘+毫+彘≥专． V十Z Z z十Z．r．r十二V0证法1：利用柯西不等式 (惫+矗+南)№他川z+ 2．十r)+(z+2v)]≥(．r+v+z)2．
利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典） 一．基本不等式的常用变形 1.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”） 2.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时， 可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧： 技巧一：直接求： 例1 已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 ________。 解：因为x >0，y>0 ，所以 34x y +≥=当且仅当34x y =，即x=6，y=8时取等 号) 1， 3.xy ∴≤，故xy 的最大值3. 变式：若44log log 2x y +=，求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解：∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二：配凑项求 例2：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。
柯西不等式的证明及相关应用 摘要 ：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增容， 也是高中数学的一个重要知识点， 它不仅历史悠久， 形式优美， 结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。 关键词 ：柯西不等式 柯西不等式变形式 最值 一、柯西（ Cauchy ）不等式： a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n 2 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 a i ,b i R, i 1,2 n 等号当且仅当 a 1 a 2 a n 0 或 b i ka i 时成立（ k 为常数， i 1,2 n ） 现将它的证明介绍如下： 方法 1 证明：构造二次函数 f ( x) a x b 2 a x b 2 a x b 2 1 1 2 2 n n = a 12 a 22 a n 2 x 2 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n x b 12 b 22 b n 2 由构造知 f x 0 恒成立 又 Q a 12 a 22 L a n n 4 a 1b 1 a 2 b 2 a n b n 2 4 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 即 a 1b 1 a 2 b 2 a n b n 2 a 12 a 22 a n 2 b 12 b 22 b n 2 当且仅当 a i x b i 0 i 1,2 n 即 a 1 a 2 L a n 时等号成立 b 1 b 2 b n 方法 2 证明 :数学归纳法 （ 1） 当 n 1 时 左式 = a 1b 1 2 2 右式 = a 1 b 1 显然 左式 =右式 当 n 2 时 a 12 a 22 b 12 b 22 a 1 b 1 2 a 2 b 2 2 a 12 b 22 右式 a 22 b 12 2 2 2a a bb 2 左式 a b a b 2 a b a b 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 故 n 1,2时 不等式成立 （ 2）假设 n k k, k 2 时，不等式成立 即 a 1b 1 a 2 b 2 a k b k 2 a 12 a 22 a k 2 b 12 b 22 b k 2 当 b i ma i ， m 为常数， i 1,2 k 或 a 1 a 2 L a k 0 时等号成立 设 A= a 12 a 22 a k 2 B= b 12 b 22 b k 2 C a 1b 1 a 2b 2 L a k b k AB C 2
用均值不等式求最值的方法和技巧 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 2 2 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 33 3 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④) (333 3 +∈? ? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112+ 2a b ab +≤≤≤ 2 2 2 b a +。 一、拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。 (2) 已知01x <<，求函数3 2 1y x x x =--++的最大值。 解：()()()()()()2 22 111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327 x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ??? 。
当且仅当1 12x x +=-，即13 x =时，上式取“=”。故max 3227 y = 。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解： y ==。 因 ()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? ， 当且仅当 ()2 212 x x =-，即3x =时，上式 取“ =”。故max 9 y = 。 评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<，求函数()2 64y x x =-的最大值。 解：()()()2 2 2 22 2 2 36418244y x x x x x =-=?-- ()()3 2223 24418818327x x x ??+-+-?? ?≤=???? 。 当且仅当()2 2 24x x = -，即3x =时，上 式取“=”。
毕业论文开题报告 数学与应用数学 Cauchy 不等式的等价形式及其应用 一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势） 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式在数学的各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 从收集到的文献中发现国内外对柯西不等式的研究进展主要有对柯西不等式的证明，推广，以及对柯西不等式的应用举例。 二、相关研究的最新成果及动态 柯西不等式的证明主要可以从配方法、数学归纳法、?判别法、向量内积法等一些常规的方法加以证明。下面就用其中一种方法加以简单地证明。 柯西不等式：设n n b b b a a a ,,,,,,,2121ΛΛΛΛ均为实数则 ()()()22221222212332211b n n n b b b a a a b a b a b a b a ++++++≤++++ΛΛΛΛΛΛ 当且仅当i i kb a =时（其中k 为常数，n i Λ3,2,1=）等号成立。 证明：利用配方法证明 ,,,A 11212∑∑∑======n i i i n i i n i i b a C b B a 只需证明.2 B C A ≥由均值不等式有 .2;;2;22222222222221121222 1 n n n n b a B C b B C a b a B C B B C a b a B C b B C a ≥+≥+≥+Λn 个式子相加得
专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤
【高考地位】 基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，忽略理任何一个条件，就会导致解题失败，因此熟练掌握基本不等式求解一些函数的最值问题的解题策略是至关重要的。【方法点评】 方法一凑项法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件； 第二步使用基本不等式对其进行求解即可； 第三步得出结论. 例1已知 5 4 x<，求函数1 42 45 y x x =-+ - 的最大值。 【答案】 max 1 y=. 第三步，得出结论：
故当1x =时，max 1y =。学#科网 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 【变式演练1】【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二上学期第一次学情调研数学（文）试题】函数 4 2(0)y x x x =-->的最大值为________. 【答案】-2 【解析】4422242y x x x x ?? =---+≤-- ??? ＝２＝， 当且仅当4 x x ＝ ，即x ＝２时，“＝”成立 【变式演练2】【2018届山西高三上期中数学（理）试卷】当1x >时，不等式1 1 x a x + ≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞ C ．[3,)+∞ D ．(,3]-∞ 【答案】D 【解析】 考点：均值不等式． 方法二 分离法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步 首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式； 第二步 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式； 第三步 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.
三元均值不等式求最值 三元均值不等式： 例1、求函数)0(,322>+=x x x y 的最大值 例2、求函数)01y x x =<<的最大值。 例3、 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 例4、已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。 练习： 1、求函数)(,422+∈+=R x x x y 的最小值。 2、0>x 时，求236x x y += 的最小值。 3、求函数)20(,)2(2a x x a x y <<-= 的最大值。 4、若10<
绝对值不等式 例1、证明（1） b a b a +≥+，（2）b a b a -≥+ 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。 例4、已知 2,2c b y c a x <-<-，求证.)()(c b a y x <+-+ 例5、已知 .6,4a y a x <<求证：a y x <-32。 练习： 1、已知 .2,2c b B c a A <-<-求证：c b a B A <---)()(。 2、已知 .6 ,4c b y c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
解含绝对值不等式 例1、解不等式213+<-x x 。 例2、解不等式x x ->-213。 例3、解不等式 52312≥-++x x 。 例4、解不等式 512≥-+-x x 。 例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。 练习： 1、423+≤-x x . 2、x x -≥+21. 3、1422<--x x 4、212+>-x x . 5、 42≥-+x x 6、.631≥++-x x 7、 21<++x x 8、.24>--x x
归纳柯西不等式的典型应用
归纳柯西不等式的典型应用 【摘要】：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用五种不同的 方法证明了柯西不等式，介绍了如何利用柯西不等式技巧性解题，在证明不等式或等式，解方程，解三角形相关问题，求函数最值等问题的应用方面给出几个典型例子。最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。 【关键词】：柯西不等式 ；证明；应用 【引言】：本人通过老师在中教法课上学习柯西不等式时，老师给出 了一些有关的例题并讲解，由于柯西不等式是一个非常重要的不等式，如果巧妙利用它，在高考可以节省很多宝贵时间，而且得分率高。因此，本文介绍归纳了柯西不等式的典型应用，经过收集及整理资料，得到四类的典型题。 【正文】： 1.柯西不等式的一般形式为： 对任意的实数 n n b b b a a a ,,,,,,2121?????? ()( ) 222112 22212 222 1 )(n n n n b a b a b a b b b a a a ??????++≥+??????+++??????++
其中等号当且仅当λ=== n n b a b a b a 2211时成立,其中R ∈λ 变式：()()222112121)(n n n n y x y x y x y y y x x x ??????++≥+??????+++??????++ 2. 柯西不等式的证明： 证明柯西不等式的方法总共有6 种，下面我们将给出常用的2种证明柯西不等式的方法： 1）配方法： 作差：因为22211 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑ 221 1 1 1 ()()()()n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2211 11 n n n n i j i i j j i j i j a b a b a b =====-∑∑∑∑ 2222 111111 1(2)2n n n n n n i j j i i j j i i j i j i j a b a b a b a b =======+-∑∑∑∑∑∑ 2222 11 1(2)2n n i j i j j i j i i j a b a b a b a b ===-+∑∑ 211 1()02n n i j j i i j a b a b ===-≥∑∑ 所以222 1 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===-∑∑∑0≥，即2221 1 1 ()()()n n n i j i i i j i a b a b ===≥∑∑∑ 即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… 当且仅当0(,1,2,,)i j j i a b a b i j n -==…… 即(1,2,,;1,2,,;0)j i j i j a a i n j n b b b ===≠…………时等号成立。 2）用数学归纳法证明 i ）当1n =时，有2221112()a b a b =，不等式成立。