九年级数学下册比例线段
一．解答题（共30小题）
1．已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
求：①a：b：c
②．
2．（2014?嘉定区二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=∠ABC=90°，E 为CD的中点，联结AE并延长交BC的延长线于F；
（1）联结BE，求证：BE=EF．
（2）联结BD交AE于M，当AD=1，AB=2，AM=EM时，求CD的长．
3．（2014?青浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E﹨
F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE﹨
AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：
（1）的值；
（2）线段GH的长．
4．（2013?闵行区三模）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，且△ADE是等边三角形．过点E作EF∥BC，EF分别与线段AB﹨AC﹨AD相交于点F﹨G﹨
H，联结CE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）如果AD⊥BC，求证：BC=2FG．
5．（2013?明溪县质检）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC﹨
BC为边作等边△ACD．等边△BCE，连接AE﹨BD分别交CD﹨CE于M﹨N两．
（1）求证：AE=BD；
（2）判断直线MN与AB的位置关系；
（3）若AB=10，当点C在AB上运动时，是否存在一个位置使MN的长最大？若存在请求出此时AC的长以及MN的长．若不存在请说明理由．
6．（2012?贵港）如图，在?ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．
（1）求证：AF=DF；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长．
7．（2012?上海模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E﹨F分别是边BC﹨CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD．
（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；
（2）连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB．
8．（2012?顺义区二模）如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长线上的点，且EB=AB，DE 与AB相交于点F，AD=2，CD=1，求AE及DF的长．
9．（2012?卢湾区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AO D的面积等于6，AB=7，求CD的长．
10．（2012?虹口区二模）如图，已知ED∥BC，GB2=GE?GF
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接GD，若GB=GD，求证：四边形ABCD为菱形．
11．（2012?嘉定区一模）如图，直线l1﹨l2﹨l3分别交直线l4于点A﹨B﹨C，交直线l5于点D ﹨E﹨F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．
（1）求AB的长；
（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．
12．（2012?卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
13．（2011?菏泽）（1）已知一次函数y=x+2与反比例函数，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）．
①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．
（2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．
14．（2011?百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M﹨N分别是OD﹨OC上异于O﹨C﹨D的点．
（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是_________ ．
（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．
15．（2011?辽阳）如图，⊙O经过点B﹨D﹨
E，BD是⊙O的直径，∠C=90°，BE平分∠ABC．
（1）试说明直线AC是⊙O的切线；
（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O的半径及BC的长．
16．（2011?通州区二模）如图，矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD=5：3，则k= _________ ．
17．（2011?抚顺一模）如图1，在?ABCD中，AC﹨
BD相交于点O，BM⊥直线AC于M，DN⊥直线AC于N．
（1）线段OM﹨ON有什么样的数量关系？直接写出结论；
（2）若直线AC绕点A旋转到图2的位置时，其它条件不变，线段OM﹨
ON有什么样的数量关系？请给予证明；
（3）若直线AC饶点A继续旋转，通过前面问题的解决你会发现什么规律？在备用图中画出一个与图2不同位置的图形，并给予证明．
18．（2011?宣城模拟）我们知道连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；通过证明可以得到“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似三角形中位线，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图在梯形ABCD中，AD∥B C，点E，F分别是AB﹨
CD的中点，观察EF的位置，联想三角形中位线的性质，你能发现梯形的中位线有什么性质？证明你的结论．
（2）如果点E分线段AB为=，EF∥BC交CD于F，AD=3，BC=5，请你利用第（1）的结论求出EF= _________ （直接填写结果）；
（3）如果点E分线段AB为=，EF∥BC交CD 于F，AD=a，BC=b，求EF的长．
19．（2011?安溪县质检）已知：如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CF=2，求BE的长．
20．（2011?昌平区二模）梯形ABCD中DC∥AB，AB=2DC，对角线AC﹨
BD相交于点O，BD=4，过AC的中点H作EF∥BD分别交AB﹨AD于点E﹨F，求EF的长．21．（2011?青浦区一模）如图，在△ABC中，点D是AB上的一点，过点D作DE∥BC交边
AC于点E，过点E作EF∥DC交AD于点F．已知AD=2cm，AB=8cm．求：
（1）的值；
（2）的值．
22．（2011?嘉定区二模）如图，已知B是线段AE上一点，ABCD和BEFG都是正方形，连接AG﹨CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）设CE与GF的交点为P，求证：．
23．（2011?奉贤区一模）如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB﹨DB﹨AC于点E﹨F﹨
G，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG﹨FG的长．
24．（2011?徐汇区一模）已知：?ABCD中，E是BA边延长线上一点，CE交对角线DB于点G，交AD边于点F．
求证：CG2=GF?GE．
25．（2011?嘉定区一模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB 于点E，DE=4，BC=6，AD=5．求DC与AE的长．
26．（2011?徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=15，，E为线A C上一点（不与A﹨
C重合），过点E作ED⊥AC交线段AB于点D，将△ADE沿着直线DE翻折，A的对应点G落在射线AC上，线段DG与线段BC交于点M．
（1）若BM=8，求证：EM∥AB；
（2）设EC=x，四边形的ADMC的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出定义域．
27．（2011?闵行区一模）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．动点P﹨
Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x．
（1）求的值．
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S．
（3）当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值．
28．（2010?济宁）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB 的延长线于N．当CP=6时，EM与EN的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G ，如图2，则可得：，因为DE=EP，所以DF=FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．
（1）请按照小明的思路写出求解过程．
（2）小东又对此题作了进一步探究，得出了DP=MN的结论，你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．
29．（2010?大连）如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．
（1）m=1（如图2）
（2）m=1，k=1（如图3）
30．（2010?武汉）已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，B D交于点P．
（1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求的值；
（2）如图2，当OA=OB，且时，求tan∠BPC的值．
（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：时，直接写出tan∠BPC的值．
比例线段
参考答案与试题解析
1．已知（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
求：①a：b：c
②．
考点：比例的性质．
专题：计算题．
分析：根据比例的基本性质可设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，进而求得a﹨b﹨
c的值，再分别代入求值．
解答：解：①∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：14：9
设a+b=7k，b+c=14k，c+a=9k，
∴a+b+c=15k，
∴a=k，b=6k，c=8k，
∴a：b：c=1：6：8
②==﹣．
点评：本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
2．（2014?嘉定区二模）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=∠ABC=90°，E 为CD的中点，联结AE并延长交BC的延长线于F；
（1）联结BE，求证：BE=EF．
（2）联结BD交AE于M，当AD=1，AB=2，AM=EM时，求CD的长．
考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；平行线分线段成比例．分析：
（1）证明△DAE≌△CFE可得AE=FE，再根据直角三角形的性质可得BE= EF；
（2）过D作DH⊥BF于H，证明四边形ABHD为矩形，再由AD=BH，可得AD=CH，进而得到CH=1，然后根据勾股定理可得答案．
解答：（1）证明：∵ABCD为直角梯形，∠A=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠CFE，∠ADE=∠FCE，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE，
在△DAE和△CFE中，
，∴△DAE≌△CFE（AAS），∴AE=FE，AD=FC，在直角三角形ABF中：BE=AE=FE；
（2）∵AM=EM，AE=FE，∴AM=FM，∵AD∥BC，∴==，
过D作DH⊥BF于H，∴∠DHB=90°，∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABHD为矩形，
∵AD=BH，∴AD=CH，在直角三角形CDH中，CH=AD=1，DH=AB=2，
CD==．
点评：
此题主要考查了直角梯形，关键是掌握直角梯形中常用辅助线，作高，构造矩形和直角三角形．
3．（2014?青浦区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E﹨
F分别是边BC，CD上的点，且EF∥BD，AE﹨
AF分别交BD与点G和点H，BD=12，EF=8．求：
（1）的值；
（2）线段GH的长．
考点：平行线分线段成比例；平行四边形的性质．
分析：
（1）根据EF∥BD，则=，再利用平行四边形的性质即可得出的值；
（2）利用DF∥AB，则==，进而得出==，求出GH即可．
解答：解：（1）∵EF∥BD，
∴=，∵BD=12，EF=8，∴=，∴=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB= CD，
∴=；
（2）∵DF∥AB，
∴==，∴=，∵EF∥BD，∴==，∴=，
∴GH=6．
点评：
此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质，熟练根据平行线分线段成比例定理得出GH的长是解题关键．
4．（2013?闵行区三模）已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，且△ADE是等边三角形．过点E作EF∥BC，EF分别与线段AB﹨AC﹨AD相交于点F﹨G﹨
H，联结CE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）如果AD⊥BC，求证：BC=2FG．
考点：
平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行线分线段成比例．
专题：证明题．
分析：
（1）通过全等三角形△BAD≌△CAE（SAS）的对应角相等判定∠B=∠A CE=60°．则∠ACE=∠BAC．所以根据平行线的判定知BF∥CE．又EF∥BC，故两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即四边形BCEF是平行四边形；
（2）由垂直得到直角，即由AD⊥BC，得到∠ADC=90°．然后根据（1）中的平行线得到∠AHE=∠ADC=90°．即EH⊥AD．又△ADE是等边三角形，所以EA=ED．AH=DH．再根据平行线分线段成比例得到．即AF=BF，同理可得AG=CG．故BC=2FG．
解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°．
同理可知，AD=AE，∠DAE=60°．
即得∠BAC=∠DAE．
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC．
即得∠BAD=∠CAE．
∴在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴∠B=∠ACE=60°．
∴∠ACE=∠BAC．
∴BF∥CE．
又∵EF∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．
又∵EF∥BC，
∴∠AHE=∠ADC=90°．即EH⊥AD．
又∵△ADE是等边三角形，
∴EA=ED．
∴AH=DH．
∵EF∥BC，∴．
∴AF=BF，
同理可得AG=CG．
∴BC=2FG．
点评：
本题综合考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例等知识点，综合性比较强，需要同学们对知识有一个系统的掌握．5．（2013?明溪县质检）如图，C是线段AB上一动点，分别以AC﹨
BC为边作等边△ACD．等边△BCE，连接AE﹨BD分别交CD﹨CE于M﹨N两．
（1）求证：AE=BD；
（2）判断直线MN与AB的位置关系；
（3）若AB=10，当点C在AB上运动时，是否存在一个位置使MN的长最大？若存在请求出此时AC的长以及MN的长．若不存在请说明理由．
考点：
平行线分线段成比例；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：几何综合题．
分析：
（1）根据等边三角形的性质可得DC=AC，EC=BC，∠DCB=∠ACE=120°，然后利用“边角边”证明△DCB和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等求出∠NBC=∠MEC，再求出∠NCB=∠MCE=60°，然后利用“角边角”证明△NCB和△MCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CN=CM，从而求出△CMN是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠NMC=∠ACD=60°，然后利用内错角相等，两直线平行即可证明；
（3）设AC=x，MN=y，根据平行线分线段成比例定理可得=，再表示出EC﹨CN﹨EN，整理得到y﹨x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题解答．
解答：（1）证明：∵△ACD和△BCE均为等边三角形，
∴DC=AC，EC=BC，且∠DCB=∠ACE=120°，
∵在△DCB和△ACE中，
，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴AE=BD；
（2）MN∥AB．
理由如下：由（1）可知△DCB≌△ACE，
∴∠NBC=∠MEC，
又∵∠MCE=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠NCB=∠MCE=60°，
∵在△NCB和△MCE中，
，
∴△NCB≌△MCE（ASA），
∴CN=CM，
又∵∠MCE=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠NMC=∠ACD=60°，
∴MN∥AB；
（3）设AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，
∴=，
又∵CB=EC=10﹣x，CN=y，EN=10﹣x﹣y，
∴=，
整理得，y=﹣x2+x，
配方得y=﹣（x﹣5）2+2.5（0＜x＜10），
∴当x=5cm时，线段MN有最大值2.5cm．
点评：
本题考查了平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，难度较大，准确识图，找出全等三角形的条件是解题关键．
6．（2012?贵港）如图，在?ABCD中，延长CD到E，使DE=CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．
（1）求证：AF=DF；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求FG的长．
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例．
专题：证明题．
分析：（1）连接AE﹨BD﹨
根据AB∥CD，AB=CD=DE，得出平行四边形ABDE，即可推出答案；
（2）在BC上截取BN=AB=1，连接AN，推出△ANB是等边三角形，求出CN=1=AN，根据三角形的内角和定理求出∠BAC=90°，由勾股定理求出AC，根据△AGB∽△CGE，得出==，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE﹨
BE，根据平行四边形BDEA求出BF，即可求出答案．
解答：（1）证明：连接BD﹨AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴AB∥DE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AF=DF．
（2）解：在BC上截取BN=AB=1，连接AN，
∵∠ABC=60°，
∴△ANB是等边三角形，
∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，
∵BC=2AB=2，
∴CN=1=AN，
∴∠ACN=∠CAN=×60°=30°，
∴∠BAC=90°，
由勾股定理得：AC==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△AGB∽△CGE，
∴==，
∴=，
AG=，
在△BGA中，由勾股定理得：BG==，∵=，
∴GE=，
BE=+=2，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BF=BE=，
∴FG=﹣=．
点评：
本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强．7．（2012?上海模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E﹨F分别是边BC﹨CD的中点，直线EF交边AD的延长线于点M，交边AB的延长线于点N，连接BD．
（1）求证：四边形DBEM是平行四边形；
（2）连接CM，当四边形ABCM为平行四边形时，求证：MN=2DB．
考点：平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质；梯形．
分析：
（1）首先根据三角形中位线定理可得EF∥BD，再有条件AD∥BC，可根据两边互相平行的四边形是平行四边形，可判定四边形DBEM是平行四边形；
（2）首先根据平行线分线段成比例定理可得=，再根据BE=CE，可得BN=CM，进而得到AB=BN，再由EF∥BD，可得=，进而得到MN=2DB．
解答：证明：（1）∵点E﹨F分别是边BC﹨CD的中点，
∴EF∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形DBEM是平行四边形；
（2）∵四边形ABCM为平行四边形，
∴AB=CM，AB∥CM，
∴=，
∵BE=CE，
∴BN=CM，
∴AB=BN，
∵EF∥BD，
∴=．
∴MN=2DB．
点评：此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定﹨
平行线分线段成比例定理，关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：
定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
定理2：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
定理3：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
8．（2012?顺义区二模）如图，在矩形ABCD中，E是边CB延长线上的点，且EB=AB，DE 与AB相交于点F，AD=2，CD=1，求AE及DF的长．
考点：平行线分线段成比例；勾股定理；矩形的性质．
分析：利用矩形的性质﹨
勾股定理求得AE的长度；然后在Rt△DCE中根据平行线分线段成比例可知EF﹨
DF间的数量关系；最后利用线段ED与EF﹨DF间的和差关系即可求得DF的长度．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，且AD=2，CD=1，
∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC=∠C=90°，AB∥DC．
∴EB=AB=1．
在Rt△ABE中，；
在Rt△DCE中，；
∵AB∥DC，
∴．
设EF=x，则DF=2x．
∵EF+DF=DE，
∴x+2x=
∴x=，
∴DF=2x=．
点评：本题考查了勾股定理﹨
矩形的性质以及平行线分线段成比例．利用平行线分线段成比例定理时，要找准对应关系．
9．（2012?卢湾区一模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AO D的面积等于6，AB=7，求CD的长．
考点：平行线分线段成比例．
分析：
根据△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可知OB：OD的值，再根据平行线分线段成比例即可求解．
解答：解：∵AB∥DC，
∴=，…（3分）
∵△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，
∴=，（3分）
∴==，
∵AB=7，
∴CD=．
点评：
本题主要考查了平行线分线段成比例和等高三角形的面积的比等于对应底边的比的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
10．（2012?虹口区二模）如图，已知ED∥BC，GB2=GE?GF
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接GD，若GB=GD，求证：四边形ABCD为菱形．
考点：平行线分线段成比例；平行四边形的判定；菱形的判定．
专题：证明题．
分析：
（1）根据平行线分线段成比例定理可以得到：，然后根据GB2=GE ?GF变形得到：，则，然后利用平行线分线段成比例定理的逆定理即可证得AB∥CD，根据平行四边形的定义即可证得；
（2）根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，得到O是BD的中点，再根据GB=GD，利用等腰三角形的性质即可得到BD⊥AC，利用菱形的判定定理即可证得．解答：证明：（1）∵ED∥BC，
∴．
∵GB2=GE?GF，
∴，
∴，
∴AB∥CF，即AB∥CD．
又∵ED∥BC
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BD交AC于点O．
∵四边形ABCD为平行四边形．
∴BO=DO，
∵GB=GD∴OG⊥BD 即AC⊥BD．
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形．
点评：
本题考查了平行线分线段成比例定理及其逆定理，和菱形的判定定理，等腰三角形的三线合一定理，运用平行线分线段成比例定理，找准对应关系是关键．
11．（2012?嘉定区一模）如图，直线l1﹨l2﹨l3分别交直线l4于点A﹨B﹨C，交直线l5于点D ﹨E﹨F，且l1∥l2∥l3，已知EF：DF=5：8，AC=24．
（1）求AB的长；
（2）当AD=4，BE=1时，求CF的长．
考点：平行线分线段成比例．
专题：计算题．
分析：（1）根据l1∥l2∥l3，推出==，代入求出BC即可求出AB；
（2）根据l1∥l2∥l3，得出==，求出OB﹨
OC，根据平行线分线段成比例定理得出==，代入求出即可．
解答：（1）解：∵l1∥l2∥l3，EF：DF=5：8，AC=24，
∴==，
∴=，
∴BC=15，
∴AB=AC﹣BC=24﹣15=9．
（2）解：∵l1∥l2∥l3
∴==，
∴=，
∴OB=3，
∴OC=BC﹣OB=15﹣3=12，
∴==，
∴=，
∴CF=4．
点评：
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．
12．（2012?卢湾区一模）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
考点：平行线分线段成比例．
专题：证明题．
分析：
过点F作FE∥BD，交AC于点E，求出=，得出FE=BC，根据已知推出CD=BC，根据平行线分线段成比例定理推出=，代入化简即可．
解答：解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴=，
∵AF：BF=1：2，
∴=，
∴=，
即FE=BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD=BC，
∵FE∥BD，
∴===．
即FN：ND=2：3．
证法二﹨连接CF﹨AD，
∵AF：BF=1：2，BC：CD=2：1，
∴==，
∵∠B=∠B，
∴△BCF∽△BDA，
∴==，∠BCF=∠BDA，
∴FC∥AD，
∴△CNF∽△AND，
∴==．
点评：
本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但是一定比较容易出错的题目．
13．（2011?菏泽）（1）已知一次函数y=x+2与反比例函数，其中一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）．
①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．
（2）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．
考点：
反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；平行四边形的判定与性质；梯形；平行线分线段成比例．
专题：证明题；数形结合；待定系数法．
分析：
（1）①由一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5）可以得到5=k+2，可以求出k，也就求出了反比例函数的表达式；
②由于点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，联立得方程组，解方程组即可求解；
（2）过点A作AG∥DC，然后证明四边形AGCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到GC=AD，然后利用已知条件求出BG，再在Rt△ABG中利用勾股定理求出AG，又EF∥D C∥AG，利用平行线分线段成比例即可解决问题．
解答：解：（1）①因一次函数y=x+2的图象经过点P（k，5），
所以得5=k+2，
解得k=3，
所以反比例函数的表达式为；（3分）
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
平行线截得比例线段定理 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 嵩明县小街镇甸丰小学李逵 教学目标：1、理解平行线截得比例线段定理； 2、会证明平行线截得比例线段定理； 3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作辅助线的方法； 4、培养逻辑思维能力。 教学重点：1、几何证明中的证法分析； 2、添加辅助线的方法。 教学难点：如何添加有用的辅助线。 教学关键：抓住相似三角形的判定和性质进行教学。 教学方法：学习指导法，即读、思、练、讲。 一、复习铺垫 1、提问：
同学们，你会画相交线吗？ 你会画平行线吗？ 2、请你自己试一试： ①画一组平行线； ②画一组相交线。 说明：让同学们自己在练习本上画，画得好的同学到黑板上板演。同一小组内的同学可以互相交流。 二、初步感知 请同学们按下面的要求做一做，按照顺序，做完一个再进行下一个。同一小组内的同学可以互相指导、互相交流。 1、画三条平行线（等距不等距均可，但要互相平行）； 2、画两条直线与上面的三条平行线相交； 3、找一找 ①三条平行线在两条直线上面截得了哪些线段？（小组内交流，你是怎样找到的） ②哪条线段和哪条线段是对应线段？（小组内交流，你是怎样想的） 4、量一量
《成比例线段》教案 教学目标 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.回运用比例线段解决简单的实际问题. 教学重点、难点 教学重点：比例线段的概念. 教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点. 知识要点 1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段. 重要提示 1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法. 2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离. 教学过程 一、复习引入
1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项. 2.说出比例的基本性质.由ad＝bc可推出哪些比例式？ 3.练习：(1)若3x＝4y，求x y、 x x－y、 x－2y x＋y的值. (2)若a＋b a＝ 5 3，求 a－2b b的值. (3)x:y:z＝2:3:4，求 x－y＋z 2x＋3y－z的值. (4)已知a:b:c＝3:4:5，且2a＋3b－4c＝－1，求2a－3b ＋4c的值. (5)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm.求AB:CD的值. 二、设置问题，探究新课 如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？ 在同一长度单位下，a，b，两线段长度的比叫做这两线 段的比.记为a：b或a b 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关. (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为A B:CD. 比例线段：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b
一、知识要点： 1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 如果a、b、c、d是比例线段，即 段b、c是比例内项。 3、比例线段有以下性质： （1）基本性质 如果ac，那么线段a、d是比例外项，线=（或a:b=c:d）bdac=，那么ad=bc bd aca+bc+da-bc-d，； =，那么==bdbdbd aca+cac=，那么===k。 bdb+dbd a1a2a3===k，那么 b1b2b3（2）合比性质如果（3）等比性质如果等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。例如：如果 a1+a2+a3a1a2a3====k b1+b2+b3b1b2b3 小试牛刀： 一、填空题 1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作 ____________。 2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。 3、合（分）比性质：如果aca±b=_____________。 =，那么bdb 4、等比性质：如果aceace== =，且_____________，那么__________=(== =) bdfbdf 5、若4x=5y，则x：y=____________ 6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______ 7、下列各组线段成比例的是（） A、1cm、3cm、2cm、4cm B、1m、20cm、5cm、25cm C cm
2019-2020年八年级数学比例线段教案鲁教版 教学建议 知识结构 重难点分析 本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.以前的平面几何主要研究线段的位置关系和相等关系，从本章开始研究线段及相关图形的比例关系――相似三角形，这些内容的研究都离不开线段的比和比例性质的应用. 本节的难点是比例性质及应用，虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但由于内容比较简单，而且间隔时间较长，学生印象并不深刻，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，合分比性质以及等比性质学生又是初次接触，内容不但多，而且容易混淆，作题不知应用哪条性质，不知如何应用是常有的. 教法建议 1．生活中比例的例子比比皆是，在新课引入时最好从生活实例引入，可使学生感觉轻松自然，容易产生兴趣，增加学生学习的主动性 2．小学时曾学过数的比及相关概念，学习时也可以复习引入，从数的比过渡到线段的比，渗透类比思想 3．这一节概念比较多，也比较容易混淆，教学中可设计不同层次的题组来进行巩固，特别是要举一些反例，同时要注意对相近概念的比较 4．黄金分割的内容要求学生理解，主要体现数学美，可由学生从生活中寻找实例，激发学生的兴趣和参与感 5．比例性质由于变式多，理解和应用上容易出现错误，教学时可利用等式性质和分式性质来处理 教学设计示例1 （第1课时） 一、教学目标 1．理解线段的比的概念． 2．通过与小学知识到比较，初步培养学生“类比”的数学思想． 3．通过线段的比的有关计算，培养学习的计算能力． 4．通过“引言”及“例1”的教学，激发学生学习兴趣，对学生进行热爱爱国主义教育． 二、教学设计 先学后做，启发引导 三、重点及难点 1．教学重点两条线段比的概念． 2．教学难点正确理解两条线段的比及应用． 四、课时安排
解答第2题图 P N M F E D C B A 三、解答题： 1、已知如图，AD ＝DE ＝EC ，且AB ∥DF ∥EH ，AH 交 DF 于K ，求KF DK 的值。 2、如图，□ABCD 中，EF 交AB 的延长线于E ， 交BC 于M ，交AC 于P ，交AD 于N ，交CD 的延 长线于F 。求证：PN PF PM PE ?=?。 答案： 一、填空题： 1、 3 2 ，4，8，14；2、2或－1；3、±23 4、2∶5； 二、选择题：CBBB 三、解答题： 1、 3 1； 2、证明PM PN PF PE =即可； 课后作业 一、填空题： 1． 三条平行线截两条直线，所得的 成比例。 2． 已知x y 52=，则y x :=______________。 3． 已知线段a ：b=b:c,若a=2，c=3，那么b= ， 4． 若x ∶y ∶z=2∶5∶9，则 =+-++z y x z y x 2 。 5． =++===++222,7 53,10z y x z y x z y x 则且 若 。 6． 如图，在△ABC 中，MN ∥BC ，若∠C=680 ，AM ：MB ＝1： 2，则∠MNA=_______度，AN ：NC ＝__________。 7． 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，AE=2，则 EC= 。 8． 若 ==+y x y y x 则,38 。
9、若 ()0753≠==a c b a ，则 a c b a ++=_________ 二、选择题： 1．如果 32=b a ，则 b b a +等于（ ） （A ）l 31 （B ）2 1 （C ）53 （D ）35 2．如果d 是a 、b 、c 的第四比例项，则其比例为（ ） (A)a ：b=c ：d （B ）a ：b=d ：c （C ）a ：d=b ：c （D ）d ：a=b ：c 3．已知 32==d c b a ，且d b ≠，则 d b c a --=（ ） （A ）32 （B ）5 2 （C ）53 （D ）51 4．D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，如果2 3 =DB AD ，AE=15，那么EC 的长是 （ ） （A ）10 （B ）22. 5 （C ）25 （D ）6 5．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 和DF 分别l 1、l 2、l 3相交于A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若AB=2，EF=1，则 （ ） （A ） BC ∶DE=2 (B) BC ∶DE=21 (C) BC ·DE=2 (D) BC ·DE=2 1 6．已知 07 54≠==z y x ，那么下列式子成立的是（ ） （A ） 43=++z y y x （B ）61=+-y x y z （C ）16 7 =++z z y x （D ）21=++--z y x z y x 7．如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，DF=1，AG=3，FG 延长线交AD 、CB 延长线于E 、H ，则EF ：FG ：GH=( )。 (A)1∶3∶5 (B)1∶2∶2 (C)1∶2∶3 (D)1∶3∶2 8．若3 2 =y x ，则 ()=+--+y x y x y x y x : （A ） 25∶1 (B) 1∶25 (C)27:8 (D)3:2 三、解答题： 1． 已知：如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=3，BC=5，DF=12。求DE 和 B H G E D C A F
比例线段同步练习 一、填空题 8．已知实数x ，y ，z 满足x+y+z=0，3x-y+2z=0，则x ：y ：z=________． 9．设实数x ，y ，z 使│x -2y│+ （3x-z ）2=0成立，求x ：y ：z 的值________． 10、已知3)(4)2(y x y x -=+，则=y x : ， =+x y x 11、 543z y x ==，则=++x z y x ， =+-++z y x z y x 53232 12、已知b 是a ，c 的比例中项，且a=3cm ，c=9cm ，则b= cm 。 13、比例尺为1：50000的地图上，两城市间的图上距离为20cm ，则这两城市的实际 距离是 公里。 14、如果3:1:1::=c b a ，那么=+--+c b a c b a 3532 二、选择题 15、如果bc ax =，那么将x 作为第四比例项的比例式是（ ） A x a c b = B b c x a = C x c b a = D c a b x = 16、三线段a 、b 、 c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么 这三条线段的和与b 的比等于（ ） A 6:1 B 1:6 C 3:1 D 1:3
17、已知 d c b a =，则下列等式中不成立的是（ ） A. c d a b = B. d d c b b a -=- C. d c c b a a +=+ D. b a c b d a =++ 18、下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是（ ） A. a=2cm b=5cm c=5cm d= B. a=5cm b=3cm c=5mm d=3mm C. a=30mm b=2cm c=5 9 cm d=12mm D. a=5cm b=0.02m c=0.7cm d= 19、如果 a:b=12:8，且b 是a 和c 的比例中项，那么b:c 等于（ ） A. 4：3 B. 3：2 C. 2：3 D. 3：4 20、已知 53=y x ，则在①41=+-y x y x ②5353=++y x ③1332=+y x x ④3 8 =+x y x 这四个式子中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 21、两直角边为3和4的直角三角形的斜边和斜边上高线的比是（ ） A. 5:3 B. 5:4 C. 5:12 D. 25:12 三、解答题 22、已知 7532=b a ，求b a b a 3423+ 的值。 23、已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b-2c=10，求a,b,c 的值。
比例线段(2) 【教学目标】 A（了解）1. 知道比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项和比例中项． 2. 通过与小学所学有关比例的知识的类比，学习比例线段的有关概念，进一 步体会类比的方法． 3. 通过等比性质的证明以初步渗透“参数”(设比值为“k”)的思想方法． B（理解）能熟记比例的基本性质；能熟记并会证明比例的合比性质与等比性质． C（掌握）能够运用比例的性质进行简单的计算和证明. 【教学重点】 比例的基本性质及其证明. 【教学难点】 等比性质的证明. 【教学过程】 一、复习引入： 小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：。 （2）已知2：3＝4：x，则：x= 。 （3）比例的基本性质是什么？ 二、讲授新课： 上节课学习了两条线段的比，本节课就来学习比例线段。 1．引入概念： （1）比例线段及其相关概念 问题1：在矩形ABCD和A’B’C’D’中，AB=50，BC=25，A’B’=20，B’C’=10。求线段AB:BC和A’B’:B’C’的值，它们有 什么关系？（学生计算并找出它们 的关系） 由以上例题引出“比例线段”
的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 已知四条线段a 、b 、c 、d ,如果d c b a =（或a :b =c : d ），那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段b 、c 叫做比例内项，线段d 叫做a 、b 、c 第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a =（或a :b =b :c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。 （2）“比例线段”和“线段的比”的区别 问题2：“比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？（学生回答） 结论：线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段之间的关系。 （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，a :b 和b :a 通常是不相等的。 比例线段也有顺序性，如 d c b a =叫做线段a 、b 、c 、d 成比例，而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。 第四比例项也有顺序性，如d c b a =中，线段 d 叫做a 、b 、c 的第四比例项，而不能说成“线段d 叫做b 、a 、c 的第四比例项”。 2．比例的性质： （1） 比例的基本性质 问题3：前面我们已经回答了，如果d c b a =（或a :b =c : d ），那么ad =bc ,即比例的两外项的积等于两内项的积，那么如何证明呢？（引导学生一起证明） 问题4：试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？（由学生完成） 结论：ad =bc ? a :b =c :d ． 问题5：如果a :b =c :d 中的两个比例内项相等，即当a :b =b :c 时，又可以得到什么结论呢？（学生口答）
新修订初中阶段原创精品配套教材比例线段教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Proportional line 教师：风老师 风顺第二中学 编订：FoonShion教育
比例线段 教学建议 知识结构 重难点分析 本节的重点是线段的比和的概念以及比例的性质.以前的平面几何主要研究线段的位置关系和相等关系，从本章开始研究线段及相关图形的比例关系――相似三角形，这些内容的研究都离不开线段的比和比例性质的应用. 本节的难点是比例性质及应用，虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但由于内容比较简单，而且间隔时间较长，学生印象并不深刻，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，合分比性质以及等比性质学生又是初次接触，内容不但多，而且容易混淆，作题不知应用哪条性质，不知如何应用是常有的. 教法建议 1．生活中比例的例子比比皆是，在新课引入时最好从生活实例引入，可使学生感觉轻松自然，容易产生兴趣，增加
学生学习的主动性 2．小学时曾学过数的比及相关概念，学习时也可以复习引入，从数的比过渡到线段的比，渗透类比思想 3．这一节概念比较多，也比较容易混淆，教学中可设计不同层次的题组来进行巩固，特别是要举一些反例，同时要注意对相近概念的比较 4．黄金分割的内容要求学生理解，主要体现数学美，可由学生从生活中寻找实例，激发学生的兴趣和参与感5．比例性质由于变式多，理解和应用上容易出现错误，教学时可利用等式性质和分式性质来处理 教学设计示例1（第1课时） 一、教学目标 1．理解线段的比的概念． 2．通过与小学知识到比较，初步培养学生“类比”的数学思想． 3．通过线段的比的有关计算，培养学习的计算能力．4．通过“引言”及“例1”的教学，激发学生学习兴趣，对学生进行热爱爱国主义教育． 二、教学设计 先学后做，启发引导 三、重点及难点 1．教学重点两条线段比的概念．
3.1 比例线段 第1课时 教学目标 c d =，那么ad=bc. 教学重难点 【教学重点】 掌握比例的基本性质及其推导过程． 【教学难点】 对比例的基本性质进行变形. 课前准备 无 教学过程 一.预习导学 对应练习：你能说出下面比例的内项和外项各是多少吗？ （1）1.4：35 4 = 4 :5 5 （2） 612 714 =
可以交换,等式仍然成立; 两个外项的位置也可以交换,等式仍然成立; 对应练习： 1. 已知四个数a,b,c,d 成比例. （1）若a=-3,b=9,c=2, 求d ； （2）若3,2,a b c =-==求d ； 2.比例基本性质的逆定理的教学 动脑筋：如果a d=bc ，那么a c b d =.（其中a ，b ，c ，d 为非零实数） （学生合作推导,总结得出） 设计意图：利用等式的基本性质，由条件到结论的证明方法体现了综合证明题的方法.锻炼了学生的逻辑思考能力，增强了学生的学习兴趣，达到了教学的效果. (二)展示提升 3.已知四个数a,b,c,d 成比例，即 a c b d = . 下列各式成立吗？若成立，请说明理由. ()()()1;2;3.b d a b a b c d a c c d b d ++=== （过程方法：以学生自主学习为主，教师引导为辅的方法进行教学，先让学生讨论学习，然后可点名展示，也可分组展示，培养学生分析问题和解决问题的能力；同时增强学生团结协作的精神.老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律.） 对应练习：25,3a b a b a a -+=已知求的值。 设计意图：通过练习加强学生对比例的基本性质及其相关知识的理解与掌握. 4.根据下列条件，求a:b 的值： ()() 145;2;78a b a b == (先让学生讨论学习，然后分组展示，老师在此环节准确引导，及时点拨和追问，总结出解决问题的方法和规律.） 设计意图：通过练习与展示进一步加强学生对比例的基本性质及其相关知识的理解与掌握，以达到非常熟练的程度，并能融会贯通地应用. 对应练习：求下列各式中x 的值. ()()11314:15:9;2::;235 x x == 方法总结：通过分层练习，巩固对比例基本性质的掌握，体验比例基本性质的应用价值，促进所有学生都能在动静结合的学习过程中获得发展，使不同的学生获得不同程度的发展.同时渗透假设.验证.有序思考的解题策略和方法，体验解决问题方法的多样性和优化策略，感受“一 一对应“和”变与不变“的数学思想. 三.知识梳理 以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获. 1.我们是怎样:探究比例的基本性质的？
畅游学海敢搏风浪誓教金榜题名。决战高考，改变命运。凌风破浪击长空，擎天揽日跃龙门 成比例线段 ●教学目标 1.知道两条线段的比的概念并且会计算两条线段的比.. 2.知道成比例线段的定义. 3.熟记比例的性质并会应用. ●教学重点 会求两条线段的比. 成比例线段的定义. 比例的性质 ●教学难点 会求两条线段的比，注意线段长度的单位要统一. 比例的基本性质 ●教学方法 自主探索法 ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］同学们，大家见到过形状相同的图形吗？请举出例子来说明. ［生］课本中两张图片；同一底片洗印出来的大小不同的照片；两个大小不同的正方形，等 等. ［师］对，大家举出的这些例子都是形状相同、大小不同的图形，即为相似图形.本章我们 就要研究相似图形以及与之有关的问题.从两个大小不同的正方形来看，它们之所以大小不 同，是因为它们的边长的长度不同，因此相似图形与对应线段的长度有关，所以我们首先从 线段的比开始学习. Ⅱ.新课讲解 1.两条线段的比的概念 ［师］大家先回忆什么叫两个数的比？怎样度量线段的长度？怎样比较两线段的大小？ ［生］两个数相除又叫两个数的比，如a ÷b 记作b a ；度量线段时要选用同一个长度单位，比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小. ［师］由比较线段的大小就是比较两条线段长度的大小，大家能猜想线段的比吗？ ［生］两条线段的比就是两条线段长度的比. ［师］对.比如：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶ 6=1∶2,对吗？ ［生］对. ［师］大家同意他的观点吗？ ［生］不同意，因为a 、b 的长度单位不一致，所以不对. ［师］那么，应怎样定义两条线段的比，以及求比时应注意什么问题呢？ ［生］如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么这两条线段 的比（ratio ）就是它们长度的比，即AB ∶CD =m ∶n ，或写成 CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ，则CD AB =k ，或A B =k ·CD .两条线段的比实际上就是两个数的比.
《成比例线段》 学生的知识技能基础： 这节课是“成比例线段” 的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境， 认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。 学生活动经验基础： 上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。 【知识与能力目标】 了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。 【过程与方法目标】
经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。【情感态度价值观目标】 通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 【教学重点】 理解线段比的概念及其求解。 【教学难点】 求线段的比，注意线段长度单位要统一。 课件。 一、情境导入 1、看一看，想一想。这棵大树有多高？ 小敏思考后,她只用一根卷尺, 测出了大树影子BC,自己的身高A1 B1及影子B1 C1三个数据,然后通过计算,立刻得出了树高AB.你能行吗?这里需要什么知识？ 【设计意图】：通过实际生活中的例子，让学生在上新课之前就对新的知识产生了浓厚的兴趣。这样更利于新课的进行。 2、想一想，算一算： 这幅图片中的实际自然景观有多大? （已知中国自然景观卫星影像图1：18 700 000）
2019 届初三中考数学复习成比例线段专题复习训练1．下列各组线段的长度成比例的是() A．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm C．0.3 m ，0.6 m ，0.5 m ，0.9 m D ．30 cm，20 cm，90 cm，60 cm 2．已知 1 a＝0.2 ，b＝ 1.6 ，c＝4，d＝2，则下列各式中正确的是() A．a∶b＝c∶d B ．a∶c＝d∶b C ．a∶b＝d∶c D ．b∶a＝d∶c 3．两条直角边为 6 和 8 的直角三角形斜边与斜边上的高之比为() A．3∶4 B ．4∶3 C ．25∶12 D ．12∶25 4.将式子ab＝cd(a ，b，c，d都不等于0) 写成比例式，错误的是() a d A. c＝b B. c a b＝d C. d b a＝c D. a c b＝d y＋z x＋z x＋y 5．已知x＝y＝z＝k，则y＝kx＋k的图象一定经过的象限是() A．一、二B．二、三 C ．二、四D．一、三 AD 1AD 6.如图，已知＝，则的值为 ( ) BD 2AB A．1∶2 B．1∶3 C ．2∶1 D．3∶1 7.下列各组线段中，是成比例线段的是 ( ) A．4,6,5,8 B ．2,5,6,8 C ．3,6,9,18D．1,2,3,4 8. 已知点 P 是线段 AB上的点，且 AP∶PB＝1∶2，则 AP∶AB＝ ________． AB BC AC2 9．已知△ ABC与△ DEF的三边的比＝＝＝，则△ ABC与△ DEF DE EF DF3 的周长比为 ______. 10．已知 A，B 两地的实际距离AB＝5 km，画在地图上的距离A′B′＝ 2 cm，则这
4．1 成比例线段 4．1．2 比例的基本性质 【学习目标】 1、（理解）能熟记比例的基本性质． 2、（掌握）能够运用比例的性质进行简单的计算和证明. 【学习重点】比例的基本性质及其应用. 【学习过程】 一、知识链接： 1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为：。 （2）已知2：3＝4：x，则x=。 2、上节课学习了两条线段的比，成比例线段 （1）比例线段及其相关概念 “成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做。 （2）“成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？ 线段的比是指条线段的比的关系，成比例线段是指条线段之间的关系。 （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，a:b和b:a相等吗？请举例说明。 成比例线段也有顺序性，如能说成是b、a、c、d成比例吗？请举例说明。 二、预习交流： （1）比例的基本性质是：。 请写出推理过程： ∵，在两边同乘以bd得， = ∴= （2）合比性质:如果，那么 请写出推理过程： ∵，在两边同时加上1得， +=+ . 两边分别通分得：
思考：请仿照上面的方法，证明“如果，那么”． （3）等比性质： 猜想（），与相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法） 等比性质：如果（），那么＝．思考：等比性质中，为什么要这个条件？ 三、巩固练习： 1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为1.5米的测竿的影长为 2.5米，那么，该建筑的高是多少米？ 2．若则 3．若，则 四、本课小结： 1．比例的基本性质：a:b=c:d； 2. 合比性质：如果，那么； 3. 等比性质：如果（），
比例线段教案 八年级数学教案 教学建议 知识结构 重难点分析 本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.以前的平面几何主要研究线段的位置关系和相等关系，从本章开始研究线段及相关图形的比例关系——相似三角形，这些内容的研究都离不开线段的比和比例性质的应用. 本节的难点是比例性质及应用，虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但由于内容比较简单，而且间隔时间较长，学生印象并不深刻，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，合分比性质以及等比性质学生又是初次接触，内容不但多，而且轻易混淆，作题不知应用哪条性质，不知如何应用是常有的. 教法建议 1?生活中比例的例子比比皆是，在新课引入时最好从生活实例引入，可使学生感觉轻松自然，轻易产生爱好，增加学生学习的主动性 2?小学时曾学过数的比及相关概念，学习时也可以复习引入，从数的比过渡到线段的比，渗透类比思想
3?这一节概念比较多，也比较轻易混淆，教学中可设计不同层次的题组来进行巩固,非凡是要举一些反例，同时要注重对相近概念的比较 4?黄金分割的内容要求学生理解，主要体现数学美，可由学生从生活中寻找实例，激发学生的爱好和参与感 5?比例性质由于变式多，理解和应用上轻易出现错误，教学时可利用等式性质和分式性质来处理 教学设计示例1 （第1课时） 一、教学目标 1?理解线段的比的概念. 2?通过与小学知识到比较，初步培养学生类比”的数学思想. 3?通过线段的比的有关计算，培养学习的计算能力. 4?通过引言”及例1”的教学，激发学生学习爱好，对学生进行热爱爱国主义教育? 二、教学设计 先学后做，启发引导 三、重点及难点
25.1 比例线段 教学设计思想 本节课通过举例实际生活中两条线段的比的问题引入比例线段的概念，可以充分调动学生联系实际和积极思维的能力．在讲解比例线段的概念与性质时，老师并非全盘讲授，而是组织学生思考，探究，学生经历发现结论的过程，真正理解比例线段性质。 教学目标 知识与技能： 1．能说出线段的比和成比例线段、比例中项的概念； 2．熟记比例的基本性质，并能利用该性质解决一些简单的问题； 3．会在一条线段上作出黄金分割点。 过程与方法： 通过观察、测量、画图、推理等方法探索结论，经历发现结论的过程，发展逻辑思维方法。 情感态度价值观： 通过了解黄金分割的应用，扩大视野，体会其中的文化价值。 教学重难点 重点：比例的概念与性质 难点：比例的性质及应用 教学方法 探索发现法 教学媒体 大小不等的两张中国地图 课时安排 1课时 教学过程设计 一、复习引入 出示两张大小不等的中国地图，问： 1.这两个图形有什么联系? 它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似形。 2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征，本节课先学习比例线段。 二、比例线段的概念
先从这两张相似的地图上研究。 请一位同学在地图上找出北京、上海、福州的位置，如果我们用A 、B 、C 分别表示大地图上的北京、上海、福州的位置，请用刻度尺在地图上量一量北京到上海的直线距离，即线段AB=＿＿cm ，上海到福州的直线距离，即线段BC=＿＿cm ，在小地图上用A ′、B ′、C ′、分别表示北京、上海、福州的位置，也量一量A ′B ′=＿＿cm ，B ′C ′=＿＿cm 。在地图上量出的AB 与A ′B ′，BC 与B ′C ′长度是否相等?为什么会不一样呢?线段AB 与A ′B ′，BC 与B ′C ′有什么关系呢?请同学们算一算它们两线段的长度的比，即AB ：A ′B ′，BC ：B ′C ′会有什么样的结果呢?我们会得到AB 与A ′B ′这两条线段的比与BC ，B ′C ′这两条线段的比是相等的，即=。 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即=，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 若线段a 、b 、c 、d 成比例，即a:b=c:d 。 注意：（1）两条线段的比就是它们的长度的比． （2）比与所选线段的长度单位无关，求比时，两条线段的长度单位要一致． （3）两条线段的比值总是正数．（并不都是正数） （4）除了a =b 之外，a b b a ::≠．b a 与a b 互为倒数． 上面地图中AB 、A ′B ′、BC 、B ′C ′这四条线段就是成比例线段，实际上两张相似的地图中的对应线段都是成比例的，同学们不妨再量一量北京到福州的距离，即AC 与A ′C ′，然后再算AC ；A ′C ′，看看是否成比例。如果≠，那会出现什么情况? 三、比例的性质： 比例的基本性质 问题1：如果d c b a =（或a :b =c :d ），那么ad =bc ,即比例的两外项的积等于两内项的积， 那么如何证明呢？（引导学生一起证明） 如果=那么b 叫做a 、c 的比例中项，也可以写成b 2 =ac 。 问题2：试说出这个性质的逆命题，它是真命题吗？如何证明？（由学生完成） 结论：ad =bc ? a :b =c :d ． 问题3：如果a :b =c :d 中的两个比例内项相等，即当a :b =b :c 时，又可以得到什么结论呢？（学生口答） 结论：由比例的基本性质可得：a :b =b :c ?ac b =2．我们把b 叫做a ，c 的比例中项。 三、黄金分割点 例1 如图，已知线段AB=m ，点C 在AB 上，并且 AC BC AB AC =，求线段AC 的长。
成比例线段练习题 概念复习：1、对于四条线段a 、b 、c 、d ，若有 ，则称这四条线段是 。 其中 是比例内项， 比例外项， 是第四比例项，内项积 外项积。 2、对于三条线段a 、b 、c ，若有 ，则称线段b 是线段a 、c 的比例中项。 3、对于成比例线段的四条线段a 、b 、c 、d ，若有ab=cd ，则有 ；反之也成立。 4、比例线段的合比性质是：若 ，则 。 5、比例线段的等比性质是：若 ，且 ，则 。 练习1： 1.如图,格点图中有2个三角形, 若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1， 则AB= ，BC= ，DE= ，EF= ，计算DE AB = ，EF BC = ，我们会得到AB 与DE 这两条线段的比值与BC 与EF 这两条线段的比值 （填相等或不相等）， 即DE AB ＝EF BC ，那么这四条线段叫做 ，简称比例线段． 2.已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？ ①a ＝16 cm ， b ＝8 cm ， c ＝5 cm ，d ＝10 cm; ②a ＝8 cm ，b ＝5 cm ， c ＝6 cm ， d ＝10 cm. 3、已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，且a ＝3㎝，b ＝2㎝，c ＝6㎝，则线段d= . 4、已知 d c b a ==3，b b a -=d d c -成立吗？验证一下。 5、在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是 。 1.下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a=2，b=3，c=2，d=3 B.a=4，b=6，c=5，d=10 C.a=2，b=5，c=23，d=15 D.a=2，b=3，c=4，d=1 2.若ac=bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.d c b a = B.c c b d d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd a b =
一、授课目的： 1,理解和应用比例的性质、 2，掌握平行线分线段成比例定理，并能熟练应用
【例 1】已知 x 变式 1：已知 a （ 二、授课内容： 知识考点： 本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应 用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。 精典例题： y z x - y + z = = ≠ 0 ，那么 ＝ 。 3 4 5 x + y + z 分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观 点求解，将已知条件转化为 x = 3 4 z ， y = z ，代入所求式子即可得解；三是设“ k ”值法求解，这种方法对 5 5 于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。 答案： 1 3 c e 2 a - 2c + e - 2 = = = ，若 b - 2d + f - 3 ≠ 0 ，则 ＝ 。 b d f 3 b - 2d + f - 3 变式 2：已知 x : y : z = 2 :1: 3 ，求 2 x - y + 3z x + 2 y 的值。 变式 3：已知 k = a + b - c a - b + c b + c - a = = ，则 k 的值为 。 c b a 答案： 1） 2 3 ；（2）3；（3）1 或－2； 【例 △2】如图，在 ABC 中，点 E 、F 分别在 AB 、AC 上，且 AE ＝AF ，EF 的延长线交 BC 的延长线于点 D 。求证：CD ∶BD ＝CF ∶BE 。 分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要 变换比 CF ∶BE ，为了变换比 CF ∶BE ，可以过点 C 作 BE 的平行线交 ED 于 G ，并设法证明 CG ＝CF 即可获证。 A A A E F E E F G G F B C D B C D B C D G 例 2 图 1 例 2 图 2 例 2 图 3 本例为了实现将比 CF ∶BE 转换成比 CD ∶BD 的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特 征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。
平行线截得比例线段定理八年级数学教案 ____(省、市、区、县)小街镇甸丰小学李逵 教学目标：1、理解平行线截得比例线段定理； 2、会证明平行线截得比例线段定理； 3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作辅助线的方法； 4、培养逻辑思维能力。 教学重点：1、几何证明中的证法分析； 2、添加辅助线的方法。 教学难点：如何添加有用的辅助线。 教学关键：抓住相似三角形的判定和性质进行教学。 教学方法：学习指导法，即读、思、练、讲。 一、复习铺垫 1、提问： 同学们，你会画相交线吗？
你会画平行线吗？ 2、请你自己试一试： ①画一组平行线； ②画一组相交线。 说明：让同学们自己在练习本上画，画得好的同学到黑板上板演。同一小组内的同学可以互相交流。 二、初步感知 请同学们按下面的要求做一做，按照顺序，做完一个再进行下一个。同一小组内的同学可以互相指导、互相交流。 1、画三条平行线（等距不等距均可，但要互相平行）； 2、画两条直线与上面的三条平行线相交； 3、找一找 ①三条平行线在两条直线上面截得了哪些线段？（小组内交流，你是怎样找到的） ②哪条线段和哪条线段是对应线段？（小组内交流，你是怎样想的） 4、量一量
三条平行线在两条直线上截得的线段的长度各是多少。（精确到毫米） 5、算一算 ①对应线段的比值是多少？ ②你是按什么顺序写出比的？ 6、观察总结 在算出的比值中，它们的比值相等吗？ 请你把比值相等的两个比写成比例。 7、猜想结论 从写出的比例式子，你能猜出什么结论吗？ 请把你的结论说一说，然后写出来。 8、验证结论 你的结论正确吗？重新画个图形试一试。 三、探索，寻找理论支持（根据） 1、你能用你学过的知识来证明你得到的结论吗？ 2、怎样才能把现在的结论和以前学过的知识联系起来？
优秀学习资料欢迎下载 九年级数学学案 课题比例线段 主备人 课时 时间 学习目标 1.理解线段成比例及有关概念的意义 . 2.掌握比例基本性质及运用 . 3.理解平行线分线段成比例定理并会应用。 重点线段成比例、比例基本性质及平行线分线段成比例定理运用. 导学过程 师生活动 一、导入知识梳理 1. 线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段 a 、 b 的长度分别为 m 、n ， 那么就说这两条线段的比是a ：b=m ：n ，或写成 a m = b n ，和数的一样，两条线段的比 a 、 b 中，a 叫做比的前项 b 叫做比的后项． 2. 线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于 另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果或a ：b=c ：d ，那么a 、b 、c 、d 叫做成比例的项，线段a 、d 叫做比例外项，线段 b 、d 叫做比例内项，线段 d 叫做a 、b 、c 的第四比例项。 3.比例基本性质：如果a ：b=c ：d ，那么ad=bc ；反之亦成立。 4．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 二、导学精典例题： 【例1】已知 05 4 3 z y x ，那么 z y x z y x ＝。答案： 3 11. 变式：已知3:1:2::z y x ，求 y x z y x 232的值。答案：3 2．（2012北京）已知 02 3 a b ≠，求代数式 2 2 5224a b a b a b 的值．答案： 1 2 【例2】如图，在△ABC 中，点E 、F 分别在AB 、AC 上，且AE ＝AF ，EF 的延长线交BC 的延长线于点 D 。在下面的三个图形中任选一个探究： 是否存在CD ∶BD 等于 CF ∶BE 。若存在请证明，若不存在请说明理由。 例2图1 G F E D C B A 例2图2 G F E D C B A 例2图3 G F E D C B A 【例3】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
九年级数学上册教案 吧 斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋
4.1 成比例线段 第1课时 线段的比和成比例线段 1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点） 2.理解成比例线段的概念；（重点） 3.掌握成比例线段的判定方法.（难点） 一、情景导入 请观察下列几幅图片，你能发现些什么？你能对观察到的图片特点进行归纳吗？ 这些例子都是形状相同、大小不同的图形.它们之所以大小不同，是因为它们图上对应的线段的长度不同. 二、合作探究 探究点一：线段的比 【类型一】 求线段的比 已知线段AB ＝2.5m ，线段CD ＝400cm ，求线段AB 与CD 的比. 解析：要求AB 和CD 的比，只需要根据线段的比的定义计算即可，但注意要将AB 和CD 的单位统一. 解：∵AB ＝2.5m ＝250cm ， ∴AB CD ＝250400＝58 . 方法总结：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【类型二】 比例尺 在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是3cm ，则甲、乙两地的实际距离是 m. 解析：根据“比例尺＝图上距离实际距离 ”可求解. 设甲、乙两地的实际距离为x cm ，则有1：50 000＝3：x ，解得x ＝150 000. 150 000cm ＝1500m.故答案为1500.
方法总结：理解比例尺的意义，注意实际尺寸的单位要进行恰当的转化. 探究点二：成比例线段 【类型一】 判断线段成比例 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A.3cm ，4cm ，5cm ，6cm B.4cm ，8cm ，3cm ，5cm C.5cm ，15cm ，2cm ，6cm D.8cm ，4cm ，1cm ，3cm 解析：将每组数据按从小到大的顺序排列，前两条线段的比和后两条线段的比相等 的四条线段成比例.四个选项中，只有C 项排列后有25＝615 .故选C. 方法总结：判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【类型二】 由线段成比例求线段的长 已知：四条线段a 、b 、c 、d ，其中a ＝3cm ，b ＝8cm ，c ＝6cm. （1）若a 、b 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度； （2）若b 、a 、c 、d 是成比例线段，求线段d 的长度. 解析：紧扣成比例线段的概念，利用比例式构造方程并求解. 解：（1）由a 、b 、c 、d 是成比例线段，得 a b ＝c d ，即38＝6d ，解得d ＝16. 故线段d 的长度为16cm ； （2）由b 、a 、c 、d 是成比例线段，得 b a ＝ c d ，即83＝6d ，解得d ＝94 . 故线段d 的长度为94 cm. 方法总结：利用比例线段关系求线段长度的方法：根据线段的关系写出比例式，并把它作为相等关系构造关于要求线段的方程，解方程即可求出线段的长. 已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你再给出一条线段，使得它的长与前面三条线段的长能够组成一个比例式. 解析：因为本题中没有明确告知是求1，2，2的第四比例项，因此所添加的线段长可能是前三个数的第四比例项，也可能不是前三个数的第四比例项，因此应进行分类讨论. 解：若x ：1＝2：2，则x ＝22 ；若1：x ＝2：2，则x ＝2；若1：2＝x ：2，则x ＝2；若1：2＝2：x ，则x ＝2 2. 所以所添加的线段的长有三种可能，可以是22 cm ，2cm ，或22cm. 方法总结：若使四个数成比例，则应满足其中两个数的比等于另外两个数的比，也可转化为其中两个数的乘积恰好等于另外两个数的乘积.