第一章模糊集合1.1模糊基本概念
模糊集合A的表示方法
序偶法、Zadeh法、模糊向量法（隶属度为0的不能舍弃）
1.2模糊集的运算
特性：自反性、反对称性、传递性
并交补的性质：
幂等律、交换律、结合律、吸收律、分配律、零一律、复原律、对偶律
模糊集上的补运算不满足互补律
1.3模糊算子
（1）Zadeh算子：
（2）代数算子：
（3）有界算子：
（4）强烈算子：
四种算子关系：
1.4模糊集的截集
支集
核
1.5分解定理
定理1 1.6模糊集的模糊度
满足条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
三种模糊度：
（1）海明模糊度
（2）欧几里得
第二章扩张原理与模糊数2.1扩张原理
定理1
例2
2.2多元扩张原理定理1
例1
2.3区间数例题
2.4凸模糊集例1
定理1 2.5模糊数定义1
定理1
例2
例3
第三章模糊模式识别
3.1模糊集的贴近度满足条件：
①
②
③
海明贴近度
欧几里德
最大最小
格贴近度
模糊模式识别的方法：
直接方法、间接方法
第四章模糊关系与聚类分析
4.2模糊矩阵及截矩阵
转置矩阵、对称矩阵、自反矩阵模糊转置关系的性质
4.4模糊关系的合成
例1 4.5模糊关系的传递性定义1
定义2
例题
第五章模糊变换与综合评判模糊变换
例1 模糊综合评判
(1)建立因素集
(2)建立判断集
(3)单因素模糊评判
(4)建立权重集
(5)模糊综合评判
第六章模糊故障诊断
第七章模糊语言与模糊推理模糊语言与模糊算子
模糊语言变量
模糊算子
语言值
模糊推理的方法及算法
问题1：模糊关系的生成规则。设A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集。根据模糊推理的大前提条件，确定模糊关系
问题2：模糊推理的合成规则。即由模糊关系和小前提中的模糊集A`得到Y上的模糊集B`，即
推理方法
（1）单输入单输出
（2）多规则单输入单输出
（3）多输入单输出
（4）多规则、多输入单输出
（5）多规则、多输入多输出
第八章模糊控制
模糊逻辑系统的基本结构
（1）模糊规则基
（2）模糊推理
（3）模糊化
（4）解模糊化
模糊控制的基本结构图
U上的x
一．模糊数学的基础知识 1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。 普通集合A，对，有或。 如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为）称为集合的隶属函数。即对于每一个元素，有[0,1]内的一个数与之对应。 （1）模糊子集的定义：射给定论域U，U到[0，1]上的任一映射： 都确定了U上的一个模糊集合，简称为模糊子集。称为元素属于模糊集的隶属度。映射所表示的函数称为隶属函数。 例如：设论域U=[0，100]，U上的老年人这个集合就是模糊集合： 若在集合U上定义了一个隶属函数，则称为模糊集。 （2）模糊集合的表示：，称为元素属于模糊集的隶 属度；则模糊集可以表示为：。 或，， （3）模糊集合的运算： ，， 并集： ， 交集： ， 补集：， 包含：， 2．模糊集的截集
已知U上模糊子集 对，则称为模糊集的-截集； 称为模糊集的-强截集；称为、的置信水平或阀值。 二．模糊数学的基本定理 1．模糊截积： 已知U上模糊子集 对，也是U上模糊集，其隶属函数为： ； 称为为与的模糊截积。 2．分解定理1：已知模糊子集，则 推论1：对 3．分解定理2：已知模糊子集，则 推论2：对 三．模糊关系与模糊聚类 1．模糊关系与模糊关系的合成 （1）模糊关系 普通集合的经典关系， 模糊关系：从U到V 上的一个模糊关系：，表示具有的关系程度，。（满足01）称为U 到V 上的一个模糊关系的模糊矩阵。 （2）．设＝和=为两个模糊矩阵，令
＝，＝1，2，…,,=1,2,…,。 则称矩阵=为模糊矩阵与的褶积，记为 ＝, 其中“”和“”的含义为 显然，两个模糊矩阵的褶积仍为模糊矩阵 2. 模糊等价矩阵及其矩阵 设方阵为以模糊矩阵，若满足 = 则称为模糊等价矩阵。 模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲像乙，乙像丙，则甲像丙”这样的关系。 设＝为一个模糊等价阵，01为一个给定的数，令 则称矩阵为的截阵 例如， ＝ 为一个模糊等价阵，取0.4<,则 = 若取，则 =
第六章模糊数学基础6.1概述 6.1.1传统数学与模糊数学 6.1.2不相容原理 6.2 模糊集合与隶属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算 6.2.2 隶属度函数 6.3 模糊逻辑与模糊推理 6.3.1模糊逻辑 6.3.2模糊语言 6.3.3 模糊推理
第六章 模糊数学基础 6.1 概述 6.1.1 传统数学与模糊数学 6.1.2 不相容原理 1965年，美国自动化控制专家扎德（L. A. Zadeh ）教授首先提出用隶属度函数 (membership function)来描述模糊概念，创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了基础。 不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特性作出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直到达到一个阈值，一旦超过它，精确和有意义二者将会相互排斥”。这就是说，事物越复杂，人们对它的认识也就越模糊，也就越需要模糊数学。不相容原理深刻的阐明了模糊数学产生和发展的必然性，也为三十多年来模糊数学的发展历史所证实。 6.2 模糊集合与隶属度函数 6.2.1 模糊集合及其运算 一、模糊集合（Fuzzy Sets ）的定义 传统集合中的元素是有精确特性的对象，称之为普通集合。例如，“8到12之间的实数”是一个精确集合C ，C ={实数r |8≤r ≤12}，用特征函数μC (r )表示其成员，如图6.1(a)所示。 ??? ? ?≤≤=其它 ， ， 012 81)(r r C μ 在模糊论域上的元素符合程度不是绝对的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。例如，“接近10的实数”是一个模糊集合F ＝{r |接近10的实数}，用“隶属度(Membership)” μF (r )作为特征函数来描述元素属于集合的程度。 1 812 1 107.2911 0.750.275 12.8 r r μC （r ） μF （r ） (a) (b) 图6.1 普通集合与模糊集合的对比
浅谈模糊数学在浦南金山区河流水质评价中的应用摘要:随着浦南金山地区的水资源评价与保护的重要性日渐突出，对金山区河流水质评价要求也随之提高,以往的一般统计方法难以满足要求。针对浦南金山区水资源状况与河流的特点，选择模糊数学综合评判法对金山区河流面杖港近期水质进行评价，说明模糊数学评价法在金山区河流水质评价中的适用性。 关键词:模糊数学；综合评判；水资源状况；评价因子；隶属函数；金山地区；面杖港 abstract: with the punan kingsoft region water resources assessment of the importance of protecting and becomes more and more serious, and to jinshan river water quality assessment requirements increases, the former general statistical methods are hard to meet the requirements. according to punan jinshan river water resources situation and features and choose a fuzzy mathematic comprehensive evaluation method of jinshan river port of rod surface water recent evaluation, shows that fuzzy mathematical evaluation method in jinshan river water quality assessment of applicability. keywords: fuzzy mathematics; comprehensive evaluation; water resources situation; evaluation factors; membership functions; kingsoft region; rod surface port
第1讲模糊数学简介、教学安排 1.简介 （1）发展历史 美：65，L.A.zadeh，信息与控制（理论研究开始）（模糊控制例子：开汽车，杂技演员表演-倒立摆） 英国：74，马丹尼，蒸汽机控制 丹麦：80，丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模糊系统实现了对水泥窑炉的控制。 日本：72，Sugeno，F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９３）。 84，Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)。８８年，日立公司使日本仙台市地铁实现了模糊控制（简介）。 85，IFSA 成立国际模糊系统协会 我国：70年代，王培庄等人，开始主要是理论研究，并且与经典数学相对应的各个领域都有人研究，现在研究、利用模糊技术的领域已经深入到社会、经济等各个方面。 国际杂志： *FSS-Fuzzy Set and Systems， *IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993), *Fuzzy Mathematics etc. IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。１９９５年IEEE 给Zadeh授予了学会的荣誉勋章。 （2）趋势 ①研究与应用人数逐年上升 ②应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如： *在软科学方面，模糊技术已用到了投资决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏观调控、中长期市场模糊预测等领域。 *工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊控制以及磨煤机模糊控制等。 *在人工智能与计算机领域，已经出现了模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产品，同时还出现了F-Prolog、Fuzzy-C等语言系统。 *在地震科学方面，模糊技术已涉及到中长期地震预报、地震危险分析和潜在震源识别、地震灾害预测以及减轻地震灾害对策等等。 *在航空航天及军事领域，模糊技术已用到了飞行器对接、C3I指定自动化系统 等方面。 *模糊家电产品：模糊洗衣机，空调，烤箱，照相机，摄像机，…… ③与其它学科结合越来越紧，如： 模糊神经网络 模糊遗传算法 …………………… 2.教学安排（课程内容）：
浅谈模糊数学理论下的采矿方法选择 摘要：矿产资源是人类赖以生存和发展的物质基础，是生产力构成的主要因素之一。传统的采矿方法难以适应复杂多变的地质条件以及难以准确预测和定量描述其他因素。随着近代数学及计算机技术的发展，运用模糊数学理论来优选采矿方法，具有一定的科学性和现实意义。 关键词：模糊数学;采矿方法;选择 矿产资源是人类赖以生存和发展的物质基础，是国家经济起飞的首要条件及经济实力的重要标志，是生产力构成的主要因素之一。采矿方法的选择对安全生产、提高矿石产量、降低矿石损失率和贫化率、提高劳动生产率和降低成本等具有重要影响，关系到矿山的效益甚至矿山的生存和发展。采矿方法的选择又是一项复杂的系统工程，矿床地质条件和矿体赋存条件与采矿方法之间是一个复杂的非线性关系。传统的采矿方法难以适应复杂多变的地质条件以及难以准确预测和定量描述其他因素，基于此本文提出了用模糊数学理论来优选采矿方法。选出的采矿方法在一定程度上能够克服主观性和随意性，具有良好的科学性，并能为矿山企业选择采矿方法提供可靠的理论依据。 1传统的采矿方法选择技术 传统的采矿方法选择主要分为三步，首先根据矿床地质特征和采矿技术条件初选可行方案，然后进行技术积极分析，若比较的方案之间差异不明显，需要进行细致的综合分析选出最优的采矿方法。该方法依靠人的经验，主观随意性较大，结果比较主观、片面，缺乏科学性。因此，需要综合采矿领域多位专家的经验，并运用科学理论将经验决策上升到科学化的决策水平，实现采矿方法的优化选择。 2现代采矿方法 2.1基于数学及计算机技术的采矿方法 近代数学及计算机技术的发展是发展当代科学技术的理论基础，采矿方法的选择只有运用了近代数学及计算机技术才能上升到科学的高度。近年来，很多专家学者对此进行了深入研究并提出了运用模糊数学选择采矿方法，运用灰色关联分析选择采矿方法，运用灰色局势决策选择采矿方法，运用多目标决策选择采矿方法，运用价值工程选择采矿方法以及运用人工智能选择采矿方法等。 灰色理论选择采矿方法包括灰色关联分析和灰色局势决策，该方法可以克服采矿知识的不完全性和非确知性，但是没考虑到方案中各目标、各因素的相对重要程度，不符合实际情况;多目标决策选择采矿方法各目标权重的确定具有一定的人为因素。权重确定的正确与否直接决定着决策结果是否合理。因而，此法得出的结果可能会与实际情况不符;运用价值工程，主要考虑的是经济技术指标，选择的采矿方法不能很好的适应矿床地质开采技条件。人工智能主要采用专家系统，但是专家系统仍存在着知识获取的瓶颈，知识窄台阶，推理能力弱，智能水平低，系统次少，适用性差等问题。
模糊数学简介 模糊数学是数学中的一门新兴学科，其前途未可限量。1965年，《模糊集合》的论文发表了。作者是著名控制论专家、美国加利福尼亚州立大学的扎德（L.A.Zadeh）教授。康托的集合论已成为现代数学的基础，如今有人要修改集合的概念，当然是一件破天荒的事。扎德的模糊集的概念奠定了模糊性理论的基础。这一理论由于在处理复杂系统特别是有人干预的系统方面的简捷与有力，某种程度上弥补了经典数学与统计数学的不足，迅速受到广泛的重视。近40年来，这个领域从理论到应用，从软技术到硬技术都取得了丰硕成果，对相关领域和技术特别是一些高新技术的发展产生了日益显著的影响。有一个古老的希腊悖论，是这样说的：“一粒种子肯定不叫一堆，两粒也不是，三粒也不是……另一方面，所有的人都同意，一亿粒种子肯定叫一堆。那么，适当的界限在哪里？我们能不能说，123585粒种子不叫一堆而123586粒就构成一堆？”确实，“一粒”和“一堆”是有区别的两个概念。但是，它们的区别是逐渐的，而不是突变的，两者之间并不存在明确的界限。换句话说，“一堆”这个概念带有某种程度的模糊性。类似的概念，如“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等等，不胜枚举。经典集合论中，在确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”。我们可以用两个值0或1加以描述，属于集合的元素用1表示，不属于集合的元素用0表示。然而上面提到的“年老”、“高个子”、“年轻人”、“很大”、“聪明”、“漂亮的人”、“价廉物美”等情况要复杂得多。假如规定身高1.8米算属于高个子范围，那么，1.79米的算不算？照经典集合论的观点看：不算。但这似乎很有些悖于情理。如果用一个圆，以圆内和圆周上的点表示集A，而且圆外的点表示不属于A。A的边界显然是圆周。这是经典集合的图示。现在，设想将高个子的集合用图表示，则它的边界将是模糊的，即可变的。因为一个元素（例如身高1.75米的人）虽然不是100%的高个子，却还算比较高，在某种程度上属于高个子集合。这时一个元素是否属于集合，不能光用0和1两个数字表示，而可以取0和1之间的任何实数。例如对1.75米的身高，可以说具有70%属于高个子集合的程度。这样做似乎罗嗦，但却比较合乎实际。精确和模糊，是一对矛盾。根据不同情况有时要求精确，有时要求模糊。比如打仗，指挥员下达命令：“拂晓发起总攻。”这就乱套了。这时，一定要求精确：“×月×日清晨六时正发起总攻。”我们在一些旧电影中还能看到各个阵地的指挥员在接受命令前对对表的镜头，生怕出个半分十秒的误差。但是，物极必反。如果事事要求精确，人们就简直无法顺利的交流思想——两人见面，问：“你好吗？”可是，什么叫“好”，又有谁能给“好”下个精确的定义？有些现象本质上就是模糊的，如果硬要使之精确，自然难以符合实际。例如，考核学生成绩，规定满60分为合格。但是，59分和60分之间究竟有多大差异，仅据1分之差来区别及格和不及格，其根据是不充分的。不仅普遍存在着边界模糊的集合，就是人类的思维，也带有模糊的特色。有些现象是精确的，但是，适当的模糊化可能使问题得到简化，灵活性大为提高。例如，在地里摘玉米，若要找一个最大的，那很麻烦，而且近乎迂腐。我们必须把玉米地里所有的玉米都测量一下，再加以比较才能确定。它的工作量跟玉米地面积成正比。土地面积越大，工作越困难。然而，只要稍为改变一下问题的提法：不要求找最大的玉米，而是找比较大的，即按通常的说法，到地里摘个大玉米。这时，问题从精确变成了模糊，但同时也从不必要的复杂变成意外的简单，挑不多的几个就可以满足要求。工作量甚至跟土地无关。因此，过分的精确实际成了迂腐，适当的模糊反而灵活。显然，玉米的大小，取决于它的长度、体积和重量。大小虽是模糊概念，但长度、体积、重量等在理论上都可以是精确的。然而，人们在实际判断玉米大小时，通常并不需
《模糊数学》学习心得 姓名：李书纲 学号：200805050303 专业：信息与计算科学 老师；黄晓昆 地点：文鼎楼502
《模糊数学》学习心得 在大四的上学期，我们数学学院给我们开了黄晓昆老师的《模糊数学》这门课，这是继《近世代数基础》后黄老师给我们上的第二门比较抽象的课程。“模糊数学”这个词一听上去就很抽象，翻开课本是感觉更“模糊”。但在学习了半个学期后，对这门课程有了一定的了解，并学到了一部分知识，也积累了一点自己的学习心得体会。 先说说什么是“模糊数学”。模糊数学是相对于精确数学而言的，在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，为了研究这些与模糊概念相关的东西，“模糊数学”就产生了。 1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生。模糊数学的研究内容主要有：第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。查德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复
统计与决策２０11年第15期（总第339期 ） 人们在日常生活中常常碰到许多需要比较、判断的问题：在北京、海南和杭州三处选择一个旅游点，要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用；在旅游期间对酒店的选择，要考虑酒店的价格、顾客满意度、安全度、服务和环境质量；在选择旅游方式上，是选择自助旅游，团队旅游还是单项委托旅游，这取决于旅客的经济能力、性格爱好、健康状况和游客对旅游目的地的了解程度等等。人们在处理这些问题的时候，要考虑的因素会涉及到经济、社会、人文等各方面，但一个共同的特点是它们都需要作比较、判断、评价或决策，人的主观选择会起相当主要的作用，若需要更准确的决策，就需要借助数学方法，而影响判断的这些因素的重要性、影响力或优先程度难以量化，这就给用一般的数学方法解决问题带来实际上的困难。这时可以采用模糊评价的方法。红色旅游资源是指以革命纪念地、纪念物，以及所承载的革命精神为内涵，以现代旅游为基本形式，组织接待旅游者参观游览、学习革命历史知识、接受革命传统教育以振奋精神、放松身心、增加阅历的旅游活动资源，是红色革命精神与现代旅游经济的结晶。江西是一个红色旅游资源大省，资源丰富且数量多、分布广、类型全、品位高，被称为“红色摇篮”。这里有毛泽东所领导建立的第一个革命根据地“中国红色革命摇篮”——井冈山，举世闻名的的八一起义英雄城——南昌，中国工农红军万里长征的始发地、中华苏维埃共和国诞生地“红色故都”——瑞金等众多中国革命之最。在此运用定量分析的方法对这三个红色旅游革命圣地进行品质综合评价。1 模型的建立与求解 1.1符号说明 I 1：交通便利评价指标I 2：环境与服务质量评价指标I 3：红色旅游资源知名度评价指标W 1：交通便利评价指标的权重 W 2：红色旅游资源知名度评价指标的权重W 3：环境与服务质量评价指标的权重 1.2景点品质综合评价模型 对于交通便利（I 1）和环境与服务质量(I 2)这两个指标用模糊集{很好，好，较好，一般，较差}表示，对于红色旅游资源知名度（I 3）这个指标用访问量表示。 交通便利：我们以市区和目的地之间的距离为标准，运用谷歌地图搜索出它们之间的距离。根据乘客的旅游心理，当然是花费在车上的时间越少越好。作为中部省会城市，南昌的地理位置非常优越，它地处长江中下游，鄱阳湖西南岸，承东启西，纵贯南北。井冈山地区处在江西省与湖南省的交界地带，不但拥有自己的飞机场，而且还临近京九铁路，交通非常的便利。而瑞金位于江西省南部与福建接壤的两省交界处，交通不是很畅通。 环境与服务质量：游客满意程度是旅游景区服务质量高低的最有说服力的体现，它主要表现在游客在游览过程中享受到的人力、实物服务的使用价值，所得物质和心理的感受与评价。景区的软硬件等各方面的质量最终都通过游客满意度表现出来。因此本人在景区发放了200份问卷调查，收到了197份有效问卷，最终得出了结论。 基于模糊数学的旅游目的地综合评价 樊国敬 （赣南师范学院，江西赣州341000） 摘 要：模糊综合评价方法是模糊数学中应用的比较广泛的一种方法。在对某一事物进行评 价时常会遇到这样一类问题，由于评价事物是由多方面的因素所决定的，因而要对每一因素进行评价；在每一因素作出一个单独评语的基础上，如何考虑所有因素而作出一个综合评语，这就是一个综合评价问题。以南昌，井冈山和瑞金为例，利用模糊综合评价，通过对交通条件，红色旅游资源知名度和环境与服务质量的分析，从而对江西三大红色旅游胜地进行品质综合评价。 关键词：模糊数学；综合评价；隶属函数；权重系数中图分类号：F592.7 文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2011）15-0186-03 基金项目:江西省人文社科共建资助项目（07YJ221） 作者简介：樊国敬（1972－），男，安徽临泉人，博士研究生，副教授，研究方向：旅游经济。旅游目的地 南昌井冈山瑞金 交通便利很好很好一般 红色旅游资源知名度 300125372300187504 环境与服务质量 好很好较好 表1 南昌、井冈山和瑞金的情况一览表*数据来源：南昌旅游管理局，井冈山旅游管理局，瑞金旅游管理局。 186
基于模糊数学的网络安全风险评估 1.摘要 针对计算机网络频繁遭受到攻击的情况，在分析网络安全的基础上，本论文将模糊数学的方法运用于网络安全风险评估中, 综述了计算机网络安全以及网络信息安全评估标准和评价现状，探索了用模糊数学综合评价方法进行网络安全风险评估的应用途径。 2.引言 随着信息化进程的深入和互联网应用的快速发展，人们的工作、学习和生活方式正发生着巨大变化，效率也大大提高，信息资源和系统资源得到了最大程度的共享。网络技术的不断发展，不仅仅为人们的生活带来了惊喜，同时也带来了威胁。 网络安全正逐渐成为一个国际化的问题，计算机犯罪、黑客和病毒程序等严重威胁着网络安全，每年全球因计算机网络的安全系统被破坏而造成的经济损失达数千亿美元，因此网络的安全性也就变的特别重要，风险评估是安全建设的出发点，尽可能的把对系统未来一段时间内可能遭受的可疑攻击行为进行预测和防范，从而为安全管理人员制定系统安全策略提供参考。 网络安全风险评估的目的是服务于网络的发展，促进网络安全保障体系的建设，提高网络的安全保护能力。同时，加强网络安全风险的评估是我国当前信息安全工作的客观需要和紧迫需求，为加强宏观网络安全管理，促进网络安全保障体系建设，就必须加强安全评估工作，并逐步通过法规，标准手段加以保障，并逐步使网络安全评估工作朝向制度化的方向发展。 3.模糊数学基础 3.1 模糊数学发展状况 与其他学科一样，模糊数学也是因实践的需要而产生的，在日常生活和科学技术中，模糊概念处处存在。现代数学是建立在集合论的基础上，集合可以表现概念，而集合中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都可能纳入集合描述的数学框架。 在较长的时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，是以精确性为主要特征的，获得显著效果。但是在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。模糊数学是以不确定性的事物为研究对象的，应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、计算机应用等各个方面，模糊数学的理论研究领域相当广泛。 3.2 模糊数学方法 模糊数学集合不同于经典集合，它是没有精确边界的集合，可以灵活地对普遍采用的语言变量进行建模。模糊集合表示的是元素属于集合的程度。因此，模糊集合特征函数的取值范围在0和1之间，以便表示元素属于一个给定集合的程度。 模糊数学方法主要包括模糊聚类分析，模糊模型识别，模糊决策，模糊线性规划，模糊控制等几个方面。它主要是描述某一事件的发生与否具有一定的不确定性和某一对象是否符合某一概念的不确定性。 4.风险评估 所谓风险评估，就是判断信息技术基础设施的安全状况能力，确定计算机系统和网络中每一种资源缺失或遭到破坏对整个系统造成的预计损失数量，是对威胁、脆弱点以及由此带来的风险大小的评估。评估标准在信息系统风险评估过程中的指导作用不容忽视，而在评估过程中使用何种方法对评估的有效性同样占有举足轻重的地位。本文采用模糊数学中的综合评判法对网络安全的风险进行研究与分析，能较好的解决评估的模糊性，也在一定程度上解决了从定性到定量的难题,但是由于风险要素的确定和评估本身带有主观性，因此风险评估中出现误差也是难免的。
第1讲 模糊数学简介、教学安排 一、简介 1.发展历史 美：65，L.A.Zadeh，信息与控制（理论研究开始）（模糊控制例子：开汽车，杂技演员表演-倒立摆） 英国：74，马丹尼，蒸汽机控制 丹麦：80，丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模糊逻辑实现了对水泥窑炉的控制。 日本：72，Sugeno，F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９３）。84，Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)。８８年，日立公司对日本仙台市地铁实现了模糊控制（简介）。 85，IFSA 成立国际模糊系统协会 我国：70年代，王培庄等人，开始主要是理论研究，逐步与经典数学相对应的各个领域都有人研究。当前研究、利用模糊技术的领域已经扩展到经济、社会等各个方面。 国际杂志：
*FSS-Fuzzy Set and Systems， *IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993), *Fuzzy Mathematics etc. IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。１９９５年IEEE给Zadeh 授予了学会的荣誉勋章。 2.趋势 ①研究与应用人数逐年上升 ②应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如： *在软科学方面，模糊技术已用到了投资决策、企业效益评估、区域发展规划、经济宏观调控、中长期市场模糊预测等领域。 *工业过程控制方面，已实现了冶金炉窑模糊控制、化工过程模糊控制、水泥窑炉模糊控制以及磨煤机模糊控制等。 *在人工智能与计算机领域，已经出现了模糊推理机、模糊控制计算机、模糊专家系统、模糊数据库、模糊语音识别系统、图形文字模糊识别系统、模糊控制机器人等高新技术产品，同时还出现了F-Prolog、Fuzzy-C等语言
基于模糊数学的网络安全风险评估 模型 学院电信学院 专业计算机软件与理论 学号 姓名 日期2010年12月10日
基于模糊数学的网络安全风险评估模型 兰州交通大学电子与信息工程学院，兰州（730070） 摘要：针对计算机网络频繁遭受到攻击的情况，在分析网络安全的基础上，本论文将模糊数学的方法运用于网络安全风险评估中,综述了计算机网络安全以及网络信息安全评估标准和评价现状，探索了用模糊数学综合评价方法进行网络安全风险评估的应用途径。初步的实验结果表明，应用模糊数学分析网络的安全风险评估中，可以得到一种较为实际和准确的描述。 关键词:网络安全模糊综合评价风险评估模糊数学 Abstract：There are frequent attacks on computer network now. This paper proposes a new network security risk analysis method in which fuzzy mathematics is applied ,Overview of the computer network security, and network information security evaluation criteria and the evaluation of the current situation, explore a comprehensive evaluation method using fuzzy mathematics for network security risk assessment of the application. The preliminary experiment shows that this method can attain a more accurate description in analyzing network security status. Keywords: Network Security , Fuzzy Comprehensive Assessment ,Risk Assessment, Fuzzy Mathematics
模糊数学结课报告
本学期选修了模糊数学这门课，旨在对自己以后在数学的学习上有所帮助，同时也拓宽自己的知识面和训练自己的逻辑思维。通过老师的讲授再加上自己查阅一些关于模糊数学的资料书，有了自己对模糊数学这门学科的一些理解，下面进行简单阐述。 摘要：模糊数学又称Fuzzy 数学，是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。1965年以后，在模糊集合、模糊逻辑的基础上发展起来的模糊拓扑、模糊测度论等数学领域的统称。是研究现实世界中许多界限不分明甚至是很模糊的问题的数学工具。在模式识别、人工智能等方面有广泛的应用。在1965 年美国控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合》，标志着这门新学科的诞生。现代数学建立在集合论的基础上。对模糊性的数学处理是以将经典的集合论扩展为模糊集合论为基础的，乘积空间中的模糊子集就给出了一对元素间的模糊关系。对模糊现象的数学处理就是在这个基础上展开的。 模糊性数学发展的主流是在它的应用方面。由于模糊性概念已经找到了模糊集的描述方式，人们运用概念进行判断、评价、推理、决策和控制的过程也可以用模糊性数学的方法来描述。例如模糊聚类分析、模糊模式识别、模糊综合评判、模糊决策与模糊预测、模糊控制、模糊信息处理等。这些方法构成了一种模糊性系统理论，构成了一种思辨数学的雏形，它已经在医学、气象、心理、经济管理、石油、地质、环境、生物、农业、林业、化工、语言、控制、遥感、教育、体育等方面取得具体的研究成果。模糊性数学最重要的应用领域应是
计算机智能。它已经被用于专家系统和知识工程等方面，在各个领域中发挥看非常重要的作用，并已获得巨大的经济效益。 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性”现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异的中间过渡界线的“不分明性”。如储层的含油气性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进行推断或识别。在此介绍油气勘探中常用的模糊聚类分析和模糊识别。 模糊聚类分析是在模糊相似矩阵的基础上，对分类对象进行定量分类的方法。 主要内容：数据标准化建立、模糊相似矩阵。 一、数据标准化 1.原始数据 设论域U 是n 个被分类对象构成的集合,每个对象又有m 个描述对象特征的变量,它们的观测值构成原始数据矩阵: 2.极差正规化 ????? ?? ?????=nm n n m m x x x x x x x x x X 2 1 22221 11211
第一部分模糊计算课后任务 找一些使用模糊数学作为基础的实际应用，并归类整理。对每种实际应用进行简单介绍，并形成文档。 模糊数学的应用 1、模糊模式识别 2、模糊聚类分析 3、模糊综合评价 4、模糊控制系统 5、模糊数学在决策中的应用 1、模糊模式识别 模式识别就是机器的识别，目的在于让机器自动识别事物。 一个典型的模式识别系统，由数据获取、预处理、特征提取和选择、分类决策以及分类器组成。一般分为学习过程和识别过程，通过这两个过程对未知类别进行分类。 在生活中有些模式的界限是不明确的，所以对于界限不明确的模式识别就称为模糊模式识别。模糊模式识别主要分为三个步骤： （1）、提取特征 （2）、建立标准类型模型 （3）、建立识别判决准则 例如：医疗诊断问题，通过病人的症状对病人进行诊断。 设病人集合为P={p1,p2,p3,p4},症状结合X={x1(发烧),x2(头痛),x3(胃疼),x4(咳嗽),x5(胸痛)},诊断结论的集合D={A1(病毒性感冒),A2(疟
疾),A3(伤寒),A4(胃病),A5(胸部问题)}。通过专家经验数据，可以得到症状与诊断结果的关系，然后通过数据关系建立症状与诊断结果的标准模型，最后经过判别准则对新的病人进行诊断。这里判别准则大致有以下几种，最大隶属度原则、阈值原则、折近原则等等。 2、模糊聚类分析 “聚类”就是按照一定的要求和规律对事物进行区分和分类，传统的聚类分析是一种硬划分，他把每个待分类的对象严格的划分到某类中，即划分界限是明确的。生活中对象大多数都没有明确的界限划分，所以，需要利用模糊集的理论来对对象进行分类，这种聚类分析叫做模糊聚类分析。常用的模糊聚类分析大致分为两类，其一是基于模糊关系（矩阵）的聚类分析，其二是基于目标函数的聚类分析。 基于模糊关系的聚类分析：即利用模糊集合之间的相似程度来对对象进行分类，大致步骤为： （1）、数据规格化 （2）、构造模糊相似矩阵 （3）、模糊分类 数据规格化的方法有： （1）标准化方法 （2）均值规格化方法 （3）中心规格化方法 （4）最大值规格化方法
模糊数学的产生发展和应用 模糊数学又称FUZZY 数学。“模糊”二字译自英文“FUZZY ”一词，该词除了有模糊意思外，还有“不分明”等含意。有人主张音义兼顾译之为“乏晰”等。但他们都没有“模糊”含意深刻。模糊数学是研究和处理模糊性现象的一种数学理论和方法。 模糊数学的产生 现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都可能纳入集合描述的数学框架。 但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。在某些方面模糊是一种基于精确的模糊是一种相对模糊，对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。 在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。 我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。
期中作业 模糊数学的心得体会学号：0147 姓名：杨建雄 专业：数学与应用数学班级：08级A班 经过几个星期对模糊数学的学习和老师的讲解我了解到了它产生于二十世纪六十年代, 它是现代数学的一个分支，1965年，美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》，标志着模糊数学这门学科的诞生 模糊数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就是从侧面看，在于它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都可能纳入集合描述的数学框架。但是经典集合论只能把自己的表现力限制在有明确集合的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。
在很长一段时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。随着科技的不断进步，日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。 在日常生活中，我们经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词语来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……等。在人们的工作经验中，也有许多模糊的东西。因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学。所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。 模糊数学的研究内容主要是研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学之间的关系。察德以精确数学集合论为基础，并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础，能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。可能对于我们来说，这样一个新的名词还是陌生的，也与我们的实际教学理论差之甚远，不过如果把这个概念进行解剖，实际上，还是我们在教学中常接触的理论，只是它存于无形之中。在
浅谈模糊数学及在实际中的一些应用 摘要：美国数学家查德早在1965年发表论文《模糊集合》，标志着模糊数学的诞生。这门新兴学科的产生使得心理学、语言学等过去与数学不相关的学科能够用数学化进行处理和描述，大大地扩展了数学的应用范围。目前，模糊数学体系已基本形成。系统学科的发展需要促使模糊数学的产生，在多变量的大系统中，模糊性与精确性构成了一复杂的矛盾体，模糊数学成为描述模糊信息强有力的数学工具。在深入研究中发现，在决策对象与约束条件较为模糊的情况下，将模糊数学理论应用于决策研究，便成为模糊决策技术工具，大大降低了决策研究的难度系数，从而获得更好的决策结果。本次研究主要阐述模糊数学的产生及基本理论，从而分析模糊数学在考古、医学、模糊识别等领域的实际运用。 关键字：模糊数学；发展；应用； Abstract: American mathematician Chad as early as in 1965 published "fuzzy set", marks the birth of fuzzy mathematics. The generation of this new discipline in the past such as psychology, linguistics and mathematical unrelated disciplines can use mathematical processing and description, enlarges the application range of the mathematics. At present, fuzzy system has basically formed. System subject to prompt the development of fuzzy mathematics, in multivariable system, fuzziness and accuracy make a contradiction of the complex, fuzzy mathematics to describe fuzzy information powerful mathematical tool. Found in the study, objects and constraints in the decision under the condition of relatively fuzzy, fuzzy mathematics theory was applied to the decision-making research, become fuzzy decision technology tools, greatly reduced the difficulty coefficient of decision-making research, in order to gain better decisions. This research mainly elaborated and the basic theory of fuzzy mathematics, so fuzzy mathematical analysis in archaeology, medicine and the practical application of fuzzy recognition and other fields. Key words: fuzzy mathematics; Development; Application
浅议模糊语言在英语精读教学中的应用 摘要：在英语精读教学中，在特定的教学情景下，教师和学生均可以而且均适合使用模糊语言。在针对教材中的一些模糊状态进行教学时，恰当地使用模糊语言也有利于开拓学生的思维空间，从而收到较好的教学效果。关键词：模糊语言；英语精读教学；应用 使用精确语言是语言使用者所追求的理想状态。但是，在对语言的实际使用中，人们往往也会适当地使用一些模糊语言，因为这样反而会使语言使用者将意思表达得更全面或更恰当。模糊语言学作为一门研究语言模糊现象及其规律的新兴学科，它是介于模糊学与语言学之间的边缘学科，它兼有模糊学与语言学的特征。既然语言的模糊性是客观存在的，那么对语言知识的传授也应以模糊语言学的理论和方法作指导。英语精读是高校英语专业学生要学的一门重要课程，是使学生打下扎实的英语基础中必不可少的一门课。这门课注重培养学生的在听、说、读、写、译等方面的能力，培养学生的综合素质。英语精读课一般都是小班额授课，因为这样教师和学生之间才能有更多的互动与交流的机会。在这种互动与交流的过程中，交流的各方对语言的使用尤为重要，若能使用有效的语言，就可以达到顺畅交流的目的，就能取得良好的教学效果。 二、模糊语言概述 “模糊语言”一词是20世纪后期才出现的。1965年，美国电机工程和计算机科学家查德发表了一篇叫《模糊集》的论文，论文中提出了模糊理论，随后不久便出现了“模糊数学”和“模糊语言”等学科。我国对模糊语言学的引入始于20世纪70年代末。1979年，由伍铁平发表于“外国语”1979年第4期的论文“模糊语言学初探”，标志着模糊语言学在我国的出现。此后，在接下来的30年里，我国学者从语音、语义和语用等方面对模糊语言学进行了较深入的研究，这种研究不仅对语言学，也对我国其他相关学科的发展产生了较为深远的影响。笔者是从事高校英语精读教学的。在多年的教学中，笔者发现，模糊语言广泛地存在着，并发挥着它的重要作用，同时教师也可以将对模糊语言的使用作为一种手段以使教学能达到良好的效果。 1模糊语言的定义 “模糊语言，作为一种弹性语言，是指外延不确定、内涵无定指的特征语言。与精确语言相比，模糊语言具有更大的概括性和灵活性。这种概括性与灵活性集中地反映在语言的外延上。模糊语言具有‘梯变’的特点，它构成了模糊语言的弹性功能或者说意义的不确定性”。正如查德的模糊集合论中所描述的，人们在将自然界中所碰到的对象进行分类时，经常会找不到精确判定其资格的分界线。英国著名语言学家琼斯在其1957年出版的《音位的历史和意义》一书中说道：我们大家在说话和写作的时候常常会使用不精确的、含糊的、难以下定义的术语，但这并不妨碍我们所使用的词是非常有用的，而且确实是必不可少的。由此看出，