华师大图形图形的相似专题

图形的相似专题

24.1 相似的图形

知识点1相似的图形的识别

相似图形的概念：具有相同形状的图形叫做相似的图形。

注意：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到．（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同．

（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关知识点2在格点图中画相似图形

在格点图中画相似图形的“三步法”

（1)定顶点：确定一个顶点

（2）找对应点：将一边放大或缩小若干倍得到第二顶点，依次得到其它顶点。

（3）画图形：顺次连结各顶点，即得到要画的图形。

例题精讲：

1、下列多边形中，一定相似的是（）

A、两个矩形

B、两个菱形

C、两个等腰梯形

D、两个正方形

2、下列各种图形相似的是（）

A、（1）、（3）

B、（3）、（4）

C、（1）、（2）

D、（1）、（4）

3、下列说法正确的是（）

A、所有的等腰梯形都相似

B、所有的平行四边形都相似

C、有一个角是300的等腰三角形相似

D、所有的等边三角形都相似

4、把下列各题图中左边的图形，加以放大1倍后画出与它们相似的图形.

（1）（2）

跟踪练习

1、下列是相似图形的有 ( )

A．两个圆 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个菱形

2、下面给出的图形中，不是相似的图形的是（）

A．刚买的一双手套的左右两只 B．仅仅宽度不同的两快长方形木板

C．一对羽毛球球拍 D．复印出来的两个“喜”字

3、观察下面的图形（1）～（9）,其中与图形（a）相似的是，与图形（b）相似的是，与图形（c）相似的是 .

4、如图,左边格点图中有一个五边形,请在右边的格点图中画一个与该四边形相似的图形.

(1)(2)(3)(4)

24.2.1 成比例线段 知识点1线段的比

两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比

注：同一长度单位的两条线段AB 、CD 的长度分别为m 、n ，那么这两条线段的比AB ：

CD =m n ：或

，其中、分别叫做这个线段比的前项和后项，如果AB CD m

n

AB CD =把

表示成比值，那么或·。m n k AB CD

k AB k CD ==知识点2对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a c

b d

=（或a:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：（1）四条线段a,b,c,d 成比例，记作a c

b d

=（或a:b=c:d ），不能写成其他形式，即比例线段有顺序性． （2）在比例式

a c

b d

=（或a:b=c:d ）中，比例的项为a,b,c,d ，其中a,d 为比例外项，b,c 为比例内项，d 是第四比例项． （3）如果比例内项是相同的线段，即a b

b c

=或a:b=b:c ，那么线段b 叫做线段和的比例中项。

(4)通常四条线段a,b,c,d 的单位应一致，但有时为了计算方便，a 和b 统一为一个单位，c 和d 统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等． 判断四条线段是否成比例步骤：

（1）排序：先按从小到大的顺序排列

（2）求比：分别求出排序后第一、二条线段和第三、四条线段的比。 （3）比较：比较（2）中所求的比是否相等。 （4）判断：判断线段是否成比例。 知识点3. 比例的性质 （1）基本性质:

bc ad d

c

b a =?=， a ∶b ＝b ∶

c ?b 2=ac 作用：（1）可将比例式与等积式相互转化。（2）可以检验比例式变形是否正确。 （2）合、分比性质:

d

d

c b b a

d c b a d d c b b a d c b a -=

-?=+=+?=或 注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.想想是否可以拓展呢？即分母加（减）分子，不变的是分子 （3）等比性质:若

)0(≠+???+++=???===n f d b n

m

f e d c b a 则

b a n f d b m e

c a =+???++++???+++. （4）比例中项:若

c a b c a b c

b

b a ,,2是则即?==的比例中项. 注意:常用的巧设k 值的三种形式

（1）若

a c

b d =，则设a=ck,b=dk; （2）若a

c b

d =，则设a c

b d

==k,有a=bk,c=dk;

（3）若

)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a ,则设)0(≠+???+++=???===n f d b n

m

f e d c b a =k,a=bk,c=dk;,e=fk------ 知识点4：比例尺 =

实际长度

图上长度

（做题之前注意先统一单位）

拓展：两个物体的图上长度之比等于实际长度之比（同一时刻的物高之比等于影长之比）

例题精讲：

例1：线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，所以两线段a ,b 的比为3∶6=1∶2,对吗？

例2．已知a,b,c,d 成比例，且a=6cm,b=3dm,d=3

2

dm ，求c 的长度．

例3、已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？

（1）a =16 cm b =8 cm c =5 cm d =10 cm; （2）a =8 cm b =5 cm c =6 cm d =10 cm.

例4.比例的基本性质：如果

，那么ad=bc 例题

（）若，则

。

157a b a b

==

（）若，则

，

。

2850x y x y

x y

x y -==+-=

（）已知

，求。

3118x y x x

y

+==

（）已知四条线段满足，把它改写成比例式正确的是4a mn

b

=

A. a:b=m:n

B. a:m=b:n

C. a:m=n:b

D. a:n=b:m

（）若

，则、之间的关系是5m n n

m

m n =

A. m

B. m>n

C. m=n

D. |m|=|n|

例5.合比性质、等比性质例题

（）若

，则1572323a b c d e f a c e b d f

===+-+-=

(2)：已知

，且2a+b+3c=21，求a,b,c 的值

（）和中，

，且的周长33

5111111111111???ABC A B C AB A B BC B C AC A C A B C ===为，求

的周长。50cm ABC ?

（）若

，则4a b c b a c c

a b

k k +=+=+==

A B C D .

.

..

1

2

112

132或--

例6..(1)、在同一时刻，小明测得一棵树的影长是身高为1.6米的小华影长的4.5倍，则这棵树的高度为 米． (2)在比例尺1∶8000000的地图上，量得A 地到B 地的距离为6.4厘米，则A 地到B 地的实际距离为 千米； 跟踪练习

1．若ab=cd ，则有a ∶d= ；若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y= .

2． 若a, x, b, y 是比例线段，则比例式为 ；若a=1，x=-2, b=-2.5, 则y= . 3．判断下列线段是否成比例，若成，请写出比例式.

①a=3m, b=5m, c=4.5cm, d=7.5cm ②a=7cm,b=4cm, c=d=27cm ③a=1.1cm, b=2.2cm, c=3.3cm, d=5.5cm 4.若x ∶（x+1）=7∶9，则x= ；若

b

b a +=38，则b a = .；若5a=3b ，则b a = ，b a b

a +-3= 。 5.已知A, B 两地实距5Km ，图距2cm ，则比例尺是 ；若在此地图册上量得 A,C 两地间距离是16cm ，则A,C 两

地间实际距离是 . 6．已知

b a =43，

c b =5

3，则a ∶b ∶c 等于（ ）A. 3∶4∶5 B.4∶3∶5 C.9∶12∶20 D. 9∶15∶20 7. ①如果

04

32≠==z

y x ，那么=-+++z y x z y x ____________②已知7:5:3::=z y x ，则z y x z y x 235432-++-=_____________

8 已知a,b,c 为△ABC 的三边长，且△ABC 的周长是60cm,

3a =4b =5

c

, 求a,b,c 的长.

9．已知三条长分别为3cm ，6cm ，9cm 的线段，请你再添一条线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度.

10、 某块地的平面图如图所示，∠A =90°，其比例尺为1∶2000，根据图中标注的尺寸(单位：cm )，求该块地的实际周长和面积.

24.2.2 相似图形的性质

知识点6:(1)相似图形的性质的对应角相等，对应边成比例

(2) 相似图形的判别如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，

相似多边形对应边的比叫做相似比。

例题精讲：

第7题

1． 如图，两个五边形是相似形，则=a

，=c ，α= ，β= .

2、两个相似多边形的最长边分别为10cm 和20cm ，其中一个多边形的最短边长 5 cm ，另一个多边形的最短边长为__________________.

3、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50m ，同时，高为1.5m 的竿的影长为2.5m ，则古塔的高为____________m .

4、□ABCD 与□''''A B C D 中，AB =3，BC=5，∠B=40°，A′B ′=6，要使□ABCD 与□''''A B C D 相似，则B′C′=_______，∠B ′=_______.

5、如图,等腰梯形ABCD 与等腰梯形A′B′C′D′相似,∠A′=65°，A′B ′=6 cm ,，AB =8 cm ，AD =5 cm ，试求梯形ABCD 的各角的度数与A′D′、B′C′的长.

D '

C '

B '

A '

B

A D

C

6、一块长3 m ，宽1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗为 什么？

跟踪练习

1、以下五个命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的三角形都相似； ④所有的等腰直角三角形都相似；⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有_______.

2、在菱形ABCD 和菱形A ′B ′C ′D ′中，∠A =∠A ′=60°，若AB ∶A ′B ′=1∶3，则BD ∶A ′C ′=________.

3、下列图形中一定相似的是( )

A .有一个角相等的两个平行四边形

B .有一个角相等的两个等腰梯形

C .有一个角相等的两个菱形

D .有一组邻边对应成比例的两平行四边形

4、如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是( )

A .2∶1

B .4∶1

C .2∶1

D .1∶2

5、如图，等腰梯形ABCD 与等腰梯形''''A B C D 相似，∠A =70°，AB =4 cm ，''A B =3 cm ，A ′D ′=3 cm ，求AD 、B ′C ′的长及梯形''''A B C D 各角的度数．

╮

23a

c

β

1550 950 1150 12

5

7αb ╭╮

╯650

1150

6、某小区有一块矩形草坪长20m ，宽10m,沿着草坪四周要修一条宽度相等的环形小路，使得小路内外的边缘所形成的矩形相似，等做到吗？若能，求出这一宽度，若不能，请说明为什么？

24.3.1 相似三角形

知识点7:（1）相似三角形性质的对应角相等，对应边成比例

（2）相似比:△ABC ∽△A ’B ’C ’，则

K C'A'AC

C'B'BC B'

A'AB ===,记作△ABC 与△A ’B ’C

’的相似比为K ， 反之，△A ’B ’C ’ 与△ABC 的相似比为K

1

。注意顺序。

例题精讲： 一、选择题：

1. 一个铁制支架，如图所示，AB=6㎝，BD=4㎝，△AB C ∽△C B A '''，相似比为（ ） A ．5︰3 B ．3︰2 C ．2︰3 D ．3︰5

2、如图，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，则对应角为________，对应边为________.

3、如图，已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则AB

AD

=________=________. 跟踪练习

1、△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为

32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为4

5

，则△ABC ∽△A 2B 2C 2，其相似比为____________. 2、五边形ABCDE ∽五边形'''''A B C D E ，若对应边AB 与''A B 的长分别为50厘米和40厘米，则五边形'''''A B C D E 与五边形ABCDE 的相似比是( )A .5:4

B .4:5

C .5:25

D.25:5

3、已知△ABC 中，AB =15 cm ，BC =20 cm ，AC =30 cm ，另一个与它相似的△'''A B C 的最长边为40 cm ，求△'''A B C 的其余两边的长.

4、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x ，y ，m ，n 的值.

5、如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m ，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm ，其他两边的长都是3.5 cm ，求该草坪其他两边的实际长度.

24.3.2 相似三角形的判定

E

D

C B A

知识点1相似三角形,就是形状相同,但大小不一样。

定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

知识点2相似三角形的判定方法有

（1）两角对应相等，两三角形相似。

◆典例分析

如图.AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE相交于F，则图中相似三角形共有几对？它们分别是哪些？为什么？

解：图中相似三角形共有六对，它们分别是

①△ADC∽△BEC,②△ADC∽△AEF,③△BEC∽△BDF,④△BDF∽△AEF,⑤△BDF∽△ADC,⑥△AEF∽△BE C.

∵AD⊥BC,BE⊥AC，∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠CEB=90°

（1）∵∠ADC=∠BEC=90°，∠C=∠C，∴△ADC∽ △BEC

（2）∵∠ADC=∠AEF=90°，∠DAC=∠EAF，∴△ADC∽△AEF.

（3）∵∠BEC=∠BDF=90°，∠EBC=∠DBF，∴△BEC∽△BDF.

（4）∵∠BDF=∠AEF=90°，∠BFD=∠AFE，∴△BDF∽△AEF.

（5）由△BEC∽△ADC得∠DBF=∠DAC.∵∠BDF=∠ADC=90°，

∴△BDF∽△ADC

（6）由△BEC∽△ADC，得∠EBC=∠EAF，∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC.

点评：此题目是一个基本图形，以后解题时会经常遇到，此题也可以由相似的传递性得出图中四个直角三角形都相似，经过组合得出6对三角形相似.

跟踪练习

1、(1)如图，AB与CD相交于点O，AC与BD不平行，当_________=__________或___________=____________时，△AOC∽△DOB；

(2)如图，AD与BC相交于点O，AB∥CD，则__________∽___________．

2、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则∠B=_____，∠A=_____，因此△ABC∽_________∽_____________．

3、如图，点D、E在△ABC的边AB、AC上．

(1)若∠1=∠2，则__________∽___________；(2)若∠2=∠B，则__________∽___________．

4、如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=3 cm，BD=2 cm,△ADE与△ABC的关系是________，若相似，相似比是________.

4题图5题图

E

C D

A

F

B

1

5、如图，D 、E 分别为△ABC 中AB 、AC 边上的点，请你添加一个条件，使△ADE 与△ABC 相似，你添加的条件是_____________（只需填上你认为正确的一种情况即可）.

6、已知△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠B =∠B ′=75°，∠C =50°，∠A ′=55°.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.

2

7、如图，D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，DE ∥B C. 证明：

AE

CE

AD BD =

.

8、下列各组图形中有可能不相似的是（ ）

A .各有一个角是45°的两个等腰三角形

B .各有一个角是60°的两个等腰三角形

C .各有一个角是105°的两个等腰三角形

D .两个等腰直角三角形

5、 如图，AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ，那么在下列比例式中，正确的是（ ）

A .

AD

OA

CD AB = B .

BC OB OD OA = C.OC

OB

CD AB = D .

OD

OB

AD BC =

6、如图，在△ABC 中，AB =AC =1，点D,E 在直线BC 上运动．设BD =x , CE =y ， (l ）如果∠BAC =300

，∠DAE =l050

，试确定y 与x 之间的函数关系式；

(2）如果∠BAC =α,∠DAE =β,当α, β满足怎样的关系时，(l ）中y 与x 之间的函数关系式还成立？试说明理由．

● 体验中考

1如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果2

3

BE BC =，那么BF FD = ．

2、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D ,BC =3,AB =5,写出其中的一对相似三角形是 ______和 __ ；并写出它的面积比 .

D

C

B

A

2

24.3.2 相似三角形的判定

知识点1.相似三角形的判定方法有

（1）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（2）三边对应成比例，两三角形相似。

知识点2.经过归纳和总结，相似三角形有以下几种基本类型： ① 平行线型

常见的有如下两种，D E ∥BC ，则△ADE ∽△ABC

B C

B C

② 相交线型

常见的有如下四种情形，如图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADE ∽△ABC

B

C

如下左图，已知∠1=∠B ，则由公共角∠A 得，△ADC ∽△ACB 如下右图，已知∠B=∠D ，则由对顶角∠1=∠2得，△ADE ∽△

ABC

B

C

B

③ 旋转型

已知∠BAD=∠CAE ，∠B=

∠D ，则△ADE ∽△ABC ，下图为常见的基本图形．

C

④ 母子型

已知∠ACB=90°，AB ⊥CD ，则△CBD ∽△ABC ∽△ACD ．

◆典例分析

1、依据下列各组条件，判定△ABC 与△A ′B ′C ′是不是相似，并说明为什么. （1）∠A =120°,AB =7 cm,AC =14 cm,∠A ′=120°,A ′B ′=3 cm,A ′C ′=6 cm, （2）AB =4 cm,BC =6 cm,AC =8 cm,A ′B ′=12 cm,B ′C ′=18 cm,A ′C ′=24 cm. 跟踪练习

1、在△ABC 和△'''A B C 中，∠C =∠'C =90°，AC =12，BC =15，''A C =8，则当=____________时，△ABC ∽△'''A B C ．

2、在△ABC 中，AB:BC:CA=2:3:4，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1=1，C 1A 1=2，当B 1C 1=______时，△ABC ∽△A 1B 1C 1。

3、如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BF =1

4

BC ，则与△AED 相似的三角形是_______．

3题图 4题图

4、如图，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是 ( ) A ．

AC AB CD BC = B ．CD BC AD AC

=

C ．2C

D AD DB =g D ．2

AC CD CB =g 5、△ABC 的三边长分别为7、6、2，△A 1B 1C 1的两边长分别为1、3，要使△ABC ∽△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1的第三边长应为 （ ） A.

67 B.2 C.72 D.18

7

6、如图，∠BAD =∠CAE ，∠B =∠D ，AB =2AD ，若BC =3 cm,则DE =________cm.

(第7题) (第8题)

7、如图，正方形ABCD 的边长为2，AE =EB ，MN =1，线段MN 的两端分别在CB 、CD 上滑动，那么当CM =________时，△ADE 与△MN C 相似.

8、如图，在△ABC 中，∠A =60°，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足为D 、E 试说明DE =1

2

BC 成立的理由．

9、如图，在△ABC 中，AB =8cm ，BC =16 cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2 cm ／s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿

BC 边向点C 以4 cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，多少秒后△PBQ 与△ABC 相似?

10、 如图，网格的每一个小正方形的边长都为1，用3种方法证明△ABC ∽△A ′B ′C ′.

6、 下面每组的两个三角形是否相似？为什么？

（2）

●体验中考

1、如图所示，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC AB CD BC

=；④2

AC AD AB =g ．其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

2、 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ）

3、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）

4、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

A

B

C

A ．

B ．

C ．

D ．

A .

24.3.3 相似三角形的性质

知识点1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、）的比等于相似比 2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

◆典例分析 如图，在△ABC 中EF ∥BC 且EF=32

BC=2 cm ，△AEF 的周长为10 cm ，求梯形BCFE 的周长.

分析：由平行条件可以知道两个三角形相似，再利用相似三角形周长的比等于相似比即可求出此题.

解∵EF=32BC ，∴

32

=

BC EF ， ∵EF ∥BC ∴△AEF ∽△ABC ，

32

=

=??BC EF ABC AEF 周长周长， ∴32

10=

?周长ABC ，∴△ABC 周长=15 （cm ），

∴梯形BCF 的周长=△ABC 的周长－△AEF 的周长+2EF=15－10+4=9 （cm ） 跟踪练习

1、已知△ABC ∽△A′B′C′，BD 和B′D′是它们的对应中线，且C A AC ''=23

，B′D′=4，则BD 的长为 .

2、已知△ABC ∽△A′B′C′,AD 和A′D′是它们的对应角平分线，且AD=8 cm, A′D′=3 cm.，则△ABC 与△A′B′C′对应高的比为 .

3、两个相似三角形的相似比为2∶3，它们周长的差是25，那么较大三角形的周长是________，这两个三角形的面积比为 ．

4、把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21

倍，那么边长应缩小到原来的________倍.

5、 若△ABC ∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是________,△A′B′C′的周长是________.

6、已知△ABC 的三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与三角形相似，要求以其中一根为一边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边.那么另两边的长度（单位：cm ）分别为（ ）

A 、10，25

B 、10，36或12，36

C 、12，36

D 、10，25或12，36

7、 如图，在平行四边形ABCD 中，延长AB 到E ，使BE=21

AB ，延长CD 到F ，使DF=DC ，EF 交BC 于G ，交AD

于H ，求△BEG 与△CFG 的面积之比.

8、如图，平行四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点F，已知BE∶EC=3∶1，S△FBE=18,求S△FDA.

9.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.

（1）则图中有几对相似三角形;

（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD;（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.