平面直角坐标系压轴题(1)
①能熟练解平面直角坐标系中的面积存在性问题； ②能将几何问题代数化，并能运用数形结合思想解题．
探究案
【例1】如图，在平面直角坐标中，A (0，1)，B (2，0)，C （2，1.5）． （1）求△ABC 的面积； （2）如果在第二象限内有一点P （a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
y
x
P
O
C
B
A
【例2】在平面直角坐标系中，已知A （-3，0），B （-2，-2），将线段AB 平移至线段CD ，连AC 、BD ．
图1
y x
D
O C
B A
图2
y x
D
O C B A
图3
y
x
O
B
A
图4
y
x
O
B
A
（1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；
（2）如图2，若线段AB 移动到CD ，C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标；
（3）若点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且S △ACD =5，求C 、D 的坐标；
（4）在y 轴上是否存在一点P ，使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、P 、Q 构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，说明理由；
【例3】如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C
（－3，0）．
（1）求△ABC 的面积；
（2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得
到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''；
（3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使
2ACP
ABC
S
S
=；
（4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQ
ABC
S
S
=．
【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足
2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于B ．
（1）求三角形ABC 的面积；
（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，
如图2，求∠AED 的度数；
（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．
训练案
1、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A （0，0），B （7，0），C （9，5），D （2，7）
（1）在坐标系中，画出此四边形； （2）求此四边形的面积；
（3）在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △PBC =50，若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由．
2、如图，A 点坐标为（－2， 0）， B 点坐标为（0， －3）.
(1)作图，将△ABO 沿x 轴正方向平移4个单位， 得到△DEF ， 延长ED 交y 轴于C 点， 过O 点作OG ⊥CE ， 垂足为G ；
(2) 在(1)的条件下， 求证: ∠COG ＝∠EDF ；
（3）求运动过程中线段AB 扫过的图形的面积．
3、在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC =24.
图1
y
x
H
O
F
E
D
A
C B
（1）线段BC 的长为 ，点A 的坐标为 ； （2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ，CF ⊥AE 点F ，试给出∠ECF
与∠DAH 之间满足的数量关系式，并说明理由；
（3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平
分CBP ∠，ON 平分AOP ∠，BN 交ON 于N ，请依题意画出图形，给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式，并说明理由.
4、在平面直角坐标系中，OA ＝4，OC ＝8，四边形ABCO 是平行四边形．
x
y O
C
B
A
P
Q
x
y
O
C
B
A
（1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；
（2）若点P 从点C 以2单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒，△AQB 与△BPC 的面积分别记为AQB S ?，BPC S ?，是否存在某个时间，使AQB S ?＝3
OQBP
S 四边形，若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理
由；
（3）在（2）的条件下，四边形QBPO 的面积是否发生变化，若不变，
求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．
5、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D 连结AC ，BD ．
(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；
（2）在y 轴上是否存在一点P ，连结P A ，PB ，使S △P AB ＝S △PDB ，若存在这样一点，求出点P 点坐标，若不存在，试说明理由；
（3）若点Q 自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段AB 上移动，运动到B 点就停止，设移动的时间为t 秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？
Q
D
C
3-1
B A o
x
y
（4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一？
6、在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （—2，0），B （2，4），C （5，0）．
（1）求△ABC 的面积
（2）点D 为y 负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得
ADE BCE S S ??=？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
A y x O C
B A(-2,0)
B(0,-3)
y
x
D
C
3-1
B
A o
x y
D
C
3
-1
B
A o
x
y
（3）点F（5，n）是第一象限内一点，，连BF，CF，G是x轴上一点，若△ABG的面积等于四边形ABDC的面积，则点G的坐标为（用含n的式子表示）