直线的一般式方程
知识点一 直线的一般式方程
1.若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为( ) A ．A ≠0 B ．B ≠0 C ．A ·B ≠0 D ．A 2＋B 2≠0
答案 D
解析 要使Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，需A 、B 不同时为零(包括一个为0，另一个不为0)，显然A 、B 项均不满足，C 项中表示A 与B 同时不为零，也不满足，只有D 项正确． 2．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 D 解析 由已知得
m 2－4≠0，且
2m 2－5m ＋2
m 2－4
＝1，解得：m ＝3或m ＝2(舍去).
知识点二 平行、垂直问题
3.直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10 答案 A
解析 由两直线垂直得2m －20＝0，m ＝10，将(1，p )代入10x ＋4y －2＝0得p ＝－2，将(1，－2)代入2x －5y ＋n ＝0得2＋10＋n ＝0，n ＝－12.
4．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )
A ．过点P 且与l 垂直的直线
B ．过点P 且与l 平行的直线
C ．不过点P 且与l 垂直的直线
D ．不过点P 且与l 平行的直线 答案 D
解析 ∵点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，∴Ax 0＋ By 0＋C ≠0，∴直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P .又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行．故选D.
知识点三 直线一般式方程的应用
5.设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值： (1)l 在x 轴上的截距是－3； (2)斜率是1.
解 (1)由题意，得????
?
m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ②
由①式，得m ≠3且m ≠－1.
由②式，得3m 2－4m －15＝0，得m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－5
3
.
(2)由题意，得?????
2m 2＋m －1≠0， ③m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1， ④由③式，得m ≠－1且m ≠1
2.
由④式，得3m 2－m －4＝0，得m ＝－1或m ＝43.∴m ＝4
3.
6．求分别满足下列条件的直线l 的一般式方程； (1)斜率是3
4，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；
(2)经过两点A (1,0)，B (m,1)；
(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． 解 (1)设直线l 的方程为y ＝3
4x ＋b .令x ＝0，得y ＝b .
令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12????
b ·????－43b ＝6，解得b ＝±3.
∴直线l 的方程为y ＝3
4x ±3，
化为一般式为3x －4y ±12＝0.
(2)当m ≠1时，直线l 的方程是y －01－0＝x －1
m －1，
即y ＝1
m －1
·(x －1)；
当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1.
综上，所求直线l 的方程是x －(m －1)y －1＝0或x －1＝0. (3)设l 在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋y
b ＝1.
∵直线过(4，－3)，∴4a －3
b
＝1.
又∵|a |＝|b |，∴?????
4a －3b ＝1，a ＝±b .
解得????? a ＝1，b ＝1或?????
a ＝7，
b ＝－7.
当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l 的方程为y ＝－3
4x .
综上所述，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 课堂练习：
7．直线2x ＋6y ＋1＝0的倾斜角是( ) A ．150° B ．30° C ．60° D ．120° 答案 A
解析 直线的斜率k ＝－
26
＝－3
3，故其倾斜角为150°.
8．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( ) A ．a ＝2，b ＝5
B ．a ＝2，b ＝－5
C ．a ＝－2，b ＝5
D ．a ＝－2，b ＝－5
答案 B
解析 直线5x －2y －10＝0可以化为截距式方程x 2＋y
－5
＝1，所以a ＝2，b ＝－5.
9．两直线l 1：mx －y ＋n ＝0和l 2：nx －y ＋m ＝0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( )
答案 B 解析 化一般式为斜截式，得l 1：y ＝mx ＋n ，l 2：y ＝nx ＋m ，可见两条直线的斜率、截距恰好互换，所以选B.
10．已知直线mx ＋ny ＝－1平行于直线4x ＋3y ＋5＝0且在y 轴上的截距为1
3，则m 、n 的值
分别为( ) A ．4和3 B ．－4和3 C ．－4和－3 D ．4和－3
答案 C
解析 由题意得n ≠0，于是直线可化为y ＝－m n x －1n .由－m n ＝－43，－1n ＝1
3，得m ＝－4，n
＝－3.
11．已知直线(a ＋2)x ＋2ay －1＝0与直线3ax －y ＋2＝0垂直，则实数a 的值是( ) A ．0 B ．－4
3
C ．0或－4
3
D ．－12或23
答案 C
解析 当a ＝0时，两直线分别为2x －1＝0，－y ＋2＝0，此时两直线显然垂直；当a ≠0时，两直线的斜率分别为－a ＋22a ，3a ，所以－a ＋22a ·3a ＝－1，解得a ＝－43.故选C.
二、填空题
12．直线l 与直线m ：3x －y －2＝0关于x 轴对称，则这两条直线与y 轴围成的三角形的面积为________．
答案 4
3解析 由题意可得直线l ：3x ＋y －2＝0，则直线l ，m 与y 轴
围成的三角形的面积为12×4×23＝4
3
.
13．如果对任何实数k ，直线(3＋k )x ＋(1－2k )y ＋1＋5k ＝0都过一个定点A ，那么点A 的坐标是________．