功和能知识点应用
一、掌握恒力做功的计算，判断某个力F是否做功，是正功还是负功（或克服力F做功）．提高对物理量确切含义的理解能力
【例1】用水平恒为F作用于质量为M的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动位移s，该恒力做功为W1；再用该恒力F作用于质量m（m＜M）的物体上，使之在粗糙的水平面上移动同样位移s，该恒力F做功为W2．两次恒力F做功的关系正确的是
A．W1＞W2 B．W1＜W2 C．W1=W2D．无法判断
正确答案：C
【例2】如图5-4所示，三角劈质量为M，放在光滑水平面上，三角劈的斜面光滑，将质量为m的物块放在三角劈斜面顶端由静止滑下，则在下滑过程中，M对m的弹力对m所做的功为W1，m 对M的弹力对M所做的功为W2，下列关系正确的是[ ]
A．W1=0，W2=0
B．W1≠0，W2=0
C．W1=0，W2≠0
D．W1≠0，W2≠0
正确答案：D．
【例3】以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，运动中空气阻力大小恒为f，则小球从抛出点抛出到再回到原抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功应为
[ ]
A．0 B．-fh C．-2fh D．-4fh
正确答案：C．
【例4】如图5-6所示，某力F=10N作用于半径R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为
[ ]
A．0J B．20πJ C．10J D．20J．
正确答案：B
【例6】如图5-10所示，定滑轮至滑块高度为H，已知细绳的拉力为FN（恒定），滑块沿水平地面由A点前进s米至B点．滑块在初、末位置时细绳与水平方向夹角分别为α和β．求滑块由A 点运动到B点过程中，拉力F对滑块所做的功．
【例7】某人用恒力F=100N通过滑轮把物体M拉上斜面，如图5-15所示，作用力F的方向与斜面的夹角为60°，若物体沿斜面运动1m，则力对物体做功为
A．100J B．150J
C．200J D．条件不足无法确定
二、掌握功率的确切含义，能正确区分平均功率和即时功率
【例8】一质量为m的滑块静止在光滑水平地面上．从t=0开始，将一个大小为F的水平拉力作用在滑块上，如图5-16所示，在t=t1时刻力F的功率应是[ ]
答案：C．
【例9】汽车质量为m，额定功率为P，在水平长直路面上从静止开始沿直线行驶，设行驶中受到恒定阻力f．求：
a）汽车所能达到的最大速度vm；
b）汽车从一开始以加速度a匀加速起动，汽车能保持匀加速运动的最长时间tm；
解 a）汽车运动中牵引力F与阻力f相等时，加速度a=0．此时速度vm最大，汽车输出功率即为额定功率P额，P出=F引v=f m vm=P额．
b）汽车以加速度a匀加速起动． F引-f = ma
维持匀加速运动的牵引力 F引=f + ma
汽车作匀加速运动时，a不变，又知阻力f不变，此时汽车牵引力F不变，依公式P=Fv可知，汽车运动速度v=at在不断增大，欲保持F不变，必须增大汽车的输出功率，当P出=P额时，汽车的匀加速运动将结束，其保持匀加速运动时间为tm．
P额=F牵vt=F牵at m
汽车在匀加速运动中，发动机所做的功，即牵引力F所做的功为
【例10】保持机车的功率不变，列车从车站出发沿平直的铁路行驶5min，速度增大到
72km/h．在这段时间内，列车行驶的距离s [ ]
A．一定等于3000m B．一定大于3000m
C．一定小于3000m D．条件不足，无法判定
三、正确理解动能定理及掌握动能定理的一般应用，凡动力学问题，涉及位移、动能、功，应考虑应用动能定理来解题
【例11】物块质量为m，由高H斜面上端静止开始沿斜面下滑，滑至水平面C点处停止，测得水平位移s，若物块与接触面间动摩擦因数相同，求动摩擦因数．
解以滑块为研究对象，其受力分析如图5-20所示，根据动能定理有
H-μs=0
【例12】总质量为M的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力；设运动的阻力与质量成正比，机车牵引力是恒定的．求当列车的两部分都停止时，它们间的距离为多少？
解依题意，画草图5-22，标明各部分运动的位移．对车头（M-m）脱钩后的全过程，依动能定理列方程．
设阻力 f=k（M-m）g
对末节车厢，依动能定理列方程
又∵Δs=s1-s2 ③
由于原来列车匀速运动，所以牵引力
F=kMg④
由①、②、③、④联立得
说明如果物体运动有几个过程，关键是分清楚整个过程有几个力做功及其研究对象的初、末状态的动能．
另一解法：依题意列方程
kMg L=k(M-m)gΔs
说明假设机车脱钩时，立即关闭油门，由于运动阻力与其质量成正比，所以两部分同时分别做加速度相同的匀减速运动，匀减速运动的初速度也相同，故两部分停止相距的距离为零．若以末节车厢为参照物，机车在运动L段时牵引力kMg所做的功为kMg L，使机车动能增加．那么，机车所增加的动能全部消耗在机车相对末节车厢克服阻力做功之中，其阻力相对末节车厢所做的功为k(M-m)g Δs，故有方程kMg L=k(M-m)gΔs成立．
【例13】如图5-23所示，在一个固定盒子里有一个质量为m的滑块，它与盒子底面动摩擦因数为μ，开始滑块在盒子中央以足够大的初速度v0向右运动，与盒子两壁碰撞若干次后速度减为零，若盒子长为L，滑块与盒壁碰撞没有能量损失，求整个过程中物体与两壁碰撞的次数．
解以滑块为研究对象，滑块在整个运动过程中克服摩擦力做功消耗了滑块的初始动能，依动能定理列方程，设碰撞n次，有
四、用动能定理求变力做功，加深理解和灵活运用动能定理解题
【例14】用汽车从井下提重物，重物质量为m，定滑轮高H，如图5-24所示，已知汽车由A 点静止开始运动至B点时速度为vB，此时细绳与竖直方向夹角为θ．这一过程中细绳的拉力做功多大？
解细绳对重物的拉力为变力，应用动能定理列方程．以重物
为研究对象，列方程
由图所示，v∥为vB的分速度，按vB分解得
联立①、②、③，解得
【例15】如图5-25所示，一质量为m的小球用长为L的细绳悬挂于O点，小球在始终保持水平方向F力作用下缓慢地由P位置移到Q位置，求力F所做的功．
解小球移动过程中水平力F的大小在变化(变大)．依题意，小球在运动(上
升)中只有两个力做功，应用动能定理列方程
W F-mg L(1-cosθ)=0-0
∴WF=mg L(1-cosθ)．
【例16】如图5-26所示，质量为m小球被细绳经过光滑小孔而牵引在光滑水平面上做圆周运动，拉力为F1值时，匀速转动，半径为R1，当细绳拉力为F2值，小球仍作匀速圆周运动，转动半径为R2，求此过程中拉力F所做的功．
解细绳的拉力是变力，提供小球作匀速圆周运动的向心力，应用动能定理列方程
由①，③，③式得
五、掌握重力做功的特点、机械能概念、机械能守恒的判断及一般应用，提高分析、综合能力
【例17】物体在地面附近以2m/s2的加速度匀减速竖直上升，在上升过程中，物体的机械能的变化应是[ ]
A．不变B．减小C．增大D．无
法确定
正确答案：C．
【例18】如图5-28所示，光滑半圆上有两个小球，质量分别
为m和M，由细绳挂着．今由静止开始释放，求小球m至C点时的速度．
解以两球和地球组成的系统为研究对象．在过程中只有重力做功，机械能守恒，选取初态位置为参考平面，有
说明做机械能守恒定律的应用问题，必须会画出示意图——画出各物体初态位置和末态位置，选好参考平面．找准初态系统总的机械能和末态系统总的机械能．该题只有重力做功，系统的机械能守恒，列方程
也可应用动能定理列方程
【例19】质量均为m的三个小球A、B、C用两条长均为L的细绳连接着，置高为h的光滑水平平台上，且L＞h，如图5-29所示，在平台边缘的轨道恰好能使小球无摩擦地通过，A球刚好跨过平台边缘．若A球、B球相继落地后均不弹起，求C小球刚离开桌面边缘时的速度．
解在运动过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定
律列方程，取水平地面为参考平面．
当A球着地时，
小球C以v2离开桌面为所求．
①式、②式联立解得
【例20】如图5-33所示，均匀铁链长为L，平放在距地面高为
全部离开桌面的瞬间，其速度为[ ]
取地面为零势面，则释放时和铁链全部离开桌面的瞬间，铁链的重力势能分别为
设铁链全部离开桌面的瞬间，铁链的速度为v，则根据机械能守恒定律
故应选C．
【例21】如图5-34所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹以一定的速度沿水平方向射向木块并留在其中，然后将弹簧压缩至最短．现将木块、子弹、弹簧作为研究对象，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中系统的[ ]
A．机械能守恒
B．机械能不守恒
C．产生的热能等于子弹动能的减少量
D．弹簧压缩至最短时，动能全部转化成势能
【例22】一个人把重物加速上举到某一高度，则下列说法正确的是 [ ] A．物体所受合外力对它所做的功等于它的动能的增量
B．人对物体所做的功等于物体机械能的增量
C．人对物体所做的功和重力对物体所做的功的代数和等于物体机械能的增量
D．克服重力所做的功等于物体的重力势能的增量
此题选A、B、D
【例23】如图5-36所示，用长为L的细绳悬挂一质量为m的小球，再把
小球拉到A点，使悬线与水平方向成30°，然后松手，问小球运动到悬点正下方B
点时悬线中的张力多大？
解小球自A点到B点应分为两个阶段．小球从A释放后，由于绳松弛，所
以球做自由落体运动，直到将绳拉直，即关于释放位置的对称点C处，如图5-37
所示．以后进入圆轨道，小球进入圆形轨道时只有切向速度，而自由落体的小球在
C点的速度是向下的，故径向分量由于绳的作用而变为零，因此该连接点处有能量
损失．在以后运动中只有重力做功，机械能守恒．
球从A到C下落位移为L，由自由落体运动规律知
从C到B过程中，根据机械能守恒定律，选B点所在水平面为零势面，有
在B点对球受力分析，由牛顿第二定律得
【例24】如图5-38所示，劲度系数为k1的轻质弹簧两端分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接；劲度系数为k2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上(不拴接)，整个系统处于平衡状态．现施力将物块1缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面．在此过程中，物块2的重力势能增加了________，物块1的重力势能增加了________．(1996年高考题)
解以桌面为零重力势能面，上提前系统处于静止状态，设弹簧k2的压缩量为Δl2，则有
F弹2=k2Δl2=(m1+m2)g
当弹簧k2刚离开桌面时，物块2上升的高度为
Δh2=Δl2
设上提之前，弹簧k1的压缩量为Δl1，取物块1为研究对象，物块1处于平衡状态，则有
F弹1=k1Δl1=m1g
设上提到弹簧k2刚离开桌面时，弹簧k1的伸长量为Δl'1，取物块2为研究对象，物块2处于平衡状态，则有
F'弹1=k1Δl'1=m2g
设弹簧k1和弹簧k2的原长为l1和l2，则将物块1、2提起前后，物块1距桌面的高度分别为
h1=(l1+l2)-(Δl1+Δl2)
h2=(l1+l2)+Δl'1
所以，物块1上提前后的高度差Δh1为
Δh1=h2-h1=Δl'1+Δl1+Δl2
所以ΔEp1=m1gΔh1
六、熟练运用能量守恒定律解决有关的动力学问题；尤其应特别注意，摩擦力做功与产生热能间的关系
【例25】在水平地面上平铺几块砖，每块砖的质量为m，其厚度为h，如将砖一块一块地竖直叠放起来，人需要做多少功？
解画草图5-44，根据功是能量转化的量度，即根据功和能的关
系列方程：人所做的功W人使砖的重力势能增加，即W人=ΔE
【例26】如图5-46所示，质量为m的小木块A以水平初速v0冲上质量为M、长为L、置于光滑水平面上的木板B，并正好不从B木板上掉下，A、B间摩擦系数为μ．求产生的热量Q．
分析A和B所受的滑动摩擦力分别为f、f'，f=f'=μmg，A在f作用下减速，B在f'作用下加速；当A滑到B的右端时，A、B达到一样的速度，就正好不掉下，设此过程木板B向前移动的距离为s，滑动摩擦力f对木块A作负功W1=-μmg(s+L)，而摩擦力f'对B作正功W2=μmgs．
摩擦力对系统所做的总功：
W=W1+W2=μmg(s+L)+μmgs=μmg L
对A、B分别运用动能定理：
由①式可知木块A克服摩擦力做的功等于它动能的减少量．由②式可知摩擦力对B板做的功等于木板B动能的增量．由①+②式得
由动量守恒mv0=(m+M)v
知