传感器与检测技术（胡向东，第2版）习题解答
王涛
第1章概述
1.1 什么是传感器？
答：传感器是能够感受规定的被测量并按照一定规律转换成可用输出信号的器件和装置，通常由敏感元件和转换元件组成。
1.2 传感器的共性是什么？
答：传感器的共性就是利用物理定律或物质的物理、化学或生物特性，将非电量（如位移、速度、加速度、力等）输入转换成电量（电压、电流、频率、电荷、电容、电阻等）输出。
1.3 传感器一般由哪几部分组成？
答：传感器的基本组成分为敏感元件和转换元件两部分，分别完成检测和转换两个基本功能。
答：传感器可按输入量、输出量、工作原理、基本效应、能量变换关系以及所蕴含的技术特征等分类，其中按输入量和工作原理的分类方式应用较为普遍。
①按传感器的输入量（即被测参数）进行分类
按输入量分类的传感器以被测物理量命名，如位移传感器、速度传感器、温度传感器、湿度传感器、压力传感器等。
②按传感器的工作原理进行分类
根据传感器的工作原理（物理定律、物理效应、半导体理论、化学原理等），可以分为电阻式传感器、电感式传感器、电容式传感器、压电式传感器、磁敏式传感器、热电式传感器、光电式传感器等。
③按传感器的基本效应进行分类
根据传感器敏感元件所蕴含的基本效应，可以将传感器分为物理传感器、化学传感器和生物传感器。
1.6 改善传感器性能的技术途径有哪些？
答：①差动技术；②平均技术；③补偿与修正技术；④屏蔽、隔离与干扰抑制；⑤稳定性处理。
第2章传感器的基本特性
2.1 什么是传感器的静态特性？描述传感器静态特性的主要指标有哪些？
答：传感器的静态特性是它在稳态信号作用下的输入、输出关系。静态特性所描述的传感器的输入-输出关系中不含时间变量。
衡量传感器静态特性的主要指标是线性度、灵敏度、分辨率、迟滞、重复性和漂移。
2.3 利用压力传感器所得测试数据如下表所示，计算非线性误差、迟滞和重复性误差。设压
力为0MPa 时输出为0mV ，压力为0.12MPa 时输出最大且为16.50mV 。
量变化不大的条件下，可以用切线或割线拟合、过零旋转拟合、端点平移拟合等来近似地代表实际曲线的一段（多数情况下是用最小二乘法来求出拟合直线）。 （1）端点线性度： 设拟合直线为：y=kx+b,
根据两个端点（0，0）和（0.12，16.50），则拟合直线斜率：
212116.500
137.50.120
y y k x x --=
==--
∴137.5*0.12+b=16.50 ∴b=0
（2）最小二乘线性度：
设拟合直线方程为01y a a x =+， 误差方程01()i i i i i y y y a a x v ∧
∧
-=-+= 令10x a =，21x a =
由已知输入输出数据，根据最小二乘法，有：
直接测量值矩阵0.644.047.4710.9314.45L ????????=????????，系数矩阵10.0210.041
0.0610.0810.10A ??
???
???=????????
，被测量估计值矩阵01a X a ∧??=????
由最小二乘法：''A A X A L ∧
=，有
10.021
0.041
111150.30'10.060.020.040.060.080.100.300.02210.081
0.10A A ??
??????????==?????
?????
??????
0.644.041
111137.53'7.470.020.040.060.080.10 2.94210.9314.45A L ????
????????==??????????
??????
'0.020A A =≠Q ()1
111221220.0220.30 1.1151
1'0.30515250'0.02A A A A A A A A
---??????
∴=
==??????--??????
[]1
1.11537.53
2.847''15250 2.942172.55X A A A L ∧
---??????∴===??????
-??????
01 2.847a x ∴==- 12172.55a x ∴==
∴拟合直线为y=-2.847+172.55x
答：非线性误差公式：max 0.106
100%100%0.64%16.50
L FS L Y γ?=±
?=?= ② 迟滞误差公式：max
100%H FS
H Y γ?=
?， 又∵最大行程最大偏差max H ?=0.1mV ，∴max 0.1
100%100%0.6%16.50
H FS H Y γ?=
?=?= ③ 重复性误差公式：max
100%L FS
R Y γ?=±
?， 又∵重复性最大偏差为max R ?=0.08，∴max 0.08
100%100%0.48%16.50
L FS R Y γ?=±
?=±?=± 2.7 用一阶传感器测量100Hz 的正弦信号，如果要求幅值误差限制在±5％以内，时间常数
应取多少？如果用该传感器测量50Hz 的正弦信号，其幅值误差和相位误差各为多少？ 解：一阶传感器频率响应特性：1
()()1
H j j ωτω=
+
幅频特性：()A ω=
由题意有()15%A ω-≤
15%≤
又22200f T
π
ωππ=
== 所以：0＜τ＜0.523ms
取τ=0.523ms ，ω=2πf=2π×50=100π
幅值误差：()100% 1.32%A ω?=
=-
所以有-1.32%≤△A(ω)＜0
相位误差：△φ(ω)=-arctan(ωτ)=-9.3o 所以有-9.3o≤△φ(ω)＜0
2.8 某温度传感器为时间常数τ=3s 的一阶系统，当传感器受突变温度作用后，试求传感器指示出温差的三分之一和二分之一所需的时间。 解：一阶传感器的单位阶跃响应函数为
()1t
y t e τ-
=-
∴ln[1()]t
y t τ
-
=-
∴*ln[1()]t y t τ=--
∴13
12*ln[1]*ln[]3*(0.405465) 1.216433
t s ττ=--=-=--=，
12
11
*ln[1]*ln[]3*(0.693) 2.0822t s ττ=--=-=--=
2.9 玻璃水银温度计通过玻璃温包将热量传给水银，可用一阶微分方程来表示。现已知某玻
璃水银温度计特性的微分方程是
2
dy
y x dt
+= y 代表水银柱高（mm ）, x 代表输入温度（℃）。求该温度计的时间常数及灵敏度。 解：一阶传感器的微分方程为
()
()()n dy t y t S x t dt
τ
+= 式中τ——传感器的时间常数；
n S ——传感器的灵敏度。
∴对照玻璃水银温度计特性的微分方程和一阶传感器特性的通用微分方程，有该温度计的时间常数为2s ，灵敏度为1。
2.10 某传感器为一阶系统，当受阶跃函数作用时，在t=0时，输出为10mv ；在t=5s 时输出为50mv ；在t →∞时，输出为100mv 。试求该传感器的时间常数。 解：00()()[()()](1)t
y t y t y t y t e τ-∞-=--，
∴00()()5010
ln[1]ln[1]0.587787()()10010
y t y t t
y t y t τ
∞---
=-
=-=---，
∴τ=5/0.587787=8.5s
2.11 某一质量-弹簧-阻尼系统在受到阶跃输入激励下，出现的超调量大约是最终稳态值的40%。如果从阶跃输入开始至超调量出现所需的时间为0.8s ，试估算阻尼比和固有角频率的大小。
解：1
0.283.5714568
ζ=
=
==，
22 3.4270.82
d T ππω=
==?，
4.26/n rad s ω=
=
=
2.12 在某二阶传感器的频率特性测试中发现，谐振发生在频率216Hz 处，并得到最大的幅值比为1.4，试估算该传感器的阻尼比和固有角频率的大小。
解：当n ωω=时共振，则max 1 1.4(),0.3621
A ωζζ=
== 所以：222161357/n f rad s ωππ==?=
2.13 设一力传感器可简化为典型的质量-弹簧-阻尼二阶系统，已知该传感器的固有频率
0f =1000Hz ，若其阻尼比为0.7，试问用它测量频率为600Hz 、400Hz 的正弦交变力时，其
输出与输入幅值比A(ω)和相位差φ(ω)各为多少？ 解：二阶传感器的频率响应特性：21
()[1(/)]2(/)
n n H j ωωωζωω=
-+
幅频特性：1222
22
(){[1(/)]4(/)}n n A j ωωωζωω-=-+ 相频特性：2
2(/)
()arctan 1(/)n n ζωω?ωωω=--
∴当f=600Hz 时，
12222
2
(){[1(600/1000)]40.7(600/1000)}
0.947A j ω-
=-+??=，
2
20.7(600/1000)0.84
()arctan
arctan 52.6961(600/1000)0.64
?ω??=-=-=?-； 当f=400Hz 时，
1
2222
2
(){[1(400/1000)]40.7(400/1000)}
0.99A j ω-
=-+??=
2
20.7(400/1000)0.56
()arctan
arctan 33.691(400/1000)0.84
?ω??=-=-=?-。
第3章 电阻式传感器
3.2 电阻应变片的种类有哪些？各有什么特点？
答：常用的电阻应变片有两种：金属电阻应变片和半导体电阻应变片。金属电阻应变片的工作原理是主要基于应变效应导致其材料几何尺寸的变化；半导体电阻应变片的工作原理是主要基于半导体材料的压阻效应。
3.4 试分析差动测量电路在应变电阻式传感器测量中的好处。
答：① 单臂电桥测量电路存在非线性误差，而半桥差动和全桥差动电路均无非线性误差。 ② 半桥差动电路的电压输出灵敏度比单臂电桥提高了一倍。全桥差动电路的电压输出灵敏度是单臂电桥的4倍。
3.5 将100Ω电阻应变片贴在弹性试件上，如果试件截面积4
2
0.510S m -=?，弹性模量
112210/E N m =?，若由4
510N ?的拉力引起应变计电阻变化为1Ω，求电阻应变片的灵敏
度系数。
解：/R R
K ε
?=
已知1
1,100
R R R ??=Ω∴
=
3292
4
5010/110/0.510F N m N m A σ-?===?? 由E σε=得9
311
110510210
E σ
ε-?===?? 所以3
/1/100
2510
R R
K ε
-?=
=
=?
3.6 一个量程为10kN 的应变式测力传感器，其弹性元件为薄壁圆筒轴向受力，外径20mm ，内径18mm,在其表面粘贴八各应变片，四个沿周向粘贴，应变片的电阻值均为120Ω,灵敏度为2.0，波松比为0.3，材料弹性模量E=2.1×1011Pa 。要求： (1) 绘出弹性元件贴片位置及全桥电路；
(2) 计算传感器在满量程时，各应变片电阻变化；
(3) 当桥路的供电电压为10V 时，计算传感器的输出电压。 解：(1)
(2) 圆桶截面积：
2222662()(109)1059.6910A R r m ππ--=-=-?=?
应变片1、2、3、4感受纵向应变；
1234x εεεεε====
应变片5、6、7、8感受周向应变；
5678y εεεεε====
满量程时：
由电阻应变片灵敏度公式/R R
K ε
?=
得R K R ε?=，
由应力与应变的关系E σε=，及 应力与受力面积的关系F
A
σ=
，得 F
AE
ε=
， 3
123461110102.01200.1914359.710 2.110F R R R R K R AE -??=?=?=?==??=Ω???
567810.30.191430.05743R R R R R μ?=?=?=?=-?=-?=-Ω
(3) 3
611
101010(1)
2.0(10.3)0.010372259.710 2.110U F U K V AE μ-??=+=??+?=???
3.7 图3-5中，设负载电阻为无穷大（开路），图中4E V =，1234100R R R R ====Ω， 试求：
(1) 1R 为金属电阻应变片，其余为外接电阻，当1R 的增量为1 1.0R ?=Ω时，电桥的输出电压?o U =
(2) 1R , 2R 都是电阻应变片，且批号相同，感应应变的极性和大小都相同，其余为外接电阻，电桥的输出电压?o U =
(3) 1R , 2R 都是电阻应变片，且批号相同，感应应变的大小为12 1.0R R ?=?=Ω，但极性相反，其余为外接电阻，电桥的输出电压?o U =
解：(1) 单臂311112341011[
]4()0.00995()1011002o R R R U E V R R R R R +?=-=?-≈+?+++
(2) 极性相同3111122341011
[
]4()0()()1011012
o R R R U E V R R R R R R +?=-=?-=+?++?++
(3)半桥3111122341011
[]4()0.02()()101992
o R R R U E V R R R R R R +?=-=?-=+?+-?++
3.8 在图3-11中，设电阻应变片1R 的灵敏度系数K=2.05，未受应变时，1R =120Ω。当试件受力F 时，电阻应变片承受平均应变值800/m m εμ=。试求： (1) 电阻应变片的电阻变化量1R ?和电阻相对变化量11/R R ?；
(2) 将电阻应变片1R 置于单臂测量电桥，电桥电源电压为直流3V ，求电桥输出电压及其非线性误差；
(3) 如果要减小非线性误差，应采取何种措施？分析其电桥输出电压及非线性误差的大小。
解：图3-11是一种等强度梁式力传感器， (1) 由K= (ΔR/R)/ε得ΔR/R=K ε，
6311/ 2.0580010 1.6410R R K ε--?==??=?，
31111(/)120 1.64100.1968R R R R -?=??=??=Ω
(2) 31111234120.19681[
]3()0.00123()120.19681202
o R R R U E V R R R R R +?=-=?-≈+?+++
1111/0.00164
100%100%0.082%2/20.00164
L R R R R γ?=
?=?≈+?+
3.9 电阻应变片阻值为120Ω，灵敏系数K=2，沿纵向粘贴于直径为0.05m 的圆形钢柱表面，钢材的弹性模量11
2
210/E N m =?，泊松比μ=0.3。求：
(1) 钢柱受4
9.810N ?拉力作用时应变片电阻的变化量R ?和相对变化量
R
R
?； (2) 若应变片沿钢柱圆周方向粘贴，受同样拉力作用时应变片电阻的相对变化量。 解：(1) 由应力与应变的关系E σε=，及 应力与受力面积的关系F A σ=
，得F AE
ε=， 4
3211
9.8100.25100.05()2102
F AE επ-?==≈????，
3320.25100.510R
K R
ε--?==??=?， 31200.5100.06R
R R R
-??=?=??=Ω；
(2) 由y x
εμε=-，得330.30.5100.1510y x y x R R
R R μ--??=-?=-??=-?。
第4章 电感式传感器
4.3 已知变气隙厚度电感式传感器的铁芯截面积2
1.5S cm =，磁路长度L ＝20cm ， 相对磁导率5000r μ=，气隙初始厚度00.5cm δ=, δ?＝±0.1mm ，真空磁导率
70410/H m μπ-=?，线圈匝数N ＝3000，求单线圈式传感器的灵敏度/L δ??。若将其
做成差动结构，灵敏度将如何变化？ 解：0
L L δ
δ??=, 0
L L K δδ?=
=? 2274
30002
03000410 1.5105410,220.510
N A L H H μππδ----????===??? 所以，3
2
541010.8340.510K ππ--?=
==?。 做成差动结构形式，灵敏度将提高一倍。
4.5 有一只差动电感位移传感器，已知电源电压4U V =g
，400f Hz =，传感器线圈电阻与电感分别为R=40Ω,L=30mH ，用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥，如图所示，试求： （1）匹配电阻3R 和4R 的值为多少时才能使电压灵敏度达到最大。
（2）当△Z=10Ω时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值。
解：(1) R3=R4=R=40Ω
(2) 221
12122()o Z Z Z R U U U
Z Z R R Z Z ??-=-=??+++??
g
g
g 单臂电桥
221212121210
40.252()2()2(4040)o Z Z Z Z R U U U U V Z Z R R Z Z Z Z ??-?=-==-=-?=-??
++++?+??g
g
g g 差动电桥几何
22112
1212122040.52()2()2(4040)o Z Z Z Z Z R U U U U V Z Z R R Z Z Z Z ??-?+?=-==-=-?=-??
++++?+??g
g
g g 4.9 引起零点残余电压的原因是什么？如何消除零点残余电压？
答：零点残余电压的产生原因：①（线圈）传感器的两个二次绕组的电气参数和几何尺寸不对称，导致它们产生的感生电动势幅值不等、相位不同，构成了零点残余电压的基波；②（铁心）由于磁性材料磁化曲线的非线性（磁饱和、磁滞），产生了零点残余电压的高次谐波（主要是三次谐波）；③（电源）励磁电压本身含高次谐波。
零点残余电压的消除方法：①尽可能保证传感器的几何尺寸、线圈电气参数和磁路的对称；②采用适当的测量电路，如差动整流电路。
4.10 在使用螺线管电感式传感器时，如何根据输出电压来判断衔铁的位置？
答：常见的差动整流电路如图4-15所示。以图4-15b 为例分析差动整流的工作原理。由图可知：无论两个二次绕组的输出瞬时电压极性如何，流经电容1C 的电流方向总是从2端到4端，流经电容2C 的电流方向总是从6端到8端，所以整流电路的输出电压为
2468o U U U =-
当衔铁位于中间位置时，2468U U =，故输出电压o U =0；当衔铁位于零位以上时，
2468U U >，则0o U >；当衔铁位于零位以下时，则有2468U U <，0o U <。只能根据o U 的符号判断衔铁的位置在零位处、零位以上或以下，但不能判断运动的方向。
4.11 如何通过相敏检波电路实现对位移大小和方向的判定？ 答：相敏检测电路原理是通过鉴别相位来辨别位移的方向，即差分变压器输出的调幅波经相
敏检波后，便能输出既反映位移大小，又反映位移极性的测量信号。经过相敏检波电路，正位移输出正电压，负位移输出负电压，电压值的大小表明位移的大小，电压的正负表明位移的方向。
第5章 电容式传感器
5.2 有一个以空气为介质的变面积型平板电容传感器如下图所示，其中a=10mm ，b=16mm ，两极板间距为01d mm =。测量时，一块极板在原始位置上向左平移了2mm ，求该传感器的电容变化量、电容相对变化量和位移灵敏度K （已知空气相对介电常数1ε=，真空的介
电常数12
08.85410/F m ε-=?）。
解：电容变化量为
0000-12-3-3-13-3
..()......8.8541012101610 2.8310110
r r r a x b a b
xb
C C C d d d
F εεεεεε-???=-=
-
=-
??????=-=-??
即电容减小了-13
2.8310
F -?。
电容相对变化量
00...0.2...r r x b
C x d a b C a d
εεεε???===,
电容式传感器的位移灵敏度（单位距离改变引起的电容量相对变化）为
1
3
/11100()1010
C C x a K m x x a --??=
====???, 或
电容式传感器的位移灵敏度（单位距离改变引起的电容量变化）为
-101.4110(/)C C
K F m x a
?=
==?? 5.4 有一个直径为2m 、高5m 的铁桶，往桶内连续注水，当注水量达到桶容量的80%时就应当停止，试分析用应变电阻式传感器或电容式传感器来解决该问题的途径和方法。
解：① 电阻应变片式传感器解决此问题的方法参见P48图3-18所示的电阻式液体重量传感器，
o U Sh g ρ=，
当注水达到桶容量的80%时，也就是位于感压膜上的液体高度达到桶高4m 的对应位置时，输出一个对应的电压，通过一个电压比较器就可以在液位达到4m 时输出一个触发信号，关闭阀门，停止注水。
② 电容式传感器解决此问题的方法参见P80图5-6所示的圆筒结构变介质型电容式传感器，总的电容值为
001001011202()222(1)2(1)
ln(/)ln(/)ln(/)ln(/)ln(/)
H h h H h h C C C C D d D d D d D d D d πεπεεπεπεεπεε---=+=
+=+=+
在圆筒结构变介质式电容传感器中的液位达到桶高4m 的对应位置时，电容值达到一个特定
值，接入测量电路，就可以在液位达到4m 时输出一个触发信号，关闭阀门，停止注水。 5.6 试推导图5-20所示变介质型电容式位移传感器的特性方程C=f(x)。设真空的介电常数为
0ε，图中21εε>，极板宽度为W 。其它参数如图所示。
解：以x 为界，可以看作两个电容器并联，右边的电容器又可以看作两个电容器串联。参见P79图5-5。故
011lx C εεδ=
，0121()()l l x C d εεδ-=-，0222()
l l x C d
εε-=，2122122212212()()C C l l x C C C d d εεεεδ-==++-，
总的电容量为
01121212()
()
lx l l x C C C d d εεεεδεεδ-=+=
++-。 5.7 在题5.6中，设δ=d=1mm ，极板为正方形（边长50mm ）。1ε=1，2ε=4。试针对x=0~50mm
范围内，绘出此位移传感器的特性曲线，并给以适当说明。
解：2010202012120()()lx l l x l lx
C C C C C εεεεεεεεεδδδδ
--=+=+=+=+? 特性曲线是一条斜率为-1的直线。
5.8某一电容测微仪，其传感器的圆形极板半径 r=4mm ，工作初始间隙d=0.3mm ，问： (1) 工作时，如果传感器与工件的间隙变化量Δd=2μm 时，电容变化量为多少?
(2) 如果测量电路的灵敏度S 1=100mV/pF ，读数仪表的灵敏度S 2=5格/mV ，在Δd=2μm 时，读数仪表的示值变化多少格? 解： (1)-12-32-1200-3
8.85410 3.1415926(410) 1.4835100.310
r A
C F d εε????=
==??， 间隙增大-12-32-121-3
8.85410 3.1415926(410) 1.473510(0.30.002)10
A
C F d d ε????===?+?+?， -12-12110-(1.4735-1.4835)10-0.0110C C C F ?==?=?，
间隙缩小-12-32-12
2-3
8.85410 3.1415926(410) 1.493310-(0.3-0.002)10
A
C F d d ε????===???，
-12-12220-(1.4933-1.4735)100.0097910C C C F ?==?=?，
0.01C pF ?≈
(2)121,U S 5U C S mV ?=??==??=格数变化格
第6章 压电式传感器
6.1 什么是压电效应？什么是逆压电效应？
答：① 正压电效应就是对某些电介质沿一定方向施以外力使其变形时，其内部将产生极化现象而使其出现电荷集聚的现象。
② 当在片状压电材料的两个电极面上加上交流电压，那么压电片将产生机械振动，即压电片在电极方向上产生伸缩变形，压电材料的这种现象称为电致伸缩效应，也称为逆压电效应。 6.3 试分析石英晶体的压电效应原理。
答：石英晶体的化学成分是2SiO ，是单晶结构，理想形状六角锥体，如图6-1a 所示。石英晶体是各向异性材料，不同晶向具有各异的物理特性，用x 、y 、z 轴来描述。
z 轴：是通过锥顶端的轴线，是纵向轴，称为光轴，沿该方向受力不会产生压电效应。 x 轴：经过六面体的棱线并垂直于z 轴的轴为x 轴，称为电轴（压电效应只在该轴的两个表面产生电荷集聚），沿该方向受力产生的压电效应称为“纵向压电效应”。
y 轴：与x 、z 轴同时垂直的轴为y 轴，称为机械轴（该方向只产生机械变形，不会出现电荷集聚）。沿该方向受力产生的压电效应称为“横向压电效应”。 石英晶体在沿一定的方向受到外力的作用变形时，由于内部电极化现象同时在两个表面上产生符号相反的电荷，当外力去掉后，恢复到不带电的状态；而当作用力方向改变时，电荷的极性随着改变。晶体受力所产生的电荷量与外力的大小成正比。这种现象称为正压电效应。反之，如对石英晶体施加一定变电场，晶体本身将产生机械变形，外电场撤离，变形也随之消失，称为逆压电效应。
6.12 将一压电式力传感器与一只灵敏度V S 可调的电荷放大器连接，然后接到灵敏度为
X S =20mm/V 的光线示波器上记录，已知压电式压力传感器的灵敏度为P S =5pc/Pa ，该测
试系统的总灵敏度为S=0.5mm/Pa ，试问： (1) 电荷放大器的灵敏度V S 应调为何值(V/pc)？
(2) 用该测试系统测40Pa 的压力变化时，光线示波器上光点的移动距离是多少？ 解：(1) P V X S S S S =
0.5/0.005/5/20/V P X S mm Pa
S V pc S S pc Pa mm V
=
==? (2) 400.5/4020x S Pa mm Pa Pa mm =?=?=
第7章 磁敏式传感器
7.5 什么是霍尔效应？霍尔电动势与哪些因素有关？
答：① 一块长为l 、宽为d 的半导体薄片置于磁感应强度为B 的磁场（磁场方向垂直于薄片）中，当有电流I 流过时，在垂直于电流和磁场的方向上将产生电动势Uh 。这种现象称为霍尔效应。霍尔组件多用N 型半导体材料，且比较薄。 ② 霍尔电势 H H H H IB IB
U E b vBb R K IB ned d
===-
== 霍尔电势与霍尔电场E H 、载流导体或半导体的宽度b 、载流导体或半导体的厚度d 、电子平
均运动速度v 、磁场感应强度B 、电流I 有关。 ③ 霍尔传感器的灵敏度1
H H R K d ned
=
=-
。 为了提高霍尔传感器的灵敏度，霍尔元件常制成薄片形状。又霍尔元件的灵敏度与载流子浓
度成反比，所以可采用自由电子浓度较低的材料作霍尔元件。
7.6 某霍尔元件尺寸（l 、b 、d ）为1.0cm ×0.35cm ×0.1cm ，沿l 方向通以电流I=1.0mA ，在垂直l b 面加有均匀磁场B=0.3T ，传感器的灵敏度系数为22V/A.T ，求其输出的霍尔电动势和载流子浓度。
解：① 3
22 1.0100.30.0066H H U K IB V -==???=
② 由1
H K ned
=
，得 203192
11
2.8410/22 1.6100.110
H n m K ed ---=
==?????
第8章 热电式传感器
8.2 热电偶的工作原理是什么?
答：热电偶测温基本原理：热电偶测温是基于热电效应的基本原理。根据热电效应，任何两种不同的导体或半导体组成的闭合回路，如果将它们的两个接点分别置于温度不同的热源中，则在该回路中会产生热电动势，在一定条件下，产生的热电动势与被测温度成单值函数关系。因此，我们只需测得热电动势值，就可间接获得被测温度。
8.3 什么是中间导体定律、中间温度定律、标准导体定律、均质导体定律？ 答：① 中间导体定律
热电偶测温时，若在回路中插入中间导体，只要中间导体两端的温度相同，则对热电偶回路总的热电势不产生影响。在用热电偶测温时，连接导线及显示仪表等均可看成中间导体。 ② 中间温度定律
任何两种均匀材料组成的热电偶，热端为t ，冷端为0t 时的热电势等于该热电偶热端为t 冷端为c t 时的热电势与同一热电偶热端为c t ，冷端为0t 时热电势的代数和。
应用：对热电偶冷端不为0℃时，可用中间温度定律加以修正。 热电偶的长度不够时，可根据中间温度定律选用适当的补偿线路。 ③ 标准电极定律
如果A 、B 两种导体（热电极）分别与第三种导体C （参考电极）组成的热电偶所产生的热电动势已知，则由这两个导体A 、B 组成的热电偶产生的热电势为
()()()000,,,AB AC BC E t t E t t E t t =-
实用价值：可大大简化热电偶的选配工作。在实际工作中，只要获得有关热电极与标准铂电极配对的热电势，那么由这两种热电极配对组成热电偶的热电势便可由上式求得，而不需逐个进行测定。 ④ 均质导体定律
如果组成热电偶的两个热电极的材料相同，无论两接点的温度是否相同，热电偶回路中的总热电动势均为0。
均质导体定律有助于检验两个热电极材料成分是否相同及热电极材料的均匀性。 8.7 用两只K 型热电偶测量两点温度，其连接线路如下图所示，已知1t =420℃,0t =30℃，测得两点的温差电动势为15.24mv ，问两点的温度差是多少？如果测量1t 温度的那只热电偶错用的是E 型热电偶，其他都正确，试求两点实际温度差是多少？
(可能用到的热电偶分度表数据见表一和表二，最后结果可只保留到整数位）
表一 K 型热电偶分度表（部分）
解：①
121020222(,)(,)(,)(420,30)(,30)[(420,0)(30,0)][(,0)(30,0)](420,0)(,0),
e t t e t t e t t e e t e e e t e e e t =-=-=---=-
所以212(,0)(420,0)(,)17.2415.24 2.0e t e e t t mv =-=-=，
查表得2t 点的温度为49.5℃，两点间的温度差为12t t -=420-49.5=370.5℃。 ② 如果测量2t 错用了E 型热电偶，则
121020222(,)(,)(,)(420,30)(,30)[(420,0)(30,0)][(,0)(30,0)][30.546 1.801][(,0) 1.203],
E K E K E E K K K e t t e t t e t t e e t e e e t e e t =-=-=---=---
所以2(,0)30.546 1.801 1.20315.2414.708K e t mv =-+-=
查表得2t 点的温度为360℃，两点间的温度差实际为12t t -=420-360=60℃。
8.8 将一支镍铬-镍硅热电偶与电压表相连，电压表接线端是50℃,若电位计上读数是6.0mV ，问热电偶热端温度是多少？
解：① 查表，知K 型热电偶50℃对应的电动势为2.022mV ， ② 依据中间温度定律
00(,)(,)(,)AB AB c c E t t E t t E t t =+
得
()6 2.0228.022e t mV =+=
③ 按内插值计算
()M L
M L H L H L
E E t t t t E E -=+
--
得热端温度为t =8.0227.737
190(200190)8.1377.737
-+
--=197.125℃
8.9 铂电阻温度计在100℃时的电阻值为139Ω，当它与热的气体接触时，电阻值增至281Ω，试确定该气体的温度（设0℃时电阻值为100Ω）。 解：由0℃时电阻值为100Ω，可知该铂电阻温度计为分度号为100Pt 的铂热电阻，根据100℃时的电阻值为139Ω，进一步确定为分度号为100Pt 的铂热电阻。对应于281Ω的阻值，查100Pt 分度表，对应的温度约为500℃。
8.10 镍铬-镍硅热电偶的灵敏度为0.04mV/℃，把它放在温度为1200℃处，若以指示表作为冷端，此处温度为50℃，试求热电动势的大小。
解：3
120050(,)(120050)0.041011500.046e t t K V -=?-=??=
8.11 将一灵敏度为0.08mV/℃的热电偶与电压表相连接，电压表接线端是50℃，若电位计上读数是60mV ，求热电偶的热端温度。 解：50(,)60
50500.08
e t t t K =
+=+=800℃ 8.12 使用K 型热电偶，参考端温度为0℃，测量热端温度为30℃和900℃时，温差电动势分
别为1.203mV 和37.326mV 。当参考端温度为30℃、测量点温度为900℃时的温差电动势为多少？
解：根据中间温度定律
00(,)(,)(,)AB AB c c E t t E t t E t t =+，
有
9003090000309000300(,)(,)(,)(,)(,)AB AB AB AB AB E t t E t t E t t E t t E t t =+=-=37.326-1.203=36.123m
V
8.14 热电阻有什么特点？
答：热电阻测温基本原理：热电阻测温是基于热效应的基本原理。所谓热效应，就是金属导体的阻值会随温度的升高而增加或减小的现象。因此，我们只需测得金属导体电阻的变化就可间接获得被测温度。
8.15 试分析三线制和四线制接法在热电阻测量中的原理及其不同特点。 答：热电阻常用引线方式主要有：两线制、三线制和四线制。
两线制的特点是结构简单、费用低，但是引线电阻及其变化会带来附加误差。主要适用于引线不长、测温精度要求较低的场合。
三线制的特点是可较好地减小引线电阻的影响。主要适用于大多数工业测量场合。 四线制的特点是精度高，能完全消除引线电阻对测量的影响。主要适用于实验室等高精度测量场合。
8.17 某热敏电阻，其B 值为2900K ，若冰点电阻为500k Ω，求该热敏电阻在100℃时的阻抗。 解：具有负温度系数的热敏电阻，其阻值与温度的关系可表示为
00
exp(
)RT B B
R R t t =--2.8452,7.7717,10.6169 31000029002900exp(
)50010exp()373.15273.15
B B R R t t =-=??- =3
3
50010exp( 2.8452)500100.05812??-=??=29k Ω
第9章 光电式传感器
9.4 什么是光电效应、内光电效应、外光电效应？这些光电效应的典型光电器件各自有哪些？
答：光照射到物体上使物体发射电子，或电导率发生变化，或产生光生电动势等，这些因光照引起物体电学特性改变的现象称为光电效应。 当光照射到金属或金属氧化物的光电材料上时，光子的能量传给光电材料表面的电子，如果入射到表面的光能使电子获得足够的能量，电子会克服正离子对它的吸引力，脱离材料表面进入外界空间，这种现象称为外光电效应。根据外光电效应制作的光电器件有光电管和光电
倍增管。
内光电效应是指物体受到光照后所产生的光电子只在物体内部运动，而不会逸出物体的现象。内光电效应多发生在半导体内，可分为因光照引起半导体电阻率变化的光电导效应和因光照产生电动势的光生伏特效应两种。
光电导效应是指物体在入射光能量的激发下，其内部产生光生载流子（电子-空穴对），使物体中载流子数量显著增加而电阻减小的现象。基于光电导效应的光电器件有光敏电阻。 光生伏特效应是指光照在半导体中激发出的光电子和空穴在空间分开而产生电位差的现象，是将光能变为电能的一种效应。基于光生伏特效应的光电器件典型的有光电池；此外，光敏二极管、光敏晶体管也是基于光生伏特效应的光电器件。
9.22 一个8位光电码盘的最小分辨率是多少？如果要求每个最小分辨率对应的码盘圆弧长度至少为0.01mm ，则码盘半径应有多大？
解：一个n 位二进制码盘的最小分辨率是360/2n
?。∴8位光电码盘的最小分辨率是
8360/2?≈1.4°。
码盘周长为8
0.012mm ?=0.01mm*256=2.56mm ，码盘半径为2.56mm/2π≈0.4074mm 9.23 设某循环码盘的初始位置为“0000”，利用该循环码盘测得结果为“0110”，其实际转过的角度是多少？
解：基于二进制码得到循环码的转换关系为
1(1,,1)n n
i i i C B C B B i n +=??=⊕=-?
L ，
相应地，循环码转换为二进制码的方法为
1(1,,1)n n
i i i B C B C B i n +=??=⊕=-?
L 。
∴循环码“0110”对应的二进制码为“0100”，对应的十进制数为4，又∵初始位置为“0000”，对应的二进制码为“0000”，对应的十进制数为0， ∴实际转过的角度10
4
40
36036090216
θθθ--=
??=
??=? 9.27 已知某计量光栅的栅线密度为100线/mm ，栅线夹角θ=0.1o。求： (1) 该光栅形成的莫尔条纹间距是多少?
(2) 若采用该光栅测量线位移，已知指示光栅上的莫尔条纹移动了15条，则被测位移为多少？
(3) 若采用四只光敏二极管接收莫尔条纹信号，并且光敏二极管响应时间为10-6 s ，问此时光栅允许最快的运动速度v 是多少?
解：(1) 由光栅密度为100线/mm ，可知其光栅栅距1
0.01100
W mm mm == 根据公式可求莫尔条纹间距H W
B θ
=
式中θ为主光栅与指示光栅夹角。 θ=0.1o=0.001745rad
0.01
5.730.001745
H W
B mm mm θ
=
=
=
(2) 计量光栅对位移起放大作用，光栅每移动一个栅距，莫尔条纹移动一个间距B H 。 指示光栅上莫尔条纹移动了15条，对应的光栅也就移动了15个栅距， 即被测线位移为△x=15×0.01mm=0.15mm
(3) 光栅运动速度与光敏二极管的响应时间成反比，即
60.01
/10/10
W v mm s m s t -=
== 所以最大允许速度为10m/s
第10章 辐射与波式传感器
10.8 试分析微波传感器的主要组成及其各自的功能。
答：微波传感器的组成主要包括三个部分：微波发生器（或称微波振荡器）、微波天线及微波检测器。
（1）微波发生器
微波发生器是产生微波的装置。由于微波波长很短、频率很高（300MHz~300GHz ），要求振荡回路有非常小的电感与电容，故不能采用普通的晶体管构成微波振荡器，而是采用速调管、磁控管或某些固态元件构成。小型微波振荡器也可采用体效应管。
微波发生器产生的振荡信号需要用波导管（管长为10cm 以上，可用同轴电缆）传输。 （2）微波天线
微波天线是用于将经振荡器产生的微波信号发射出去的装置。为了保证发射出去的微波信号具有最大的能量输出和一致的方向性，要求微波天线有特殊的结构和形状，常用的天线如图10-17所示，包括喇叭形、抛物面形等。前者在波导管与敞开的空间之间起匹配作用，有利于获得最大能量输出；后者类似凹面镜产生平行光，有利于改善微波发射的方向性。 （3）微波检测器
微波检测器是用于探测微波信号的装置。微波在传播过程中表现为空间电场的微小变化，因此使用电流-电压呈非线性特性的电子元件，根据工作频率的不同，有多种电子元件可供选择（如较低频率下的半导体PN 结元件、较高频率下的隧道结元件等），但都要求它们在工作频率范围内有足够快的响应速度。 10.13 在用脉冲回波法测量厚度时，利用何种方法测量时间间隔t ?有利于自动测量？若已知超声波在被测试件中的传播速度为5480m/s ，测得时间间隔为25s μ，试求被测试件的厚度。 解：用稳频晶振产生的时间标准信号来测量时间间隔t ?的计数脉冲个数，有利于自动测量。用插值法对两个脉冲之间的时间进行扩展再计数，有利于提高测量精度。
被测试件的厚度6
5480251022
v t d -???===0.0685m
运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束
B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是
行程问题典型例题及答案详解 行程问题是小学奥数中的重点和难点，也是西安小升初考试中的热点题型，纵观近几年试题，基本行程问题、相遇追及、多次相遇、火车、流水、钟表、平均速度、发车间隔、环形跑道、猎狗追兔等题型比比皆是，以下是一些上述类型经典例题（附答案详解）的汇总整理，有疑问可以直接联系我。 例1：一辆汽车往返于甲乙两地，去时用了4个小时，回来时速度提高了1/7，问：回来用了多少时间？ 分析与解答：在行程问题中，路程一定，时间与速度成反比，也就是说速度越快，时间越短。设汽车去时的速度为v千米/时，全程为s千米，则：去时，有s÷v=s/v=4，则 回来时的时间为：，即回来时用了3.5小时。评注：利用路程、时间、速度的关系解题，其中任一项固定，另外两项都有一定的比例关系（正比或反比）。 例2：A、B两城相距240千米，一辆汽车计划用6小时从A城开到B城，汽车行驶了一半路程，因故障在中途停留了30分钟，如果按原计划到达B城，汽车在后半段路程时速度应加快多少？ 分析：对于求速度的题，首先一定是考虑用相应的路程和时间相除得到。 解答：后半段路程长：240÷2=120（千米），后半段用时为：6÷2－0.5=2.5（小时），后半段行驶速度应为：120÷2.5=48(千米/时)，原计划速度为：240÷6=40（千米/时），汽车在后半段加快了：48－40=8（千米/时）。 答：汽车在后半段路程时速度加快8千米/时。 例3：两码头相距231千米，轮船顺水行驶这段路程需要11小时，逆水每小时少行10千米，问行驶这段路程逆水比顺水需要多用几小时？ 分析：求时间的问题，先找相应的路程和速度。 解答：轮船顺水速度为231÷11=21（千米/时），轮船逆水速度为21－10=11（千米/时），逆水比顺水多需要的时间为：21－11=10（小时） 答：行驶这段路程逆水比顺水需要多用10小时。
运筹学习题精选
运筹学习题精选 第一章线性规划及单纯形法 选择 1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C ) A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量 2．约束条件为0 AX的线性规划问题的可行解集 b ,≥ =X 是………………………………………( B ) A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集 3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。 A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点 4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B) A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的 5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D) A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点 6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解 7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C ) A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解 8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。 A．和 B．差 C．积 D．商 9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A ) 第 2 页共 30 页
第 3 页 共 30 页 A ．多重解 B ．无解 C ．正则解 D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。 A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空 计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。 2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量， 表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断→j c 0 0 0 28 1 2 B C 基 b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G
1、在自然状态下，土是由固体颗粒、和组成； 2、若土的粒径级配曲线较陡，则表示土的颗粒级配；反之，粒径级配曲线平缓，则表示土的颗粒级配； 3、土的三个基本指标、、； 4、粘性土的液性指数的表达式为； 5﹑土中应力按产生的原因可分为和； 6、土的压缩系数 a 越大，土的压缩性越，土的压缩指数C C越 大，土的压缩性越； 7、地基最终沉降量的计算常采用法和法； 8、根据固结比 OCR 的值可将天然土层划分为、、和超固结土； 9、根据土体抗剪强度的库伦定律，当土中任意点在某一方向的平面上所 受的剪应力达到土的抗剪强度时，就称该点处于状态； 10、按挡土结构相对墙后土体的位移方向（平动或转动），可将土压力分为、、； 二、判断题 1、级配良好的土，较粗颗粒间的孔隙被较细的颗粒所填充，因而土的 密实度较好。（） 2、粘性土的抗剪强度指标是指土体的粘聚力 c 和内摩擦角φ。（） 3、在计算土的自重应力时，地下水位以下采用土的饱和重度。（） 4、在基底附加应力P0作用下，基础中心点所在直线上附加应力随深度Z 的增大而减小， Z 的起算点为地基表面。（） 5、深度相同时，随着离基础中心点距离的增大，地基中竖向附加应力曲 线增大。（） 6、大量抽取地下水，造成地下水位大幅度下降，这将使建筑物地基的沉 降减小。（） 7、三种土压力之间的大小关系为： E p ＜ E ＜ E a。（）
8、土中某点发生剪切破坏，剪破面上剪应力就是该点的最大剪应力，剪破面与大主应力面的夹角为 45°+φ/2 。（ ） 9、墙背和填土之间存在的摩擦力将使主动土压力减小、 被动土压力增大。（ ） 10、进行粘性土坡稳定分析时，常采用条分法。 （ ） 三、选择题 1、孔隙比的定义表达式是（ ）。 A 、 e=V /V s B 、 e=V /V C 、e=V /V D 、e=V /V v V V w v s 2、不同状态下同一种土的重度由大到小排列的顺序是（ ） sat >γ >d γ>γ ' B. γsat >γ '> γd >γ A ． γ D. γd >γ '> γsat >γ C. d >γ >sat γ>γ' γ 3、成层土中竖向自重应力沿深度的增大而发生的变化为 ：（ ） A 、折线减小 B 、折线增大 C 、斜线减小 D 、斜线增大 4、土中自重应力起算点位置为： （ ） A 、基础底面 B 、天然地面 C 、地基表面 D 、室外设计地面 5、某场地表层为 4m 厚的粉质黏土，天然重度 γ=18kN/m3，其下为饱和 重度 γsat 4m 处，经计算 =19 kN/m3 的很厚的黏土层，地下水位在地表下 地表以下 2m 处土的竖向自重应力为（ ）。 A 、 72kPa B 、36kPa C 、 16kPa D 、 38kPa 6、当摩尔应力圆与抗剪强度线相离时，土体处于的状态是： （ ） A 、破坏状态 B 、安全状态 C 、极限平衡状态 D 、主动极限平衡状态 7、计算时间因数 时，若土层为单面排水，则式中的 H 取土层厚度的 （ ）。 A 、一半 B 、1 倍 C 、2 倍 D 、4 倍 8、用朗肯土压力理论计算挡土墙土压力时，适用条件之一是（ ）。 A 、墙后填土干燥 B 、墙背粗糙 C 、墙背垂直、光滑 D 、墙 背倾 9、土体积的压缩主要是由于（ ）引起的。 A. 孔隙水的压缩 B.土颗粒的压缩
二、计算题（60分） 1、已知线性规划（20分） MaxZ=3X1+4X2 X1+X2≤5 2X1+4X2≤12 3X1+2X2≤8 X1,X2≥0 其最优解为： 基变量X1X2X3X4X5 X33/2 0 0 1 -1/8 -1/4 X25/2 0 1 0 3/8 -1/4 X1 1 1 0 0 -1/4 1/2 σj 0 0 0 -3/4 -1/2 1）写出该线性规划的对偶问题。 2）若C2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？ 3）若b2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？ 4）如果增加一种产品X6，其P6=(2,3,1)T，C6=4该产品是否应该投产？为什么？解： 1)对偶问题为 Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3≥3 y1+4y2+2y3≥4 y1,y2≥0 2)当C2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4 由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b2的量从12上升到15 X＝9/8 29/8 1/4 由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P6’=(11/8,7/8，－1/4)T σ6=3/8>0 所以对最优解有影响,该种产品应该生产 2、已知运输问题的调运和运价表如下，求最优调运方案和最小总费用。（共15分）。 B1B2B3产量销地 产地 A1 5 9 2 15 A2 3 1 7 11 A3 6 2 8 20 销量18 12 16 解：初始解为
计算检验数 由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为： 重新计算检验数 所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解 3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示： （15分） 项目 投标者 A B C D 甲 15 18 21 24 乙 19 23 22 18 丙 26 17 16 19 丁 19 21 23 17 答最优解为： X= 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 总费用为50 4. 考虑如下线性规划问题（24分） B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 18 1 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 －2 0 0 11 A 3 0 0 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 15 15 A 2 11 11 A 3 7 12 1 20 销量/t 18 12 16 B 1 B 2 B 3 产量/t A 1 5 13 0 15 A 2 0 2 2 11 A 3 0 0 0 20 销量/t 18 12 16
行程问题（一） 专题简析： 行程应用题是专门讲物体运动的速度、时间、路程三者关系的应用题。行程问题的主要数量关系是：路程=速度×时间。知道三个量中的两个量，就能求出第三个量。 例1 甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇，东、西两地相距多少千米 分析与解答从图中可以看出，两车相遇时，甲车比乙车多行了32×2=64（千米）。两车同时出发，为什么甲车会比乙车多行64千米呢因为甲车每小时比乙车多行56-48=8（千米）。64里包含8个8，所以此时两车各行了8小时，东、西两地的路程只要用（56+48）×8就能得出。 32×2÷（56－48）=8（小时） （56＋48）×8=832（千米） 答：东、西两地相距832千米。 练习一 》 1，小玲每分钟行100米，小平每分钟行80米，两人同时从学校和少年宫出发，相向而行，并在离中点120米处相遇。学校到少年宫有多少米 2，一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地相对开出，汽车每小时行40千米，摩托车每小时行65千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距75千米。甲、乙两地相距多少千米
例2 快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。慢车每小时行多少千米 分析与解答快车3小时行驶40×3=120（千米），这时快车已驶过中点25千米，说明甲、乙两地间路程的一半是120－25=95（千米）。此时，慢车行了95－25－7=63（千米），因此慢车每小时行63÷3=21（千米）。 [ （40×3－25×2－7）÷3=21（千米） 答：慢车每小时行21千米。 练习二 1，兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。弟弟每分钟行多少米 2，汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米。4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地 & 例3 甲、乙二人上午8时同时从东村骑车到西村去，甲每小时比乙快6千米。中午12时甲到西村后立即返回东村，在距西村15千米处遇到乙。求东、西两村相距多少千米 分析与解答二人相遇时，甲比乙多行15×2=30（千米），说明二人已行30÷6=5（小时），上午8时至中午12时是4小时，所以甲的速度是15÷（5－4）=15（千米/小时）。 因此，东西两村的距离是15×（5－1）=60（千米）
运筹学试题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
运筹学试题 一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分) 1．线性规划闯题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加___的方法来产生初始可行基。 2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、___和___。 3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是___变量。 4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 ___。 5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为___分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。 6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为____型决策。 7．在风险型决策问题中，我们一般采用___来反映每个人对待风险的态度。 8．目标规划总是求目标函数的___信，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的____。 二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。多选无分。 9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【】 A．有唯一的最优解 B．有无穷多最优解 C．为无界解 D．无可行解 10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【】 A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零 C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零
11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【】 A．3 B．2 C．1 D．以上三种情况均有可能 12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足【】 13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【】 A．等于 m+n B．等于m+n-1 C．小于m+n-1 D．大于m+n-1 14．关于矩阵对策，下列说法错误的是【】 A．矩阵对策的解可以不是唯一的 C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失 D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人I的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值 【】 A．2 8．—l C．—3 D．1 16．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【】 A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解
例题分析 1土的物理性质和工程分类 1.1 某完全饱和粘性土的含水量为40%ω=，土粒的相对密度s 2.7d =，试按定义求土体的 孔隙比e 和干密度d ρ。 解：设土粒的体积3s 1cm V =，则由下图所示的三相指标换算图可以得到： 土粒的质量 s s w 2.7g m d ρ== 水的质量 w s 0.4 2.7 1.08g m m ω==?= 孔隙的体积 3w v w w 1.08cm m V V ρ=== 孔隙比 v s 1.08 1.081V e V = ==； 干密度 3 s s d v s 2.7 1.3g cm 1 1.08 m m V V V ρ====++. 1.2 试证明下式 () s w 1r n S n ωγγ-= 解：从基本指标的基本定义出发，w s m m ω= ，s s w s m V γγ=，v V n V =,将这些基本指标的定义式代入到上面等式的右边，可以得到：()w s v s s s w w r v w w v v w (1) 1m m V g n m V V m V S V n V V V ωγγργ???--====? 1.3 某砂土试样，通过试验测定土粒的相对密度s 2.7d =，含水量9.43%ω=，天然密度 31.66g cm ρ=，已知砂样处于最密实状态时干密度3dmax 1.62g cm ρ=，处于最疏松状态时干 密度3 dmin 1.45g cm ρ=。试求此砂样的相对密实度r D ，并判断砂土所处的密实状态。 解：设土粒的体积3s 1cm V =，则通过三相图可以计算 土粒的质量：s s w 2.7g m d ρ==；水的质量：w s 0.0943 2.70.255g m m ω==?=； 土样的质量：s w 2.955g m m m =+= ； 天然状态下砂样体积：32.955 1.78cm 1.66 m V ρ= = =； 天然状态下砂样的孔隙比：v s s s 0.78 0.781 V V V e V V -====
3）若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2 由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj 最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3 若问题中 x2 列的系数变为（3，2）T 则P2’=(1/3,1/5σ2=-4/5＜0 所以对最优解没有影响 4）c2 由 1 变为2 σ2=-1＜0 所以对最优解没有影响 7. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集，每弧旁的数字是（cij , fij ）。（10 分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 - 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 -3/5 VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt (7,7 6/9 V2 最大流＝11 (5,5 V4 8. 某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C 三种设备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300 单
第十讲：行程问题分类例析 主讲：何老师 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流， 回时则为逆流. 一、相遇问题 例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续行使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程. 解答：设 甲车共 行使了 xh ，则乙车行使了h x )(60 25-.（如图1） 依题意，有72x+48)(60 25-x =360+100,
解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km ，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行 4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm 就应返回. 依题意，有6425 57525575.=-++x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km 就应返回. 解法二: 设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2.
某昼夜服务的公交线路 解：设x i 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6≥60 x1 + x2≥70 x2 + x3≥60 x3 + x4≥50 x4 + x5≥20 x5 + x6≥30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥0 解得50,20,50,0,20,10（x1到x6）一共需要150人 一家中型的百货商场 解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0 解得12.0.11.5.0.8.0(x1到x7) 最小值36 某工厂要做100套钢架 设x1,x2,x3,x4,x5 分别为5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 s.t. x1 + 2x2 +x4≥100 2x3+2x4 +x5≥100 3x1+x2+2x3+3x5≥100 x1,x2,x3,x4,x5≥0 解得30,10,0,50,0 只需要90根原料造100钢架某工厂要用三种原料1、2、3 设设x ij 表示第i 种（甲、乙、丙）产品中原料j 的含量。 目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13≥0 -0.25x11+0.75x12 -0.25x13≤0 0.75x21-0.25x22 -0.25x23≥0 -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23≤0 x11+x21 +x31≤100 x12+x22 +x32≤100 x13+x23+x33≤60 x ij≥0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 解得x11=100,x12=50,x13=50原料分别为第1种100 第2种50 第3种50 资源分配 解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个厂分别编号为1、2、3厂。设sk= 分配给第k个厂至第3个厂的设备台数（k=1、2、3）。xk=分配给第k个工厂的设备台数。 已知s1=5, 并有S2=T1(s1,x1)=s1-x1,S3=T2(s2,x2)=s2-x2从Sk与Xk的定义，可知s3=x3 以下我们从第三阶段开始计算。Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3)即F3（s3）= Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3). 第二阶段F2（s2）=max[r2(s2,x2)+f3(s3)]第一阶段当s1=5时最大盈利为f1(5)=max[r1(5,x1)+f2(5-x1)] 得出2个方案⑴分配给甲0台乙0台丙3台⑵分配甲2台乙2台丙1台，他们的总盈利值都是21. 背包 设Sk＝分配给第k种咨询项目到第四种咨询项目的所有客户的总工作日Xk=在第k种咨询项目中处理客户的数量已知s1=10,有S2=T1(s1,x1)=s1-x1. S3=T2(s2,x2)=s2-3x2. S4=T3(s3,x3)=s3-4x3,第四阶段F4(s4)=maxr4(s4,x4)=r4(s4,[s4/7])第三阶段F3(s3)=max[r3(s3,x3)+f4(s3-4x3)]第二阶段F2(s2)=max[r2(s2,x2)+f3(s2-3x2)]第一阶段已知s1=10，又因s2=s1-x1有F1(10)=max[r1(10,x1)+f2(10-x1)] 综上当x1*=0,x2*=1,x3*=0,x4*=1,最大盈利为28 京城畜产品 解：设：0--1变量xi = 1 (Ai 点被选用）或0 (Ai 点没被选用）。这样我们可建立如下的数学模型：Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤720 x1 + x2 + x3 ≤2 x4 + x5 ≥1 x6 + x7 ≥1 x8 + x9 + x10 ≥2 xi≥0 且xi为0--1变量，i = 1,2,3,……,10 函数值245 最优解1,1,0,0,1,1,0,0,1,1（x1到x10的解） 高压容器公司
第一章土的组成 一、简答题 1.什么是土的颗粒级配？什么是土的颗粒级配曲线？ 1.【答】土粒的大小及其组成情况，通常以土中各个粒组的相对含量（各粒组占土粒总量的百分数）来表示，称为土的颗粒级配（粒度成分）。根据颗分试验成果绘制的曲线（采用对数坐标表示，横坐标为粒径，纵坐标为小于（或大于）某粒径的土重（累计百分）含量）称为颗粒级配曲线，它的坡度可以大致判断土的均匀程度或级配是否良好。 2.土中水按性质可以分为哪几类？ 2. 【答】 5. 不均匀系数Cu、曲率系数Cc 的表达式为Cu＝d60 / d10、Cc＝d230 / (d60×d10)。 7. 土是岩石分化的产物，是各种矿物颗粒的集合体。土与其它连续固体介质相区别的最主要特征就是它的散粒性和多相性。 三、选择题 1．在毛细带围，土颗粒会受到一个附加应力。这种附加应力性质主要表现为( C ) (A)浮力； (B)力； (C)压力。 2．对粘性土性质影响最大的是土中的(C )。 (A)强结合水； (B)弱结合水； (C)自由水； (D)毛细水。 第二章土的物理性质及分类 一、简答题 3.什么是塑限、液限和缩限？什么是液性指数、塑性指数？ 3. 【答】（1）液限L：液限定义为流动状态与塑性状态之间的界限含水量。（2）塑限p: 塑限定义为土样从塑性进入半坚硬状态的界限含水量。（3）缩限s: 缩限是土样从半坚硬进入坚硬状态的界限 含水量。（4）塑性指数I P 定义为土样的液限和塑限之差：I P= w L－w P（5）液性指数： 9. 简述用孔隙比e、相对密实度D r判别砂土密实度的优缺点。9. 【答】 （1）用e判断砂土的密实度的优点：应用方便，同一种土，密实砂土的空隙比一定比松散砂土的小；缺点：无法反映土的粒径级配因素。
行程问题（一） 【知识分析】 相遇是行程问题的基本类型，在相遇问题中可以这样求全程：速度和×时间=路程，今天，我们学校这类问题。 【例题解读】 例1客车和货车同时分别从两地相向而行，货车每小时行85千米，客车每小时行90千米，两车相遇时距全程中点8千米， 两地相距多少千米？ 【分析】根据题意，两车相遇时货车行了全程的一半-8千米，客车行了全程的一半+8千米，也就是说客车比货车多行了8×2=16千米，客车每小时比货车多行90-85=5千米。那么我们先求客车和货车两车经过多少小时在途中相遇，然后再求出总路程。 （1）两车经过几小时相遇？8×2÷（90-85）=3.2小时 （2）两地相距多少千米？（90+85）×3.2=560（千米） 例2小明和小丽两个分别从两地同时相向而行，8小时可以相遇，如果两人每小时多少行1.5千米，那么10小时相遇，两地 相距多少千米？ 【分析】两人每小时多少行1.5千米，那么10小时相遇，如果以这样的速度行8小时，这时两个人要比原来少行1.5×2×8=24（千米）这24千米两人还需行10-8=2（小时），那么减速后的速度和是24÷2=12（千米）容易求出两地的距离 1.5×2×8÷（10-8）×=120千米 【经典题型练习】
1、客车和货车分别从两地同时相向而行，2.5小时相遇，如果两车 每小时都比原来多行10千米，则2小时就相遇，求两地的距离？ 2、在一圆形的跑道上，甲从a点，乙从b点同时反方向而行，8 分钟后两人相遇，再过6分钟甲到b点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环形一周需多少分钟？
【知识分析】 两车从两地同时出发相向而行，第一次相遇合起来走一个全程，第二次相遇走了几个全程呢？今天，我们学习这类问题 【例题解读】 例 a、b两车同时从甲乙两地相对开出，第一次在离甲地95千米处相遇，相遇后两车继续以原速行驶，分别到达对方站点后立即返回，在离乙地55千米处第二次相遇，求甲乙两地之间的距离是多少千米？ 【分析】a、b两车从出发到第一次相遇合走了一个全程，当两年合走了一个全程时，a车行了95千米 从出发到第二次相遇，两车一共行了三个全程，a车应该行了95×3=285（千米）通过观察，可以知道a车行了一个全程还多55千米，用285千米减去55千米就是甲乙两地相距的距离 95×3—55=230千米 【经典题型练习】 1、甲乙两车同时从ab两地相对开出，第一次在离a地75千米相 遇，相遇后两辆车继续前进，到达目的地后立即返回，第二次相遇在离b地45千米处，求a、b两地的距离 2、客车和货车同时从甲、乙两站相对开出，第一次相遇在距乙站 80千米的地方，相遇后两车仍以原速前进，在到达对方站点后立即沿原路返回，两车又在距乙站82千米处第二次相遇，甲乙两站相距多少千米？
第一章习题 1.思考题 （1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？ （2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？ （4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？ （5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？ （6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？ （8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型： （1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示： 润最大的模型。 （2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 如何安排配方，使成本最低？ （3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？ （4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？ 图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z
(一)线性规划建模与求解 B.样题：活力公司准备在5小时内生产甲、乙两种产品。甲、乙两种产品每生产1 单位分别消耗2小时、1小时。又根据市场需求信息，乙产品的产量应该至少是甲产品产量的3倍。已知甲、乙两种产品每销售1单位的利润分别为3百元和1百元。请问：在5小时内，甲、乙两种产品各生产多少单位，才能够使得总销售利润最大 要求：1、建立该问题的线性规划模型。 2、用图解法求出最优解和最大销售利润值，并写出解的判断依据。如果不存在最优解，也请说明理由。 解：1、(1)设定决策变量： 设甲、乙两种产品分别生产x 1 、x 2 单位 。 (2)目标函数： max z=2 x 1+x 2 (3)约束条件如下：1221 12 25..3,0+≤??≥??≥?x x s t x x x x 2、该问题中约束条件、目标函数、可行域和顶点见图1所示，其中可行域用阴影部分标记，不等式约束条件及变量约束要标出成立的方向，目标函数只须画出其中一条等值线， 结论：本题解的情形是： 无穷多最优解 ，理由： 目标函数等值线 z=2 x 1+x 2与约 束条件2 x 1+x 2≤5的边界平行 。甲、乙两种产品的最优产量分别为 (5,0)或(1,3)单位；最大销售利润值等于 5 百元。 （二）图论问题的建模与求解样题 A.正考样题（最短路问题的建模与求解，清华运筹学教材编写组第三版267-268页例 13）某企业使用一台设备，每年年初，企业都要做出决定，如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备，要付购买费。但是变卖旧设备可以获得残值收入，连续使用1年、2年、3年、4年以上卖掉的设备残值分别为8万元、6万元、3万元和0万元。试制定一个5年的更新计划，使总支出最少。已知设备在各年的购买费与维修费如表2所示。要求：（1）建立某种图论模型；（2）求出最少总支出金额。
8.如图3-1，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此 圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次 相遇.求此圆形场地的周长． 【分析与解】 注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完 12圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+12＝32 圈的路程． 所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路 程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米． 有甲、乙第二次相遇时，共行走(1圈－60)+300，为 32 圈，所以此圆形场地的周长为480米． 行程问题分类例析 欧阳庆红 行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等.在运动形式上 分直线运动及曲线运用(如环形跑道). 相遇问题是相向而行.相遇距离为两运动物体的距离 和.追及问题是同向而行,分慢的在快的前面或慢的先行若干时间,快的再追 及,追及距离慢快S S S +=.顺逆流、顺风逆风、上下坡应注意运动方向，去时顺流，回时则为逆流. 一、相遇问题 例1：两地间的路程为360km ，甲车从A 地出发开往B 地，每小时行72km ；甲车出发25 分钟后，乙车从B 地出发开往A 地，每小时行使48km ，两车相遇后，各自按原来速度继续 行使，那么相遇以后，两车相距100km 时，甲车从出发开始共行驶了多少小时？ 分析：利用相遇问题的关系式（相遇距离为两运动物体的距离和）建立方程.
解答：设甲车共行使了xh，则乙车行使了h x) ( 60 25 -.（如图1） 依题意，有72x+48) ( 60 25 - x=360+100, 解得x=4. 因此，甲车共行使了4h. 说明：本题两车相向而行，相遇后继续行使100km，仍属相遇问题中的距离，望读者仔细体会. 例2:一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行 4.6h,飞机出航时顺风飞行,在静风中的速度是575km/h,风速25 km/h,这架飞机最多能飞出多少千米就应返回? 分析:列方程求解行程问题中的顺风逆风问题. 顺风中的速度=静风中速度+风速 逆风中的速度=静风中速度-风速 解答:解法一:设这架飞机最远飞出xkm就应返回. 依题意，有6 4 25 575 25 575 . = - + + x x 解得:x=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km就应返回. 解法二:设飞机顺风飞行时间为th. 依题意,有(575+25)t=(575-25)(4.6-t), 解得:t=2.2. (575+25)t=600×2.2=1320. 答:这架飞机最远飞出1320km就应返回. 说明:飞机顺风与逆风的平均速度是575km/h,则有6 4 575 2 . = x ,解得x=1322.5.错误原因在于飞机平均速度不是575km/h,而是) / (h km v v v v v x v x x 574 550 600 550 600 2 2 2 ≈ + ? ? = + ? = +逆 顺 逆 顺 逆 顺 例3:甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km，甲、乙两人的速度分别为21 km/h、14 km/h. (1)如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇? (2)如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇? 分析:这是环形跑道的行程问题. 解答:(1)设经过xh两人首次相遇. 依题意,得(21+14)x=42, 解得:x=1.2. 因此,经过1.2小时两人首次相遇. (3)设经过xh两人第二次相遇. 依题意,得21x-14x=42×2, 图1
运筹学习题库 数学建模题（5） 1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示： 试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =70x 1+120x 2 s.t. ????? ??≥≤+≤ +≤+0 300103200643604921212121x x x x x x x x ， 2建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。 解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z= 4x 1+3x 2 s.t. ???????≥≤≤+≤+ ,50040005.253000222112121x x x x x x x 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：
建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：建立线性规划数学模型： 设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =10x 1+6x 2+4x 3 s.t. ???????≥≤++≤++≤++0 3006226005410100321321321321x x x x x x x x x x x x ，， 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通 信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。 解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I ?? ?==≤++++++++++++=7 ,...,2,1,10254212625510481418152076543217654321i x x x x x x x x x x x x x x x naxz i 或 5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。 解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。 321121410x x x MaxZ ++= 250042.15.321≤++x x x