创新题型
近年数学高考试题中，出现一些立意新、情境新、设问新的试题。此类试题新颖、灵活又不过难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意识和创新能力，把此类试题统称为创新试题。
创新试题主要考查学生的探索能力、发散思维能力、直觉思维能力、数学应用意识和应用能力。创新试题打破了固定的模式和解题套路，而是通过设计新问题、新背景来考查学生运用现有知识解决问题的能力，具体表现有如下几种方式：
一．设计非常规的数学问题，考查学生的探索能力，培养学生的探索精神。
在数学问题中，有一些问题没有现成的方法或解题模式套用；有一些问题的条件、结论、解题策略是不唯一的或需要探索的（见开放性试题），因此解决这些问题的过程中能有效地展示考生的思维水平。
三．设计非常规的应用题，强化数学应用意识，培养数学应用意识。
例11．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，其原因仅因电阻断路的可能性共有
___________种情况（用数字作答）
答案63
例12．近日在国内某大报纸有如下的报道：
加薪的学问
学数学，其实是要使人聪明，使人的思维更加缜密，在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两个加工资的方案。一是每年年末加一千元；二是每半年结束时加300元。请选择一种。一般不擅长数学的人很容易选择前者，因为一年加一千元总比两个半年共加600元要多。其实，由于工资累计的，时间稍长，往往第二种方案更有利。例如在第二年的年末，依第一种方案可以加得1000+2000=3000元，而第二种方案在第一年加得300+600=900元，第二年加得900+1200=2100元，总数也是900+2100=3000元。但到了第三年，第一种方案可以得到1000+2000+3000=6000元，第二种方案可以得到
300+600+900+1200+1500+1800=6300元，比第一方案多了300元。第四年，第五年会更多。因此，你若会在公司干三年以上，则应选择第二种方案。
根据以上材料，解答以下问题：
（1）如果在该公司干10年，问选择第二方案比选择第一多加薪多少元？
（2）如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加元，问取何值时，总是选择第二方案比选择第一方案多加薪？
四．创设新颖的环境，培养学生的创新能力，在新的情境中，实现知识迁移，创造性地解决问题（新背景、新定义）
五．开放题型
开放性问题是相对于有明确的条件和明确的结论的封闭型问题而言的，把从问题给定的题设中探究相应的结论，加以证明，或从给定的题断中探究其相应的必须具备的条件的一类问题称为开放性问题。由于
此类问题的知识覆盖面较广，综合性强，灵活选择方法的要求较高，有利于培养和考查学生的创造思维能力和探索能力，所以此类问题成为高考的热点之一。
高考中开放性试题的常见题型有：条件探索型，结论探索型，存在探索型，规律性探索型。
1、条件探索型
条件探索型问题是指问题中的结论明确，探求使结论成立的充分条件。解决此类问题的策略有两种，一种是将结论作为已知条件，逐步探索，找出结论成立所需的条件，这也是我们通常所说的"分析法"；第二种是假设题目中指定的探索条件，把它作为已知，并结合其他题设进行推导，如果能正确推导出结论，则此探索条件就可以作为题设条件
评述：本题从所给的条件出发，通过观察、分析、归纳、猜想出结论，然后对所猜想的结论加以证明。这个探索结论的过程可以概括为：归纳------猜想------证明
3、规律性探索型
规律性探索型命题是指从命题给出的多个具体的关系式，通过观察、归纳、分析、比较，得出一般规律的命题。解题策略是：通过研究题设的变化规律，猜想结论，然后证明。
4、存在性探索型
存在性探索型命题是指在一定的条件下，判断某种数学对象是否存在，进行演绎推理，若推出矛盾，则假设不成立，若推出结果，则假设成立，即指定的数学对象存在。
ＡＢＣＤ
高中数学创新课堂教学模式新探 教学活动是实现新课程理念的根本途径。新的数学课程教学活动具有开放性、创新性，同时也具有一定的确定性。在新形式下教师如何根据当前的教育背景，大力开发教育资源，准确预见教学活动发展方向，积极防范可能出现的干扰因素，以更好的实现课程目标，提高教学效果呢？这是一个值得各位教改一线的教师研究的问题。 传统的课堂教学是一种以教为本的教学观，教师依据教学大纲从考试要求来确定每节课的教学目标及要求，而忽视师生、生生间的交流，学生只能被动适应，使学生失去学习过程的自主性和主动性。为了完成教学目标教师一味地讲解、训练，学生听、记，缺乏独立思考，久而久之养成了学生依赖教师，形成了思维的懒惰，缺乏自主性和创造性，而在新的课程计划中要求改变学生的学习方式，倡导学生自主探究，把学习主动权交给学生。因此，教学要以教师的教为本位的教学观转向以学生学为本位的教学观，要突出认识和关注学生的主动性，有了主动性才能具有自主性，有了自主性才能形成创造性，教学的成功与否，关键是我们的教学活动是让少数人参与还是让全体学生参与，在同一层次参与还是不同层次上参与，是被动参与还是主动参与。我们的教学，必须克服教师满堂讲，学生被动听，少数学生学习，多数学生陪做的现象，引导全体学生积极主动的参与到学习的活动中去。而创新教学模式是在一定教学思想指导下所建立起来的。它是人们在长期教学实践中不断总结、改良教学而逐步形成的。它源于教学实践，又反过来指导教学实践，是影响教学的重要因素。要培养学生的创造思维，就应该有与之相适应的，能促进创思维培养的教学模式，当前数学课堂创新教学模式主要有以下几种形式。
一、探究式教学 探究式课堂教学是以探究为主的教学。具体说，它是指“教学过程中，在教师的诱导启发下，以学生独立自主学习和合作讨论为前提，以现行教材为基本探究内容，以学生周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达，质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑尝试活动，将自己所学知识应用于解决实际问题的一种教学形式”。（1）探究式课堂教学特别重视开发学生的智力，发展学生的创造性思维，培养自学能力，力图通过自主探究，引导学生学会学习和掌握科学方法，为终身学习和工作奠定基础。尽管进行数学课堂教学改革有多种方法和渠道，但是以探究为主的课堂教学改革仍然是理想的选择。这是因为：⑴.数学学课堂教学选用探究式符合数学学科特点及教学改革的实际，并能满足师生双方的心理需要；⑵.数学课堂教学选用探究式能使课堂焕发出生机勃勃的活力和效力；⑶.数学课堂教学选用探究式能破除“自我中心”，促进教师在探究中“自我发展”。．例如，教学大纲对两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，要求“不扩展到三个正数的算术平均数不少于它们的几何平均数定理”．于是，对《几个正数的算术平均数与集合平均数》一文可指导学有余力的同学阅读，并可适当补充一些习题，使学生了解均值不等式在证明不等式及解决有关最大值、最小值的实际问题中的重要作用，这样既能满足学生对知识的渴求，也能开阔学生的思路，有助于提高学生的解题能力． 二、启发式教学 我们开展数学的“启发式教学”，就是在老师的点拨下让学生自主地去发现、去研究自己感兴趣的问题，亲身体验问题。数学中的各种各样的问题为我们研究性学习提供了许多研究的方向，数学教学中的各种问题都是渗透研究性学习
本卷说明：该试卷综合性较强且不分考生高考地区，凡是掌握了高中数学必备知识的同学都可以尝试，本 卷难度大于一般年份的全国卷，注重考查的是学生的基础知识的掌握情况以及创新与变通能力！ 本卷大体上分为两个部分：①填空题 ②选择题[注：本卷没有选择题！]，分为六道填空题与六道解答题，每道填空题为5分，第一道大题10分，剩余五道大题每道12分。合计100分。 答题时间：150分钟 一．填空题 1.已知锐角α的终边上有一点P ()??+40sin 40cos 1，，则α=____. 2.辗转相除法是研究古典数学的杰出方法，则当n 为非负整数时， ()21 34++=n n n f 可以取到的不同整数的个 数为____. 3.椭圆14 22 =+y x 的一条切线是l ，若其左焦点，原点，右焦点到l 的距离成等比数列，则l 的方程为____. 4.正项数列{}{}{}n n n n n n b a c c b a =中，,,，它们的前n 项和分别为n n n C B A ,,函数 ()n n n B x C x A x f ++=22有零点，则其值域为____. 5.已知椭圆()012222＞＞b a b y a x =+，其离心率2 3=e ，在一个充分长的矩形足球场上，已知其宽2a ，球门宽2b ，球门在中心。一球员站在球场边缘射球门，若球员的视角最大范围总是120°，设球员射门的概率满足几何概型，则其射门的概率最大值为____. 6.一条直线上顺次排列有A,B,C 三点，另一点D 在该直线上的投影在C 的右侧。则 BD AC CD AB BC AD ?=?+?是D 在直线上的 ①充要条件 ②充分不必要条件 ③必要不充分条件 ④既不必要也不充分条件 请填写正确的序号____. 二．解答题 7. △ABC 中，AT 是∠A 的角平分线，在AB 与AC 上取两点M,N 使得BM=CN 。 （1）证明：AC AB AT += （2）设BC 的中点为K ，MN 上有一点L ，使得λ=， ①尝试用含AC AB ,，λ的式子表示 ②当a =其中a 为正数时，求λ 8. 设抛物线()0,1,42F x y =，过F 的直线交抛物线于AB ，设A,B 关于该抛物线的切线的交点为P
高一数学创新题型探究 贵州 洪其强 一、建构数列型 数列作为特殊的函数，在高考数学中占有相当重要的位置，主要涉及增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，建立起等差、等比、或递推数列的模型来解题． 例1 （2003年朝阳区高三统一练习（二））2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化. （Ⅰ）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为10 4 1= a ，经过n 年后绿化的面积 为,1+n a 试用n a 表示1+n a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的第1+n 项1+n a ； 解析：（Ⅰ）设现有非绿化面积为1b ，经过 n 年后非绿化面积为.1+n b 于是 .1,111=+=+n n b a b a 依题意：1+n a 是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积n a 减去被 非绿化部分 n a 1002 后剩余的面积n a 10098，另一部分是新绿化的面积.1008n b 于 是1+n a =n a 10098+.1008n b =n a 10098+.25 2109)1(1008+=-n n a a （Ⅱ）1+n a = ,252109+n a 1+n a －54=－).54(109-n a , 数列}54 {-n a 是公比为,10 9首项5254104541-=-=-a 的等比数列. n n a )10 9)(52(541-+=∴+ 二、信息迁移型 信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体． 信息迁移型题可分为定义信息型、图表信息型、 图形图像信息型等. 1．定义信息型 例2 （2001上海22）对任意函数f (x ), x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下： ①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)； ②若x 1?D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.现定义1 2 4)(+-= x x x f （1）若输入x 0= 65 49 ，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项； （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；
浅析高中数学创新思维能力的培养 发表时间：2014-04-10T11:39:27.593Z 来源：《新疆教育》2013年第10期供稿作者：李彬政[导读] 创新意识及其特征，中外学生的主要差距著名美籍华人学者杨振宁教授曾指出创新能力有待于加强 陕西彬县范公中学李彬政 摘要：在数学教育中，学生的创新主要是对自然和社中的数学现有好、探，不新知，思，从数意识指界会象具奇心究心断追求独立考会学的发现和提出问题，进行探索和。教师应从数学创新的培养上入手，在平时的教学过程中把提高学生的数学创新角度研究意识真正意识落到实，发学生能。处激潜 关键词：中学生创新培养意识陕西彬县范公意识指会度研究意识处激潜意识 1、创新意识及其特征，中外学生的主要差距著名美籍华人学者杨振宁教授曾指出创新能力有待于加强；而具有创在于，中国学生缺乏创新意识，，最受欢迎的人才。提高学新能力的人才将是21世纪最具竞争力。所谓创新意识生的创新意识和创新能力是我们面临的重要课题，不断追求新知，是指对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，进行探索和研究。 独立思考，会从数学的角度发现和提出问题在数学教育中，学生的创新意识主要是指对自然界和社会中的数，独立思考，会从数学现象具有好奇心、探究心，不断追求新知，对某些定理、公学的角度发现和提出问题，进行探索和研究、延伸或推广。创新意识具有式、例题的结论或其本身进行深人，求异性、探索性、开创性。这就要求教师的教学观念必须转变教师能力和教学水平要提高，要教学要创新，教学思维要创新，；具有驾御全局，随机应变求教师基本功扎实，广博的专业知识，创设“问题情境”的能力。 的能力；具有开展数学活动的能力，难以屹立于世界民江泽民同志指出“一个没有创新能力的民族、创新能力，具族之林。”创新意识就是培养学生具有创新精神、新学说、新概念、新设计、新有发现新规律、新事物、新理论，是一切发明和创造的源泉方法的强烈愿望和主动探索精神。 2、创新意识的培养，以问促变，以问促创新意识 2.1 注重问题的教学，以问促思的培养：“发（1）问题的来源及选择。著名教育家陶行知先生曾说，过在不会问。”教师应指明千千万，起点是一问，禽兽不如人，收集大家思考的错误问题，导学生：在预习中发现书本的问题；例如，“角的根据生活实际的需要所提出问题作为问题的来源、拨慢的区别来作为问概念的推广”的内容，我们用时钟拨快。 题，从而引入角的新概念，教师应把它作为教学的（2）讲究问题呈示方式。对于问题，将发现问题的主出发点；最好能由学生根据情境自己发现问题，因为对一个人的创新能动权交给学生，让学生展示问题的过程。 力来讲，发现和提出问题的能力是至关重要的：是（3）问题的解决。教师在教学中要把握解决问题的方式，或小组讨论？是先独立研究独立操作（或思考）还是集体研究？这与所研究问题的难易程再相互交流，还是带着问题看书自学，将学生度有关。通常的做法，教师要尽可能地让学生参与活动，促进学生思作为活动的主体，要充分发挥数学交流的教学功能；要及时在学生活动过程中维的交互作用，培养学生的创新意识（即问题是怎样想到及问题解决后进行小结，将触发思维的因素？为什么这样想的，将引的？是什么使我这样想的？）进行显现让学生分析把握，为今后创新思导思维的方法、策略进行提炼，。 维打下基础，培养学生的创新意识 2.2 重例题的选择及变式，要有针对性；要首先，教师对教学中的例题的设计和选择进行一题多解的训练，要引导学生对原理进行广泛的变换和延相似性、相反性的新问题，进一伸，尽可能延伸出更多相关性、。 步发展学生的创造性思维激发主体意识是关键 2.3 创设民主氛围， “插嘴” 2.3.1允许。插嘴是一种特殊提创新意识始于积极思维，始于质疑提问中学李彬政象具心究心断追求立考会真正意识落，正是他触发主体意识，问方式。当学生不由自主地插嘴的时候。教师应鼓励学积极思维探讨，发现新知识、产生新思维的时候，探求真知。无论课中、生敢于“插嘴”，勇于质疑，师生合作，使整个学习过程成为质疑解课后，学生都可以提出自己的疑义。 惑的过程。” 亚里士多德曾讲：“创新思维就是从疑问和惊奇开始的，师生一起证明定理后，一学在学习《三角形的中位线》一节时，就是截取第三边中生突然插嘴：“老师，我觉得还有一种证法。大家都证不出，这下点，即折半法。”我要求同学们都证证看（加倍同学们都明白了，三角形的中位线定理只能用延长中位线，学生心领神会，愉法）来证明，我说这就是我们要讨论的问题，而且学生情绪悦地笑了。问题也就在民主、活跃的氛围中解释，大大提高了课堂效率。 高涨，课堂气氛异常活跃 2.3.2 动手和动脑相结合，脑手二者的相辅相成，能使大脑左右两半球趋于阶同活动，这对激发主体性，培养使两方面的能力都得以充分发挥并结合心之官则思”。思维是学习的基创新意识，无疑是非常大的，“ 。某种意义上，许多重础。鼓励学生敢想、善想，是十分重要的，牛顿在谈及成功的秘诀时，曾大的科学发现都是“想”出来的，发挥了学说“我一直在想、想、想”。只有解放了学生的头脑，立异标新，发挥其创造性的生的想象力，学生才能冲破旧藩篱。 威力。在培养想象力方面，数学无疑具有得天独厚的条件拓延学习空间 2.3.3 释放学生时间，，作业又多得做不完，试问，现在不少学校，课程从早到晚有什么时间去进行创造性思维培学生还有什么主体性可发挥，，离开了时间的保证，养。教育应以丰富多彩的课外话动为载体，在实际教学中，教师应认真落又哪里去寻找这样的空间？因此，把学生从“题海”之中解放出实素质教育，扎实抓好课堂实效，高效利用时间，开展丰富多来，同时，也要指导学生科学运筹彩、自愿性、多样性、灵活性创造性和实践性有机结合的课外活动，拓宽教育领域。鼓励学生扩大自己的活动领域，向社会实践：“测造需要广博的基求新知，延展学习空间。陶行知曾说，学生才能搜集丰富的资础。”只有节余了时间，解放了空间发挥内在的创造力。 料，扩大认知的眼界，参考文献［J］．广西师范学院学１邓小荣．高中数学的体验教学法（8）报，2003 ［Ｊ］．广西右江民２黄红．浅谈高中数学概念的教学方法，2003（6）族师专学报３胡中双．浅谈高中数学教学中创造性思维能力的培养，2001（７）［J］．湖南教育学院学报 ———综合高中数学教学探４竺仕芳．激发兴趣，走出误区，2003（4）索［J］．宁波教育学院学报［M］．北京：５杨培谊，于鸿．高中数学解题方法与技巧，1993 北京经济学院出版社
高中数学《新课程标准》考试试题及答案（一） 一、选择题（共10题） 1.高中数学课程在情感、态度、价值观方面的要求下面说法不正确的是(D ) A.提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心 B.形成锲而不舍的钻研精神和科学态度 C.开阔数学视野，体会数学的文化价值 D.只需崇尚科学的理性精神 2.《高中数学课程标准》在课程目标中提出的基本能力是(B ) A.自主探究、数据处理、推理论证、熟练解题、空间想象 B.运算求解、数据处理、推理论证、空间想象、抽象概括 C.自主探究、推理论证、空间想象、合作交流、动手实践 D.运算求解、熟练解题、数学建模、空间想象、抽象概括 3.高中数学新课程习题设计需要( C) A.无需关注习题类型的多样性，只需关注习题功能的多样性 B.只需关注习题类型的多样性，无需关注习题功能的多样性 C.既要关注习题类型的多样性，也要关注习题功能的多样性 D.无需关注习题类型的多样性，也无需关注习题功能的多样性 4.下面关于高中数学课程结构的说法正确的是( D) A.高中数学课程中的必修课程和选修课程的各模块没有先后顺序的必要 B.高中数学课程包括4个系列的课程 C.高中数学课程的必修学分为16学分 D.高中数学课程可分为必修与选修两类 5.在教学中激发学生的学习积极性方法说法正确的是(B ) A.让学生大量做题，挑战难题 B.创设问题情境，让学生有兴趣、有挑战 C.让学生合作交流讨论、动手操作、有机会板演讲解 D.通过数学应用的教学使学生了解数学在现实生活中的作用和意义 6.要实现数学课程改革的目标，关键是依靠( A) A.学生 B.教师 C.社会 D.政府领导 7.在新课程中教师的教学行为将发生变化中正确的是( A)
高中数学创新思维能力培养浅析 发表时间：2018-05-30T11:46:20.590Z 来源：《中国教师》2018年6月刊作者：齐锦莉[导读] 新时期的教学提倡素质教育，注重对学生创新思维的培养，高中数学教学也要紧跟时代发展步伐，更新教学理念，培养学生的创新思维。 齐锦莉四川省雅安中学 625000 【摘要】新时期的教学提倡素质教育，注重对学生创新思维的培养，高中数学教学也要紧跟时代发展步伐，更新教学理念，培养学生的创新思维。因此本文对高中数学中创新思维的重要性进行了阐述，并根据当前高中数学的教学现状，对学生创新思维的培养进行了探究。【关键词】高中数学；教师；创新思维；培养；学生 中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2018）06-080-01 高中教学是学生成长发展的重要阶段，该阶段学生面临着高考的压力，还要提高自身能力。创新是一个国家、一个民族发展的不竭动力，学生是一个国家、一个民族未来发展的希望，因此对培养学生创新思维是极为重要的。本篇文章就对培养学生创新思维进行了探讨，希望能够帮助培养学生创新思维的工作开展。 一、高中数学教学学生创新思维的重要性 创新思维是指学生在学习、解决问题的过程中用独特的角度、方法解决，解决处理问题的角度、方法不受传统思维的局限，能够形成自己独特、新颖的思维模式。高中生涉及的知识面广阔、了解较多的知识，有利于高中生形成自己的创新思维模式。同时创新思维模式有利于自身的学习，对知识有更加深入的理解、能够多角度的思考问题。进而能够从整体上提高学生的综合素质、认知能力、综合能力等，有利于学生的思维活跃，不受传统、固定模式的局限，在日后的学习中能够全方位、多角度思考问题。 二、高中数学教学现状 （一）教学模式单一。 高中的教学知识难度增加、学生压力较大，尤其是高中数学知识难度大，学生对其的学习有一定的困难。我国传统的教学模式是教师单一向学生灌输知识，缺少师生之间的互动交流、对知识难点的理解，存在着一定的弊端，不利于高中生的学习。传统的教学模式比较固定、死板，在课堂上学生不能很好地表达自己的思维想法，不利于培养学生的创新性思维，影响到教学质量。 （二）教学资源匮乏。 教师在教学过程中忽视了高中数学的实际应用性，只是作为简单的高中学习科目进行讲解。在课堂上，教师按照课本、教学大纲进行教学、相关辅导教材，将知识点列在黑板上进行理论化脱离生活的讲解，要求学生强行记忆、死记硬背，这样的做法只是为了应对考试，没有考虑到是否对学生未来发展有帮助。在我们日常生活中有很多地方用到数学，利用数学思维去解决问题，因此在教师的教学中要重视数学在生活中的应用，着重培养学生的创新思维。 （三）学生联想能力得不到发展。 高中数学的知识难度加大，对于这个年龄段的学生来说，理解比较困难。有的学生是空间立体感不强，有的学生是想象力比较差，有的学生考虑问题固化不会变通，归根结底，是从抽象到形象的转化能力没有掌握。 三、高中数学教学中培养学生创新思维的方法 （一）教学模式多元化。 数学是人们生活必不可少的工具，是一切重大技术发展的基础；同时，为提高人的创新能力起到独特的作用，为了能够培养学生的创新思维，教师需要对高中数学教学模式进行改良创新，以此来激发学生对学习的兴趣，促使学生积极主动的学习。我们常说产生了兴趣就是成功的一半，因此学生对学习的积极性提高，学习的效率、质量也会有所提高。教师做好备课工作，将教学的每个细节都要考虑到，做到面面俱到提高教学质量。同时，教师要改变在教学中“我说你听”的模式，针对不同难度的问题采用不同的讲解方式。针对抽象较难理解的问题、知识点，教师可以利用多媒体教学设备表现出生动直观的图像，同时教师适当的引导学生，能够帮助学生对其的理解和掌握，也有利于学生对该知识点的记忆。充分利用多媒体设备教学，提高了课堂的教学效率，在相同的时间内，学生的注意力更加集中；师生之间的互动也促进了师生关系，实现了在师生交流互动中共同学习、探讨问题。能够从整体上提高学生的学习成绩，有利于培养并提高学创新思维，促进学生的全面健康发展。 （二）优化教学资源。 学生在学习过程中除了自身的努力学习，还需要老师的引导指点，教师在学生创新思维的培养中起了重要作用，因此教师要进行教学创新。教师在教学中不要局限于固定的教材资料，要结合教材制定新的教学计划，并提出相关问题与学生共同探讨。在探讨过程中按照教学计划，适当的引导学生选择不同的角度进行思考，把问题渗透到具体问题中，在讨论中让学生充分的表达自己的想法意见，帮助学生自主的解决问题。在思考中激发学生的求知欲，同时也锻炼了学生对创新思维的运用。比如函数部分，讲到供需函数，教师可以引导学生创造一个购物场景，让学生站在消费者和供货商两个不同立场上思考，看两个函数有什么特点？与生联系起来，激发了学生的思维。 （三）培养学生的想象灵活性。 数学内容灵活多变，只有提高学生的思维灵动性，发展学生的联想空间，促使学生从多角度分析问题，才能构建自己的思维模式，比如用等值语言叙述概念应用于概念教学；公式教学中帮助学生掌握公式的变形等等，促进学生的创新思维发展，同时加强学生的逆向思维能力以及辨识能力，综合提高学生的学习能力。 结束语：社会在不断的进步发展，我们的教育教学方法也要随之更新，创新思维在现代社会的发展中占有重要的地位，因此为了民族、国家的未来——学生，要在教育中着重培养创新思维，尤其是在高中数学的教学中，培养学生的创新思维。参考文献： [1]张述超高中数学教学中如何培养学生创新思维[J]教育科学：引文版2016.
§3.2 简单的三角恒等变换 课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律． 1．半角公式 (1)S α2：sin α 2＝____________________； (2)C α2：cos α 2＝____________________________； (3)T α2：tan α 2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理 形式)． 2．辅助角公式 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2 sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定． 一、选择题 1．已知180°<α<360°，则cos α 2的值等于( ) A ．－1－cos α 2 B. 1－cos α 2 C ．－ 1＋cos α2 D. 1＋cos α 2 2．函数y ＝sin ? ????x ＋π3＋sin ? ????x －π3的最大值是( ) A ．2 B ．1 C.1 2 D. 3 3．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈? ?????0，π2的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－ 2 D ．－1 4．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 5．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A.??????－π，－5π6 B.??????－5π 6 ，－π6 C.??????－π3，0 D.???? ??－π6，0 6．若cos α＝－4 5，α是第三象限的角，则1＋tan α21－tan α 2 等于( ) A ．－12 B.1 2 C ．2 D ．－2
2007年高考数学创新题型精选 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（ ） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组 成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（ ） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6） 内解的个数的最小值是 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A(21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果 二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程 有 （ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则 （ ） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内 C. 点Q 在△GCA 内 D. 点Q 与点G 重合 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。 类比性质叙述如下 ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12．规定记号“?”表示一种运算，即+∈++=?R b a b a b a b a 、，. 若31=?k ，则函数()x k x f ?=的
高中数学的案例式教学创新 作者：李亨连 来源：《现代教育科学·中学教师》2010年第03期 案例式教学是一种新型的教学模式,近年来在高中数学教学中被广泛采用,改变了以往传统的简单的灌输式教学模式。通过教学互动激发了学生的学习热情,使学生成为教学活动的主角,培养了学生运用知识解决实际问题的能力。在新课标出台的背景下,高中数学案例教学如何能顺应时代的发展,与时俱进,不断地进行自我创新就成为一个非常现实的问题。 一、数学案例式教学的内容 近年来随着新课标的出台,新的教学理念的深入,越来越多的学校在高中数学教学中开展案例式教学,并且结合新课标的要求不断调整创新。所谓的案例式教学,简单说就是教师结合教学内容,结合教材,联系实际,选取身边的实际具体案例,向学生展示后,在教师的引导下,学生结合掌握的知识,对这一案例进行分析讨论,最后得出解决方案或新型结论,即达到教学目的,最后教师根据学生的发言进行总结。 尽量要选取身边的例子,学生比较熟悉的例子,或者听到或者看到过的活生生的例子。例如根据当前如火如荼的房地产市场,可以设立一个题目,让学生虚拟买房,根据条件,根据自己首付和贷款年限,结合利率计算每月还款的金额。这样的题目贴近生活,而且这种形式学生们会感到新颖,而且通过这种方式让学生更深刻的体会到数学在日常生活中解决实际问题的能力,了解数学的实用性。 在案例式教学中,教师从始至终都是一个组织设计者,而学生是整个教学活动的主角,整个教学活动都是围绕着学生来进行。带着问题进行学习,可以有效地激发学生的探索精神,怀疑精神,培养其独立思考的能力,这符合新课标的中心思想,对培养创新型人才具有非常重要的作用,值得在教学过程中推广。但是结合新课标,这种教学模式也需要不断地尽享创新以适应时代发展的需要。没有什么东西可以一劳永逸,只有与时俱进才能经久不衰。 二、案例式教学是一种创新型的教学模式 数学课程是一个逻辑性很强、实用性很强的学科,然而长期以来,在各个高中教学中一直存在偏科现象。很多学生根本对学习数学没有兴趣,根本学不进去,课堂教学有效性很低。新的问题的出现,必然要求有新的解决方法的诞生,一种创新型的教学模式在近年来被广泛推广,这就是案例式教学模式。 案例式教学模式,由传统教学活动的一言堂转变成互动的教学交流模式,学生的学习不再是被动的接受,而是主动的出击、主动的思考,同时锻炼了学生利用知识解决问题的能力,培养了学习独立自主的能力,为培养创新意识提供了基础。案例式教学模式改变了以往数学教学给人脱
题型训练四 创新题型 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．（06年山东）定义集合运算：A ⊙B =｛z ︳z = xy (x+y )，z ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( ) A ．0 B.6 C.12 D.18 2．（06年辽宁卷）设○ +是R 上的一个运算, A 是R 的非空子集,若对任意,a b A ∈有a ○+b A ∈,则称A 对运算○ +封闭,下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是（ ） A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 3．(05天津)从集合{1，2，3，…，11}中的任意取两个元素作为椭圆22 221x y m n +=方程中的m 和n ，则能组成落在矩形区域(){},|||11,||9B x y x y =<<内的椭圆的个数是（ ） A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4．（05福建）)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0 在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5．(06上海卷)如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ） A.48 B. 18 C. 24 D.36 6．点P 到点A( 21，0)，B(a ，2)及到直线x ＝－2 1 的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 ( ) A. 21 B.23 C.21或23 D.－21或2 1 7．如果二次方程 x 2 -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于3, 那么这 样的二次方程有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 8. 设四棱锥P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥（如右图）, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α （ ） A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 9。（05全国Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A .6E B. 72 C .5F D. B0 10．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ ABc PBC S S ??， λ2＝ABC PCA S S ??， λ3＝ ABC PAB S S ??，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，6 1 ），则 （ ） A. 点Q 在△GAB 内 B. 点Q 在△GBC 内
如何培养高中学生数学创新思维 随着我国的教育由传统的应试教育向现代的素质教育的转变，新课程改革正逐步深入。数学 课的课堂教学也不能仅仅停留在传授知识的层面上，而应该向培养学生能力的层面上发展。 然而这在以往的课堂教学过程中并没有现成的经验和既定的模式可以借签，需要在不断的探 索和研究中慢慢渗透，逐渐形成。 现行高中数学新课标教材的改革是基础教育改革中一项艰巨的任务。其教材内容虽进行了有 效改革，如“问题提出”、“探究活动”案例、阅读材料等部分，也增加了不少应用的材料，但 由于是“四海皆准”的内容，难免出现学生将它们普通化而失去进一步探索的兴趣。从心理学 角度来说：兴趣是学生学习自觉性和积极性的核心因素、是推动学习的一种最实际的内部动因、是学习的强化剂。前苏联教育学家乌申斯基对学习兴趣的阐述更为深刻：“没有任何兴趣而逼迫进行的学习，会扼杀学生掌握知识的愿望”。如果学生对哪门学科感兴趣，他就会主动寻找、刻苦钻研，不断探究。这样就能充分发挥出学生主体性、积极性和创造性。而且这次 课程改革强调学生是学习的主体，学习活动是学生以自身已有的知识和经验为基础的主动建 构的过程，如果我们承认以学生为主体的学习，那么教学中必然需要一种激发学生主动探索 的情境。这种情境是基于学生的知识和经验的，是沟通学生已有经验和所学数学内容的桥梁。因此在推进新课程的改革过程中如何创设一个激趣的数学问题情境，引导学生主动的学习数学、培养学生学习数学的兴趣，是我们每个数学老师必须认真思考的问题。现就如何适应新 形势下数学课的课堂教学与学生创新思维能力的培养来谈谈自己的认识。 一、转变教学观点，吸引学生主动参与教学过程 教学活动是一种社会性的交往活动，教学过程是师生间的情感交流的人际交往过程。数学课 的教学过程应成为教师的主导性与学生的主体性的融合点，进而体现出教学活动的民主性， 增强其实践性；首先，要营造民主、互动、和谐的教学氛围。以即将讲授的知识为前提，通 过情境创设，可以使学生在不知不觉中情趣得到陶冶，思绪得到启迪，能力得到提高。因此，在教学过程中，建立民主平等和谐的师生关系是课堂教学的基础。 目前，新课改给教师提出了新的要求，要求教师应从过去的单纯的知识传授者转变为学生学 习的促进者、学生学习的激发者、辅导者以及各种能力和积极个性的培养者，也就是要求教 师要把教学的重心放在如何促进学生的学上，从而真正实现“教是为了不教”。教师角色与职 能的转变，也必然要求教师不断更新教学观与学生观，不断发扬学生民主，尊重学业人格。 对学生充满信任与理解，通过创设情景，营造环境，激活学生的创造性思维，吸引学生主动 参与教学过程。对学生的不同看法不要武断的否定，而要耐心地听取，积极的引导。使学生 的创造力表现成为一种自主的活动。 教师通过导入提出问题后还要注意学生的反溃。教学中要不断征求学生的意见，请学生献计 献策，不断的改进教学。要学会赞赏每—位学生，让学生看出自己的点滴成功。对学生大胆 探索、敢于质疑的表现，教师要给予积极的评价、赞赏，哪怕是极其微小的成绩。尊重学生 的差异，尊重学生的自尊心、自信心，培养学生敢想、敢说、敢干的精神。同时，在教学中 可以借鉴一些学生喜闻乐见的形式，营造多向交互的空间。如模仿电视栏目“实话实说”、“焦 点访谈”等。要给学生活动的时间和中间，让学生积极主动地参与到教学活动中。如讨论、辩论、演讲、编报、模仿游戏、主题班会，行为训练等活动都可以为学生提供较大的人格空间、思维空间，选择的空间和发展的空间。 由于每个学生的先天素质不同，环境条件出各不相同，因此每个学生都有不同的个性特点， 他们对教师所施加影响的表现也各不相同，这就要求教师尊重学生差异，进行分层次教学， 关心信任每—位学生，适应不同层次的水平需要，给不同层次学生不同学习任务，使每个学 生都有成功机会。 二、巧创激趣情境，激发学生的学习兴趣
高中数学创新教学的探讨 数学尽管是一门自然科学，它源于生活，但又服务于社会。高中数学创新性教学的意义在于：教学在引导学生创造性地“学”的同时，克服平常定势思维的局限，找出新的规律及方法，激发学生探讨问题，加强学生学习的灵活性，开拓性及创造性。 标签：高中数学;创新教学 建构主义认知学习理论是指导中学课堂创新教育、培养学生创新能力的理论依据。特别是建构主义的学习观。对于指导课堂教学改革，培养学生创新能力，有着十分重要的意义。学习不是让教师把知识简单的传递给学生.而是让学生自己建构的过程。学习不是被动接收信息，而是主动地提取、贮存、转换、运用的过程.这种建构是无法让他人代替的。这一现代认知学习理论是我们当前鼎力倡导的创新教育的基石。如果在课堂教学中充分体现“学生是主体，教师是主导”的教育思想。让学生亲身体验、感悟知识的产生、形成、发展、迁移的过程。以《曲线与方程》教学设计为例。依据建构主义的学习观，通过创设认识冲突、问题探究与问题讨论、概念创新、创新练习教学模式。使学生主动吸收信息，从而达到培养学生创新能力和创造性思维的目的。 一、创设知识背景，促使学生进成概念 对概念的传授，旧的教学模式是先将概念直接和盘托出，然后一次又一次练习巩固反复说明要点。这种旧的教学方法虽然也会使学生较好地掌握概念，但这是“少、慢、差、费”，后果是掩盖概念的合理性，扼杀了学生的创造思维。合理的做法应是向学生提出问题：“以上四种情形中，你认为哪一种最有研究价值？”因为有了前文所述的一系列铺垫，学生已经具备了对信息的批判能力，一致认为：（1）最具有研究价值，让学生给（2）情形的曲线与方程给出确切的定义已是水到渠成了，这样处理使学生完成了对外界信息的吸收、研究、整理、归纳、理解，即对知识的自主建构的过程。学生不仅理解了新的知识，而且对新知识进行了分析、检验和批判，其创造力又一次得到提升，也获得了一次成功的体验。 二、创设认知冲突，激发学生学习欲望 教师在教学中能恰当设置认知冲突，运用认知矛盾.就能有效地提高学生的认知水平和激发学生的学习欲望。如在《曲线与方程》这堂课的情境引入过程中先提出了一个与我们的生活密切相关问题：“地球绕太阳作周期性的运动.它的运行轨迹是什么？应如何描述这一轨迹？”悬念设置。同学们对此立即产生了浓厚的兴趣和强烈的求知欲。接着用“几何画板”演示了地球绕太阳运行的轨迹。同学们从演示中目睹了地球绕太阳运动形成的轨迹这一曲线（椭圆）。即动点按一定的规律运行就形成了曲线。产生了第一次认知冲突，感悟了知识形成的背景。接着应用多媒体的技术，提示平而上的点按一定规律运动形成曲线。点在平面上对应唯一坐标及其变化的内在本质。两坐标的约束关系即为方程。在此再次创设认
全国高中生创新知识与能力培育计划能力测试 高一数学 （时间：60分钟每小题5分，共100分） 数学符号说明：R 表示实数集，Z 表示整数集，Z +表示正整数集。 1. 已知{}A =博雅，优才，{}B =清华，北大，则一一映射:f A B →的个数为（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2. 如图，圆O 的内接正六边形 ABCDEF 的边心距OM =则弧 BC 的长为（）． A ．3π B ．23π C ．π D ．43 π 3. 函数()lg(91)()f x x x = +-∈的定义域中所有元素之积为（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．6 4. 称两条相互垂直的直线为一组垂线．平面内5条直线构成n 组垂线，n 不可能为（）． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 5. 如图所示，有两种边长为1cm 的菱形框（选项A 腰长为1cm 的等腰三角形框（选项C ，D ），上点O 1cm 2cm 、的速度，行。记爬行时间为x 秒，两只蚂蚁的距离为cm y x A ． B ． C ． D ． A
6. 函数2()(13)3x x f x -=+?是（）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇且偶函数 7. 平面直角坐标xOy 中，点集{} (,)1,1x y x y x y -+≤≤所覆盖的平面图形的面积为（） ． A ．0.5 B ．1 C ．2 D ．4 8. 已知2333log (2015)log log 62 y x +-=( ),x y + ∈ ，则x 的最小值的各位数字之和为（） ． A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 9. 已知二次函数()y f x =过原点，且(1)()1f x f x x -=+-，则2 ()3 f 的值为（）． A ．1 3 B ．19 C ．13 - D ．19- 10. 微积分思想的萌芽可以追溯到公元前200多年，古 希腊大数学家阿基米德在《抛物线求积》中研究了如下问题：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2 y x =与直线1y =所围图形为弓形AOB 。求弓形 AOB 面积S 。 我们可以这样解决该问题：如图，设矩形ABCD 平分2n 份，过等分点作x 轴的垂线，将面积S '分割求和，则 22222222222222221012(1)112322n n S n n n n n n n n n n ???? -'??++++<
新课程标准考试数学试题 一、填空题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分） 1、数学是研究（空间形式和数量关系）的科学，是刻画自然规 律和社会规律的科学语言和有效工具。 2、数学教育要使学生掌握数学的基本知识、（基本技能）、基本思想。 3、高中数学课程应具有多样性和（选择性），使不同的学生在数学上得到不同的发展。 4、高中数学课程应注重提高学生的数学（思维）能力。 5、高中数学选修2-2的内容包括：导数及其应用、（推理与证明）、数系的扩充与复数的引入。 6、高中数学课程要求把数学探究、（数学建模）的思想以不同的形式渗透在各个模块和专题内容之中。 7、选修课程系列1是为希望在（人文、社会科学）等方面发展的学生设置的，系列2是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的。 8、新课程标准的目标要求包括三个方面：知识与技能，过程与方法，（情感、态度、价值观）。 · 9、向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、
几何与（三角函数）的一种工具。 10、数学探究即数学（探究性课题）学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。 二、判断题（本大题共5道小题，每小题2分，共10分） 1、高中数学课程每个模块1学分，每个专题2学分。（错）改：高中数学课程每个模块2学分，每个专题1学分。 2、函数关系和相关关系都是确定性关系。（错） 改：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系。 3、统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。（对） 4、数学是人类文化的重要组成部分，为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值。（对） 5、教师应成为学生进行数学探究的领导者。（错） ( 改：教师应成为学生进行数学探究的组织者、指导者和合作者。 三、简答题（本大题共4道小题，每小题7分，共28分） 1、高中数学课程的总目标是什么 使学生在九年制义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。