高等数学期末及答案
一、 填空题（每小题3分，本题共15分）
1、.______)
31(lim 2
=+→x
x x 。
2、当k 时，?????>+≤=0
0e
)(2x k x x x f x 在0=x 处连续．
3、设x x y ln +=,则
______=dy
dx
4、曲线x e y x
-=在点（0，1）处的切线方程是
5、若
?+=C x dx x f 2sin )(，C 为常数，则=)(x f 。
二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1、若函数x
x x f =)(，则=→)(lim 0
x f x （ ）
A 、0
B 、1-
C 、1
D 、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）
A. )0(1
ln
+→x x
B. )1(ln →x x
C. )0(cosx
→x D. )2(4
2
2→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的（ ）．
A ．极大值点
B ．极小值点
C ．驻点
D ．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）
A 、
?
+∞
sin xdx B 、dx e x ?+∞-0
2 C 、dx x ?
+∞
1
D 、dx x
?+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M （1，1，1）、A （2，2，1）、B （2，1，2）。则AMB ∠=
A 、
3π B 、4π C 、2
π
D 、π 三、 计算题（每小题7分，本题共56分）
1、求极限 x
x x 2sin 2
4lim
-+→ 。
2、求极限 )1
11(
lim 0
--→x x e x 3、求极限 2
cos 1
2
lim
x
dt e x
t x ?-→
4、设)1ln(25x x e y +++=，求y '
5、设)(x y f =由已知???=+=t
y t x arctan )1ln(2，求2
2dx y
d 6、求不定积分 dx x x ?+)32
sin(12
7、求不定积分
x x e
x
d cos ?
8、设??????
?≥+<+=0
110
11
)(x x
x e x f x
， 求
?
-2
d )1(x x f
四、 应用题（本题7分）
求曲线2x y =与2
y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
五、 证明题（本题7分）
若)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0)1()0(==f f ，1)2
1
(=f ，证明：
在(0,1)内至少有一点ξ，使1)(='ξf 。
参考答案
一。填空题（每小题3分，本题共15分） 1、6
e 2、k =1 ． 3、
x
x
+1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：x x x 2sin 2
4lim
-+→8
1)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 7分 2.解 ：21
lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe
e e e xe e e e x x e e x 7分
3、解： 2
cos 1
2
lim
x dt e x t
x ?-→e
x xe x
x 21
2sin lim 2
cos
0-
=-=-→ 4、解： )111(112
2
x
x
x y ++
++=
'……………………… …...4分
2
11x
+=
……………………………………… …...7分
5、解：t t t t dx dy 211211
2
2=++= （4分）
2
2
2
2
321
12()241d y t d dy
dx
t dt
t dt dx dx
t t
-
+===-+ （7分） 6、解：C x
d x dx x x ++=++-=+??)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 （7分）
7、 解：
?
?=x
x e x x x e d cos d cos
?+=sinxdx e cos x x e x ?+=x de sin cos x x e x
dx cos sin cos x e x e x e x x x ?-+= C x x e x ++=)cos (sin
8、解：
????
--+==-01
1
11
2
d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f
??+++=-100
11d 1d x x e x x
1001)1ln(d )11(x x e e x x +++-=?- 2ln )
1ln(101
++-=-x e
)1ln()1ln(11e e +=++=-
四．
应用题（本题7分）
解：曲线2
x y =与2
y x =的交点为（1，1）， 于是曲线2
x y =与2
y x =所围成图形的面积A 为
31
]3132[)(10210
23
2
=-=-=?x x dx x x A
A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为：
()
πππ10352)(1
0521
4
2=????
??-=-=?y y dy y y V 五、证明题（本题7分）
证明： 设x x f x F -=)()(， 2分
显然)(x F 在]1,21
[上连续，在)1,2
1(内可导， 且 02
1
)21(>=
F ，01)1(<-=F .
零点定理知存在]1,2
1[1∈x ，使0)(1=x F . 4分 由0)0(=F ，在],0[1x 上应用罗尔定理知，至少存在一点
)1,0(),0(1?∈x ξ使01)()(=-'='ξξf F ，即1)(='ξf … …7分
2006-2007第一学期高数试题
一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1）函数()1
arcsin
3
x f x -=的定义域为240x x ≤≤=或。
2）201cos3lim
x x
x
→-=92
。
3）设x
e
y x π=+，则y '=1
ln x e ex
ππ-+。
4）设()220x
y a a x
=≠+，dy =()
22
2
2
2a x dx a
x
-+。
5）若
0,
a <=
arcsin x
C a
-+。
二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）
1）极限lim 23
x x →∞=+（ D ）
A 、2
B 、2-
C 、2±
D 、不存在
2）下列函数()f x 在[]1,1-上适合罗尔中值定理条件的是（ B ）
A 、()f x =
、()2f x x x =
C 、()arccos f x x =
D 、()cot
2
x
f x π=
3）下列函数中，哪一个不是sin 2x 的原函数（ C ） A 、2
sin x B 、2
cos x -
C 、cos2x -
D 、2
2
5sin 4cos x x +
4）设2
221
1
1
ln ,ln ,P xdx Q xdx R =
==?
??
，则下列不等式正确的是
（ D ）
A 、P Q R <<
B 、Q R P <<
C 、R Q P <<
D 、Q P R << 5）设()f x 在[],a b 上连续，则()b
a d x f x dx dx ??=?
????（ A ）
A 、
()b
a
f x dx ? B 、()()bf b af a -
C 、()()()b
a
x f b f a f x dx -+
?????
D 、()()b
a
f x dx xf x +?
三、计算下列各题（共4题，每小题6分，共24分）
1）计算极限sin cos 30lim x x x
x e e x
→- 解：原式sin cos cos 3320
001sin cos sin 1
lim lim lim 33
x x x x x
x x x e x x x x x e
x x x -→→→--==== 2
）设参数方程(
ln sin x t y ?=?
??=?
，求22d y dx
解：sin dy
t dx
t
=
=
，2
2
cos 1d y t dx t ==。 3）计算不定积分()12ln
11x
x dx x x
+<-?
解：原式()()()32
22
211212ln
ln 111111x x x x x x x dx x dx x x x x x x +--+=-=+-+-+--?? ()()22
12222ln 1111x x x x dx x x x x ??+++=++ ? ?-++-?
?? 2
131ln
2111x x x dx x x x +??=+++ ?-+-?
?? ()()2
21ln
3ln 1ln 11x
x x x x C x
+=++--+- 四、解答下列各题（共2题，每小题7分，共14分）
1）在曲线2
1y x =+上求一点M ，使它到点()05,0M 的距离最小。
解：设曲线2
1y x =+上一点坐标为()
2
,1a a +，它到点()05,0M 的距离的平方为
()()()
2
2
2
51f a a a =-++，我们只须在(),-∞+∞求()f a 得最小值
()()()()()2322541461014410f a a a a a a a a a '=-++=+-=-++
当1a =时，()0f a '=，此时，()f a 取最小值。所求点为()1,2
2）设由cos ,0,0y x y x ===在第一象限围成的图形为D ，其面积为0S 。又曲线
()sin 0y a x
a =>将D 分为左右两部分12,D D ，其面积分别为1
2,S S ，求a 的值
使12:2:1S S =。
解：[]2200
cos sin 1S xdx x π
π
=
==?
又因为1201S S S +==，12:2:1S S = 所以1221
,33
S S ==
()arccot 102
cos sin 3
a S x a x dx ==-?
[]()()cot 0sin cos sin cot cos cot arc a
x a x arc a a arc a a =+=+-
25
12
a a a =
-=?=
五、（本题8分）设(
))
()
()()
1b x b f x x a x -=
--有无穷间断点10x =，有可去间断点
21x =，求,a b 之值。
解：因为10x =是无穷间断点，所以0x →时，()f x →∞，因此0a =，0,1b b ≠≠ 又因为21x =是可去间断点，而1x →时，()()10x a x --→，所以，当1x →时，
有
)
()0b x b -→，因此2b =。
六、（本题9分）设()21
020x e x f x x x ?-≠?
=??=?
，讨论()(),f x f x '在0x =处的连续性。
解：因为()()2001
lim lim
20x x x e f x f x
→→-===，所以()f x 在0x =处的连续。
()()()222200001
2012220lim lim lim lim 22h h h h h h h e f h f e h e h f h h h h
→→→→------'===== ()22221020x x xe e x f x x x ?-+≠?'=??=?
，又因为()2220021lim lim 2x x
x x xe e f x x →→-+'==，所以 ()f x '在0x =处连续。
（本题10分）设()f x 在(),a b 内连续，可导且()f x '单调增，()0,x a b ∈
()()()
()00000
f x f x x x x x x f x x x ?-?≠?
-=??'=?
试证明：()x ?在(),a b 内也单调增。
证明：因为()()()
()()0000
lim lim
x x f x f x x f x x x x ??→→-'===-，所以()x ?在0x x =处
连续。
当0x x ≠时，()()()()()()
()
002
0f x x x f x f x x x x ?'---'=
-
在以0,x x 为端点的闭区间上对函数()x ?运用拉格朗日中值定理，至少存在0,x x
之间的一点ξ使得()()
()()()()()0000
f x f x f f x f x f x x x x ξξ-''=?-=--
当0x x ≠时，()()()
f x f x x x ξ?''-'=-，当()0,x a x ∈时，()()f x f ξ''≤，即
()0x ?'>；当()0,x x b ∈时，()()f x f ξ''≥，即()0x ?'>，又因为()x ?在0x x =
处连续。所以()x ?在(),a b 内也单调增。
一、填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1） 2
10)(cos lim x x x → =_____e 1________.
（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.
（3）已知x
x
xe e f -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2
)(ln 21
x _____ .
（4）曲线
132+=x x y 的斜渐近线方程为 _________.
9131-=x y
（5）微分方程5
2
2(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.
)1()1(32227+++=x C x y
二、选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分).
（1）下列积分结果正确的是（ D ）
(A) 01
1
1=?-dx x (B) 21112
-=?-dx x
(C) +∞=?∞+141
dx x (D) +∞=?∞+11dx x
（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所示，则（ D ）.
(A)21,x x 都是极值点.
(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.，())(,22x f x 是拐点. (D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点.
（3）函数212e e
e x
x
x
y C C x -=++满足的一个微分方程是（ （A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .x
y y y '''--=
（C ）
23e .x
y y y x '''+-=
（D ）
23e .x
y y y '''+-= （4）设)(x f 在0x 处可导，则()()
000
lim
h f x f x h h →--为（ A ）.
(A)
()0f x
'. (B) ()0f x
'-. (C) 0. (D)不存在 .
（5）下列等式中正确的结果是 （ A ）.
(A) (())().
f x dx f x '=? (B)
()().=?df x f x
(C) [()]().d f x dx f x =? (D) ()().f x dx f x '=?
三、计算题（本题共4小题，每小题6分，共24分）.
1．求极限
)ln 11(lim 1x x x x --→.
解 )ln 1
1(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→-------1分
=x x x x x ln 1
ln lim
1+-→-------2分 = x x x x x x ln 1ln lim
1+-→ -------1分
= 211ln 1ln 1lim 1=
+++→x x x -------2分
2.方程???+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与2
2dx y d .
解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= ----------------------------（3分） .
sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''
=---------------------（6分）
3. 4. 计算不定积分 arctan (1)x
dx
x x +?. 2
arctan arctan 22(1)(1)
=2arctan arctan 2 =arctan 2x x
dx d x x x x xd x x C =-----------++-------+---------?
??解：分
分
（）分
4.计算定积分?++3011dx x
x
.
解 ??-+-=++303
0)11(11dx x x x dx x x ?+--=3
0)11(dx x --------- --------------- （3
分）
35
)1(3233
23=
++-=x ----------------------------------------- ---------------------（6分）
（或令t x =+1）
四、解答题（本题共4小题，共29分）.
1．（本题6分）解微分方程256x
y y y xe '''-+=.
2122312*20101*223212-56012,31.1()11
1.
21
(1)12
1
(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征方程分特征解.分 次方程的通解Y =C 分令分
代入解得，所以分
所以所求通解C 分
2．（本题7分）一个横放着的圆柱形水桶（如图4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R ，水的比重为γ，计算桶的一端面上所受的压力．
解：建立坐标系如图
220
322203*********R
R
R
P g R x g R x g R ρρρρ=---------=--------=--------=----------------??
分
）分
[（）]分
分
3. （本题8分）设()f x 在[,]a
b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1
b a
f x dx =?
，
试求
()()b
a
xf x f x dx
'?
.
222
()()()()21 ()221 =[()]()2211
=0222b
b a
a
b
a
b b a
a
xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------????解：分
分
分分
4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平
面图形D.
(1) (3) 求D 的面积A;
(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.
解：(1) 设切点的横坐标为
0x ，则曲线
x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线方程是
).(1
ln 00
0x x x x y -+
= ----1分
由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.
0e x =所以该切线的方程为
.
1
x e y =
----1分
平面图形D 的面积
?-=
-=10
.121
)(e dy ey e A y ----2分
（2） 切线
x
e y 1
=
与x 轴及直线e x =所围成的三角形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为
.
3121e V π= ----2分
曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为
dy
e e V y 21
2)(?-=π， ----1分因此所求旋转体的体积为
).
3125(6)(312102221+-=--=-=?e e dy e e e V V V y π
ππ ----1分
五、证明题（本题共1小题，共7分）.
1.证明对于任意的实数x ，1x
e x ≥+.
解法一：2
112x
e e x x x
ξ=++≥+ 解法二：设
() 1.x
f x e x =--则(0)0.f =------------------------1分 因为
() 1.x
f x e '=-------------------------—————— 1分 当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分
当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥=------------------------2分
所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x
e x ≥+。------------------------1分 解法三：由微分中值定理得，
01(0)x x e e e e x e x ξξ-=-=-=，其中ξ位于0到x 之间。-----------------------2分
当0x ≥时，1e ξ>，1x
e x -≥。------------------------2分 当0x ≤时，1e ξ<，1x
e x -≥。------------------------2分 所以对于任意的实数x ，1x
e x ≥+。------------------------1分
期末高数期末考试
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .
（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
2. ）
时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x
x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的
无穷小.
3. 若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且
'>()0f x ，则（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.
)
(
)( , )(2)( )(1
=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（A ）22x （B ）2
2
2x
+（C ）1x - （D ）2x +.
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =
+→x
x x sin 2
)
31(lim .
6. ,)(cos 的一个原函数是已知
x f x
x
=?
?x x
x
x f d cos )(则
.
7.
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
221L n n n
n
n n π
π
ππ .
8. =
-+?
2
12
12
211
arcsin －
dx x
x x .
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
9. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17
7
x x x x ?+-求
11. ．
求，， 设?--?????≤<-≤=1 32
)(1020
)(dx x f x x x x xe x f x
12. 设函数)(x f 连续，=?1
0()()g x f xt dt
，且→=0
()
lim
x f x A x ，A 为常数. 求
'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.
13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解.
四、 解答题（本大题10分）
14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点
M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围
成平面图形D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
V .
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
.
17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0
)(0
=?
π
x d x f ，0
cos )(0
=?
π
dx x x f .
证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提
示：设
?=
x
dx
x f x F 0
)()(）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 6
e . 6.c x x +2
)cos (21 .7. 2π. 8.3π.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：7
67u x x dx du ==
1(1)112
()7(1)71u du du
u u u u -==-++??原式 1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
11. 解：1
330
()x
f x dx xe dx ---=+?
??
3
()x
xd e --=-+??
00
2
32
cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----??=--+-=???
令
321
4
e π
=
--
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
===
??1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠?
2
0()()A
(0)lim lim
22x
x x f u du
f x
g x x →→'===?
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
?，'()g x 在=0x 处连续。
13. 解：2
ln dy y x dx x +=
2
2
(ln )
dx dx x x y e e xdx C -??=+?
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),09y C =-=，
11ln 39y x x x
=- 四、 解答题（本大题10分）
14. 解：由已知且0
2d x
y y x y
'=+?，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为 x
x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得
31,3221==
C C
故所求曲线方程为：x
x e e y 23132+=-
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：)
(1
ln 00
0x x x x y -=-
由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：x e y 1=
则平面图形面积
?-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则
2131e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
?-=1
22)(dy
e e V y π
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明：1
()()q
f x d x q f x dx -??1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+???
10
(1)()()q
q
q f x d x q f x dx
=--??
1212[0,][,1]
()()
12(1)()(1)()
0q q f f q q f q q f ξξξξξξ∈∈≥=
---≥
故有：
1
()()≥??q
f x d x q f x dx
证毕。
17.
证：构造辅助函数：π
≤≤=?x dt t f x F x
0,)()(0。其满足在],0[π上连续，在)
,0(π上可导。)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
????+===π
π
π
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有?=π
00
sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx
（本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
大一高数试题及解答
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0
ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ
大一高数期末考试试题
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim()x x x e x →-= .2 ．()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导， 且1 ()() x tf t dt f x =? ，1)0(=f ，则 ()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分， 共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x * =; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ）x A y 2sin * =.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ） 若 )(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是 周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则
高等数学B （上）试题1答案 一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界. （ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. （ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡. 二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2 )1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sin x x x →∞ ＝1 。 3.112lim sin sin x x x x x x x x →∞??+??++=?? ??????? 2 1e +. 4. 曲线3 26y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为2 3 . 5．设0()f x A '=，则000 (2)(3) lim h f x h f x h h →+--＝ 5A . 6. 设1 ()sin cos ,(0)f x x x x =≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续. 7. 函数3 3y x x =-在x =1 -处有极大值. 8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，2 1()()F x f f x x ??=+ ??? ，则=')1(F 1 . 三、计算题（每题6分，共42分） 1．求极限 3(2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ . 解： 3 (2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
【最新整理，下载后即可编辑】 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π+20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)
设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()() x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 8 23 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 222 312 61812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ? +x x x d )1(2 2
精品文档 2009—2010学年第一学期 《高等数学I(一)》课程考试试卷(A 卷)参考答案及评分标准 注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟 3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名： 一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）. 1.设()lim 1t t x f x t →+∞? ?=+ ??? ()0x ≠，则=)3(ln f 3 . 2.设x e x sin +是()f x 的一个原函数，则()f 'x = sin x e x - ． 3.曲线1662 3-+=x x y 的拐点坐标是 ()2,0- . 4.若0 21 2 1A dx x -∞= +? ，则A = 1π ． 5．2 1 lim(2)cos 2 x x x →-=- 0 . 二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）. 将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中. 1．已知函数()f x 的定义域为[]12,-，则函数()()()22F x f x f x =++的定义域为（ ）. A ．[]30,-； B ．[]31,-； C ．112,??-????； D ．102,?? -???? . 2．3x =是函数1 ()arctan 3f x x =-的（ ）. A ．连续点； B ．可去间断点； C ．跳跃间断点； D ．第二类间断点. 3．当0→x 时，1ax e -与x 2sin 等价，则a =（ ）. A ．1 ； B ．2 ； C ．2- ； D ． 2 1. 4．函数()2 1sin ,00 ,0x x f x x x ?≠?=??=? 在0=x 处（ ）. A ．有定义但不连续； B ．连续但不可导； C ．连续且可导； D ．不连续且不可导. 5.下列等式中正确的是（ ）． A ． ()()b a d f x dx f x dx =?； B . ()()()x a d f x dx f x f a dx =-? ； C ．()()d f x dx f x dx =?； D . ()()f x dx f x '=? . 6．函数()21x f x x =+（ ）. A ．在(),-∞+∞内单调增加； B ．在(),-∞+∞内单调减少； C ．在()11,-内单调增加； D ．在()11,-内单调减少. 7．若()f u 可导，且() x y f e =，则（ ）. A ．()x dy f e dx '=； B ．() x x dy f e e dx '=； C ．()x x dy f e e dx =； D ．()x x dy f e e dx ' ??=?? . 8． 20 |1|x dx -=? （ ）. A ．0 ； B ．2 ； C ．1 ； D ．1-. 9．方程sin y x '''=的通解是( ). A .21231cos 2y x C x C x C =+ ++； B .21231 sin 2 y x C x C x C =+++； C .1cos y x C =+； D .2sin 2y x =. 10.曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴围成的图形的面积为（ ）． A ．10()x e ex dx -? ； B ．1 (ln ln )e y y y dy -? ； C ．1 ()e x x e xe dx -? ； D ． 10 (ln ln )y y y dy -? ．
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .
一． 选择题：（每小题3分，共15分） 1. 若当0x →时，arctan x x -与n ax 是等价无穷小，则a = ( ) B A. 3 B. 13 C. 3- D. 1 3 - 2. 下列函数在[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 ( )C A. ()f x x = B. 3 ()f x x = C. ()e e x x f x -=+ D. 1,10 ()0,01 x f x x -≤≤?=?<≤? 3. 如果()e ,x f x -=则(ln ) d f x x x '=? ( )B A. 1C x - + B. 1 C x + C. ln x C -+ D. ln x C + 4. 曲线y x = 渐近线的条数是( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设函数()f x 与()g x 在[,]a a -上均具有二阶连续导数，且()f x 为奇函数，()g x 为 偶函数，则 [()()]d a a f x g x x -''''+=?( ) D A. ()()f a g a ''+ B. ()()f a g a ''- C. 2()f a ' D. 2()g a ' 二． 填空题：（每小题3分，共15分） 1. 要使函数22 32()4 x x f x x -+=-在点2x =连续，则应补充定义(2)f = . 14 2. 曲线2 e x y -=在区间 上是凸的. (,22 - 序号
3．设函数322(21)e ,x y x x x =+++则(7)(0)y =______________.77!2+ 4. 曲线2 3 1x t y t ?=+?=?在2t =点处的切线方程是 . 37.y x =- 5. 定积分1 1 (cos x x x -+=? . π2 三．解下列各题：（每小题10分，共40分） 1．求下列极限 （1）22011lim .ln(1)x x x →?? -??+? ?. 解：原式=2240ln(1) lim x x x x →-+ …………..2分 2302211lim .42 x x x x x →-+== ………….3分 （2）()2 2 2 20 e d lim e d x t x x t t t t -→?? . 解：原式= () 2 2 2 20 2 e d e lim e x t x x x t x --→?? ………….3分 2 2 00 0e d e =2lim 2lim 2.1 x t x x x t x --→→==? …………..2分 2. 求曲线0π tan d (0)4 x y t t x =≤≤?的弧长. 解： s x x == …………..5分 π π440 sec d ln sec tan |ln(1x x x x ==+=+? ………..5分 3. 设()f x 满足e ()d ln(1e ),x x f x x C =-++?求()d .f x x ?
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 221 n n n n n n ππ ππ . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
１ 高等数学（A2）试卷（二） 答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1. B, 2. D, 3. B, 4. C, 5. D, 6. B, 7. D, 8. B. 二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分） 1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得 03332='--'x x z xy yz z z (1分) 解得 xy z yz z x -= '2 (3分) 方程两边对x 求导,得 xy z xz z y -= '2 (5分) 所以, )(2 xdy ydx xy z z dz +-= (7分) 2． 求?? -= D dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成. 解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ? ? -= 10 22x dy y x dx I (2分) 令t x y cos =, 则有 ? ?=10 20 22 sin π tdt dx x I (6分) 12 π = (7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间. 解: x x x f --=11ln )(5 (2分) 由∑ ∞=-≤<--= +11 )11() 1()1ln(i n n t n t t , 可得 (4分) ∑∞ =<≤--=-155 )11()1ln(i n x n x x (5分) ∑∞ =<≤--=-1)11()1ln(i n x n x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞ =<≤--=151)11()(i n i n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1 cos 1222-=-+'x x y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=?=-- x e x dx x x μ得 (2分) x y x dx d cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1 sin 2 -+=x c x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1 1 sin 2 --=x x y (7分) 三、计算题(本题8分) 用高斯公式计算?? ∑ ++= dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体 c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧. 解: 由高斯公式可得