二OO 六年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）
（9月17日上午9：00～11：00）
一、选择题（本题共5个小题，每小题6分满分30分）
（1）已知函数22)(2+-=ax x x f ，当),1[+∞-∈x 时，a x f ≥)(恒成立，则a 的取值范围是（ ）
（A ）12<<-a （B ）12≤≤-a （C ）23-≤≤-a （D ）13≤≤-a
（2）已知1>>a b ，0>t ，若t a a x +=，则x b 与t b +的大小关系是（ ）
（A ）t b b x +> （B ）t b b x +< （C ）t b b x += （D ）不确定
（3）已知一条直线l 与双曲线122
22=-b
y a x （0>>a b ）的两支分别相交于P 、Q 两点，O 为原点，当OQ OP ⊥时，双曲线的中心到直线l 的距离d 等于（ ）
（A ）22a b ab
- （B ）22a b ab - （C ）ab a b 2
2- （D ）ab a b 22- （4）已知P 为四面体ABC S -的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线一定是（ ）
（A ）圆或椭圆 （B ）椭圆或双曲线 （C ）双曲线或抛物线 （D ）抛物线或椭圆
（5）已知集合B 是集合}100
,,2,1{ 的子集，且对任意B x ∈，都有B x ?2，则集合B 中的元素最多有（ ）
（A ）67个 （B ）68个 （C ）69个 （D ）70个
二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）
（6）已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ），长轴的两个端点为A 、B ，若椭圆上存在点Q ，使 120=∠AQB ，则该椭圆的离心率e 的取值范围是 ．
（7）在ABC Rt ?中，c ，r ，S 分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则
S
cr 的取值范围
是 ．
（8）已知集合},,,,{54321a a a a a C B A = ，且},{21a a B A = ，则集合A 、B 、C 所有可能的情况有 种．
（9）已知)sin 3,cos 2(ααA ，)sin 3,cos 2(ββB ，)0,1(-C 是平面上三个不同的点，且满足关系式λ=，则实数λ的取值范围是 ．
（10）在一个棱长为5的正方体封闭的盒内，有一个半径等于1的小球，若小球在盒内任意地运动，则小球达不到的空间的体积的大小等于 ．
（11）已知d c b a ,,,都是偶数，且d c b a <<<<0，90=-a d ，若c b a ,,成等差数列，d c b ,,成等比数列，则d c b a +++的值等于 ．
三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
（12）已知数列}{n a 满足p a =1，12+=p a ，20212-=+-++n a a a n n n ，其中p 是给定的实数，n 是正整数，试求n 的值，使得n a 的值最小．
（13）已知α、β是关于x 的二次方程0222
=--tx x 的两个根，且βα<，若函数1
4)(2+-=x t x x f ． （Ⅰ）求β
αβα--)()(f f 的值； （Ⅱ）对任意的正数1x 、2x ，求证：||2|)()(|2
1212121βααββα-<++-++x x x x x x x x f ．
（14）将1，2，…，16这16个数未填入如图所示的正方形中的小方格内，每个小方格内填一个数，使每一行，每一列的各数之和各不相等且均能被正整数n （1 n ）整除．
（Ⅰ）求n 的所有可能的值；
（Ⅱ）给出一种符合题意的具体填法（此填法适用于n 的所有可能值）．
二00四年全国高中数学联合竞赛（天津初赛）
试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题共5个小题，每小题6分满分30分）
（1）D （2）A （3）A （4）D （5）A
二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，满分30分）
（6）13
6<≤e （7）)1,222[- （8）500 （9）331≤≤λ （10）33144π- （11）194 三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）
（12）【解】令n n n a a b -=+1， ,2,1=n
由题设20212-=+-++n a a a n n n ，有201-=-+n b b n n ，且11=b …………5分
于是)20()(1
1111∑∑-=-=+-=-n i n i i i i b b
，即)1(2)]1(21[1---+++=-n n n b b n ． ∴12
)40)(1(+--=n n b n ． （※） …………………………………10分 又p a =1，12+=p a ，则21123172012a a p a a a <<-=-+-=．
∴当n a 的值最小时，应有3≥n ，1+≤n n a a ，且1-≤n n a a ．
即01≥-=+n n n a a b ，011≤-=--n n n a a b ． ……………………………………… 15分
由（※）式，得?
??-≤--≥--2)41)(2(2)40)(1(n n n n 由于3≥n ，且*N n ∈，解得???≤≥40
40n n ，
∴当40=n 时，40a 的值最小． …………………………………………… 20分
（13）【解】（Ⅰ）由书籍，根据韦达容不得有2
t =+βα，1-=?βα βααβ
αβααααα22)(2414)(22-==-+-=+-=t f ，
αβαβ
ββαββββ22)(2414)(22-==-+-=+-=t f ， ∴222)()(=-+-=--β
ααββαβαf f ………………………………………5分 （Ⅱ）已知函数14)(2+-=x t x x f ，∴2
22)1()22(2)(+---='x tx x x f 而且对],[βα∈x ，0))((2222≤--=--βαx x tx x ，于是0)(≥'x f ， ∴函数1
4)(2+-=x t x x f 在],[βα上是增函数 ……………………………………………10分 注意到对于任意的正数1x 、2x
0)(2122121>+-=-++x x x x x x x αβαβα，0)(2
112121<+-=-++x x x x x x x βαββα 即ββαα<++<2121x x x x ，同理βαβα<++<2
121x x x x ． ………………………15分 ∴)()()(2121ββααf x x x x f f <++<，)()()(2
121βαβαf x x x x f f <++<， )()()(2
121ααββf x x x x f f -<++-<-． 于是)()()()(
)]()([21212121αβαββααβf f x x x x f x x x x f f f -<++-++<--， ∴)()(|)()(|2
1212121αβαββαf f x x x x f x x x x f -<++-++． 而||222)()(βααβαβ-=-=-f f ， ∴||2|)()(|2
1212121βααββα-<++-++x x x x x x x x f ． ……………………………………20分 （14）【解】（Ⅰ）设i s ，i t （4,3,2,1=i ）分别是第i 行，第i 列各数的和，
由题意得n a s i i =，n b t i i =，其中i a ，i b ，是8个彼此不同的正整数，
因为1361621=+++ ，所以n n b a n t s
i i i i i i 36)821()()(13624
141=+++≥+=+=?∑∑== 得7≤n ． ……………………………………………10分
由i s 是n 的倍数得∑=4
1
i i s 是n 的倍数，即136是n 的倍数．
即1721363?=，又1>n ，7≤n ，因此n 的可能值为2或4．
……………………15分 （Ⅱ）符合题意的一种具体填法如图所示．
…………………………………………20分