浙江大学远程教育学院
《可视化计算》课程作业2016年（夏）
姓名：学号：
年级：学习中心：—————————————————————————————注意：所有图像的标题必须呈现足够你本人信息
1.（10分）求解下列线性方程组的解：
16
20
90
8
35
6
21
5.8
7
320
33
22
3
10
74
4
4
5.0
6.3
3 7
9
2
5.1
=
-
+
+=
+
+
+
+=
+
+
-
+
-=
-
-
+
= +
+
+
+
z
y
v
u z
y
x
v
u z
y
x
v
u z
y
x
v
z y
x
v
u
答案：
A=[1 1.5 2 9 7;0 3.6 0.5 -4 -4;7 10 -3 22 33; 3 7 8.5 21 6;3 8 0 90 -20] B=[3 -4 20 5 16]
X=inv(A)*B
X=3.5056 -0.8979 -0.2745 0.1438 0.0137
2.（10分）信号y = 5*sin(pi*20*t)+3*cos(2*pi*50*t)幅度为1的白噪声的干扰，请画出此信号，然后进行傅立叶变换，画出变换后的频域信号。
答案：
clear;
t=0:0.001:0.6
y=5*sin(pi*20*t)+3*cos(2*pi*50*t);
y=y+randn(1,length(t))
subplot(1,2,1)
plot(t,y)
xlabel('变换前信号')
Y=fft(y,512)
subplot(1,2,2)
Y=real(Y)
plot(Y(1:512))
xlabel('变换后信号')
图像：
3.（10分）在空间有一个带正电的点电荷，请画出此点电荷的空间电位分布与电场强度的空间分布图。
答案：
clear;
subplot(1,2,1)
[x,y]=meshgrid(-4:0.2:4,-4:0.2:4);
z=1./sqrt(x.^2+y.^2+0.01);
mesh(x,y,z)
subplot(1,2,2)
[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-2:0.1:2);
z=1./sqrt((x).^2+y.^2+0.01);
[dx,dy]=gradient(z);
contour(x,y,z,[-12,-8,-5,-3,-1,-0.5,-0.1,0.5,1,3,5,8,12])
hold on
quiver(x,y,dx,dy)
图像：
4.（10分）仿照课本第11章的太阳｜地球｜月亮｜卫星，绕转动画实例，呈现地球绕太阳运转的动画。
答案：
figure('name','μ??òè?ì???×a?ˉ');
s1=[0:.01:2*pi];
hold on;axis equal;
axis off
r1=10;
w1=1;
t=0;
pausetime=.002;
sita1=0;sita2=0;
set(gcf,'doublebuffer','on')
plot(-20,18,'color','r','marker','.','markersize',40);
text(-17,18,'ì???');
p1=plot(-20,16,'color','b','marker','.','markersize',20);
text(-17,16,'μ??ò');
plot(0,0,'color','r','marker','.','markersize',60);
plot(r1*cos(s1),r1*sin(s1));
set(gca,'xlim',[-20 20],'ylim',[-20 20]);
p1=plot(r1*cos(sita1),r1*sin(sita1),'color','b','marker','.','markers ize',30);
while 1
set(p1,'xdata',r1*cos(sita1),'ydata',r1*sin(sita1));
sita1=sita1+w1*pausetime;
pause(pausetime); drawnow
end
图像：
5.（10分）设计一个低通滤波器，从混合信号：
x(t)=sin(2*pi*10*t) + cos(2*pi*100*t) + 0.2*randn(size(t))
中获取10Hz的信号（10分）。
答案：
clear;
ws=1000;
t=0:1/ws:0.4;
x=3*sin(2*pi*10*t)+2*cos(2*pi*100*t)+0.8*randn(size(t));
wn=ws/2;
[B,A]=butter(10,30/wn);
y=filter(B,A,x); plot(t,x,'b-')
hold on
plot(t,y,'r','MarkerSize',10)
legend('input','Output')
图像：
6.（20分）设计一个程序，应用函数subplot(1,2,1)、subplot(1,2,2)分别显示您本人的二张照片，然后对二张照片分别进行傅立叶变换，并分别画出变换后的频域信号。再把2个频域信号相加，经傅立叶逆变换后，显示时域信号的图像。答案：
clear;
I=imread('C:\Users\tu\Desktop\×÷òμ\2.jpg');
J=imread('C:\Users\tu\Desktop\×÷òμ\1.jpg');
[m1,n1]=size(I);
[m2,n2]=size(J);
I1=(I);
J1=(J);
subplot(1,2,1);
imshow(I1);
subplot(1,2,2);
imshow(J1);
图像：
二张照片分别进行傅立叶变换：FFT_I = fft2(double(I1)); FFT_J = fft2(double(J1)); subplot(1,2,1);
imshow(FFT_I);
subplot(1,2,2);
imshow(FFT_J);
图像：
频域信号相加后经傅立叶逆变换：FFT_IJ = FFT_I + FFT_J;
ij = ifft2(FFT_IJ);
subplot(133);
imshow(ij);
图像：
7.（30分）小论文
根据工作中的实际需要，请设计一个实际工程问题的可视化。可以选择以下之一：（1）工程动画的可视化；（2）大数据处理中的可视化；（3）算法与模型计算的可视化；（4）实际生产流程的可视化；（5）或其它有创新意义的可视化科学计算。要求：
（1）题目有实际意义。
（2）有分析、算法描述
（3）程序源代码设计。
（4）问题结果有可视化显示。
（4）题目的问题有一定的新意。
小论文的字数不能少于2500字，格式由下列各部分组成：
中文题目
MATLAB在物理实验数据处理的应用
摘要：
本文以物理实验为例，介绍了MATLAB 软件处理物理数据的实验数据的方法，包括描点、连线、数据拟合及其他适用于大量数据录入的外部数据导入方法，并
小结了计算机作图与手工绘图的优缺点。
中文关键词：
MATLAB 、物理、实验数据、绘图
通过记录、分析实验测得的数据，得出实验结论，找出实验规律，这样一个过程称为数据处理。
物理实验进行数据处理的方法一般有列表法、作图法、逐差法及计算机辅助处理数据等。运用MATLAB软件处理实验数据属于计算机辅助处理数据，包括作图、数据拟合等方法。
描点和连线在坐标纸上将实验数据间的对应关系描绘成图线，再由图线求出相应物理量间的关系，从而得出实验结论的数据处理方法叫做图像法，又称作图法。
手工利用图像法处理数据一般有以下几个步骤：
1、先将所测数据列表；
2、以相应的物理量为横轴、纵轴在方格纸上建立坐标轴，定出标度；
3、描点；
4、连线；
5、注明必要说明。
6、应用MATLAB 中plot 函数直接画图，进行对比。
【例１】滑动变阻器分压电路的实验研究。
连接好分压电路，完成测量。
第一步，将数据依次录入，构成两个向量Ｌ，Ｕ；>>
L=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100];
>>U=[0.16 0.60 0.81 0.93 0.99 1.04 1.08 1.11
1.13 1.15 1.16 1.172 1.185 1.195 1.20 1.21 1. 215 1.22 1.225 1.23 1.232];
第二步，应用plot 函数数据点描出来，用小圆圈“o ”表示再将数据点用细线“- ”连起来；
>> plot(L,U,'o',L,U,'-');
最后，应用网格功能，打开当前坐标轴的网格线。
>>grid on
作图如图１所示。
>>title
(' 图 1 分压电路输出电压与滑动变阻器的关系');
>> xlabel('x/ 格');
>> ylabel('U/V');
图像表明，随着滑动变阻器的滑动，分压电路的输出电压逐渐增大。
2、数据拟合
对于已知离散的一组数据（xｉ，yｉ），构造一个函数，使在原离散点ｘｉ上尽可能接近给定的ｙｉ值，这一过程称为曲线拟合。最常用的曲线拟合方法是最小二乘法，该方法是寻找函数ｙ＝ｆ（ｘ）使得Σ［f（xｉ）－yｉ］最小。从几何意义上讲，就是寻求与给定点(xｉ，yｉ)(ｉ＝０，１，…，ｍ)的距离平方和为最小的曲线ｙ＝ｆ（ｘ）。所以最小二乘法又称最小平方法．
MATLAB软件多项式曲线拟合函数为:
p=polyfit(x,y,n) 或[p,S]=polyfit(x,y,n)
说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵Ｓ用于生成预测值的误差估计。高中实验大多采用线性拟合，即取ｎ＝１。
多项式曲线求值函数：polyval()，其调用格式：y= polyval(p,x) y= polyval(p,x)函数返回ｎ阶多项式在ｘ的计算值。输入的参数p是n阶幂次从高到低的多项式的系数向量，向量长度为n+1。
【例２】测电源的电动势和内阻。应用原理：闭合电路欧姆定律ε= Ir + U 转换可得U = -Ir + ε>> clf;clear all;
I=[0.02 0.10 0.18 0.26 0.34 0.42 0.50 0.58 0.66 0.74 0.82 0.90];
U=[1.45 1.33 1.21 1.09 0.97 0.85 0.93 0.61 0.49 0.37 0.25 0.13];
plot(I,U,'*'); %描点hold on
P=polyfit(I,U,1) %
拟合i1=0.00:0.02:1.00; u1=polyval(P,i1); plot(i1,u1); %
画线grid on
axis([0 1 0 1.5]);
xlabel('I/A','fontsize',12); ylabel('U/V','fontsize',12);
title('图2 测电源的电动势和内电阻','fontsize','14');
求得P = -1.4913 1.4926
即拟合所得的一次函数为
U = -1.4913 I + 1.4926 根据U = -Ir + ε，可得
r = 1.4913 Ωε= 1.4926 V
作图如图2所示。由图可知，第7组数据(0.50 0.93)偏离较大，可以把这组数据去掉，再拟合一次。
3、实验数据文件读入
MATLAB允许用户调用在MATLAB环境之外定义的矩阵。首先利用文本编辑器编辑所要使用的矩阵，矩阵元素之间以特定分割符分开，一般采用空格分隔，并按行列布置。MATLAB利用load函数，其调用方法为：Load ＋文件名［参数］Load函数将会从文件名所指定的文件中读取数据，并将输入的数据赋给以文件名命名的变量，如果不给定文件名，则将自动认为matlab.mat文件为操作对象，如果该文件在MATLAB搜索路径中不存在时，系统将会报错
例３】测电源的电动势和内阻的其他处理方法。
第一步，将例２测电源的电动势和内阻实验中电流、电压第７组数据去掉，
保存在记事本或ＷＯＲＤ中；
0.02 0.10 0.18 0.26 0.34 0.42 0.58 0.66 0.74 0.82 0.90 1 .45 1.33 1.21 1.09 0.97 0.85 0.61 0.49 0.37 0.25 0.13 保存名：数据I-U.txt，保存路径为F:\可视化计算＼；第二步，在MATLAB中利用load函数读取数据；第三步，在计算机屏幕上绘出图线，显示数据；最后，直线拟合。输入程序如下：syms I U x;
x=load('F:\可视化计算\数据I-U.txt'); I=x(1,:); U=x(2,:);
plot(I,U,'*'); %描点hold on
P=polyfit(I,U,1) %
拟合i1=0.00:0.02:1.00; u1=polyval(P,i1); plot(i1,u1); %
画线axis([0 1 0 1.5]);
xlabel('I/A','fontsize',12); ylabel('U/V','fontsize',12);
title('图3 测电源的电动势和内电阻','fontsize','14');
求得P = -1.5000 1.4800
即拟合所得的一次函数为U = -1.5000 + 1.4800 I
根据U = -Ir + ε,可得r=1.50Ωε=1.48 V
如图3所示。
用MATLAB进行物理实验数据处理，尤其是用最小二乘法进行直线拟合，不但方便，而且相当精确。
4、实验图像变换
【例４】闭合电路中电流和外电阻关系的探究实验．
该实验原理为全电路欧姆定律E=I(R+r)，电流和外电阻关系为Ｉ
＝rR E，化曲为直后E
r
ERI 1。
其中一次实验数据如下：
R=[1.6 2.1 2.2 3.2 4.2 5.6]；I=[2.25 2.00 1.67 1.50 1.25 1.00]
为探究电流和电阻关系，尝试作出I-R 折线图，RI 1
折线图，RI 1拟合图，
RI1 修正后拟合图。
第一步，作出I-R折线图，程序如下：subplot(2,2,1); plot(R,I,'-bd'); ylabel('I/A','fontsize',12); xlabel('R/Ω','fontsize',12); title('图4 I-R 描点、连折线图'); grid on
第二步，作出RI 1
折线图，程序如下：
subplot(2,2,2); plot(R,1./I,'-rs'); ylabel('$${1 \over I}/{A^{ - 1}}$$','interpreter','latex');
% $${1 \over I}/{A^{ - 1}}$$是利用MathType得到的公式代码xlabel('R/Ω','fontsize',12); title('图 5 1/I-R 描点、连折线图'); grid on
第二步，作出RI 1
折线图，程序如下：
subplot(2,2,2); plot(R,1./I,'-rs'); ylabel('$${1 \over I}/{A^{ - 1}}$$','interpreter','latex');
% $${1 \over I}/{A^{ - 1}}$$是利用MathType得到的公式代码xlabel('R/Ω','fontsize',12); title('图 5 1/I-R 描点、连折线图'); grid on
第三步，作出RI
1
拟合图，程序如下：
subplot(2,2,3); plot(R,1./I,'-rs'); hold on;
P1=polyfit(R,1./I,1) R=0:0.2:6;
Ids1=polyval(P1,R); plot(R,Ids1);
ylabel('$${1 \over I}/{A^{ - 1}}$$','interpreter','latex');
% $${1 \over I}/{A^{ - 1}}$$是利用MathType得到的公式代码xlabel('R/Ω','fontsize',12); title('图 6 1/I-R 直线拟合图
'); Grid on
由RI 1
拟合图，求得P1 = 0.1338 0.2469
根据ErERI
1可知，1E
=0.1338 V-1，rE =0.2469 A-1 ,即E=7.47 V, r=1.84Ω。
第３个数据点误差较大，宜舍去，再对剩下５组进行数据拟合。
第四步，作出RI 1
修正后拟合图，程序如下：
subplot(2,2,4);
R2=[1.6 2.1 3.2 4.2 5.6]; I2=[2.25 2.00 1.50 1.25 1.00]; pl ot(R2,1./I2,'-rs');
hold on;
P2=polyfit(R2,1./I2,1) R2=0:0.2:5.6; Ids2=polyval(P2,R2); plot(R2, Ids2);
ylabel('$${1 \over I}/{A^{ - 1}}$$','interpreter','latex');
% $${1 \over I}/{A^{ - 1}}$$是利用MathType得到的公式代码xlabel('R/Ω','fontsize',12);
title('图7 1/I-R 直线拟合图（去点）'); grid on
由RI
1
修正后拟合求得P2 =
0.1401 0.2143
根据ErERI 1可知，1E
=0.1401 V-1 ，rE =0.2143 A-1，即修正后E=7.14 V, r=1.53Ω。5、手工绘图与计算机作图的优缺点对比
对于实验获得的数据，若是通过手工来逐点计算、坐标纸描点、连线绘制曲线，较费时费力，而且手工绘制的曲线在人工读取数据时，往往因人而异，斜率、截距等依据作图法得到的数值，存在较大的偶然误差，精度难以保证。而计算机作图精度高、速度快、修改方便，并且多次绘图的精度可保持一致。
关于手工绘图和计算机作图的优缺点比较，现代科学工程技术人员有一种“俏皮”的说法：“手工绘图跟计算机作图比，没有优点；计算机作图跟手工绘图比，没有缺点；如果非要说出手工作图的优点，那就是锻炼了手脑协调能力。”
参考文献
1 石辛民，翁智.计算方法及其MATLAB实现，北京：清华大学出版社，2013.08
2 胡建国，朱国强.滑动变阻器两种供电方式选择的可视化教学法.物理通报，2013（4）
3 朱国强.处理实验数据——MATLAB软件教学中的应用之四.物理通报，2015（2）
4 朱国强.绘制物理图象——MATLAB软件教学中的应用之二.物理通报，2014（8）
5 申慧娟.物理实验数据的软件处理.物理通报，2013（5）
第一章 误差 1 问3.142，3.141，7 22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？ 分析 利用有效数字的概念可直接得出。 解 π=3.141 592 65… 记x 1=3.142，x 2=3.141，x 3=7 22. 由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0.000 40…知 34111 10||1022 x π--?<-≤? 因而x 1具有4位有效数字。 由π- x 2=3.141 59…-3.141=-0.000 59…知 223102 1||1021--?≤-
浙江大学远程教育学院 《可视化计算》课程作业2016年（夏） 姓名：学号： 年级：2017春学习中心：—————————————————————————————注意：所有图像的标题必须呈现足够你本人信息 1.（10分）求解下列线性方程组的解： 16 20 90 8 35 6 21 5.8 7 320 33 22 3 10 74 4 4 5.0 6.3 3 7 9 2 5.1 = - + += + + + += + + - + -= - - + = + + + + z y v u z y x v u z y x v u z y x v z y x v u clc; A=[ 1,1.5,2,9,7; 0,3.6,0.5,-4,-4; 7,10,-3,22,33; 3,7,8.5,21,6; 3,8,0,90,-20 ] B=[3;-4;20;5;16] X=B'/A
2.（10分）信号y = 5*sin(pi*20*t)+3*cos(2*pi*50*t)幅度为1的白噪声的干扰，请画出此信号，然后进行傅立叶变换，画出变换后的频域信号。 clear; title('袁洋 717129012012') t=0:0.001:0.6; y=5*sin(pi*20*t)+3*cos(2*pi*50*t); y=y+randn(1,length(t)); subplot(1,2,1) plot(t,y) title('袁洋') xlabel('变换前信号') Y=fft(y,512); subplot(1,2,2) Y=real(Y); plot(Y(1:512)) title('717129012012') xlabel('变换后的频域信号')
能源与环境系统2013级科学计算可视化考试 格式要求：1：引言（500字）2：采用算法（500字）3:程序4：可视化结果截图并讨论 5：结论（300字）6：参考文献（5篇以上，注意格式） 1.引言 随着科学技术的发展,计算机网络已是人们生活中无法离去的工具,故信息化彻底改变了人们的生活方式。数字图像处理也随之成为图像处理领域的首要之选。目前,MATLAB由于计算功能强大既支持数值运算又支持矩阵运算且便于用户二次开发,简单易学灵活性强,在数字图像处理领域的研究中成为了使用较为广泛的应用软件之一。 MATLAB（矩阵实验室）是MATrix LABoratory的缩写，是由美国The MathWorks 公司开发，用于数据分析、数据可视化、算法开发以及数值计算的交互式环境和高级计算语言[1]。除了数据图像/绘制函数、矩阵运算等常用功能外，MATLAB还可以创建图形界面用户程序——GUI，以及面向对象编程和与其它语言（包括VC++、Java）混合编写的程序。 MAT LAB除了主要用于科学计算之外，其附加工具箱（Toolbox）也使它在不同的领域得到充分应用，例如金融建模和分析、信号处理与通讯、图像处理、控制系统设计与分析。另外还有一个新的系统模型化图形输入与仿真工具软件包——Simulink，该软件实现了动态系统建模和仿真，使用户可以将更多的精力投入到系统模型的构建，而非语言编程上。其特点是[2-4]： (1)简单易学:MATLAB语法规则与其他编程语言大同小异,但其自带函数较多,且功能比较完善,很多时候不用用户编写代码就能实现想实现的功能。 (2)代码短小高效:由于MATLAB将很多应用已经编写成函数,只要控件下面编写回调函数,通过鼠标的点击事件就能完成一次操作。 (3)计算功能非常强大:该软件具有强大的矩阵计算功能,利用一般的符号和函数就可以对矩阵进行加、减、乘、除运算以及转置和求逆等运算。 (4)强大的图形绘制和处理功能:科学计算要涉及到大量数据的处理,利用图形展示数据场的特征,能显著提高数据处理功能。 (5)可扩展性:用户可以自己编写M文件,,组成自己的工具箱。 2.算法--SIMULINK仿真建模 SIMULINK 是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的软件包。它支持对线性、非线性系统；连续、离散以及混合系统模型进行仿真分析。由于其功能强大，建模方便，作为一体化的建模与仿真环境越来越广泛地应用在各种仿真应用领域。SIMULINK 中除了常用模块库可以用来仿真建模外，还根据不同的专业应用提供了专用模型集（BLOCKSET）或工具箱（TOOLBOX）。利用这些模型集可以完成不同领域内的仿真建模需求。 与其它仿真软件包相比，SIMULINK 包含如下两个突出特点[5]： 1．拥有先进的仿真和分析技术提供了针对固定步长、变步长和刚性系统的 7 种积分算法；动态图形显示的交互式仿真；微调以确定稳态平衡点；线性化； 2．具备开放和可扩展体系结构使用用户自己的图标和界面，从 MATLAB、
目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)
4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)
数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）
1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）
不确定： 等值面生成技术可视化系统与传统计算机图形学的区别 只是初步整理，如果觉得不合理或是内容太多，某些可自行删减或精简，主要是简答题，综述题尽量不要删减太多。 科学计算可视化复习题 填空题 1.科学计算可视化可在三个层次上实现，对应于三种处理方式:事后处理、跟踪处理和 驾驭处理。 2.可视化技术的分类主要基于函数类型和定义域的维数。如果是对一组点进行可视化， 没有相关的函数，该类数据称为点集，相应的可以把可视化技术分为点集、标量、矢量和张量场的可视化。 3.使用散点图矩阵对高维散布点进行可视化，矩阵下三角存放散点图、对角线存放直方 图、上三角存放相关系数。 4.高维点数据可以使用变图元散点图、散点图矩阵和星图等多种方法进行可视化。 5.等值线生成算法主要分为以下两类：网格序列法和网格无关法。 6.等值线生成算法中的网格序列法主要分为以下两类：网格扫描法和单元剖分法。 7.等值线生成算法中的步进法和适应法属于网格无关法。 8.体可视化算法一般可分为两大类：直接体绘制算法和基于面的体绘制算法。 10.体数据的表达方式主要有：基于体素的表达和基于体元的表达。 11.直接体可视化(DVR)算法大多采用简单的正交观察。因为透视观察易产生光线逃逸 问题。 12.Contour Connecting算法寻找组成三角面片的下一个节点的三种启发式算法分别是： 最短对角线法、最大体积法、相邻轮廓线同步前进法。 13.着名的护士南丁格尔在描述战争中战士的死亡原因时使用了一种图形，这种图形我们 现在称为星图 ,斯诺博士在1854年描述伦敦霍乱病人地理位置时采用了一种图形，这种图形我们现在称为散点图。 14.试举出几种通用的数据格式，例如： XML格式和 NetCDF格式等。 15.为增加三维物体在二维图像上显示的真实感，主要考虑以下几个方面：前后关系、透 视、光照、浓淡、立体视图、运动。 16.常用的文件压缩技术有：行程编码、 LZW编码、霍夫曼编码。 17.对数据可视化时可以考虑使用的图形元素有：位置、形状、方向、大小。 18.一维标量场数据显示的方式主要有曲线图、条形图、直方图等三种图形。
计算方法上机报告 姓名： 学号： 班级： 上课班级：
说明： 本次上机实验使用的编程语言是Matlab 语言，编译环境为MATLAB 7.11.0，运行平台为Windows 7。 1. 对以下和式计算： ∑ ∞ ? ?? ??+-+-+-+=0681581482184161n n n n S n ，要求： ① 若只需保留11个有效数字，该如何进行计算； ② 若要保留30个有效数字，则又将如何进行计算； （1） 算法思想 1、根据精度要求估计所加的项数，可以使用后验误差估计，通项为： 1421114 16818485861681 n n n a n n n n n ε??= ---<< ?+++++??； 2、为了保证计算结果的准确性，写程序时，从后向前计算； 3、使用Matlab 时，可以使用以下函数控制位数： digits(位数)或vpa(变量，精度为数) （2）算法结构 1. ;0=s ?? ? ??+-+-+-+= 681581482184161n n n n t n ； 2. for 0,1,2,,n i =??? if 10m t -≤ end; 3. for ,1,2,,0n i i i =--??? ;s s t =+
（3）Matlab源程序 clear; %清除工作空间变量 clc; %清除命令窗口命令 m=input('请输入有效数字的位数m='); %输入有效数字的位数 s=0; for n=0:50 t=(1/16^n)*(4/(8*n+1)-2/(8*n+4)-1/(8*n+5)-1/(8*n+6)); if t<=10^(-m) %判断通项与精度的关系break; end end; fprintf('需要将n值加到n=%d\n',n-1); %需要将n值加到的数值 for i=n-1:-1:0 t=(1/16^i)*(4/(8*i+1)-2/(8*i+4)-1/(8*i+5)-1/(8*i+6)); s=s+t; %求和运算 end s=vpa(s,m) %控制s的精度 （4）结果与分析 当保留11位有效数字时，需要将n值加到n=7， s =3.1415926536； 当保留30位有效数字时，需要将n值加到n=22, s =3.14159265358979323846264338328。 通过上面的实验结果可以看出，通过从后往前计算，这种算法很好的保证了计算结果要求保留的准确数字位数的要求。
实验五 MATLAB 计算的可视化（一） 实验目的 1. 熟练掌握MATLAB 二维曲线的绘制 2.掌握图形的修饰 3.掌握三维图的绘制 4.了解各种特殊图形的绘制 内容与步骤 1.在同一幅图形窗口中分别绘制y1=sin(t)和y2=cos(t)二条函数曲线，t 的取值范围为[0,10]。y1用红色虚线表示，y2用蓝色实线表示，横坐标轴名称为“时间t ”，纵坐标轴名称为“正弦、余弦”，整个图形的标题为“正弦和余弦曲线”。在坐标(1.7*pi ，-0.3)处添加文字“sin(t)”， 在坐标(1.6*pi ，0.8)处添加文字“cos(t)”，并在右上角添加图例，其运行界面图如下图所示。之后并尝试修改坐标轴刻度。 2.用subplot 命令在同一个窗口的不同子窗口绘制曲线y=sin(t)，y1=sin(t+0.25) y2=sin(t+0.5)，其中t=[0 10]。 3.绘制三维曲线：?? ? ??=≤≤==)cos()sin()200() cos()sin(t t t z t t y t x π （注意：用plot3命令） 4.三维网线图：绘制z=sin(y)cos(x) 三维网线图。 5. 三维曲面图 绘制22y x z +=的三维曲面图，x 在[-5,5]范围，y 在[-5,5]范围。将曲面图颜色用shading 命令连续变化，并用颜色标尺显示色图（使用函数colorbar 生成）。生成的图形如下图所示。
6.请绘制一个饼形图，数据如下表所示 7. 用semilogx命令绘制传递函数为1//(s+1)(0.5s+1)的对数幅频特性曲线，横坐标为w，纵坐标为Lw，w的范围为10-2-103，按对数分布。
参考答案 第一章 1 *1x =1.7； * 2x =1.73； *3x =1.732 。 2． 3． （1） ≤++)(* 3*2*1x x x e r 0.00050； （注意：应该用相对误差的定义去求） （2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517； （3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。 4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。 令3)1()1(1* 102 1 102211021)(-----?≤??=?= n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。 5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是* x 的相对误差的1/2倍； （2）n x )(* 的相对误差约是* x 的相对误差的n 倍。 6． 根据******************** sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =* *****) ()()(tgc c e b b e a a e ++ 注意当20* π < 7．设20= y ，41.1*0 =y ，δ=?≤--2* 00102 1y y 由 δ1* 001*111010--≤-=-y y y y ， δ2*111*221010--≤-=-y y y y M δ10*991*10101010--≤-=-y y y y 即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小10 10-倍。而110 10 <<-δ，故计算过程稳定。 8. 变形后的表达式为： （1）)1ln(2--x x =)1ln(2-+-x x （2）arctgx x arctg -+)1(=) 1(11 ++x x arctg （3） 1ln )1ln()1(ln 1 --++=? +N N N N dx x N N =ΛΛ+-+- +3 2413121)1ln(N N N N 1ln )11ln()1(-++ +=N N N N =1)1ln()1 1ln(-+++N N N （4）x x sin cos 1-=x x cos 1sin +=2x tg 2020年奥鹏吉大网络教育《计算方法》大作业解答 (说明：前面是题目，后面几页是答案完整解答部分，注意的顺序。) 一、解线性方程 用矩阵的LU分解算法求解线性方程组 用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 用主元素消元法求解线性方程组 用高斯消去法求解线性方程组 利用Doolittle分解法解方程组Ax=b，即解方程组 1、用矩阵的LU分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 0 2X1+2X2+8X3 = -4 -3X1-10X2-2X3 = -11 2、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 1 2X1– X2+9X3 = 0 -3X1+ 4X2+9X3 = 1 3、用矩阵的Doolittle分解算法求解线性方程组 2X1+X2+X3 = 4 6X1+4X2+5X3 =15 4X1+3X2+6X3 = 13 4、用高斯消去法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 5、用无回代过程消元法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 6、用主元素消元法求解线性方程组 2X 1- X 2+3X 3 = 2 4X 1+2X 2+5X 3 = 4 -3X 1+4X 2-3X 3 = -3 7、用高斯消去法求解线性方程组 123123123234 4272266 x x x x x x x x x -+=++=-++= 8、利用Doolittle 分解法解方程组Ax=b ，即解方程组 12341231521917334319174262113x x x x -? ????? ???? ??-??????=? ? ????--?????? --???? ?? 计算方法上机报告 姓名: 学号: 班级: 目录 题目一----------------------------------------------------------------- 4 - 1.1题目内容-------------------------------------------------------- 4 - 1.2算法思想-------------------------------------------------------- 4 - 1.3Matlab 源程序----------------------------------------------------- 5 - 1.4计算结果及总结------------------------------------------------- 5 - 题目二----------------------------------------------------------------- 7 - 2.1题目内容-------------------------------------------------------- 7 - 2.2算法思想-------------------------------------------------------- 7 - 2.3 Matlab 源程序---------------------------------------------------- 8 - 2.4计算结果及总结------------------------------------------------- 9 - 题目三--------------------------------------------------------------- -11- 3.1题目内容----------------------------------------------------------- 11 - 3.2算法思想----------------------------------------------------------- 11 - 3.3Matlab 源程序--------------------------------------------------- -13 - 3.4计算结果及总结----------------------------------------------------- 14 - 题目四--------------------------------------------------------------- -15 - 4.1题目内容----------------------------------------------------------- 15 - 4.2算法思想----------------------------------------------------------- 15 - 4.3Matlab 源程序--------------------------------------------------- -15 - 4.4计算结果及总结----------------------------------------------------- 16 - 题目五--------------------------------------------------------------- -18 - -18 - 5.1题目内容 5.2算法思想----------------------------------------------------------- 18 - 5.3 Matlab 源程序--------------------------------------------------- -18 - 习题一 1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？ 数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 x max x i , x ( x 1 , x 2 , x n ) T R n 及 A n R n n . 2. 试证明 max a ij , A ( a ij ) 1 i n 1 i n 1 j 证明： （ 1）令 x r max x i 1 i n n p 1/ p n x i p 1/ p n x r p 1/ p 1/ p x lim( x i lim x r [ ( ] lim x r [ lim x r ) ) ( ) ] x r n p i 1 p i 1 x r p i 1 x r p 即 x x r n p 1/ p n p 1/ p 又 lim( lim( x r x i ) x r ) p i 1 p i 1 即 x x r x x r ⑵ 设 x (x 1,... x n ) 0 ，不妨设 A 0 ， n n n n 令 max a ij Ax max a ij x j max a ij x j max x i max a ij x 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n j 1 1 i n 1 i n j 1 即对任意非零 x R n ，有 Ax x 下面证明存在向量 x 0 0 ，使得 Ax 0 ， x 0 n ( x 1,... x n )T 。其中 x j 设 j a i 0 j ，取向量 x 0 sign(a i 0 j )( j 1,2,..., n) 。 1 n n 显然 x 0 1 且 Ax 0 任意分量为 a i 0 j x j a i 0 j ， i 1 i 1 n n 故有 Ax 0 max a ij x j a i 0 j 即证。 i i 1 j 1 3. 古代数学家祖冲之曾以 355 作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？ 113 解： x 325 &0.314159292 101 133 x x 355 0.266 10 6 0.5 101 7 该近似值具有 7 为有效数字。 用动态规划来解决数字三角形问题 软件34刘柏呈 问题由来 题目的出处是《可视化计算》课本讲贪心的一道例题（Page108，例3-4），选题的原因：一，老师要求用到动态规划的思想方法。二，raptor是个可视化的编程软件，突出可视化，就必须有图形，而数字三角形本身就是个“二叉树”综上 解题思路 先构图的顶点，随即生成边，构成树，各个顶点中的数字随机生成，这样就完成输入问题。再用动态规划寻找最大的路径，最后再运用可视化的特点，把选择的过程呈现给看程序的人。 1.首先是构图，出于美观性的考虑，我将数字三角形的可行层数控制为1-6层。由于 raptor没有编辑数组，所以我用两种方式为顶点编号：1，（i，j）来表示第i行第j 个数。2，用m表示，从上到下，从左到右的第m个点。之后就是，计算点的坐 标，找出坐标的规律，并适当的纪录。 2.动态规划，主要根据，状态转移方程：f［i，j］＝max｛f［i－1，j］，f［i-1，j－ 1］｝＋c［i，j］其中，f［i，j］表示到（i，j）点的最大累加和，c［i，j］表示第 （i，j）点的值。 3.显示用到递归的解法，根据之前纪录的“父节点”来搜索路径。 算法实现 第一个子图composition就是构图，用来画二叉树，i控制行数，j控制列数，二重循环来画圆和线。 注意点： 一，圆的大小应该适应画布和层数，所以我令k＝画布高／层数，而用k/4作为半径画圆。 二，“线不能将圆戳破”即线的出发点不能是圆心，这里，我将上层圆的圆心与它的两个子圆的圆心连线的夹角令为60度，再根据圆中直角三角形的关系，算 出对应圆周上的点，作为出发点。 三，弄清一个循环中该做什么，结论是：画一个圆和两条线，这里要注意判断一下是否是最后一层，最后一层不需要画线。 dp子图是用来完成动态规划算法的，这个算法只要知道状态转移方程就比较好实现，需要注意的是边界的控制，所以需要附初值。还有就是，我每做一步用root数组纪录一下该点的“父亲”，以便之后查找。 maxchoose子程序用来比较大小，并返回一个o，帮助确定是“左”还是“右”被选了。 showresult和findroot就是用递归来回溯寻找自己“父节点的过程” 回顾与思考 计算方法实验报告 班级： 学号： 姓名： 成绩： 1 舍入误差及稳定性 一、实验目的 （1）通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； （2）通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性 二、实验内容 1、用两种不同的顺序计算10000 21n n -=∑，分析其误差的变化 2、已知连分数() 1 01223//(.../)n n a f b b a b a a b =+ +++，利用下面的算法计算f ： 1 1 ,i n n i i i a d b d b d ++==+ (1,2,...,0 i n n =-- 0f d = 写一程序，读入011,,,...,,,...,,n n n b b b a a 计算并打印f 3、给出一个有效的算法和一个无效的算法计算积分 1 041 n n x y dx x =+? (0,1,...,1 n = 4、设2 2 11N N j S j == -∑ ，已知其精确值为1311221N N ?? -- ?+?? （1）编制按从大到小的顺序计算N S 的程序 （2）编制按从小到大的顺序计算N S 的程序 （3）按两种顺序分别计算10001000030000,,,S S S 并指出有效位数 三、实验步骤、程序设计、实验结果及分析 1、用两种不同的顺序计算10000 2 1n n -=∑，分析其误差的变化 （1）实验步骤： 分别从1~10000和从10000~1两种顺序进行计算，应包含的头文件有stdio.h 和math.h （2）程序设计： a.顺序计算 #include 1 什么是科学计算可视化 科学计算可视化(简称可视化，英文是Visualization in Scientific Computing，简称ViSC)是计算机图形学的一个重要研究方向，是图形科学的新领域。 “Visualization”一词, 来自英文的“Visual”, 原意是视觉的、形象的，中文译成“图示化”可能更为贴切。事实上，将任何抽象的事务、过程变成图形图像的表示都可以称为可视化。与计算机有关的如可视化界面（Windows），可视化编程（Visual C++）等。但作为学科术语，“可视化”一词正式出现于1987年2月美国国家科学基金会（National Science Foundation，简称NSF ）召开的一个专题研讨会上。研讨会后发表的正式报告给出了科学计算可视化的定义、覆盖的领域以及近期和长期研究的方向。这标志着“科学计算可视化”作为一个学科在国际范围内已经成熟。 科学计算可视化的基本含义是运用计算机图形学或者一般图形学的原理和方法，将科学与工程计算等产生的大规模数据转换为图形、图象，以直观的形式表示出来。它涉及计算机图形学、图像处理、计算机视觉、计算机辅助设计及图形用户界面等多个研究领域，已成为当前计算机图形学研究的重要方向。 研究表明，人类获得的关于外在世界的信息80%以上是通过视觉通道获得的。经过漫长的进化，人类视觉信息处理具有高速、大容量、并行工作的特点。常言所说“百闻不如一见”，“一图胜过千言”，就是这个意思。这些特点早已为祖先们所认识和应用。古长城上的烽火台，显示了先民的智慧，可以将重要的信息迅速大范围传递。作为千百年来文明载体的“图书”，“图”是在“书”前的！“河图洛书”的传说，显示出“图”在我们文明的发端及以后的发展中所起的作用。今天，设计图是借助纸张的媒介表达创意，工程图是现代工业生产的依据。可视化依然继续着借助形象化方法表达人类意图的传统。我们将看到，可视化技术产生的图是一种全新的形式。 可视化技术的出现有着深刻的历史背景，这就是社会的巨大需求和技术水平的进步。可视化技术由来已久，早在20世纪初期，人们已经将图表和统计等原始的可视化技术应用于科学数据分析当中。随着人类社会的飞速发展，人们在科学研究和生产实践中，越来越多地获得大量科学数据。计算机的诞生和普及应用，使得人类社会进入了一个信息时代，它给人类社会提供了全新的科学计算和数据获取手段，使人类社会进入了一个``数据的海洋''，而人们进行科学研究的目的不仅仅是为了获取数据，而是要通过分析数据去探索自然规律。传统的纸、笔可视化技术与数据分析手段的低效性，已严重制约着科学技术的进步。随着计算机软、硬件性能的不断提高和计算机图形学的蓬勃发展，促使人们将这一新技术应用于科学数据的可视化中。 借助航天航空、遥感、加速器、CT（计算机断层扫描）、MRI（核磁共振）、计算机模拟（如核爆炸）等手段，人类获取数据的能力飞速提高，每天产生的数据已经不是大量，而是称为海量。一项统计表明，人类每天需要处理的数据量在80年代一般是在百万字节数量级，90年代已经增加1000倍以上，而且增加的趋势还在加强。面对堆积如山的数据，及时解读，获取有用的信息成为人类面临的巨大挑战。传统的数字或字符形式的处理显然无法满足需要。可视化技术，在这个意义上就成为了“科学技术之眼”，它是科学发现和工程设计的工具！ 以上我们更多地谈到的是数据（Data），是数据的可视化（Data Visualization）。习惯上，人们将许多种类的数据也广义地称为信息，或者知识。对此，学者们有许多争论和不同的定义。一般认为，数据（Data）、信息（Information）和知识（knowledge）还是有区别的。为 《计算方法》上机指导书 实验1 MATLAB 基本命令 1．掌握MATLAB 的程序设计 实验内容：对以下问题，编写M 文件。 (1) 生成一个5×5矩阵，编程求其最大值及其所处的位置。 (2) 编程求∑=20 1!n n 。 (3) 一球从100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求它在 第10次落地时，共经过多少米？第10次反弹有多高？ 2．掌握MATLAB 的绘图命令 实验内容：对于自变量x 的取值属于[0，3π]，在同一图形窗口画出如下图形。 （1）1sin()cos()y x x =?； （2）21 2sin()cos()3 y x x =-； 实验2 插值方法与数值积分 1. 研究人口数据的插值与预测 实验内容：下表给出了从1940年到1990年的美国人口，用插值方法推测1930年、1965年、2010年人口的近似值。 美国人口数据 1930年美国的人口大约是123,203千人，你认为你得到的1965年和2010年的人口数字精确度如何？ 2．最小二乘法拟合经验公式 实验内容：某类疾病发病率为y ‰和年龄段x (每五年为一段，例如0~5岁为第一段，6~10岁为第二段……)之间有形如bx ae y =的经验关系，观测得到的数据表如下 （1）用最小二乘法确定模型bx ae y =中的参数a 和b 。 （2）利用MATLAB 画出离散数据及拟合函数bx ae y =图形。 3. 复化求积公式 实验内容：对于定积分? +=1 02 4dx x x I 。 （1）分别取利用复化梯形公式计算，并与真值比较。再画出计算误差与n 之间的曲线。 （2）取[0，1]上的9个点，分别用复化梯形公式和复化辛普森公式计算，并比较精度。 “可视化计算”课程教学大纲 2012.10 英文名称：Visible Computing 课程编号：×××× 学时：32 （理论学时）课外学时：（32） 学分：2 适用对象：全校二年级以上理工类本科生 先修课程：大学计算机基础 使用教材及参考书： [1]程向前陈建明.可视化计算北京请化大学出版社2013. [2] Harel, D. with Feldman, Y. Algorithmics: The Spirit of Computing, 3rd Edition, Harlow, England: Pearson Education, 2004. [3] 邹恒明算法之道机械工业出版社2011.3 一、课程性质和目的（100字左右） 性质：理工类通识课 目的：培养非计算机专业理工类本科生运用计算思维和计算工具的能力, 掌握算法的分类、选择和应用实现的基本技能。 二、课程内容简介（200字左右） 可视化计算课程的主要内容涉及程序设计、数据结构、算法设计与分析有关的内容。考虑到非计算机专业的本科生的一般计算机基础，在此课程中不使用传统的编程语言, 而是使用流程图模拟器设计和分析各种算法并进行实验验证。课程重点放在基于可视化流程图的算法设计与分析，算法复杂性的估算和验证，典型算法案例分析等。主要创新点：可视化算法设计、算法时间复杂性验证、使用线形数据 结构实现非线性数据类型、算法结果的图形化输出等。 三、教学基本要求 1．掌握使用流程图仿真软件Raptor的安装和基本应用 2．掌握Raptor下的基本算法结构（分枝、循环、子图、子程序） 3、掌握使用Raptor实现常用算法的设计和调试 4、掌握基本数据结构，栈、队列、树和图在Raptor 中的实现 5、掌握重要的算法思想 6、掌握人机交互界面的设计 7、图形化输出结算结果 四、教学内容及安排 第1章RAPTOR程序设计基础 1．流程图仿真软件Raptor简介 2．程序设计的基本概念 3. 问题求解过程 教学安排及教学方式 第2章算法设计与可视化 科学计算可视化 1 什么是科学计算可视化 科学计算可视化(简称可视化，英文是Visualization in Scientific Computing，简称ViSC)是计算机图形学的一个重要研究方向，是图形科学的新领域。 “Visualization”一词, 来自英文的“Visual”, 原意是视觉的、形象的，中文译成“图示化”可能更为贴切。事实上，将任何抽象的事务、过程变成图形图像的表示都可以称为可视化。与计算机有关的如可视化界面（Windows），可视化编程（Visual C++）等。但作为学科术语，“可视化”一词正式出现于1987年2月美国国家科学基金会（National Science Foundation，简称NSF ）召开的一个专题研讨会上。研讨会后发表的正式报告给出了科学计算可视化的定义、覆盖的领域以及近期和长期研究的方向。这标志着“科学计算可视化”作为一个学科在国际范围内已经成熟。 科学计算可视化的基本含义是运用计算机图形学或者一般图形学的原理和方法，将科学与工程计算等产生的大规模数据转换为图形、图象，以直观的形式表示出来。它涉及计算机图形学、图像处理、计算机视觉、计算机辅助设计及图形用户界面等多个研究领域，已成为当前计算机图形学研究的重要方向。 2科学计算可视化的意义 早期，由于计算机软、硬件技术水平的限制，科学计算只能以批处理方式进行，而不能进行交互处理，对于大量的输出数据，只能用人工方式处理，或者用绘图仪输出二维图形。这种处理方式不仅效率低下，而且丢失了大量信息。而近年来，随着计算机应用的普及和科学技术的迅速发展，来自超级计算机、卫星遥感、CT、天气预报以及地震勘测等领域的数据量越来越大，但由于没有有效的处理和观察理解手段，人们仅仅是将数据收集和存放起来。因此，科学计算可视化技术已经成为科学研究中的必不可少的手段。 实现科学计算可视化技术的意义重大，具体来讲有以下几点: （1）大大加快数据的处理速度，使目前每日每时都在产生的庞大数据得到有效的利用。 （2）实现人与人和人与机之间的图象通讯，而不是目前的文字或数字通讯，从而使人们观察到传统方法难以观察到的现象和规律。 （3）使科学家不仅被动地得到计算结果，而且知道在计算过程中发生了什么现象，并可改变参数，观察其影响，对计算过程实现引导和控制。 （4）可提供在计算机辅助下的可视化技术手段，从而为在网络分布环境下的计算机辅助协同设计打下了基础。 : 第一次作业 1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，指出他们有几位有效数字，并写出绝对误差限。 9800107480.566.385031.01021.1*65*5*4*3*2*1=?=====x x x x x x 解： 1* 11011021.01021.1?==x ，有5位有效数字，绝对误差限为4-5-1105.0105.0?=?； 1-* 2 1031.0031.0?==x ，有2位有效数字，绝对误差限为3-2-1-105.0105.0?=?； 3* 3103856.06.385?==x ；有4位有效数字，绝对误差限为-14-3105.0105.0?=?； 2* 41056480.0480.56?==x ；有5位有效数字，绝对误差限为3-5-2105.0105.0?=?； ; 65* 5 107.0107?=?=x ；有1位有效数字，绝对误差限为51-6105.0105.0?=?； 4* 6 109800.09800?==x ；有4位有效数字，绝对误差限为5.0105.04-4=?。 2.要使20的近似值的相对误差限小于%1.0，要取几位有效数字 解：由于110447213595.047213595.420??=?=，设要取n 位有效数字，则根据 定理，有()()%1.01081 1021111
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