第1篇 一元微积分基础参考答案
1.1 （A ）
1. （1）{|11}x x -<≤； （2）{|1,0}x x x <≠； （3）{|15}x x ≤≤ （4）{|21}x x -≤<； （5）{|13}x x ≤≤； （6）{|53}x x -≤≤-.
2. 1(1)4f =
，2
21()3f x x =+，()3()310
x f f x x +=+.
3. (3)2f =，(0)2f =，(0.5)f -
4. ()g x a =.
5. 各组函数均不相同（由于定义域不同）.
6. （1）（3）（7）偶函数； （2）（4）（6）非奇非偶函数； （5）（8）奇函数.
7. 略
（B ）
1. [2,0]-和[1,1]-
2. 2()816f x x t =-+
3. 2sin
22sin 22
x x f ??=- ?
??，故2
()22f x x =-. 4. （1）周期为π； （2）非周期函数； （3）周期为4.
5．由于()x f 为定义在(1,1)-内的奇函数，对任意的1210x x -<<<，11()()f x f x =--，22()()f x f x =--，则1221
()()()()
f x f x f x f x -=---. 而2101x x <-<-<，由()x f 在
(0,1)内单调增加得12()()0f x f x -<，得证.
1.2 （A ）
1. 略.
2. （1）（2）（3）（5）（6）（7）（8）是初等函数； （4）非初等函数. 提示：（8）2
1
11y x x x
=+++=
- (||1)x <. （B ）
1. （1）x b
y a -=； （2）y =4y >； （3）1arcsin 32
x
y =，0x π<<； （4）4x y e =-.
2．略
3. y ，020x <<.
4. ()y n b x =-，0x b ≤≤.
5. 22()S x a b x ab =-++，0x b <<.
6. （1）10050y n =+，020n ≤≤； （2）101050n y ==（元）.
7. （1）21210y R C Q Q =-=-+-，626Q y ==（万元）； （2）725Q y ==（万元），销售7台时总利润下降，故不盈利.
1.3 （A ）
1. （1）2； （2）1； （3）e ； （4）1； （5）2； (6)+∞（该极限不存在）
2. 略
3. 略
（B ）
1. （1）3； （2）1； （3）1； （4）1
2
- 2. 略
3.（1）1-； （2）1
e
； （3）1 4. 略
1.4 （A ）
1．（1）0； （2）2x ； （3）2
5
-
； （4）0.
2.（1）3； （2）2； （3）1； （4）.
3.（1）e k
； （2）6
e .
（B ）
1. （1）2； （2）原式5050
302020(21/)2lim (11/)(31/)3
x x x x →∞-==+-
（3）0； （4）原式2211(1)(2)2
lim
lim 1(1)(1)1
x x x x x x x x x x →→-++==-=--++++
2. （1）
12； （2）1
2
3. 求下列极限． （1）3
e
（2） e
4. 由左右极限相等知0=a .
1.5 （A ）
1. （1）1=x 可去间断点，2=x 无穷间断点；
（2）0=x 可去间断点，πk x =),2,1( ±±=k 无穷间断点； （3）0=x 震荡间断点； （4）1=x 跳跃间断点.
2. 设2
3)(22+--=x x x
x x f , 求
（1）函数()f x 的连续区间 （2）)(lim 1
x f x →
（3）)(lim 2
x f x →
（4）)(lim 3
x f x →
3. （1）),2()2,1()1,(+∞-∞ （2）1- （3）∞（极限不存在）
（4）3
（B ）
1. )0(f .
2. 0=a 时，)(x f 在0=x 处连续；0≠a 时，)(x f 在0=x 处不连续.
3. 1=a ，e b =.
单元训练一
【知识评估】
1. （1）C ； （2）A ； （3）D ； （4）C
2. （1）)1,0(； （2）]3
3,33[-
； （3）1e - 3. （1）1-； （2）2-； （3）56； （4）2
1
； （5）1； （6）e 4. （1）略；
（2）第一类可去间断点0=x ，第二类无穷间断点},2,1,|{ ±±==k k x x π. 5. 提示：构造函数1)()(-+=x x f x g ，证明)(x g 在]1,0[上有零点即可.
【单元项目】
第一步：借助Mathematica 软件，将所调查数据赋值于数表data 中； 第二步：利用ListPlot 函数做出散点图；
第三步：利用PlotJoined->true 参数对所有散点进行综合，模拟成折线图； 第四步：利用show 函数将散点图与折线图两图合并；
第五步：设定函数模型，并设定能改变函数类型的自变量范围。利用Fit 函数对可能符合图像要求的函数与以上图像进行拟合，利用Plot 函数绘制拟合函数的图像；
第六步：利用show 函数对散点图和拟合函数的图像进行合并，观察散点在拟合后图像上的分布情况，如果拟合情况较好，确定拟合函数.
第七步：利用所得拟合函数的表达式进行预测，写出分析报告.
2.1 （A ）
1. 10-.
2. （1）)(0x f '-
（2）)(0x f '
（3）)(20x f '
3. （1）4
5x
（2）
3
32x
（3） 2
3
21--=x y
（4）43
x
y -=
（5） 25
2
7
x y =
（6） 27
2
9
x y -=
4. 1-=x y
5. )2,1(
6. 切线方程)3
(2321π
--=-
x y ；法线方程)3(33221π-=
-x y （B ）
1. x sin 2-.
2. 01
sin
lim 02
===→x x y x
x ，故y 在0=x 处连续. 又01sin 00
1sin lim 20==--→x
x x x x x ，故
00='=x y ，故y 在0=x 处可导.
3. 略
4. ??
?≥<='01
cos )(x x x x f 5. 1-=a ，2=b
2.2 （A ）
1. （1）33
416x
x y -
= （2）x x x
sin 2ln 2152-- （3）x x x x 2
2
sec tan 2+
（4）2e (cos sin )x x x -
（5）25
2
2
2
5
ln 3x x x x ++
（6）2
22)1()1(2x x -+
（7）
2
ln 1x x
-
（8）
1
cos 1
-x
（9）3
e (2)
x x x -
（10）x x x x x x x x cos ln cos cos ln 22
-+
2. （1）44
32
-π （2）
15
17,253 3. （1）7
4
3
)13(96-x x （2）2
32)1(--x x
（3）)54cos(5x -- （4）3
226e
x x --
（5）
2
12x x
+
（6）x 2sin -
（7）)3(sec 62
2
x x
（8）2e 1e x
x
+
（9）
x
x -121
（10）2ln cos 2
sin x x
4. （1
）121e x x -+
（2）x
x x 1cos 1sin
2- （3）2
2sin 2cos 2x
x
x x -
（4）2
1e (cos33sin 3)2
x x x --
（5）2e (41)x y x x -=-+- （6）)cos(sin 2)sin(2sin 222x x x x x + （7）x sec
（8）x csc
（B ）
1. 648)1(-='f ，0)3(='f .
2. （1）242
arcsin 2x x
- （2）)cot (tan 2
1
x x + （3
2
arcsin x
（4）x
x x ln ln ln 1
（5）
1
ln ln 2+x x x
（6）1
1
2+-
x （7
）cos )x +
（8）)
1(2
x x +-
（9）)3(sin 2sin 3cos 3x x - （10）
)2111(212
x
x x
x x
x x ++
++
++.
3.（1）)(22
x xf （2）))(cos )(sin (2sin 2
2
x f x f x '-' （3）e (e )
(e )
x x x
f f '. 4．|
|2|
|2
ln )2
()2(2
x x x x x ='=' 5. （1）214x
-
（2）31
9e
x -
（3）x x cot csc 22
（4）x x x cos sin 2--
2.3 （A ）
1.（1）单调递增区间]2,(-∞，),3[+∞；单调递减区间]3,2[- （2）单调递减区间),(+∞-∞
（3）单调递增区间]37,(-∞，),3[+∞；单调递减区间]3,3
7[ （4）单调递增区间]2,0[；单调递减区间),2[+∞ 2. 略 3.（1）21-
=x 处取得极大值41，0=x 处取得极小值0，21-=x 处取得极大值4
1 （2）0=x 处取得极小值0 （3）43=
x 处取得极大值4
5 （4）0=x 处取得极小值0
4.（1）1-=x 处取得最小值5-，4=x 处取得最大值0
（2）21=x 处取得最大值4
9
，5=x 处取得最小值18- （3）5-=x 处取得最小值56-，43=x 处取得最大值4
5
5. 1=x 处取得最大值（01
lim 2
=+∞→x x
x ） 6. 3
2πV r =，322π
V h =；2:1:=h r （B ）
1. C
2. 证：令x a a x x f ln ln )(-=，则x
a
a x f -
='ln )(，当a x >时，0)(>'x f ，故)(x f 在),[+∞a 上单调递增，则0)()(=>a f b f ，故b a a b ln ln >，a b b a ln ln >即a b b a >.
2.4 （A ）
1.（1）dx x
x dy )11(2+-
=
（2）dx x x x dy )2cos 22(sin +=
（3）dx x x dy 2
12+=
（4）2
sin sin2e x dy x dx =
（5）2e 1e x
x
dy dx =
+
（6）e (sin(3)cos(3))x dy x x dx -=--- 2.（1）x 2
（2）
2
2
3x （3）x sin （4）x 5cos 5
1
-
（5）)1ln(x +
（6）21e 2
x --
（B ）
1. 略
2.5 （A ）
1. 用洛必达法则求下列极限: （1）1
（2）2 （3）a cos （4）
53 （5）
43a （6）1 （7）3 （8）21
（9）∞+
（10）e a
（11）1
（12）1
（B ）
1. 12
-. 2. 16
e
-
.
3. 1
2.6 （A ）
1. 2π
2. 4
1
3. 略
4. 设x a x a x a x f n n n 1110)(--+++= ，则0)1()(12110=++-+='---n n n a x n a nx a x f ， 方程01110=+++--x a x a x a n n n 有一个正根0x x =, 说明0)0(=f ，且由已知0)(0=x f ，将)(x f 在],0[0x 上运用洛尔中值定理，则有),0(0x ∈?ξ，使得0)(=ξf ，得证.
5. 略（提示：令n
x x f =)(，在],[a b 上使用拉格朗日中值定理）
（B ）
1. 略（提示：令)()(x xf x g =，)(x g 在] ,0[a 上使用洛尔定理）
2. 令x x g ln )(=，则由柯西中值定理知，),(b a ∈?ξ，使得
)
()()
()()()(a g b g a f b f x g x f --=
''，故)
()()()()()(a g b g a f b f g f --=
''ξξ，即a b a f b f f ln ln )()(1)(--='ξ
ξ，故有a b
f a f b f ln )()()(ξ'ξ=-，得证. 单元训练二
【知识评估】
1. （1）A ； （2）A ； （3）A ； （4）C ； （5）C
2. （1）
x
x
cos ； （2）!100 3. （1）1）a a 4cos -； 2）2
2121
12+++++x x e x e x x
（2）通分后使用洛必达法则求得2
1
)ln 11(
lim 1
=--→x x x x . 4. （1）2-=a ，函数在1x =处取极小值；
（2）设切点为)1,(2
00x x -，则过切点的切线方程为)(210020
x x x x y --=+-，该切线在x 轴上的截距为
0212x x +，该切线在y 轴上的截距为12
0+x ，设三角形面积为)(0x S S =，
则)12(410030x x x S ++=
，令0='S 得驻点330=
x ，故3
3
0=x 时，三角形面积最小. （3）长为2
S
，宽为S 2时用料最省. （4）略
5. （1）提示：令31
2)(-+
=x
x x f ，0)1(=f . 只需证明当1>x 时)(x f 单调递增即可. （2）证明：设n
n x n a x a x a x a x g 1
32)(32210+++++= ，则0)0(=g ，又由已知0)1(=g ，
且)(x g 在]1,0[连续，在)1,0(可导，故由洛尔定理知，)1,0(∈?ξ，使得0)(='ξg .即
010n n a a a ξξ+++= ，得证.
（3）证明：令x x x f e )(+=，由于0e 1)(>+='x x f ，故)(x f 在区间[1,1]-单调递增. 而
0e
e
1)1(<-=
-f ，0e 1)1(>+=f ，故由零点存在定理得)(x f 在区间[1,1]-存在唯一零点.
【单元项目】（案例1）
第一步：将数据赋值与数表data 中;
第二步：利用ListPlot 函数根据数据画出散点图： 第三步：利用Fit 函数用二次多项式对数据进行拟合： 第四步：利用Plot 函数画出拟合曲线：
第五步：利用Show 函数将散点图和拟合曲线放在同一个图中进行比较： 第六步：利用D 函数根据拟合曲线求得关于时间的变化率：
第七步：利用/.运算符求当t=1.5天时的体温及当t=1.5天时的变化率： 第八步：求体温最高的天数.
3.1 （A ）
1.（1）3
8
（2）e 1-
2. 3
3. 0=a ，1=b
4.（1）17)1(64
1
2
≤+≤
?
dx x
（2）ππππ
2)sin 1(4
54
2≤+≤
?
dx x
（3）
3
2arctan 9
33
1ππ
≤
≤?
xdx x
（4）1
2
4022
2e e 2e x x dx ---≤
≤-?
5.（1）
?
10
2dx x >?1
03dx x
（2）
?
43
ln xdx <
?
43
2)(ln dx x
（3）
?
2
1
ln xdx >?2
1
2
)(ln dx x
（4）
?
20
sin πxdx >?20
2sin π
xdx
（B ）
1. a b a b dx x b
a -+-=
+?3
)1(3
32
2. 略
3. 略.
4.（1）6
（2）2-
（3）3-
（4）5
3.2 （A ）
1. （1）2
3x （2）2)1(3+x （3）x 2cos 2 （4）x 2sin （5）x cos 2 2. 略
3. （1）正确（2）正确（3）正确（4）正确
4. （1）
C x +771 （2）C x +23 （3）C x e x
++ （4）C x +3443 （5）C x x x ++-2213123 （6）C x +-233
2 （7）e x
x C ++
（8）C x x +-arctan （9）C x x +-arcsin 2arctan 3（10）
1
3e ln 31
x x + （B ）
1.（1）e x
C -+，e x C --+
（2）
C x a +3
6
2. 略
3. 求下列不定积分: （1）C x x +-arctan 2 （2）C x x ++--arctan 1
（3）e x
x C ++
（4）
C x x ++)(tan 2
1
（5）
C x x +-)sin (2
1
（6）C x x +-cot tan （7）C x x +-sec tan
（8）
C x +tan 2
1
（9）原式C x x dx x x x dx x x dx x x ++=+=+=-+=
???sec tan )sec tan (sec cos sin 1sin 1sin 12
22
4. 1cos sin )(+-=x x x f .
5. 2
11)(x
x x f --
=.
6. 1ln +=x y .
7. 2
1e 12x y x =
++. 8. 52
32
-=x y .
9. t t s a sin 32
-=''=，故13c os C t t s v ++='=，214
sin 4
1C x C t t s +++=
（其中21,C C 是任常数），又由30=v 得21=C ；20=s 得22=C 故位移s 与时间t 的函数关系为
22sin 4
1
4+++=x t t s .
3.3 （A ）
1. 0，
2
2.（1）3
2
12
a a a -+ （2）
3124
（3）
251
6
（4）
3a
π
（5） 14π+
（6） 4
（B ）
1. 0x =
2. 原方程可化为30
()()2(1)x x
x
f t dt tf t dt x x -=-?
?，
两边对x 求导得： 320
()()()86x f t dt xf x xf x x x +-=-?
，
即
320
()86x f t dt x x =-?
，两边再对x 求导得2()2412f x x x =-.
3.4 （A ）
1.（1）0 （2）
51512
（3）14
（4）
6
π
（5）
1
(25ln 26)2
- （6）11e --
（7）
43
（8）
2.（1）1
12e --
（2）3ln 32-
（3）
2
4
π-
（4）e 25
π-
（5）8ln 24-
（6）
2
8
π-
3. （1）0
（2）
32
π
（3）ln 3
（4）0
（B ）
1.
[]2
000
1
01
1
1
()()()e x f x dx xf x xf x dx x dx -'=-=-=
?
?
?11
(1e )2
-- 2. 2
3.5 （A ）
1.（1）
π234+，π63
4
+- （2）
2ln 2
3
- （3）1
e e 2-+-
（4）e e b
a
-
2.
4
33 3. 2
02x a π
4.
π7128，π5
64
5.（1）
6
π
（2）2
160π （B ）
1. 2
a π 2. 2π.
3.6 （A ）
1. 判断下列各广义积分的敛散性, 若收敛, 计算其值. （1）
1
3
（2）发散 （3）
1a
（4）π （5）发散
（6）
ln 2
2
（7）1
（8）发散
2. []2122
ln ln 11(ln )(ln )1
1k k x k dx x x x k k +∞
+∞+∞
-?=?
=???
≠??
?-??，故1k >时，广义积分
?
∞+2
)
(ln k
x x dx
收敛于11(1)(ln 2)k k --；当故1k ≤时，广义积分?∞+2)
(ln k x x dx
发散. 3. 略
（B ）
1. 略
单元训练三
【知识评估】
1. （1）B ； （2）D ； （3）A ； （4）C
2. （1）x
11+
； （2）x x +12
； （3）1ln 2++x x ； （4）单调递增区间为),41[+∞，单调递减区间为)4
1
,0(.
3. （1）C x ++212； （2）C x +-arctan 22； （3）C x x ++
2
2
ln 21 ；
（4）C x +2
4e
8
1；
（5）()
C x x ++-+ln 12ln 1323； （6）C x x +-)9
1
3(e 3； （7）2-； （8）)e 1ln()e
1
1(4ln 1++-+；
（9）12-；
（10）232
2
3ln -++ （11）
2ln 22
+-π
；
（12）
3
2 4. x x f sin 2)(='，则
??
?'-???
???=??? ??=10
1
210
210
)()(2121)()(dx x f x x f x x d x f dx x xf
?-=1
sin 2xdx x )1cos 1(sin 2-=.
5. 12
)
0(2)
(lim )(lim
2
===→→?f x
x xf x dt t tf x x
x ，故1=k . 6. 3=a .
7. （1）31233+-=a a S )10(≤≤a ，212-='a S ，驻点22
=a ，622)22(-=S ，
31)0(=
S ，61)1(=S ，故最小值为6
22)22(-=S .
（2）=
-+-=
??
dx x x dx x x V 1
2
12421
42)41()4
1(ππ240
29π
+. 【单元项目】（案例2）
第一步：在互联网上查找相关数据资料； 第二步：输入需要拟合的数据表；
第三步：根据数据画出散点图（ListPlot ）
第四步：用Mathematica 求拟合函数，命令格式为：Fit[数据表，经验函数表，变量名称]； 第五步：画出拟合曲线（Plot ）；
第六步：将散点图和拟合曲线放在同一个图中进行比较（Show ）； 第七步：通过拟合的比较，找到最适宜的拟合函数()f x ； 第八步：利用Integrate 函数计算
2020
2015
()f x dx ?
及2020
2009
()f x dx ?
.
【单元组项目】
第一步：在互联网上查找泄水型水钟相关资料，了解其运行原理；
第二步：将水钟的盛水容器内壁表面抽象为由一条平面曲线()f y 旋转而成的曲面； 第三步：对液面高度、盛水容器中水的剩余体积及出水速率之间的关系作出合理假设，根据项目导学介绍的知识列出三个关系式；
第四步：用数学软件（如Mathematica ）中的求导和积分指令计算出()f y 带有参数的的表达式；
第五步：合理设计()f y 的表达式中的各个参数； 第六步：得到()f y 的表达式.
第七步：用数学软件（如Mathematica ）中的绘图指令作出()f y 的图像以及水钟盛水容器内壁曲面的三维图像，以此绘制水钟的设计图.
第2篇 线性代数基础
4.1 （A ）
1.（1）3 （2）2
ac b - （3）1 2. 11213337
12
11
3310
334
3403
A A A ---=
=-=-
=-=
=--
（B ）
1.（1）-37 （2）65
4.2 （A ）
1.（1）2222()y y x - 提示:可将各行都加到第一行 （2）222(4)b b a - \ （3）222()()x x y x xy y +-+ （4）3(4)x x +
2. 24
（B ）
提示:从跌入行起,每行都减去第一行,然后按第一列展开.
4.3 （A ）
（1）12315557
7
7x x x =
=
=
（2）12312
23
3
x x x ==
=
（B ）
当0a ≠且a b ≠时方程组有唯一解.其解是12311
022a x x x a a
-=
=-=
4.4 （A ）
1. 522922703124AB BA -??
??
==
? ?-??
??
2. 514()1828T
T
T
AB B A ??
== ???
3. （1）311140401333X -?? ?
=-- ?
?----??
（2）753222331
1223913
2
2Y ?
? ?
? ?= ? ? ? ??
?
单元训练四
【知识评估】
一、1. （1）0； （2）8； 2. -3；
3. 4， 32， 8， 8；
4.（3） 二、略 三、1. 160； 2. 2
2
x y ；
3. 1
(1)n
n n
a b ++-；
4. 2(2)!n -；
5.
n
i n i
i a b
-=∑；
四、1. 8；
2. ,(),,a a b c a b c b c a -+++-+- ；
3. 0.
五、1. 1001
01
00100101000AB BA AC ??????
?===
?
? ?
??
??
???
； 2. （1）133013001?? ? ? ???；（2）300200100600400200900600300?? ?
? ?
??
；（3）2
6
66626666266
66
2??
?
? ? ???
； 3. （1）0()ij a i j =≠；（2）任意n 阶矩阵. 4. （1）1000A ??= ???；（2）100000001020A X Y ??
??
??
=== ? ?
???????
.
5.略;
6.略;
7.当AB BA =时成立.
六、1.1
322112A -??- ?= ? ?- ???
;B 不可逆;当120n a a a ≠ 时C 可逆112
1
11n a a C
a -?? ? ? ? ?= ? ? ? ? ??
?
. 2. 3862962129--?? ?-- ? ?-??；3.190010909
009T
T
A A A A -??
?==
? ???；4.略. 七、1. *
1**140011
420()4
4
612A A A A A ---??
?=-=-
=-
?
?--??
； 2.（3）； 3. n. 八、0μ=或1λ=.
【单元项目】略
5.1 （A ）
（1） 11
20
21001??
?- ? ??
?
，秩为3； （2） 121053003-??
? ? ???
，秩为3； （B ）
（1）
121
20111200241100
065--??
?- ? ?-
?-
??
，秩为4； （2） 1210201121001521800031--??
?--- ? ? ?-??
，秩为4； 5.2 （A ）
1. （1）略 （2）有唯一解,没有自由未知量12
342
011
x x x x =-??=??=??=-?
2. （1）只有0解； （2）有非0解,1
234
1119
2019x c x x c x c ?=-??
=???=??=?.
（B ）
（1）1,2λ≠- ；（2）2λ=-；（3）1λ=.
5.3 （A ）
1.线性无关
2.线性相关
（B ）
1.略；
2.略；
3.（1） 3；（2）124,,ααα；
（3）31242αααα=-++；（4）线性相关，秩为3， 4个向量；
5.4 （A ）
1.（1）123452200001111x x x c x x ξ????
?? ? ? ? ? ?
? ? ?
?== ? ? ?-- ? ? ?
? ? ?
??
????
； （2）12123124577118822551188221155228811000011x x x c c x x ξξ????????
-- ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?
?===+ ?
? ? ? ? ? ? ? ?
-- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ? ? ?
????????
；
2．（1）010*******c ???? ? ? ? ? ? ?+- ? ?
- ? ? ? ?????
；（2）1234167173
112;206012
5
x x x x ===
=-
. （B ）
0,2a b ==时有解.1231234511522263100001000010x x x c c c x x -?????????? ? ? ? ? ?---- ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?=+++ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
??????????
.
单元训练五
【知识评估】
一、1. 1λ=或-2；
2. 1t =；
3. 1a =；
4. 1；
5. 0. 二、1．（A ）；
2. （B ）；
3.（B ）（D ）；
4.（B ）；
5.（D ）.
三、1．（1）123221100x x c x ξ--?????? ?
? ?== ?
? ? ? ? ???????
；（2）1234001
10011x x c x x ξ????
?? ? ? ?-- ? ?
?== ? ? ? ? ? ???????
2．（1）无解；（2）
123402121110x x c x x ??????
? ? ?-- ? ? ?=+ ? ? ?-- ? ? ???????
；
3．（1）2λ=-时无解；（2）1,2λλ≠≠-时有唯一解；（3）1λ=时有无穷多解
《计算机数学基础(1)—离散数学》学习辅导 《计算机数学基础（1）—离散数学》是中央广播电视大学开放本科教育计算工程类计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程，它是学习专业理论中不可少的数学工具。 通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具。同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力。 本课程包括数理逻辑、集合论、图论和代数系统。这是一门理论性较强，应用性较广的课程。因此，通过本课程的学习，使学生：掌握离散数学的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力。 按照教学大纲，我们逐次分章进行辅导，供师生学习参考。 第1章命题逻辑 一、教学基本要求 1. 理解命题概念，会判断语句是不是命题。 2. 了解六个联结词概念，掌握由它们构成的公式及真值表：①?P(否定式); ②P∧Q(合取式);③P∨Q(析取式);④P→Q(蕴含式);⑤P?Q(等价式)；⑥P?VQ[不可兼或式(异或式)]。 熟练掌握求给定公式真值表的方法。 3. 理解公式、公式解释、永真式(重言式)、永假式(矛盾式)和可满足式等概念。 记住基本等值式，掌握用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值变换的方法。 4. 理解析取(合取)范式概念，熟练掌握利用基本等值式或真值表将公式化为析取(合取)范式的方法。 5. 了解极小(大)项的概念，掌握求主析取(合取)范式的方法。 6. 了解有效结论(逻辑结果)的概念，掌握判断重言蕴含式(推理是否有效)的五种方法 (1) 真值表法；(2) 等值演算法(记住基本等值式)；(3) 主析取(合取)范式法； (4) 直接证法：掌握P规则和T规则，及常用重言蕴含式、等值式。 (5) 间接证法(反证法)：掌握PC规则。 本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，(主)析取(合取)范式，重言式的判定。 二、学习辅导 1.1 命题与联结词 命题是推理的基本要素。自然语言将命题表述为具有确定真假意义的陈述句。若该语句表述的意义符合事实，则称其为真命题。若该语句表述的意义不符合事实，则称其为假命题。我们用0或F表示假命题；用1或T表示真命题。判断一个句子是否为命题，应首先判断它是否为陈述句。再判断它是否有唯一的真值。可见命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义。 例如，考察下列语句 “雪是黑的”，“北京是中国的首都”是陈述句，都有确定的真假意义，是命题，前者为假命题；后者为真命题。
. 计算机数学基础(2) 作业3选解 一、单项选择题 1. 求积公式)1()1(f f I n +-=在[－1,1]上是( )次代数精度的． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 答案：A ． 解答：详细判断过程同“四、证明题：1”． 2. 对于( )次的代数多项式,求积公式∑?=≈ n k k k b a x f A x x f 0 )(d )( 精确成立,称具有m 次代数精度的. A ． m B ． 不超过m C ． 小于m D ． 大于m 答案：B ． 解答：见教材第12章12.1节关于m 次代数精度的定义1． 3. 当n =4时,复化抛物线求积公式≈?b a x x f d )(( )． A ．3 a b -[f (x 0)+ f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)+ f (x 4)] B ． 12a b -[f (x 0)+4( f (x 1)+ f (x 3))+2f (x 2)+ f (x 4)] C ． 6a b -[f (x 0)+2(f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)]+ f (x 4)] D ． 3 a b -[f (x 0)+2(f (x 1)+ f (x 3))+4f (x 2)+ f (x 4)] 答案：B ． 解答：牛顿－科茨求积公式的所有系数之和等于积分的区间长度．以此检查各个选项，只有选项B 正确． 4. 已知x =0,1处的函数值f (0)和f (1),那么f '(1)≈( )． A ．f (0)－f (1) B ． )0()1(f f - C ． f (0) D ．)]1()0([21 f f + 答案：B ． 解答：见教材第12章12.4节等距节点两点求导公式(4.4)． 二、填空题 1.科茨系数) (n k C 具有性质 和 ． 答案：∑=n k n k C 0 )(＝1；) () (n k n n k C C -=． 解答：见教材关于科茨系数的两条性质，∑=n k n k C 0 )(＝1称为归一性．) (n k C 与a ，b 无关， )()(n k n n k C C -=(称为对称性)． 4. 已知f (x 0)=y 0, f (x 1)=y 1, f (x 2)=y 2,用三点求导公式,有 f '(x 0)= , f '(x 1)= , f '(x 2)= , 答案：)34(21)();(21)();43(21)(21022012100y y y h x f y y h x f y y y h x f +-≈ '+-≈ '-+-≈ ' 解答：见教材第12章12.4节等距节点三点求导公式(4.6)． 三、计算题 1. 分别用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分? = 1 d e x I x 的近似值．
计算机数学基础（2）作业1 一、单项选择题 1．数值x*的过似值x ，那么按定义x 的相对误差是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 2．当一个数x 表成x=±0．a1a2 … an ×10 m 时，其中 是a1a2 ，…， an 是0～9之中的自然数，且a1≠0，e=|x - x*|≤ε=0.5×10 m -l ，1≤1≤n ，则称x 有（ ）位 有效数字。 A ．m B ．m - l C ．n D ．l 3．设 x=37.134678，取5位有效数字，x ≈（ ）。 A ．37.1347 B ．37.13468 C ．37.135 D ．37.13467 二、填空题 1．如果近似值 x 的误差限 是它某一个数位的 半个 单位，我们就说 x 准确到该位。 2 ．用mm 刻度的米尺测量一长度为x*的物体，测得近似值为x ，那么x 与x*之差的误差的误差限是 。 3．近似值作四则运算后的误差限公式ε（x 1 + x 2） =)()(21x x εε+，ε（x1 - x2） = )()(21x x εε+。 4．在运算过程中舍入误差不增加的算法称为数值稳定的算法。 5．数值计算中，普遍应注意的原则是 使用数值稳定的算法 ，防止两个相近数相减 ， 简化计算步骤，减少运算次数，避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 ，防止大数“吃掉”小数 。 三、计算题 1． 表中各 x 的值都是精确值 x* 进行四舍五入得到的近似值，试分别指出其绝对误差限、 相对误差限和有效数字位，并填入表中。 2 ．在下面 y 的计算中；那一个算得准，为什么？ （1）已知|x|<< 1，（A ） y= - （B ） y= （2） 已知|x|<< 1，（A ） y= （B ） y= x* - x x x - x* |x – x*| x | x* - x| | x*| x* 1 (1+2x)(1+x) 1 1+x 2x 2 1+ 2x x 2sin 2x x 1-cos2x
《计算机数学基础》试卷 一、填空题（每空2分，计１０?2=２0分） 1．设A 为3阶方阵，，且已知3=A ，则___________2=-A 。 ２、设矩阵 A=??? ? ??-102311,B=??? ? ??1002,则A T B=_______________________。 ３、设3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系存在，并含有1个解向量，则秩________=A 。 ４、二人独立破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为3 1 ,51，则二人至少有一人能译出密码的概率___________。 ５、设)1,0(~N X ，则_______}21{=≤<-X P 。 (查表得9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ) 6、设盒中有5个球，其中3个白球2个黑球，从中随机抽取两个球，设X 是抽得的白球数，则期望__________ )(_________;)(==X D X E 方差。 7、已知},,{c b a A =，则A 上的二元关系共有________个。 8、一个无向图有16条边，每个结点的度数为2，则该图的结点数是________。 9、设p ：532=+，q ： 中国的首都是北京，r ：3是有理数，则命题公式r q p →?)(的真值为______。 二、选择题（每题2分，计１０?2=２0分） 1、设行列式D=33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 3131 23222121 13121111 252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A 、15- B 、6- C 、6 D 、15 2、已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A 、若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B 、若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C 、若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D 、若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0 3、1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解 B. 1α-2α是Ax=0的解 C. 1α+2α是Ax=b 的解 D. 1α-2α是Ax=b 的解
第2章谓词逻辑 一、教学要求 1. 理解谓词、量词、个体词、个体域、原子公式、谓词公式和变元等概念。会将不太复杂的命题符号化。 2. 掌握在有限个体域下求公式的真值和某些公式在给定解释下真值的方法，判别公式类型(永真式、永假式和可满足式)的方法。 3. 掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式(六种情况：(1)命题公式的推广；(2)量词否定式的等值式；(3)量词辖域扩张和收缩的等值式；(4)量词与联结词∨，∧，→的等值式；(5)量词与联结词的重言蕴含式；(6)两个量词公式间的等值式与重言蕴含式)。会进行谓词公式的等值演算。 4. 了解前束范式的概念，会求公式的前束范式。 5. 了解谓词逻辑推理的规则：全量词消去规则(US规则)；全量词附加规则(UG规则)；存在量词消去规则(ES规则)；存在量词附加规则(EG规则) 本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明。 二、学习辅导 在命题逻辑中，我们把原子命题作为基本研究单位，对原子命题不再进行分解，只有复合命题才可以分解，揭示了一些有效的推理过程. 但是进一步研究发现，仅有命题逻辑是无法把一些常见的推理形式包括进去. 例如 “凡人要死，张三是人，张三要死” 显然是正确推理. 用命题逻辑解释三段式. 设 P：人要死；Q张三是人；R：张三要死。 表示成复合命题有 P∧Q→R 这不是重言式，即R不是前提P，Q的有效结论. 这反映了命题逻辑的局限性，其原因是把本来有内在联系的命题P，Q，R，视为独立的命题。要反映这种内在联系，就要对命题逻辑进行分析，分析出其中的个体词、谓词和量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则，这就是谓词逻辑的研究内容。 1. 谓词与量词 学习这一部分要反复理解谓词和量词引入的意义，概念的含义。 在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词。个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念，如小张，房子，南京，大米，思想，实数2等等。谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间的关系的词。例如 (1)(1)ln5是无理数； (2)(2)高可比李木相高4cm； (3) 郑州位于北京和广州之间。 这时三个简单命题，其中ln5，高可，李木相，郑州，北京，广州等都是个体词，而“是无理数”，“……比……高4cm”，“……位于……和……之间”等都是谓词。 个体词分个体常项(用a,b,c,d,…表示)和个体变项(用x,y,z,…表示)；谓词分谓词常项(表
计算机数学基础（第三版）习题参考答案第9-10章
习题参考答案 习题9.1 1．对，对，对，对，对，错，对，错，对，对，错，错 2．{,{},{{}},{},{,{}},{{},},{,},}a b c a b b c a c A φ 3．{1,2,3,4,5},{2,3},{1,4},{5},{,{5}}φ 4．B A - 5.{,,,,,,,}a b a b ααββ<><><><>;{,,,,,,,}a b a b ααββ<><><><>;{,,,,,,,}αααββαββ<><><><>;{,,,,,,,}a a a b b a b b <><><><>;φ 6.8 8. {2,3,3,4,5,4,7,4}<><><><> 9.自反、对称、传递，是，{1,3},{2,4} 10．不是；是，A ；是，{}a （对于所有a A ∈） 11．{1,1,0,0,3,3,0,3,3,0,1,1,2,2,1,2,2,1}R =<--><><><><><><><><> 习题 9.2 1．（1）是，0；（2）是，1；（3）不是；（4）不是；（5）是，未知；（6）不是；（7）不是；（8）是，未知. 2．（1）P:张是计算机系学生；Q:张住在1号公寓305室；R: 张住在1号公寓306室；()P Q R ∧∨ （2）P:张三和李四是好朋友；P （3）P:老李出差；Q:小王出差；()()P Q Q R ∧?∨?∧ （4）P:生命息；Q:战斗止；P Q ??? （5）P:人知，Q:己为； P Q ??? （6）P:天气好，Q:比赛进行； P Q ?→? 3．C 4．（1）1；（2）0；（3）1；（4）1；（5）1；（6）1 5．（1）永真；（2）可满足；（3）永假；（4）可满足 习题 9.3
《计算机数学基础(上)》 期末复习 《计算机数学基础》是中央广播电视大学本科开放教育计算机科学与技术专业学生必修的一门专业基础课程，是学习专业理论必不可少的数学工具。 本课程分两个学期学习，本学期的教学内容是“计算机数学基础(上)??离散数学”部分，共计72学时，4学分。 本学期使用的教材是由任现淼主编、吴裕树副主编的《计算机数学基础(上)??离散数学》，由中央广播电视大学出版社出版。 一、期末考试题型 试题类型及分数分别为单项选择题和填空题各有5题，分数约占25％；化简解答题与计算题，分数约占56％；证明题，分数约占19％。各单元分数的比例大致与其所用课时比例相同。单项选择题和填空题主要涉及基本概念、基本理论、重要性质和结论、公式及其简单计算。单项选择题给出四个备选答案，其一正确。填空题只需填写正确结论，不写计算、推论过程或理由。化简解答题与计算题主要考核学员的基本运算技能和速度，要求写出计算过程。证明题主要考查应用概念、性质、定理及重要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。 本学期期末复习应以中央电大考试处编发的《计算机数学基础(上)离散数学部分考核说明》为依据。 二、各单元复习要求和重点 1 命题逻辑 复习要求 1. 理解命题概念，掌握判断语句是不是命题的方法。 判断一个语句是否为命题，应首先判断它是否为陈述句。再判断它是否有唯一的真值。因此，命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义。 2. 了解六个联结词概念，掌握由它们构成的公式及真值表：①P(否定式); ②P Q(合取式);③P Q(析取式);④P Q (蕴含式);⑤P Q (等价式)；⑥P Q (不可兼析取式)。会将命题符号化。 熟练掌握求给定公式真值表的方法。 3. 理解公式、公式解释、永真式(重言式)、永假式(矛盾式)和可满足式等概念。 掌握基本等值式以及用真值表法和等值演算法判别公式类型和公式等值的方法。 判别公式类型的真值表法：对于任给一个公式，列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列的情况。若真值表的最后一列全部为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全部为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全部为1，又非全部为0，则该公式是可满足式。 判别公式类型的等值演算法：利用基本等值式(双重否定律、幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、摩根律、同一律、零律、否定律、蕴含等值式、等价等值式、假言易位和等价否定等值式等)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式。 4. 了解析取(合取)范式概念，理解极小(大)项的概念和主析取(合取)范式概念，熟练掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取(合取)范式的方法。 求析取(合取)范式的步骤：
《计算机数学基础（2）》模拟试题(1) 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 数值x*的近似值x=0.1215×10-2，若满足≤-* x x （ ），则称x 有4位有效数字。 A. 31021 -? B. 41021 -? C. 5 102 1-? D. 6102 1 -? 2.设矩阵???? ??????------=52111021210A ，那么以A 为系数矩阵的线性方程组AX=b 的雅可比迭代矩阵为（ ）。 A. ????? ?????04.02.01.002.01.02.00 B. ???? ? ?????14.02.01.012.01.02.01 C. ??????????------04.02.01.002.01.02.00 D. ?? ?? ? ?????=021102120A 3. 已知y=f(x)的均差f(x 0, x 1, x 2)=14/3，f(x 1, x 2, x 3)=15/3，f(x 2, x 3, x 4)=91/15，f(x 0, x 2, x 3)=18/3，那么均差f(x 4, x 2, x 3)=（ ）。 A.15/3 B. 18/3 C. 91/15 D. 14/3 4. 已知n=4时牛顿-科茨求积公式的科茨系数907) 4(0 = C ，4516)4(1=C ，15 2) 4(2=C ，那么=) 4(31C （ ） 。 A. 90 7 B. 4516 C. 152 D. 90 39 152********=--- 5.用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是（ ）。 A. 1],5.1,1[,011-==--+k x k x e x x e 令 B. 212 3 1 1],5.1,4.1[,01k k x x x x + ==--+令
一、单项选择题： 1、设A B C是三个事件，则A B C都不发生可表示为 C . . A. . B. . C. . D. 2、空间直角坐标系中，与xOy坐标面距离为m(m > 0)的平面方程为 B . . A. . B. . C. . D. 3、下列不定积分正确的是 D . . A.
. B. . C. . D. 4、设f(x)的一个原函数为lnx，则 B . . A. . B. . C. . D. 5、设z = x2 –2y 则= ( C ) . . . . .
6、下列级数中，发散的是 A . . A. . B. . C. . D. 7、设函数，求= C . 1. A. 2. B. 3. C. 4. D. 8、函数是微分方程( A )的解.
1. A. 2. B. 3. C. 4. D. 9、设A与B是互逆事件，则下式中不成立的是 C . 1. A. 2. B. 3. C. 4. D. 10、数列0 1 0 1 0 1 …. C . 1. 2. 3. 4. 11、幂级数的收敛半径为 D . 1. 2. 3. 4.
12、微分方程的通解为 C ，其中C为任意常数. . A. . B. . C. . D. 13、设A与B是独立事件，则 B . . A. . B. . C. . D. 14、若，则 D . . A. 存在 . B. 不存在 . C. = a，当a>0时 . D.
15、等比级数收敛到 C . . . . . 16、微分方程的通解中有 D 个任意常数. . . 17、微分方程的通解为 A . . A. . B. . C. . D.
第1次作业 一、填空题 1、已知|q | <1，则极限n n q ∞→lim = 1 . 2、设?????>≤+=1,2 11,)(2x x x a x x f 是连续函数，则a = -1/2 . 3、函数2e x y =的微分=y d . 4、不定积分 ?=x x d sin 2 . 5、方程422=+y x 表示的是 圆 柱面. 二、单项选择题 1、数列0, 1, 0, 21, 0, 31, 0, 41,…. ,0, n 1,… A . (A)收敛于0. (B)收敛到1. (C)发散. (D)以上结论都不对. 2、设f (x )的一个原函数为ln x ，则 =)('x f A . (A)x 1 . (B)C x x x +-ln . (C) 21 x -. (D) x e . 3、微分方程y y 2'=的通解为 C . (A) C x y +=2. (B) C y x +=2e .(C) x C y 2e =. (D) x C y 2= . 4、等比级数 ++++=?? ? ??∑∞=320212121121n n 收敛到 C . (A) 4. (B) 3.(C) 2. (D) 1. 5、设A , B , C 是三个事件，则A , B , C 都不发生可表示为 A . (A) C B A . (B) ABC .(C) BC A . (D) C B A . 三、计算题 1、求极限x x x 11lim 0-+→. 2、曲线???=+=32 1t y t x , 求在2=t 时对应曲线上点处的切线方程. 3、设()???≥<+=-00e 12x x x x f x ,求积分?-12 d )(x x f 的值. 四、证明题或综合题 讨论 443 1)(3+-=x x x f 的单调性和极值.
《计算机数学基础(2)》数值分析试题 2002、9 之一[2000年(00)05] 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. 若误差限为0.5×10－5，那么近似数0.003400有( )位有效数字. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6 2. 当线性方程组A X ＝b 的系数矩阵A 是( )时，用列主元消去法解A X ＝b ，A 的主对角线的元素一定是主元. (A) 上三角形矩阵 (B) 主对角线元素不为0的矩阵 (C)对称且严格对角占优矩阵 (D)正定对称矩阵 3. 下列条件中，不是分段线性插值函数P (x )必须满足的条件为( ) (A) P (x k )=y k ,(k =0,1,…,n ) (B) P (x )在[a ,b ]上连续 (C) P (x )在各子区间上是线性函数 (D) P (x )在各节点处可导 4. 有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是( )次的. (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 3 5. 解微分方程初值问题的方法，( )的局部截断误差为O (h 3). (A) 欧拉法 (B)改进欧拉法 (C)三阶龙格－库塔法 (D) 四阶龙格－库塔法 二、填空题(每小题3分，共15分) 6.已知x *1=x 1±0.5×10－3，x *2=x 2±0.5×10－2，那么近似值x 1，x 2之差的误差限是 7. 用列主元消去法解线性方程组A X ＝b 时，在第k －1步消元时，在增广矩阵的第k 列取主元)1(-k rk a ，使得=-)1(k rk a . 8. 已知函数f (0.4)=0.411, f (0.5)=0.578 , f (0.6)=0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x 2的系数是 . 9. 牛顿－科茨求积公式中的科茨系数),...,1,0()(n k C n k =满足的两条性质是 . 10.用牛顿法求方程f (x )=0在[a ,b ]内的根，已知f '(x )在[a ,b ]内不为0，f "(x )在[a ,b ]内不变号，那么选择初始值x 0满足 ，则它的迭代解数列一定收敛到方程f (x )=0的根. 三、计算题(每小题15分，共60分) 11. 试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数) 12. 将区间[1,9]8等分，试用复化梯形公式求积分 x x d 5691?- 的近似值，计算过程中保留3位小数. 13. 用弦截法求方程x －sin x －0.5=0在[1.4，1.6]之间的一个近似根，满足01.01≤-+k k x x ，计算过程保留4位小数. 14.用四阶龙格－库塔法求解初值问题 ? ??==+'0)0(1y y y 取h =0.2, 求x =0.2, 0.4时的数值解. 要求写出由h ,x k ,y k 直接计算y k +1的迭代公式.
《计算机数学基础(下)》数值分析部分辅导(1) 中央电大 冯 泰 第9章 数值分析中的误差 一、重点内容 误差 设精确值x *的近似值x ，差e =x －x *称为近似值x 的误差(绝对误差)。 误差限 近似值x 的误差限ε是误差e 的一个上界，即ε≤-=* x x e 。 相对误差e r 是误差e 与精确值x * 的比值，* * *-==x x x x e e r 。常用x e e r =计算。 相对误差限r ε 是相对误差的最大限度，r r e ≥ε，常用x ε 计算相对误差限。 绝对误差的运算： )()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈ 22 122121 +=x x x x x x x )()()( εεε 有效数字 如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该 位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字. 关于有效数字： (1) 设精确值x *的近似值x ， m n a a a x 10.021?±= a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0， n l x x l m ≤≤110?50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字. (2) 设近似值m n a a a x 10.021?±= 有n 位有效数字，则其相对误差限 1+-1 10?21 ≤ n r a ε (3) 设近似值m n a a a x 10.021?±= 的相对误差限不大于 1110) 1(21 +-?+n a 则它至少有n 位有效数字. (4) 要求精确到10－ 3，取该数的近似值应保留4位小数。 一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e=0.0926的数x =20.7426只有三位准确数字2,0,7。 一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10%的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1%的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1%的量级。 二、实例 例1 设x *= π=3.1415926… 近似值x =3.14＝0.314×101, 即m=1，它的误差是 0.0015926…，有 3-1*10?50≤0015260=-.. x x
计算机数学基础（第三版）习题参考答案第1-3章
习题1.1 1．（1）D （2）A （3）A （4）D （5）D （6）C （7）C （8）D （9）C 2．（1）] 14,6[],3,2[-=-=f f R D ; （2）]; 1,0[],1,1[=-=f f R D （3）);,0[),,(+∞=+∞-∞=f f R D （4）); ,0[),,(+∞=+∞-∞=f f R D （5）] 1,1[),,(-=+∞-∞=f f R D 3．（1）（2）不同；（3）（4）相同。 4．（1）]; 2,2[-=f D （2）) ,1()1,(+∞-∞= f D （3）R D f = （4）} ,,01|),{(R y R x y x y x D f ∈∈>++= 5．（1）2010+-=h T （2）斜率10-=k （3）C ?-5 6．（1）有界，] 3,1[=f R ； （2）有界，]56,25.0[-=f R ； （3）无界，) ,0(+∞=f R ； （4）有界，) 1,0(=f R 。 7．（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）偶函数；（4）偶函数。 8．（1）周期函数，周期为π2；（2）不是周期函数；（3）周期函数，周期为π； 9．（1）1；（2）2。 10．（1）); ,(,15))(()(23 +∞-∞=-+=++g f R x x x g f ); ,(,1))(()(23+∞-∞=+-=--g f R x x x g f ); ,(,263))(()(2345+∞-∞=+-+=fg R x x x x x fg ),33()33,33()33,(,1 32))(/()/(2 23+∞---∞=-+= g f R x x x x g f
计算机数学基础（第三版）习题参考答案第4-5章
第4章 习题4.1(第110页) 1.（1）错 （2）错 （3）对 （4）错 2.（1）)(x f 在区间],[b a 上连续或)(x f 在区间],[b a 上有界且只有有限个间断点. (2) xdx ?40 π tan (3) 0 (4) 以原点为圆心， 以a 为半径的上半圆的面积. 3. (1) 10 (2) 3+49π (3) 6 41 4.略. 5. 51 ≤1+≤61?4 12 dx x )()( ?2 2-4 1- 2≤≤222 ; )(e dx e e x x . sin )(πππ≤≤03?4 54 2xdx 习题4.2(第118页) 1（1）错 (2) 对 （3）错 （4）错 (5) 对 2.（1）0 （2）2 x sin （3）2 63 （4）原函数 不定积分 （5）5 +-4 x 3.（1）t e x 3 (2) x x 11-4 2sin (3) 1 +5+61 -5+622x x x x 4. (1) 231 (2)8128 (3)6 11 (4) 36 (5) C x x ++2sec (6) C x x +--cot tan (7) C x x +2 1 +21sin (8) C x x x +2-? ??? ??? ???? ??23-??? ??232 31-ln
5. 2 3=x x f )(,9=a 6. ???? ????? 2>12≤<11-2+21 -1≤≤0210<0=22 x x x x x x x x g )( 习题4.3(第124页) 1. （1）对 (2)错 （3）错 （4）对 （5）错 （6）对 2. （1）7 1 (2) 2 1- (3) 2 - （4）2 2-4 1-x e （5）? ? ? ??1-33x sin （6）5 1- （7）()?ωω+1-t cos （8）1- （9）()C b ax F a ++1 （10）0 （11）()()[]a f b f 2-22 1 （12）π18 3．（1）()C x +1+211 2 11 （2）()216-11119 2 （3）()()C x x +1-100 1+1-1011 100101 (4) ()1-223 1 (5)C x +5 1-5 cos (6) 32 (7) () C x ++12ln (8) 26-5ln (9) ()C x e x +1+2 (10) 2 -e (11)()C x x x ++1+cos sin (12) 3 (13) ()()C x x x x x +4+4 1 -1+21ln (14) 2 e (15)
数理逻辑练习 一、证明下面推理 1） 前提：p →(q →(s ∧r)),┐s ∧p 结论：q ? 2） 前提：?x(F(x)∨G(x))，┐?x(G(x)∧R(x))，?xR(x) 结论：?x(F(x)) 3) 前提：?x(F(x)→(G(a)∧H(x)))，?x F(x) 结论：?x (F(x)∧H(x)) 二、在谓词逻辑中，构造下面推理的证明: 1、每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。 2、任何人，如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车。每一个人或者喜欢乘汽车，或者喜欢骑自行车。并非每个人都喜欢骑自行车。因此，有的人不爱步行。（个体域为人类集合） 3) 如果2是偶数，则3是奇数。或者2是偶数或者2整除3，结果2整除3，所以3不是奇数。 4) 如果A 努力工作，那么B 或C 感到愉快；如果B 愉快，那么A 不努力工作；如果D 愉快那么C 不愉快。所以，如果A 努力工作，则D 不愉快。 三、求下列命题公式的主析取范式和主合取范式，并求其成真赋值。 1） P →(Q →R ) 2） r q p →∨)( 3） )()(q p q p ?→∨?∨? 4） (?P ∨?Q )→(P ??Q ) 四、求下列各公式的前束范式 1） )),()((y x yQ x P x ?→?? 2） )())(),((z zR y yQ y x xP ?→?∧? 五、构造下列命题公式的真值表，并据此说明哪些是其成真赋值，哪些是其成假赋值？ 1） P ∧(Q ∨R )。 2） ?(P ∨Q )?(?P ∧?Q )。 六、分别用真值表法和公式法判断下列命题公式的类型： (1)(P ∨Q )→(P ∧Q )。 (3)(?P ∨Q )∧?(Q ∨?R )∧?(R ∨?P ∨?Q )。 (5)(Q →P )∧(?P ∧Q )。
《计算机数学基础（上）》辅导(1) ??命题逻辑 《计算机数学基础》是中央广播电视大学开放本科教育计算工程类计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程，它是学习专业理论中不可少的数学工具. 通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法以及计算机上常用数值分析的构造思想和计算方法. 同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力. 本课程有离散数学和数值分析两大部分. 其中离散数学部分包括数理逻辑、集合论、图论和代数系统. 这是一门理论性较强，应用性较广的课程. 因此，通过本课程的学习，使学生： 1. 掌握离散数学的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力； 2. 熟悉数值计算方法的基本原理和基本方法，掌握常见数值计算的方法. 按照教学大纲，本课程分二个学期开设，第一学期讲授离散数学部分；第二学期讲授数值分析部分. 我们逐次分章进行辅导，供师生学习参考. 第1章命题逻辑 本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，(主)析取(合取)范式，重言式的判定. 一、重点内容 1. 命题 命题表述为具有确定真假意义的陈述句. 命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义. 2. 联结词 “?”否定联结词，P是命题，?P是P的否命题. 是由联结词?和命题P组成的复合命题. 一元命题. “∧”合取联结词，P∧Q是命题P，Q的合取式，是“∧”和P，Q组成的复合命题. “∧”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P∧Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P∧Q取值为0，只要P，Q之一取0. “∨”析取联结词，“?∨”不可兼析取(异或)联结词，P∨Q是命题P，Q的析取式，是“∨”和P，Q组成的复合命题. P?∨Q是联结词“?∨”和P，Q 组成的复合命题. 联结词“∨”或“?∨”在一个语句中都表示“或”的含义，可以表示相容或，也可以表示排斥或. ?∨表示不相容的或. 即“P?∨Q”? “?P∧Q∨P∧?Q”. P∨Q取值1，只要P，Q之一取值1，P∨Q取值0，只有P，Q 都取值0. “?” 等价联结词，P?Q是P，Q的等价式，是“?”和P，Q组成的复合命题. “?”在语句中相当于“…当且仅当…”，P?Q取值1当且仅当P，Q 取值相同.
《计算机数学基础（ 2）》模拟试题 （1） 、单项选择题（每小题 3分，共15 分） 一0 0.2 0.11 一1 0.2 0.1] A. 0.2 0 0.1 B. 0.2 1 0.1 0.2 0.4 0 j 0.2 0.4 1 ）。 3. -0 -0.2 -0.Γ∣ ■0 2 们 -0.2 -0.1 D. A = 2 0 1 ]-0.2 -0.4 0 一 1 2 0」 C. 已知 y=f(χ)的均差 f(χo , X 1, χ2)=14∕3， X 2, X 3)= 15/3， f(x 1, f(X 2, X 3, X 4)=91∕15， f(X 0, X 2, X 3)= 18/3 ,那么均差 f(X 4, X 2, X 3)=( A.15/3 B. 18/3 C. 91/15 D. 14/3 4. Cr ) 么 C 34） 二（ ）。 7 16 A. B. 90 45 2 7 16 2 39 C. D. 1 -■ ― — — 15 90 45 15 90 已知n=4时牛顿-科茨求积公式的科茨系数 5?用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是（ (4) C 0 X A. e -x-1 =0,[1,1.5],令 X k^e Xk -1 3 B. X 2 1 -X -1 =0,[1?4,1?5],令 X k 1 =1 二 X k 1. 数值X*的近似值 x=0.1215 ×0-2,若满足 X - X -(),则称 X 有4位有效数字。 A. C. 1 10j 2 1 10^ 2 B. D. 1 10-4 2 1 10? 2 2.设矩阵 10 -2 10 「一1 -2 -们 -1 ,那么以 5 为系数矩阵的线性方程组 AX=b 的雅可比迭 代矩阵为（
《计算机电路基础(1)》第1页 《计算机电路基础(1)》第2页(共2页) 计算机数学基础 B 卷答案 一、选择题（每小题5分，共35分） 1、A; 2、D; 3、B; 4、D; 5、C; 6、D; 7、D 二、问答题（每小题15分，45分） 1、确定函数32)(x x f =的单调区间。 解：该函数的定义域为),(+∞-∞。 332 )('x x f =，易见,当0=x 时，函数的导数不存在，在),(+∞-∞内，函数的导数没有等于零的点。但0=x 是使导数不存在的点，它把函数的定义域（),+∞∞-分成两个部分区间(,0]-∞及[0,)+∞，列表讨论如下 ｘ (,0)-∞ (0,)+∞ )('x f － ＋ )(x f ↘ ↗ 由上述讨论知，函数)(x f 在]0,(-∞上单调减少；在),0[+∞上单调增加。 2、讨论函数3)(x x f =的单调性． 解：该函数定义域为23)(),,(x x f ='+∞-∞．显然，除了点0=x 使0)(='x f 外，在其余各点处均有0)(>'x f ．因此，函数3)(x x f =在区间]0,(-∞及),0[+∞内都是单调增加的，从而在整个定义域),(+∞-∞内是单调增加的。 3、求出函数593)(23+--=x x x x f 的极值． 解：（1）)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f （2）令0)3)(1(3=-+x x ，求出驻点3,1=-=x x （3）由)3)(1(3)(-+='x x x f 来确定)(x f '的符号 当1-
计算机数学基础（2）期末复习指导 Ⅰ、计算机数学基础(2)考核说明 数值分析部分 1．《计算机数学基础》是开放教育本科计算机科学与技术专业学生必修的一门专业基础课程，是学习专业理论必不可少的数学工具。通过本课程数值分析部分内容的学习，使学生掌握数值分析的基本概念和基本方法，进一步提高使用计算机进行科学和工程计算的能力。课程的结业考核，考核合格水准应达到高等学校该专业本科教育的要求。 本考核说明是以本课程的教学大纲和指定的参考教材任现淼主编、吴裕树副主编的《计算机数学基础(下册)一数值分析与组合数学}(中央广播电视大学出版社出版)为依据制定的。 2．考核对象 开放教育试点计算机科学与技术专业(试卷代号：4012)学生。 3．考核要求分三个层次，有关概念、性质和定理等理论方面的要求从高到低为理解。了解和知道：有关方法、公式和法则等的要求从高到低为熟练掌握，掌握和会。 4．本课程的结业考核实行形成性考核和期末结业性考试。形成性考核占结业考核成绩的20％，即形成性考核的成绩满分为20分；期末结业性考试成绩占结业考核成绩的80％，即期末考核成绩满分80分。结业考核成绩满分100分，60分为合格。 5．试题题型 一、单项选择题（15分左右）、二、填空题（15分左右）、三、计算题(每小题15分，共60分)、四、证明题(本题10分)。 Ⅱ、考核内容与考核要求 第9章数值分析中的误差 考核知识点 1．误差的来源与基本概念 2．数值计算中的若干准则 考核要求 1．了解误差分析的基本意义及其重要性。 2．知道产生误差的主要来源。 3．了解误差的基本概念：绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限、有效数学等。 4．了解数值计算中应注意的几条原则。 第10章线性方程组的数值解法 考核知识点 1．高斯消去法 2．迭代法 考核要求 1．了解线性方程组高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。 2．掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯——赛德尔迭代法。 3．知道线性方程组迭代解的收敛概念和上述两种迭代法的收敛性。 第11章函数插值与最小二乘拟合 考核知识点
2011年数学基础课程答案解析 一、用逻辑符号表达下列语句（每小题2分，共4分） 1. 有些人运气好，但并非所有人都运气好。 解：设M (x )：x 是人，R (x )：x 运气好，N （x ，y ）：x 与y 不相同， 则原语句可表示为：?x ?y （N （x ，y ）∧M （x ）∧M (y )∧R （x ）∧?R (y )） 注：全句必须写成一个句子，否则扣0.5分 2. 不管黄狗还是花狗，能够看家护院就是好狗。 解：设G （x ）：x 是狗，Y （x ）：x 是黄色的，H （x ）：x 是花色的，M （x ）：x 能看家护院， N （x ）：x 是好狗，则原语句可表示为：?x （G (x )∧（Y (x )∨H (x )）∧M (x )→N （x ）） 注：也可以直接用谓词分别定义x 是黄狗、花狗 二、填空题（每小题2分，共12分） 1. 设{}{}1,2,3,4,,,A B a b c ==，从A 到B 不同的二元关系共有_________个。从A 到B 不同的函数共有_________个。 答案：4096，81 解析：|A ?B|=|A|?|B|=12，因此从A 到B 的有序对有12个，这些有序对组成的集合的任何 一个子集都是一个二元关系，因此从A 到B 不同的二元关系共有122=4096个。 因为|A|=4，|B|=3，因此从A 到B 不同的函数共有34=81个。 2. 设A n =（即集合A 的基数为n ），问在A 上有_________个不同的对称关系。 答案：222n n + 解析：A 上的关系可以由一个n n 的关系矩阵表示，对称关系要求A 中元素满足a ij =a ji ，因此关 系矩阵由矩阵的n 个主对角线元素和右上三角部分的22 n n -个元素来确定，而每个元 素可取0或1，所以A 上不同的对称关系个数为222 n n +。 3. 对6123(23)x x x -+进行展开合并同类项后，32123x x x 的系数是_________。