数学建模一周论文论文题目：野兔生长问题
姓名1：李坤鹏学号：1020560132
姓名2：方扬学号：1020560113
姓名3：谭小丁学号：1020560114
专业：材料化学
班级：10205601
指导教师：樊健秋
2012年06年08 日
摘要
本题研究的是某地区的野兔生长问题，题目已给出连续十年的统计数据，分析数据可得野兔的生长规律。题目要求指出哪些年野兔的增长有异常现象并预测T=10时野兔的数量。
假设野兔生长的条件是在无外界干扰的完美条件下（即不考虑外界因素对野兔繁殖的影响），该种群的成长曲线应该为对数型增长。但依题意可知，野兔增长先是成对数增长后来趋于平缓，变化幅度不断降低，这说明野兔生长并不是处于理想的情况下的，考虑到自然的各种原因，诸如，环境条件因为兔群激增而变得恶劣，天气的变化，天敌的增多等等。
对于这种种群生态学问题，我们可以用Logistic（逻辑斯蒂方程）模型来模拟。Logistic模型是种群生态学的核心理论之一，它可以很好的表示生物种群的生长规律，动态的表示生物种群的增减情况，例如兔子。
由于野兔生长问题相对简单，其涉及的内容和有求也相对较少，并且该问题概过了种群在生态中生长问题。根据逻辑斯蒂方程，以及建立一只双曲线右支可以预测出在T=10时，野兔数量为10.8156十万只。
关键字：logistic生物模型预测生长规律预测数量
一、问题的重述
在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下
分析该数据，得出野兔的生长规律。并指出在哪些年内野兔的增长有异常现象，预测T=10 时野兔的数量。
首先，野兔是生长在自然环境中的。自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈对数增长的。现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=1,2.31969；T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495，呈类J 型增长，说明兔子数量不多受内外因素的因数影响不明显。第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降呈类S型增长，说明其间有影响野兔生长的因素存在
我们探讨了其中的因素：
（1），兔子的内部矛盾，兔子之间因为食物的减少而引发争斗等。
（2），自然环境的恶化，比如说兔子的激增使粪便数量大大增加是环境变得恶劣，不在适合兔子的生存；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。
（3），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。
（4），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。。（5），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少；捕杀。
考虑到上述因素，野兔的生长就不能完全用一个Logistic模型来模拟
二、问题假设
（1）,假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。
（2），假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。
（3），假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。
（4），假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构； （5）假设野兔性别比接近1：1，且采用措施维持这个比列。 那它是可以用Logistic 模型来模拟的。
三、符号说明
表示兔子的死亡率
—表示兔子的出生率—表示年份
—表示兔子的数量—b a t x
四、问题分析
根据数据中野兔生长数量增长规律，对于生物增长模型，我们可以考虑到logistic 模型，因为此种模型曲线是单调递增的，但是表格中明显不是单调的，于是可以分三段讨论，由统计数据可以客观得到如下结果：
T=0、1、2、3时种群数量单调上升，对于生物增长模型可考虑到logistic 模型 T=3、4、5、6时种群数量单调递减，是一种反常现象，仍可考虑logistic 模型 T=6、7、8、9时种群数量单调上升，对于生物增长模型可考虑到logistic 模型
五、模型建立与求解
对于生物模型，首先考虑的是logistic 模型，考虑到logistic 模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。
第一单调增区间
第一单调减区间
第二单调增区间
对于logistic 连续模型，设微分方程为
)1(d d bx ax t
x
-=，0)0(x x =, )0,/1,0(00>≠x b x （1）
其中参数a ，b 需要通过拟合得到。 （1） 的解为
)
exp(11
)(0at b x b t x -???
?
??-+=
. （2）
设已知连续三年的数据)(),(),(321t x t x t x ，其中01223>=-=-T t t t t ，则由（2）得方程组
??????
?????=--????
??-+=--???? ??-+=-???? ??-+310
210
110
1
)2exp(11)exp(11
)exp(1x aT at b x b x aT at b x b x at b x b (3) 这三个方程中有三个未知量0,,x b a 可以解出a ，b 如下: 将（3）中第一式代入第二、三式消去x0， 得
??????
?-=-???? ??--=-???
? ??-b x aT b x b x aT b x 31211)2exp(11
)exp(1 (4)
消去a 后得b 满足的方程
2
2
31111???? ??-=???? ??-???? ??-b x
b x b x (5) 解得
)2()(31213223
122x x x x x x x x x x b -+-=
. (6)
代入(4) 的第一式得a 满足的方程
T x x x x x x a ?
??? ??--=
)()(ln 231123 (3)
求参数a ，b 的MATLAB 程序 Function [a ，b, q]=hare(p ，T)
% 输入单调的连续三年数量p 和时间间隔T(本题T=1), 输出参数 a, b 和下一年的数量q
a=log(p(3)*(p(2)-p(1))/(p(1)*(p(3)-p(2))));
b=(p(2)^2-p(3)*p(1))/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3))/p(2); q=1/(b+(1/p(3)-b))*exp(-a*T)）;
在第一个上升阶段, 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a ，b 值
0.99999629543280 0.09999899065418 1.00000189673056 0.10000006995945
在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a ，b 值
0.49999951470301 0.20000005321601 0.49998396474656 0.20000085565547
在第二个上升阶段，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a ，b 值
1.00000508717411 0.10000005796845 1.00000975640180 0.10000014562299
当取a, b 为最后一组数据时，t=10 时由(2) 得到预测数为9.84193（十万）,当取a=1，b=0.1 时，预测数为9.84194（十万）.
结论是：
在 T=0 到T=3 之间增长规律为logistic 模型：
)1.01(d d x x t
x
-=. 在 T=3 到T=6 之间增长规律有异常情况, 但仍为logistic 模型；：
)2.01(5.0d d x x t
x
-=. 在 T=6 到T=9 之间增长规律恢复为logistic 模型：
)1.01(d d x x t
x
-=. 在T=10 时, 在正常情况下, 野兔数量为 9.84194（或9.84193）（十万）只.
六．模型的误差分析
这里我们需要讨论几个造成模型误差的问题，它们都很有实际意义。一
个是模型对初值的依赖性问题，另一个是模型对参数选取的依赖性问题。
七、模型的评价与应用
评价：
模型的优点 由该模型建立所得到的野兔生长繁殖数量一定程度上可以较好的模拟野兔的生长规律，在一定范围内的环境影响内较为适用，并能较为准确的预测一段时间内野兔数量，模型是严格根据统计学中相关知识而制定，数据是根据该地区连续10年野兔生长统计数据得到的，所以该模型有较高的科学性。本模型在模拟野兔的生长方面通过不同的时期段进行拟合，较为充分的体现在不同环境下的生长的情况，能够根据不同的环和情况，选择不同的阶段的模型来对野兔的生长情况进行模拟！这样对野兔的繁衍有着更好的监控提供依据和科学的预测！综合运用了多个软件，准确求解。对结果的预测符合实际，是可行的。
模型的缺点 野兔的增长受多方面因素影响，不可能为定值。为方便求解，我们假定野兔的自然增长率为一定值，这样会造成一定的误差。只能在问题假设的情况下拟合，一旦环境改变为模型没有包括的情况，则此时的模型就不可以对野兔的生长进行有效的拟合，简而言之就是不可以用此模型来预测野兔的繁衍！在这种情况情况下只有实际抽样的方法才可确定！
应用：
通过该模型，我们可以掌握该地区野兔生长规律，并可以预测该地区未来年间野兔发展数量，对有关部门搞好农业工作和保护生态平衡等工作可以提供帮助，因此，通过我们进一步优化，此模型应该有可观前景，会越来越多的用于实际工作中。如果考虑有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系。竞争力较强的种群最终会达到环境容许的最大数量，我们可以从稳定状态的角度分别讨论这些关系。
八、参考文献
（1）、曹光四，邹晓明，《统计学原理》，上海：立信会计出版社，2005，6 （2）、朱建清，《数学建模方法》，郑州大学出版社，2005，9
（3）、赵静，《数学建模与数学实验》，高等教育出版社，2003，6
(4) 袁震东，束金龙，蒋鲁敏。数学建模简明教程[M]. 上海：华东师范大学出版社，1997.
(5) 罗万成。大学生数学建模案例精选[M]. 成都：西南交通大学出版社，2007。
(6) 姜启源，谢金星，叶俊。数学模型[M]。北京：高等教育出版社，2003.
关于小学数学中的相应量和相应分率的问题 大家好，我是名小学六年级的学生，现在再学习十一册分数应用题了，老师说很重要，我也再认真的学，但当老师讲到分数应用题中，对应量除以对应率。这我不懂。 （————例如：例:甲．乙两仓库存货吨数比为4：3，如果从甲库中取出8吨搬到乙库，则甲，乙两仓库存货吨数比4：5，甲仓库原存货多少吨？ 老师讲的：从甲仓库取出8吨搬到乙仓库,甲仓库减少了8吨,乙仓库增加了8吨。但是总题没有变化。所以，把两个仓库的总量看作单位“1”。 （1）由甲．乙两仓库存货吨数比为4：3。可知： 甲原来占两个仓库总量的4/（4+3）=4/7 乙原来占两个仓库总量的3/（4+3）=3/7 （2）如果从甲库中取出8吨搬到乙库，则甲，乙两仓库存货吨数比4：5。可知 甲仓库现在存货占总量的4/（4+5）=4/9 乙仓库现在存货占总量的5/（4+5）=5/9 所以：两个仓库存货总量是8/（4/7-4/9）=63（吨） 甲仓库原存货：63*4/7=36（吨）-------） 前面两步我懂，就是这步：两个仓库存货总量是8/（4/7-4/9）=63（吨），我没看懂，为什么对应的量除以对应的率就等于总量啊？如果是的话你能不能举个浅显易懂的例子呢？谢谢拉。还有就是：是不是所有的应用题中，都可以拿对应的量除以对应的率就等于总数啊？
最佳答案 首先，要指出，对应量除以对应分率并不一定就是总数。 正确的说法是用对应量除以对应分率是单位“1”的量。至于为何对应量除以对应分率就是单位“1”的量呢？可以从以下例子中去理解一下：例如：白兔的4/5是灰兔，灰兔有36只，白兔有多少只？ 题中数量关系是（白兔数量×4/5=灰兔数量） 题中单位“1”是白兔数量， 根据乘法各部分间的关系，可以得出：白兔数量= 灰兔数量÷4/5，其中灰兔数量对应的分率即为4/5。用对应量除以对应分率就是单位“1”的量，也就是白兔的数量。 再如：甲的1/2是4，求甲？ 列式4（对应量）÷1/2（对应分率）=8（单位“1”，即甲） 1/2这个分率对应的数量是4。 关系式：甲×1/2=4——→4÷1/2=甲 至于题中出现的“两个仓库存货总量是8/（4/7-4/9）=63（吨）”可以这样理解， 甲原来占存货总量的4/7，现在占存货总量的4/9，它占的分量为何减少了，即是因为它拿出去了8吨。 所以可以看出，这8吨就占存货总量的4/7-4/9， 根据数量关系，可以得出：8=存货总量×（4/7-4/9），也就是，存货总量=8/（4/7-4/9）。 最后一部还可以这样列式：8/（5/9-3/7）=63（吨）考虑方法同上。
数学建模论文
《数学建模》(2014春)课程期末论文 摘要 （一）对于问题一：自然科学中存在许多变量，也有许多常量，而我们要善于通过建立合适的模型找到这些变量之中的不变量。 猎狗追赶兔子的问题是我们在生活中常见的实例，而题目把我们生活中的普通的例子抽象成为高等数学中微分方程的例子，通过对高阶微分方程的分析，建立微分方程模型，并用数学软件编写程序求解，得出结论，解决生活中常见的实际问题。 （二）对于问题二：学习使用matlab进行数学模型的求解，掌握常用计算机软件的使用方法。 关键词 微分方程导数的几何意义猎狗追兔子数学建模数学软件
一、问题重述 如图1所示，有一只猎狗在B 点位置，发现了一只兔子在正东北方距离它250m 的地方O 处，此时兔子开始以8m/s 的速度正向正西北方向，距离为150m 的洞口A 全速跑去. 假设猎狗在追赶兔子的时候，始终朝着兔子的方向全速奔跑。 请回答下面的问题： ⑴ 猎狗能追上兔子的最小速度是多少？ ⑵ 在猎狗能追上兔子的情况下，猎狗跑过的路程 是少？ ⑶ 假设猎狗在追赶过程中，当猎狗与兔子之间的 距离为30m 时，兔子由于害怕导致奔跑速度每秒减半， 而狗却由于兴奋奔跑速度每秒增加0.1倍，在这种情 况下回答前面两个问题。 二、问题分析与假设 在猎狗追赶兔子的时候猎狗一直朝着兔子的方向追赶，所以可以建立平面直角坐标 系，通过导数联立起猎狗运动位移，速度和兔子的运动状态。 1.假设兔子的运动是匀速的。 2.假设猎狗的运动轨迹是一条光滑并且一阶导数存在的曲线。 3.猎狗的运动时匀速或者匀变速的。 4.猎狗运动时总是朝向兔子。 三、模型的建立及求解 3.1 符号规定 1.（x ，y ）：猎狗或者兔子所在位置的坐标。 2. t ：从开始到问题结束经过的时间。 3. a:猎狗奔跑的路程。 4. v:猎狗的奔跑速度。 3.2 模型一的建立与求解 猎狗能够抓到兔子的必要条件：猎狗的运动轨迹在OA 要有交点 以OA 为y 轴，以OB 为x 轴建立坐标系，则由图有 O(0，0)，A(0,150),B(250，0)，兔子的初始位置0点,而猎狗初始位置是B 点，t （s ）后猎狗到达了C （x ，y ），而兔子到达了D （0，8t ），则有CD 的连线是猎狗运动轨迹的一条切线，由导数的几何意义有 ： N W
猎狗追兔问题 教学目标 1．通过本讲学习要学生学会对行程问题中单位进行统一； 2．追及问题在分数应用题的理解与应用； 3．能够理解比例及相关知识的初步引入； 4．解题中追及问题公式、比例(或份数)等知识点的结合； 5．统一及转化思想的应用。 知识精讲 一、猎狗追兔的出题背景 猎狗追兔是奥数中行程问题的一种，它与一般的行程问题有着某种相通性。 解题关键：行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。 通常我们遇到的题给的都是通用单位，如米、公里等等，这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位，关键就在于将这两者统一，作行程问题最好能够脱离题海，要多注意总结，体会思想方法！很多看似无关的题目，实质思想是相通的！ 二、猎狗追兔问题 问题叙述：兔子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位：米或千米等，但这类题中狗步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利用追及问题公式“路程差÷速度差=追及时间”求解。 单位的统一：在猎狗追兔的问题中，狗步与兔步之间在距离上有一定关系。 例如：相同路程内，猎狗跑四步(狗步)＝兔子跑七步(兔步)，据此可以求出狗步与兔步的比，相同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑3步(兔步)，猎狗跑2步(狗步) 进而可以求出兔子与猎狗的速度，即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步) 关键：具体是统一为狗步或兔步，要视路程差的单位而定，若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步，反之统一为兔步。若路程差为米或千米，则统一成狗步或兔步都行。 例题精讲 【例 1】猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步? 【考点】行程问题之猎狗追兔【难度】3星【题型】解答 【解析】方法一：“猎狗前面26步……”显然指的是猎狗的26步。因为题目中出现“兔跑8步的时间……” 和“兔跑9步的距离……”，8与9的最小公倍数是72，所以可以统一在“兔跑72步”这个情况下考虑.兔跑72步的时间狗跑45步，兔跑72步的距离等于狗跑32步距离，所以在兔跑72步的时间里，狗比兔多跑了45—32=13(步)的路程，这个13步是猎狗的13步. 由此推知，要追上26(狗)步，兔跑了72×(26÷13)=144(步)，此时猎狗跑了5×(144÷8)=90(步).
狼追兔子的问题 摘要： 数学建模可以使抽象的问题用数学符号和语言清楚的表达出来。针对此题是高阶常微分方程问题。此例问题虽然问法多样，但解法基本一致，这道题狼和兔子在运动过程中属微分方程模型与一阶常微分方程。 狼追兔子问题来源很久，早在几百年前就有人在研究他，由于数学的发展水平不是很高和软件的局限，所以没有研究透彻。如今随着数学学科的发展和应用软件的飞速发展，对于这个的研究已进入新阶段。 由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。建立二者的运动微分方程，计算它们的运动轨迹，用软件MATLAB求解微分方程模型。计算出兔子是否安全回到自己的巢穴。 1.1.1 问题的来源及意义： (一) 问题重述与分析: 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。 假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴 （二）题起源于导弹跟踪问题，与狼追兔子问题在解决方法上是大致一样的。 导弹跟踪的研究对于再军事上有很重要的意义。将导弹跟踪问题能简化为狼追兔子问题，都是高阶常微分方程模型，要涉及常微分方程，学会在实际问题中运用数学方法建模和求解。 1.1.2问题的分析： 饿狼追兔问题一阶微分方程初值问题数值解。 兔子它的洞在距离它现在吃草处正北方的60米处,在兔子的正东面100米处有一头饿狼正潜伏着观察兔子多时了兔子发现了狼的存在.兔子拼命的沿直线向洞逃跑,兔子知道不赶快进洞命休已,狼和兔子同时启动并且死死盯着兔子扑去.兔子跑的虽然快,但狼的速度是兔子速度的2倍.假如兔子和狼都匀速运动. 为了研究狼是否能够追上兔
一、 相遇与追及 1路程和路程差公式 【例11如下图，某城市东西路与南北路交会于路口 A .甲在路口 A 南边560米的 B 点, 乙在路口 A ?甲向北，乙向东同时匀速行走. 4分钟后二人距 A 的距离相等?再继续行 走24分钟后，二人距 A 的距离恰又相等?问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【题型】解答 【考点】行程问题 【难度】3星 【关键词】2003年，明心奥数挑战赛 【解析】 本题总共有两次距离 A 相等，第一次：甲到 A 的距离正好就是乙从 A 出发走的路 程.那么甲、乙两人共走了 560米，走了 4分钟，两人的速度和为： 560 4 140 （米/分）。第二次：两人距 A 的距离又相等，只能是甲、乙走过了 以北走的路程 乙走的总路程.那么，从第二次甲比乙共多走了 20（米份），甲速 20 ,解这个和 60（米/分）. A 点，且在A 点 米，共走了 140 ,显然 题，甲速 560 4 24 28（分钟），两人的速度差： 甲速要比乙速要快；甲速 （140 20） 2 80（米 / 分），乙速 【答案】甲速80米/分，乙速60米/分 2、多人相遇 【例21有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米.现 在甲从 东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇 6分钟后，甲 又与丙相遇.那么，东、西两村之间的距离是多少米 ？ 行程问题 【难度】2星 甲、丙6分钟相遇的路程： 560 28 140 80 乙速 【考点】 【解析】 100 75 甲、乙相遇的时间为： 1050 80 75 东、西两村之间的距离为: 100 80 【题型】解 答 6 1050 （米）; 210（分钟）; 210 37800 （米）. 【答案】 3、多次相遇 【例31甲、乙两车分别同时从 A 、B 两地相对开出，第一次在离 A 地95千米处相遇.相 遇后继续 前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地25千米处相遇.求 A 、B 两 地间的距离是多少千米？ 【考点】行程问题 37800米 【难度】2星 【题型】解答 【解析】画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线 ） ： B ■车 处2次制遇
数学模型--狼追击兔子的问题 一、问题重述与分析 （一）问题描述 神秘的大自然里，处处暗藏杀机，捕猎和逃生对动物的生存起着至关重要的作用，而奔跑速度和路线是能否追上和逃生的关键因素。 狼追击兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？ 为了研究狼是否能够追上兔子，可以先考虑求出狼追兔子形成的追击曲线，然后根据曲线来确定狼是否能够追上兔子。 （二） 1、本题目是在限定条件下求极值的问题,可以通过建立有约束条件的微分方程加以模拟。 2、通过运用欧拉公式及改进欧拉公式的原理,结合高等数学的有关知识,对微分方程进行求解。 3、将数学求解用Matlab 4、最后解方程的解结合实际问题转化为具体问题的实际结果。 二、变量说明 v：兔子的速度（单位：码/秒） 1
r ：狼与兔子速度的倍数； 2v ：狼的速度（单位：码/秒），显然有12rv v = t ：狼追击兔子的时刻（t =0时，表示狼开始追兔子的时刻） 1s ：在时刻t ，兔子跑过的路程（单位：码），)(11t s s = 2s ：在时刻t ，狼跑过的路程（单位：码），)(22t s s = Q ),(11y x ：表示在时刻t 时，兔子的坐标 P ),(y x ：表示在时刻t 时，狼子的坐标 三、 模型假设 1、狼在追击过程中始终朝向兔子； 2、狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P ),(y x 的轨迹看作一条曲线，曲线方程表示为)(x y y =。 3、 四、 模型建立 （一）建模准备 以t ＝0时，兔子的位置作为直角坐标原点，兔子朝向狼的方向为x 轴正向； 则显然有兔子位置的横坐标01=x 。 对狼来说，当x ＝100，y ＝0，即0100==x y 在t ＝0刚开始追击时，狼的奔跑方向朝向兔子，此时即x 轴负方向， 则有 0100='=x y （二）建立模型
《金融建模与计算》课程教学大纲 课程编号：0712020235 课程基本情况： 1. 课程名称：金融建模与计算 2. 英文名称：Financial Modeling and Computing 3. 课程属性：专业选修课 4. 学分：3 总学时：51 5. 适用专业：应用统计学 6. 先修课程：数学分析、概率论与数理统计 7. 考核形式：考查 一、本课程的性质、地位和意义 《金融建模与计算》是应用统计学专业的一门专业选修课，《金融建模与计算》这门课程是以解决金融研究和实际问题为出发点，给出了算法和实现程序，选择SAS软件作为应用平台，要求学生有金融学、概率统计基础和SAS编程技能。课程分为三个部分：金融学基础指标计算实验、风险度量实验和金融产品定价实验，每个部分包括三个模块：金融理论与模型、算法实现及计算程序，该课程注重模型及其算法的介绍，旨在提高学生实际应用数学知识的能力。 二、教学目的与要求 通过对金融建模与计算的学习，使得学生掌握金融学基础指标计算实验、风险度量实验和金融产品定价实验三个部分的金融理论与模型及其对应的SAS算法实现和计算程序，在金融理论、实务和统计模型的基础上，更深入到如何实现和应用。 三、课程教学内容及学时安排 按照教学方案安排，本课程安排在第6学期讲授，其中课内讲授29学时，实践课22学时，具体讲授内容及学时安排见下表： 1. 参考教材 廖文辉，张学奇编著，金融计算与建模实验，经济科学出版社，2010 2. 参考书目 [1] 朱世武主编，金融计算与建模：理论、算法与SAS程序，清华大学出版社，2007 [2] 朱顺泉主编，金融财务建模与计算，电子工业出版社2009 第1部分金融学基础指标计算实验(20学时) 【教学目的与要求】 1. 理解股票收益、固定证券收益、收益波动等相关概念； 2. 掌握各类收益率计算的金融理论与模型； 3. 掌握各类收益率计算的算法实现及其计算程序. 【教学重点】 1. 股票收益、固定证券收益、收益波动等相关概念；
《数学建模》上机作业 信科05-3 韩亚 0511010305
实验1 线性规划模型 一、实验名称：线性规划模型—设备的最优配备问题。 二、实验目的：掌握线性规划模型的建模方法，并能用数值算法或MATLAB 库函数求解。 三、实验题目：某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。 四、实验要求： 1、若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型。 2、利用相应的数值方法求解此问题的数学模型。 3、谈一谈你对这类线性规划问题的理解。 4、举一个简单的二维线性规划问题，并针对此问题将你所了解的线性规划的求解方法作出总结。 5、用软件lindo 或lingo 求解上述问题。（选做题） 6、编写单纯形算法的MATLAB 程序。（选做题） 五、实验内容： 解：设第i 个月进货xi 件，销售yi 件，则下半年总收益为销售收入减去进货费和仓库储存费之和，所以目标函数为： 12 11109871211109711109871211109875.232427252628252528262729) 2345(5.0)2345)300(6(5.07x x x x x x y y y y y y y y y y y x x x x x x z y ------+++++++++++++++++-= 整理后得： 900 24255.28275.2831255.25295.27295.31121110987121110987-------+++++=x x x x x x y y y y y y z 由于仓库的容量为1500件，每个月的库存量大于0，小于1500，所以有如下约束条件
北师大版小学二年级数学下册应用题大全及解析答案 一、北师大小学数学解决问题二年级下册应用题 1．收萝卜。 （1）小灰兔的地里收了多少个萝卜？ （2）小白兔和小灰兔的地里一共收了多少个萝卜？ 2．买电器。 （1）妈买一个电饭煲、一部手机和一部电话，共需支付多少元？ （2）一台电视比一个电饭煲贵多少元？ 3．植树节期间，育才小学二年级同学植树253棵，三年级同学植树315棵，四年级同学植树423棵。 （1）问题：？ 315-253= 竖式计算： （2）问题：？ 423-315= 竖式计算： （3）请你再提出一个问题并解答。 问题： 列式： 竖式计算： 4．作息时间表
（1）吃早饭用了多少分？ （2）读书和锻炼身体共用了多长时间？ 5．圈出小兔子拔萝卜的时间。 6．要把14辆玩具车放进盒子里。 （1）如果一个盒子里最多放3辆，至少需要几个盒子？ （2）如果放在2个大盒子里，第一个盒子放8辆，第二个盒子放几辆？7．上学去。 （1）小强到学校比小华到学校远多少米? （2）小华到小强家，叫小强一起去学校，小华一共走了多少米? 8． （1）一组柜子比一张床贵多少元钱? （2）爸爸要买一组沙发和一张床，带5000元够吗? 9．你认为怎样派车比较合理？
10． （1）20元钱刚好买5份薯条，薯条多少钱一份？ （2）小红拿20元钱买3个汉堡，应找回多少钱？ （3）买一个汉堡、一杯饮料和一份薯条，一共要多少钱？ 11．去公园划船。 （1）他们至少需要租几条船？ （2）如果每条船每时租金为4元，那么25元钱最多可以供1条船划几时？12．50个灯笼最快几天完成？ 13．小松鼠想把34颗松果全部装进盒子里，每盒最多装8个，至少需要几个盒子？14．蛋糕店开业，每桌坐6位客人。 （1）来了35位客人，至少要准备几张桌子？ （2）服务员已经准备好27杯饮品，每人一杯，这些饮品最多可分几桌？ 15．妙想和奇思一起去购物。
猎狗追兔问题是行程问题中比较典型的一类题，该类问题除考察追及问题的基本公式外，还要综合运用比例、份数等手段解决。解题思想是将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差得到追及时间，或者由速度比得出路程比，再引入份数思想，进而解决问题。以下题为例： 【例1】一猎狗正在追赶前方20米远兔子,已知狗一跳前进3米,而兔子一跳前进2.1米,但狗跳3次的时间兔子可以跳4次,问猎狗跑多少米能追上兔子? 【李老师分析】狗跳3次的时间兔子可以跳4次，设都等于一秒 则狗速度为9米/秒，兔速度为8.4米/秒，狗和兔子的速度都得以确定，接下来将是一个非常简单的追及问题，路程差为20米，可列式子20（9－8.4）=100/3（秒）能够追上兔子。用时20/(9-8.4)秒时间追上，即狗跑了9100/3=300米 从以上例题我们可以看出，解决此类问题的关键在于：根据时间相同，将其设为单位时间（1秒），问题简单解决。 我们再看下一道题： 【例2】猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离,问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少米? 【李老师分析】兔8步的时间狗跑5步,设都为1秒（一次设数） 再根据兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离 设兔子一步4米，狗一步9米（二次设数） 从而得出狗速度为45米/秒，兔速度为32米/秒 进而狗兔相距269=234米，追及时间为234(45-32)=18（秒） 兔子一秒跑8步，总共跑了918=144步 狗一秒跑45米，总共跑了4518=810米 此题不同于第一道题的地方在于并未直接告诉我们狗与兔的步长，而给出两者步长的关系，解决问题时可再一次设数，将狗与兔的数据调换，作为其步长，问题转化同例1. 根据以上两道例题，李老师做以下总结，称之为两次设数法： 猎狗追兔问题两次设数法： ①设单位时间，得出每秒几步； ②设步长，从而得出各自速度； 之后运用追及基本公式解决。但要注意开始时的距离是步长还是米，以及最终所问的是米还是狗步或兔步。 记住以上方法，猎狗追兔问题轻松解决。 【练习】猎狗发现离它110米处有一只奔跑的兔子，马上紧追上去，猎狗跑5步的距离兔子要跑9步，猎狗跑2步的时间兔子要跑3步，问猎狗跑多远才能追上兔子？
学校 班级＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 学号＿＿＿＿＿＿＿＿ … … … …… … … … … … … … 装 … … … … … … … … … … … … … … 订… … … …… … … …… … …… … … … 线 … … … … … …… … … …… …… … … … …… …… 六年级数学下册第四单元比例测试卷 成绩 一、填空题。 1、比例6:3=48:24写成分数的形式是（ ），根据比例的基本性质，写成乘法等式是（ ）。 2、把0.5×80＝4×10改写成比例式，可能是（ ）。 3、在比例35：10=21：6中，如果将第一个比的后项增加30，第二个比的后项应该加上（ ）才能使比例成立。 4、大圆直径是4厘米，小圆直径是2厘米，大圆和小圆面积最简单的整数比是（ ）。 5、白兔与灰兔只数的比是7∶6,白兔56只,灰兔（ ）只。 6、一幢楼的模型高度是7厘米，模型高度与实际高度的比是1∶400，楼房的实际高度是（ ）米。 7、甲数的54相当于乙数的32，甲数与乙数的比是（ ）。 8 、地图上的线段比例尺是，那么图上的1厘米表示实际距离（ ）千米；如果实际距离是450千米，那么在图上要画（ ）厘米；把这个线段比例尺改写成数值比例尺是（ ）。 9、在括号里填上适当的数。 （）14=37 0.5：（ ）=（ ）：12 10、在比例尺为1:2000的地图上，8厘米的线段代表实际距离（ ）千米。 11、在4:9中，如果比的前项减少2，要使比值不变，比的后项应该减少（ ）。 二、判断题。 1、比例尺只有数值比例尺。
（ ） 2、两个比可以组成一个比例。 （ ） 3、在比例里，两个内项和外项的积的比值一定是1。 （ ） 4、比的前项和后项同时乘上同一个数，比值不变。 （ ） 5、把一个比的前项扩大2倍，后项缩小2倍，这个比的比值不变 （ ） 三、选择题。 1、下面两个比不能组成比例的是（ ） A 、10:12和35:42 B 、4：3和60：45 C 、20:10和60:20 2、实际距离一定，比例尺扩大到原来的5倍，图上距离（ ） A 、不变 B 、扩大到原来的5倍 C 、缩小到原来的5 1 3、一个长方形游泳池，长50米，宽30米。选用比例尺（ ）画出的平面图最 大，选用比例尺（ ）画出的平面图最小。 A 、1:1000 B 、1:1500 C 、1:500 4、小洋家客厅长5米，宽3.8米，画在练习本上，选用比例尺（ ）较合适。 A 、10 1 B 、1001 C 、 5、一个长4cm ，宽2cm 的长方形按4∶1放大，得到的图形的面积是（ ）cm 2。 A 、32 B 、72 C 、128 6、在比例尺是8：1的图纸上量的一个零件的长度是12厘米，这个零件实际长 （ ）。 A 、1.5 厘米 B 、0.96米 C 、9.6厘米 7、甲数比乙数多80％，乙数与甲数的比是（ ）。 A 、5∶4 B 、4∶5 C 、9∶5 D 、5∶9 四、解比例。 31:x =25% ：45 x ：：412 141= 928=x 75.0:53:8.0= x 217.035x =
1.猎犬发现在离它9米远的前方有一只奔跑的兔子，立刻追赶，猎犬步子大.它跑5步的路程，兔子跑9步，但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子跑3步，猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 思路一：狗5步＝兔子9步步幅之比＝9：5 狗2步时间＝兔子3步时间步频之比＝2：3 则速度之比是92：53＝6：5 这个9米应该是9步单位好像错了 是指狗的9步距离 69/(6－5)＝54步 思路二： 速度＝步频步幅 猎犬：兔子＝29：35＝18：15，18－15＝3， 93＝3 183＝54 2.猎狗发现离它110米处有一只奔跑的兔子，马上紧追上去，猎狗跑5步的距离兔子要跑9步，猎狗跑2步的时间兔子要跑3步，问猎狗跑多远才能追上兔子？ 答案：设狗的步进为L1，兔子为L2，狗的跑步频率为f1，兔子为f2，显然有：L1/L2=9/5，f1/f2=2/3又设狗的速度为v1，兔子为v2，则v1/v2=(L1*f1)/(L2*f2)=6/5设狗跑了x米追上兔子，则因为时间相等，有：x/v1=110/(v1-v2)所以：x=110*v1/(v1-v2)=110/(1-v2/v1)=660狗要跑660米设：猎狗跑1步的距离x米，兔子跑1步的距离y米，猎狗跑a米远才能追上兔子∵猎狗跑5步的距离兔子要跑9步5x=9y∵猎狗跑2步的时间兔子要跑3步，而猎狗与兔子跑的时间相等a/2x=a-110/3y解┌5x=9y└a/2x=a-110/3y得(步骤略)a=660答：猎狗跑660米远才能追上兔子。 3.猎狗前面26步远的地方有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但兔跑9步的距离仅等于狗跑4步的距离。问兔跑几步后，被狗抓获？ 答案： 解法一：设兔的步长为1，则狗的步长为9/4，兔跑一步的时间为1，则狗跑一步的时间为8/5。269/4(9/48/5－1)=144(步) 解法二：设狗的步长为1，则兔的步长为4/9，设兔跑一步的时间为1，则狗跑一步的时间为8/5。26(18/5－4/9)＝144（步） 4.猎犬发现在离它10米的前方有一只奔跑的兔，马上追.猎犬的步子大，它跑5步等于兔跑9步，兔子动作快，猎犬2步时它能跑3步，猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 答案： 解法1：由猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步可知当猎犬每步a米，则兔子每步5/9米。由猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a 米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完。 解法2：在相同的时间里，狗跑的路程与兔子跑的路程的比是：92∶53=6：5狗跑6份可以追上兔子1份把10米看成1份，狗要跑106＝60米 5.猎人带狗去打猎。发现兔子跑出去70米时，猎狗立即去追兔子。猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑7步的距离兔子跑13步。那么猎狗跑多少米才能追上兔子？ 答案： 解法1：设猎狗要跑x米才能追上兔子兔与狗所用时间比为：13/3（7/2)=26/21速度比为21/26(x-70)：x=21：26x=364猎狗要跑364米才能追上兔子
C语言狼追兔子问题 一只兔子躲进了10 个环形分布的洞的某一个，狼在第一个洞没有找到兔子，就隔一个洞，到第三个洞去找，也没有找到，就隔两个洞，到第六个洞去找，以后每次多隔一个洞去找兔子……这样下去，结果一直找不到兔子，请问：兔子可能躲在哪个洞中？ 算法思想 对于本实例中提到的问题，虽然是“兔子可能躲在哪个洞中”，但是在考虑算法时，需要知道的是狼会去哪个洞找兔子，狼第一次去的洞是第一个（表示为pos1），第二次去的是第三个（pos3），把它去的洞的代码用数字表示出来，可以推导出狼去的洞的代码是：pos(i+1)=pos(i)+i+1。 由题目可知，狼没有找到兔子，因此该算法会一直持续下去。除此之外，还需要注意的是，在10 个洞之后，比如狼去找第十五个洞，但第十五个洞是不存在的，因此我们用15 对10 求余，得到的数字才是洞的标示。 程序代码 1.#include
11. lang+=i; 12. lang=lang%10; 13.} 14.for(i=0;i<10;i++) 15.if(!pos[i]) 16.printf("兔子可能在第%d洞中\n",i+1); 17.return0; 18.} 调试运行结果 通过上面的算法分析，狼在找兔子的过程中，为了达到找到兔子的目的，同时为了设计需要，增加了循环次数，最终程序的结果如下所示：
追赶曲线的计算机模拟 问题描述：欧洲文艺复兴时期的著名人物达·芬奇曾经提出一个有趣的“狼追兔子”问题，当一只兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只饿狼出现在兔子正东的100码处。兔子急忙奔向自己的洞穴，狼立即以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。兔子一旦回到洞穴便逃脱厄，问狼是否会追赶上兔子？ 这一问题的研究方法可以推广到如鱼雷追击潜艇、地对空导弹击飞机等问题上去。 在对真实系统做实验时，可能时间太长、费用太高、危险太大、甚至很难进行。计算机模拟是用计算机模仿实物系统，对系统的结构和行为进行动态演示，以评价或预测系统的行为效果。根据模拟对象的不同特点，分为确定性模拟和随机性模拟两大类。模拟通常所用的是时间步长法，即按照时间流逝的顺序一步一步对所研究的系统进行动态演示，以提取所需要的数据。 问题分析：首先计算狼的初始位置到兔子洞穴的直线距离： 116.6190D =≈ 由于狼奔跑的速度是兔子速度的两倍，兔子跑60码的时间狼可以跑120码。如果狼沿直线奔向兔窝，应该是可以追上兔子的。但是，有人推导出狼在追赶兔子过程中的运动曲线为 31221200()10303 y x x x =-+ 根据曲线方程，当0x =时，200/3y =。也就是说，在没有兔窝的情况下兔子一直往北跑，在跑到大约66码处将被狼追上。由此可知，在有兔窝时狼是追赶不上兔子的。 用计算机模拟的方法也可以得到同样的结论。取时间步长为1s ，随时间步长的增加，考虑这一系统中的各个元素（狼和兔子）所处的位置变化规律，用计算机作出模拟。最后，根据第60s 时狼所在的位置的坐标，判断狼是否能追上兔子。 问题思考与实验： （1）设兔子奔跑的速度为01m/s υ=，则狼运动的速度为102υυ=。建立平面直角坐标系，若当k t t =时刻，兔子位于点0(0,)k k Q t υ处，狼位于点(,)k k k P x y 处。试根据k P ，k Q 的坐标确定一个单位向量k e 描述狼在1[,]k k t t +时段内的运动方向。 （2）根据狼的运动方向和速度推导(,)k k k P x y 到111(,)k k k P x y +++的坐标的具体表达式； （3）用计算机绘制追赶曲线的图形（包括静态和动态的图形）。
狼追击兔子问题 已知条件：兔子位于兔子窝正南方60米处，狼位于兔子正东方80米处，狼的速度是兔子速度的二倍。狼发现兔子时兔子也发现狼，这时二者一起起跑，并且狼始终盯着兔子跑。 问题：狼是否能追击到兔子？ 在分析问题时我们先对理想条件进行判断，狼足够聪明以至于直接就看到了兔子窝，所以狼只需要直接跑直线就可以了，设兔子的速度为u ，那么狼的速度为u 2，狼距离兔子窝为1008060d 22=+=米，那么浪跑到兔子窝的时间为u /60u 2/100u 2/d t ?==，由此可知狼先于兔子跑到窝边，狼只需要守窝待兔就可以吃到兔子。 但是在现实的大自然中，我们都知道兔子不吃窝边草因此狼在机智也不可能直接发现兔子窝，兔子窝通常有两个入口，两个入口距离10米左右。 我们现在对其进行实际分析需作如下假设 （1）兔子与狼速度恒定即兔子速度为1v ，狼的速度为2v ，并且21v v 2=。 （2）离兔子最近的窝的入口位于兔子正北60米。 （3）兔子再回窝的过程中始终沿直线运动。 建立二维坐标系，取兔子初始时刻的位置上为坐标原点（0,0），兔子窝坐标为（0,60），狼的坐标为（80,0）；那么兔子的坐标位置与时间的关系为（0，t v 1）；设狼的坐标位置为（x,y ）. 由于狼始终盯着兔子跑，那么狼运动轨迹的切向方程为 ）（x dx dy y -=-X Y ……（1）（（X,Y ）为切线上的点） 那么兔子的坐标一定在切向方程上将（0，t v 1）带入（1）得到 dx dy -x y -t v 1= ……（2） 狼的速度在水平方向的分量为 dt dx v =- ……（3） 狼速度在垂直方向的分量为 dt dy v = ⊥ ……（4） 由速度合成与分解得 222dt dx dt dy v ）（）（+= ……（5） 将（2）式两边同时关于t 求导得 ）（x *dt dx *dx y d v 221-= (6)
狼追兔子的问题 1.1 摘要： 数学建模可以使抽象的问题用数学符号和语言清楚的表达出来。针对此题是高阶常微分方程问题。此例问题虽然问法多样，但解法基本一致，这道题狼和兔子在运动过程中属微分方程模型与一阶常微分方程。 狼追兔子问题来源很久，早在几百年前就有人在研究他，由于数学的发展水平不是很高和软件的局限，所以没有研究透彻。如今随着数学学科的发展和应用软件的飞速发展，对于这个的研究已进入新阶段。 由于狼要盯着兔子追，所以狼行走的是一条曲线，且在同一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线为曲线上该点处的切线。建立二者的运动微分方程，计算它们的运动轨迹，用软件MATLAB求解微分方程模型。计算出兔子是否安全回到自己的巢穴。 1.1.1 问题的来源及意义： (一) 问题重述与分析: 现有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米处。 假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全回到巢穴？ （二）题起源于导弹跟踪问题，与狼追兔子问题在解决方法上是大致一样的。 导弹跟踪的研究对于再军事上有很重要的意义。将导弹跟踪问题能简化为狼追兔子问题，都是高阶常微分方程模型，要涉及常微分方程，学会在实际问题中运用数学方法建模和求解。 1.1.2问题的分析： 饿狼追兔问题一阶微分方程初值问题数值解。 兔子它的洞在距离它现在吃草处正北方的60米处,在兔子的正东面100米处有一头饿狼正潜伏着观察兔子多时了兔子发现了狼的存在.兔子拼命的沿直线向洞逃跑,兔子知道不赶快进洞命休已,狼和兔子同时启动并且死死盯着兔子扑去.兔子跑的虽然快,但狼的速度是兔子速度的2倍.假如兔子和狼都匀速运动. 为了研究狼是否能够追上兔
小学六年级数学第三单元测评卷 学号班级姓名成绩等第 一、填空题。(每空1 分，共29 分) 1.六年级女生人数是男生人数的2，那么男生人数是女生人数的( )，女生人数是全班人 3 数的( )，男生人数比女生人数多 ( ) 。 ( ) 2.梨树与苹果树棵树的比是4∶5；如果梨树有200 棵，苹果树有( )棵；如果苹果树有200 棵，梨树有( )棵；如果两种果树一共有270 棵，则梨树有( )棵。 3.学校食堂运来一批大米，用了几个星期后，已经用去了3，剩下的是用去的( ) ，用去 7 ( ) 的比剩下的少 ( ) ，剩下的比用去的多( ) ，剩下的与已用去的比是( ∶)；如果还 ( ) ( ) 剩600 千克，则用去了( )千克；如果用去的比剩下少600 千克，则还剩( )千克。4． 白兔的只数是灰兔的 ( ) ，灰兔的只数是白兔的( ) ，白兔的只数是总只数的( ) ， ( ) ( ) ( ) 灰兔比白兔多 ( ) ，白兔比灰兔少( ) ，如果两种兔子一共有400 只，则白兔比灰兔 ( ) ( ) 少( )只。 5.学校里足球和排球的个数比是3∶5，排球的个数又是篮球的4。如果三种球一共有171 5 个，则足球有( )个，排球有( )个，篮球有( )个。 6.老师带了55 个学生去划船，共租了10 条船，正好坐满。其中每条大船可以坐6 人，每 条小船可以坐4 人。我们假设10 条船全部是大船，一共能坐( )人，比实际的56 人多( )人。把一条大船换成一条小船，就会少坐( )人，多出的人数一共要换( )条小船，所以小船租了( )条，大船租了( )条。 7.一个经营公司有两个仓库储存彩电，甲乙两仓库储存之比为7∶3，如果从甲仓库调出30 台到乙仓库，那么甲、乙两仓库彩电数量之比为3∶2，则现在甲仓库储存彩电( )台，乙仓库原来储存( )台。
第一题：猜数是最古老的数学游戏之一，有各种玩法。下面的猜数游戏比较简单：甲先想好一个不超过三位（0--999）的数字 让乙猜。在猜数时甲可以改变自己事先想好的数，但不能与此前已经回答的问题相矛盾。乙可以提问，单甲只能回答是与不是。 试计算乙最少要提问几次，才能讲出甲的数字；设计一个使乙能通过最少提问次数而讲出甲想好的数字，写出提问方案;..解：（1） 先分析问题：由于数字有限，只要采用二分法，一定可以猜中。可以采用二分法来猜数；虽然甲可以改变自己的数字，但只能 回答是与不是就不会对结果有影响。由于2^10=1024 ，所以要将此数确定下来需要十一次；所以至少要十一次就可以将此 数确定下来。（2）采用二分法求解；在猜数时可以这样问问题：首先问是不是0—500；如果甲回答是就说明此数在0到500， 若回答不是，那就是500到999，这样一来就可以判断大致范围。由于甲的改变不得与之前回答的相矛盾，所以对结果就不会产 生影响（例：甲之前想的数是257，那么经过一次提问后甲的数只能是0到500之间，而不会超过此范围至于是多少就无所谓了）， 如此继续下去就可以将甲的数字猜出来。…第三题：某造船厂根据合同要在当年算起的连续三年年末各提供规格相同的大型货 轮，各年的生产能力和每条货轮的单位成本如下表。一条货轮积压一年增加维护费40元，再订合同时已有两条积压的货轮，该 厂希望在第三年末在交完合同任务后能储存一条备用。 产的不需维修费③年底交货）…解：此题类似与线性规划，可以用此部分知识解；设连 续三年的产量为x，y，z，则x<=3，y<=5，z<=2. 合同应交货轮为w艘；则有题意得x<=3，y<=5，z<=2…x+y+z+2=w+1费用之和为 Q=x*500+x*2*40+y*600+y*40+z*550+2*3*40 =580*x+640*y+550*z+240;即 要求Q的最小值。 第五题：现有一兔子，一只饿狼，兔子为与狼的正西方向110米处，假设狼与兔子是同时发现对方并一起奔跑，狼向正北处70 米的巢穴跑，而狼在追兔子。已知狼的速度是兔子的两倍，且两者均匀速跑。（【注】常微分高阶初值问题的MATLAB的库函数 是ode45。）要求：建立狼运动轨迹微分模型；(1)画出狼与兔子的运动轨迹图；(2)用解析法求解，问兔子能否安全回巢？(3)用数 值方法求解，问兔子能否安全回巢？解：二者运动的轨迹图如下→ 微分模型：上图1-1-1为饿狼追野兔的两条曲线，其中绿线表示野兔，图中的箭头表示的是野兔的奔跑方向，野兔从远点开始沿y轴正方向运动，其洞穴在坐标为（0，70）的位置；红线为饿狼的运动轨迹，，图中的剪头表示饿狼追逐野兔的方向，饿狼从坐标为（110，0）的方向追逐野兔，饿狼的速度是野兔速度的二倍。建立数学模型需研究一下几个问题：（1）设野兔的速度为v0，饿狼的速度为v1，野兔的奔跑方向是沿y轴正方向奔跑，而饿狼的方向是一直指向野兔的方向，即饿狼的运动的轨迹某一时候的切线指向同一时刻的野兔的位置。建立饿狼追野兔的运动轨迹微分模型。（2）根据建立的饿狼运动轨迹得微分模型，作出饿狼与野兔的运动轨迹图形。（3）用解析方法求解，即根据第二步作出的饿狼运动轨迹图形，分析兔子能否安全回到巢穴，即野兔的运动曲线与饿狼的运动曲线的交点是在点（0，70）-野兔巢穴的上面还是下面。（4）用数值方法求解。根据第一步建立的关于二郎追野兔的运动轨迹微分模型，进行数学运算，讨论兔子能否安全回到巢穴，即所求交点的y值大于70还是小于70. 问题分析:9(1)如果狼知道兔子的巢穴位置，那么狼就会沿直线追赶，有数学中勾股定理就可知结果。(2)若果狼不知道兔子的巢穴位置，那么狼就会面向兔子跑。这需要经过复杂的计算才知道结果；数值法求解：初始时刻(t=0)兔子位于原点(0,0)，饿狼位于(110,0)；兔子以常速度v0沿y轴跑，饿狼在t时刻的位置为(x,y)，其速度为v1=2v0；饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则：饿狼在t时刻其追赶曲线的切线方程为Y-y=(dy/dx)*(X-x)=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(X-x)..其中(X,Y)为切线上动点。又饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则t时刻兔子(0,v0t)在切线上，所以v0t-y=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(0-x)..从而饿狼追赶轨迹由下方程组确定 (dx/dt)*( v0t-y)= (dy/dt)*(-x)(1) (dx/dt)2+(dy/dt)2=v12(2)..由(1)有(dy/dx)*(-x)= v0t-y，两边对t求导并化简 (d2y/dx2)* (dx/dt) *(-x)= v0 (3)..由(2)有(dx/dt)2{1+[(dy/dt)/(dx/dt)]2}=v12..即dx/dt=-v1/[1+(dy/dx)2]1/2 (注这里去负号，是由这个追赶曲线——上图，决定的)代入(3)，并把v1=2v0代入并化简得(d2y/dx2)*x=[1+(dy/dx)2]1/2/2 (4)这是一个二阶微分方程，它满足初始条件y(110)=0..令p= dy/dx，这dp/dx= d2y/dx2，这(4)化为…. (dp/dx)*x=[1+p2]1/2/2，可分离变量求得ln{p+[1+p2]1/2/2}=0.5*lnx+c..又p(110)=0，所以c=-ln110，从而p+[1+p2]1/2/2=x1/2/10这p=( x1/2/10-10/x1/2)/2即dy/dx=( x1/2/10-10/x1/2)/2，从而 y=(x-330)*x1/2/30+c，又y(110)=0则y=(x-330)*x1/2/30+220/3…令x=0，得y(0)=220/3>70故兔子没有有危险。