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2020年同济大学线性代数第六版第五章《相似矩阵及二次型》同步练习与解析

第五章相似矩阵及二次型

1、设a=(1

0?2),b=(?423

),c 与a 正交，且b=λa+c,求λ和c

2. 试用施密特法把下列向量组正交化，然后再单位化:

(1)???

??=931421111) , ,(321a a a ;

解根据施密特正交化方法,

???

? ??==11111a b , ???

? ??

-=-=101]

,[],[1112122b b b a b a b ,

? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .

(2)???

? ??---=011101110111) , ,(321a a a .

解根据施密特正交化方法,

???

? ??-==110111a b ,

??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ,

????

? ??-=

--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 3. 下列矩阵是不是正交阵:

(1)??????

? ??--

-1

21312112131211; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.

(2)????

? ??----

--979494949198949891. 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.

4. （1）设x 为n 维列向量, x T

x =1, 令H =E -2xx T

, 证明H 是对称的正交阵. 证明因为

H T

=(E -2xx T )T

=E -2(xx T )T

=E -2(x T )T x T

=E -2xx T

, 所以H 是对称矩阵. 因为

H T

H =HH =(E -2xx T

)(E -2xx T

) =E -2xx T

-2xx T

+(2xx T

)(2xx T

) =E -4xx T

+4x(x T

x)x T

=E -4xx T

+4xx T

=E , 所以H 是正交矩阵.

（2）. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1

=A T

, B -1

=B T

(AB)T

(AB)=B T A T

AB =B -1

A -1

AB =E ,

故AB 也是正交阵.

5.设a 1,a 2,a 3,为两两正交的单位向量组，b 1=1

3a 1+2

3a 2+2

3a 3, b 2=2

3a 1+2

3a 2-1

3a 3,b 3=-2

3a 1+1

3a 2-2

3a 3,证明b 1,b 2,b 3,也是两两正交的单位向量组。

6. 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)???

? ??----201335212;

解 3)1(201335||+-=-----=-λλ

λλE A ,

故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由

???

? ?????? ??----=+000110101101325213~E A ,

得方程(A +E)x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T

, 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.

(2)???

??633312321;

解 )9)(1(6333123

21||-+-=---=-λλλλ

λλλE A ,

故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由

???

?????? ??=000110321633312321~A ,

得方程Ax =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T

, 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由

???

? ?????? ??=+000100322733322322~E A ,

得方程(A +E)x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T

, 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由

????

? ??--???? ??---=-00021101113333823289~E A , 得方程(A -9E)x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T

, 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.

(3)????

?00

01001001001000

解 22)1()1(001010010||+-=---=-λλλ

λλλE A , 故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1, 由

????

? ???????

?=+00

0000

0110100110

01011001101001~E A , 得方程(A +E)x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T

, p 2=(0, 1, -1, 0)T

, 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1, 由

????

? ?

?--?????

?----=-00

000000

0110100110

01011001101001

~E A , 得方程(A -E)x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T

, p 4=(0, 1, 1, 0)T

, 向量p 3和p 4是对应于特征值

λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.

7. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T

与A 的特征值相同. 证明因为

|A T

-λE|=|(A -λE)T

|=|A -λE|T

=|A -λE|,

所以A T

与A 的特征多项式相同, 从而A T

与A 的特征值相同.

8. 设n 阶矩阵A 、B 满足R(A)+R(B)

证明设R(A)=r , R(B)=t , 则r +t

若a 1, a 2, ???, a n -r 是齐次方程组Ax =0的基础解系, 显然它们是A 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

类似地, 设b 1, b 2, ???, b n -t 是齐次方程组Bx =0的基础解系, 则它们是B 的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.

由于(n -r)+(n -t)=n +(n -r -t)>n , 故a 1, a 2, ???, a n -r , b 1, b 2, ???, b n -t 必线性相关. 于是有不全为0的数k 1, k 2, ???, k n -r , l 1, l 2, ???, l n -t , 使

k 1a 1+k 2a 2+ ??? +k n -r a n -r +l 1b 1+l 2b 2+ ??? +l n -r b n -r =0.

记 γ=k 1a 1+k 2a 2+ ??? +k n -r a n -r =-(l 1b 1+l 2b 2+ ??? +l n -r b n -r ), 则k 1, k 2, ???, k n -r 不全为0, 否则l 1, l 2, ???, l n -t 不全为0, 而

l 1b 1+l 2b 2+ ??? +l n -r b n -r =0,

与b 1, b 2, ???, b n -t 线性无关相矛盾.

因此, γ≠0, γ是A 的也是B 的关于λ=0的特征向量, 所以A 与B 有公共的特征值, 有公共的特征向量.

9. 设A 2

-3A +2E =O , 证明A 的特征值只能取1或2.

证明设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则 (A 2

-3A +2E)x =λ2

x -3λx +2x =(λ2

-3λ+2)x =0.

因为x ≠0, 所以λ2

-3λ+2=0, 即λ是方程λ2

-3λ+2=0的根, 也就是说λ=1或λ=2. 10. 设A 为正交阵, 且|A|=-1, 证明λ=-1是A 的特征值. 证明因为A 为正交矩阵, 所以A 的特征值为-1或1.

因为|A|等于所有特征值之积, 又|A|=-1, 所以必有奇数个特征值为-1, 即λ=-1是A 的特征值.

11. 设λ≠0是m 阶矩阵A m ?n B n ?m 的特征值, 证明λ也是n 阶矩阵BA 的特征值. 证明设x 是AB 的对应于λ≠0的特征向量, 则有 (AB)x =λx , 于是 B(AB)x =B(λx), 或 BA(B x)=λ(Bx),

从而λ是BA 的特征值, 且Bx 是BA 的对应于λ的特征向量. 12. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3

-5A 2

+7A|.

解令?(λ)=λ3

-5λ2

+7λ, 则?(1)=3, ?(2)=2, ?(3)=3是?(A)的特征值, 故 |A 3

-5A 2

+7A|=|?(A)|=?(1)??(2)??(3)=3?2?3=18. 13. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, -3, 求|A*+3A +2E|. 解因为|A|=1?2?(-3)=-6≠0, 所以A 可逆, 故 A*=|A|A -1

=-6A -1

, A*+3A +2E =-6A -1

+3A +2E .

令?(λ)=-6λ-1

+3λ2

+2, 则?(1)=-1, ?(2)=5, ?(-3)=-5是?(A)的特征值, 故 |A*+3A +2E|=|-6A -1

+3A +2E|=|?(A)|

=?(1)??(2)??(-3)=-1?5?(-5)=25. 14. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相似.

证明取P =A , 则

P -1

ABP =A -1

ABA =BA ,

即AB 与BA 相似.

15. 设矩阵???

??=50413102x A 可相似对角化, 求x .

解由

)6()1(504131

02||2---=---=-λλλ

λλλx E A ,

得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.

因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E)x =0有两个线性无关的

解, 因此R(A -E)=1. 由

???

??-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r

知当x =3时R(A -E)=1, 即x =3为所求.

16. 已知p =(1, 1, -1)T

是矩阵???

??---=2135212b a A 的一个特征向量.

(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则

(A -λE)p =0, 即???

? ??=???? ??-???? ??------000111213521

2λλλb a ,

解之得λ=-1, a =-3, b =0.

(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解由

3)1(2013352

12||--=-------=-λλ

λλλE A ,

得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由

???

? ??-???? ??----=-00011010111325211~r b E A

知R(A -E)=2, 所以齐次线性方程组(A -E)x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.

17. 设???

??-=340430241A , 求A

100

解由

)5)(5)(1(3404302

41||+---=----=-λλλλ

λλλE A ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.

对于λ1=1, 解方程(A -E)x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T

. 对于λ1=5, 解方程(A -5E)x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E)x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则

P -1

AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1

, A 100

=P Λ100

P -1

. 因为

Λ100

=diag(1, 5100

, 5100

???

? ??--=???? ??-=--12021

0505511202101211

P , 所以

???? ??--???? ????

?? ??-=12021050555112021012151100100100A

???

??-=1001001005000501501.

18. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1).

(1)求关系式??

? ??=??

? ??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ;

解由题意知

x n +1=x n +qy n -px n =(1-p)x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q)y n , 可用矩阵表示为

???

?????

?--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111,

因此 ?

??--=q p q p A 11.

(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即??? ??=??? ??5.05.000y x , 求??

? ??n n y x .

解由??? ??=??? ??++n n n n y x A y x 11可知??

? ??=??? ??00y x A y x n n n . 由 )1)(1(11||q p q p q

p E A ++--=----=

-λλλ

λλ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .

对于λ1=1, 解方程(A -E)x =0, 得特征向量p 1=(q , p)T

. 对于λ1=r , 解方程(A -rE)x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T

令??

??-==11) ,(21p q P p p , 则

P -1

AP =diag(1, r)=Λ, A =P ΛP -1

, A n

=P Λn

P -1.

于是 1

1100111-??

??-??? ?

???? ??-=p q r p q A n

??-??? ????? ??-+=

q p r p q q p n 11001111

??? ??+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1,

??? ????? ??+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??

? ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.

19. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:

(1)???

??----020212022;

解将所给矩阵记为A . 由

λλλ-------=-202120

22E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),

得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E)x =0, 即

0220232024321=???

? ?????? ??----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)

, 单位化得T

2 ,32 ,31(1=p .

对于λ2=1, 解方程(A -E)x =0, 即

0120202021321=???

?????? ??-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)

, 单位化得T

)32 ,31 ,32(2-=p .

对于λ3=4, 解方程(A -4E)x =0, 即

0420232022321=???

? ?????? ??-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)

, 单位化得T

1 ,3

2 ,32(3-=p .

于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1

AP =diag(-2, 1, 4).

(2)???

? ??----542452222.

解将所给矩阵记为A . 由

λλλ-------=-5424522

22E A =-(λ-1)2

(λ-10),

得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E)x =0, 即

???

? ??=???? ?????? ??----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T

和(2, 0, 1)T

, 将它们正交化、单位化得 T 0) 1, ,2(511-=

p , T 5) ,4 ,2(5

312

=p .

对于λ3=10, 解方程(A -10E)x =0, 即

???

??=???? ?????? ??-------000542452228321x x x , 得特征向量(-1, -2, 2)

, 单位化得T

)2 ,2 ,1(3

13--=p .

于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1

AP =diag(1, 1, 10).

20. 设矩阵????

??------=12422421x A 与???

? ??-=Λy 45相似, 求x , y ; 并求一个正交阵

P , 使P -1

AP =Λ.

解已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以

0)4(95

242424

25|4|=-=---+---=+x x E A ,

解之得x =4.

已知相似矩阵的行列式相同, 因为

1001242424

21||-=-------=A , y y

2045||-=-=Λ,

所以-20y =-100, y =5.

对于λ=5, 解方程(A -5E)x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T

, (1, -2, 0)T

. 将它们正交化、单位化得

T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2

312-=p .

对于λ=-4, 解方程(A +4E)x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T

, 单位化得T )2 ,1 ,2(3

13=

p .

于是有正交矩阵?

?????

??--=231322

1234310

231322

1P , 使P -1

AP =Λ. 21. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T

, p 2=(1, 1, 1)T

, p 3=(1, 1, 0)T

, 求A.

解令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1

AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1

. 因为

???

? ??---=???? ??=--1101110110111111101

1P ,

所以 ???? ??---???? ??-???? ??=Λ=-1101110111000200020111111101P P A ???

??------=244354331.

22. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T

, p 2=(2, 1, -2)T

, 求A .

解设???

? ??=653542321x x x x x x x x x A , 则Ap 1

=2p 1

, Ap 2

=-2p 2

, 即 ?????=++=++=++2222221

22653542321x x x x x x x x x , ---① ?????=-+-=-+-=-+2

221222

22653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有

x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③

由①②③解得

612131x x --

=, 6221x x =, 6

34132x x -=,

642

131x x -=, 654132x x +=. 令x 6

=0, 得311-=x , x 2

=0, 323=x , 3

14=x , 325=x . 因此 ???

? ??-=022********A . 23. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T

, 求A.

解设???

? ??=653542321x x x x x x x x x A . 因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T

, 所以有

???? ??=???? ??1116111A , 即???

??=++=++=++6666

53542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R(A -3E)=1. 利用①可推出

????

??--???? ??---=-331113333653

542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A . 因为R(A -3E)=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得

x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.

因此 ???

??=411141114A .

24. 设a =(a 1, a 2, ???, a n )T

, a 1≠0, A =aa T

. (1)证明λ=0是A 的n -1重特征值;

证明设λ是A 的任意一个特征值, x 是A 的对应于λ的特征向量, 则有 Ax =λx ,

λ2

x =A 2

x =aa T

aa T

x =a T

aAx =λa T ax , 于是可得λ2

=λa T

a , 从而λ=0或λ=a T

a .

设λ1, λ2, ? ? ?, λn 是A 的所有特征值, 因为A =aa T

的主对角线性上的元素为a 12

, a 22

, ? ? ?, a n 2

, 所以

a 12

+a 22

+ ? ? ? +a n 2

=a T

a =λ1+λ2+ ? ? ? +λn ,

这说明在λ1, λ2, ? ? ?, λn 中有且只有一个等于a T

a , 而其余n -1个全为0, 即λ=0是A 的n -1重特征值.

(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 解设λ1=a T

a , λ2= ? ? ? =λn =0.

因为Aa =aa T

a =(a T

a)a =λ1a , 所以p 1=a 是对应于λ1=a T

a 的特征向量.

对于λ2= ? ? ? =λn =0, 解方程Ax =0, 即aa T

x =0. 因为a ≠0, 所以a T

x =0, 即a 1x 1+a 2x 2+ ? ? ? +a n x n =0, 其线性无关解为

p 2=(-a 2, a 1, 0, ???, 0)T

, p 3=(-a 3, 0, a 1, ?

??, 0)T

? ? ?,

p n =(-a n , 0, 0, ???, a 1)T

因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为

????

? ???

?????????????????-???-=???112

2100), , ,(a a a a

a a a n

n n p p p .

25. (1)设??

? ??--=3223A , 求?(A)=A 10

-5A 9

;

解由

)5)(1(3223||--=----=-λλλ

λλE A ,

得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.

对于λ1=1, 解方程(A -E)x =0, 得单位特征向量

T )1 ,1(2

对于λ1=5, 解方程(A -5E)x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(2

1-. 于是有正交矩阵??

? ??-=

111121P , 使得P -1

AP =diag(1, 5)=Λ, 从而A =P ΛP -1

, A k

=P Λk

P -1

. 因此 ?(A)=P ?(Λ)P -1

=P(Λ10

-5Λ9

)P -1

=P[diag(1, 510

)-5diag(1, 59

)]P -1

=Pdiag(-4, 0)P -1 ??

? ??-??? ??-??? ??-=

1111210004111121 ?

?? ??-=??? ??----=111122222. (2)设???

??=122221212A , 求?(A)=A 10

-6A 9

+5A 8

解求得正交矩阵为

????

? ?

?---=20

223123

161P , 使得P -1

AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1

. 于是 ?(A)=P ?(Λ)P -1

=P(Λ10

-6Λ9

+5Λ8

)P -1

=P[Λ8

(Λ-E)(Λ-5E)]P -1

=Pdiag(1, 1, 58

)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1

=Pdiag(12, 0, 0)P -1

???? ??---???? ?

?????? ??---=222033*********

2231231

61 ???

?----=422211

211

2. 26. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2

+4xy +4y 2

+2xz +z 2

+4yz ;

解 ???

?????? ??=z y x z y x f 121242121) , ,(.

(2) f =x 2

+y 2

-7z 2

-2xy -4xz -4yz ;

解 ???

?????? ??-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.

(3) f =x 12

+x 22

+x 32

+x 42

-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.

解 ????

? ???????

?------=4321432110

2101322311

1211

) , , ,(x x x x x x x x f . 27. 写出下列二次型的矩阵: (1)

x x x ??

? ?

?=13

12)(T f ;

解二次型的矩阵为??

? ??=1312A . (2)x x x ???

? ??=987654321)(T f . 解二次型的矩阵为???

??=987654321A .

28. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12

+3x 22

+3x 33

+4x 2x 3;

解二次型的矩阵为????

??=320230002A . 由

)1)(5)(2(3202300

02λλλλ

λλλ---=---=-E A ,

得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E)x =0, 由

???

? ?????? ??=-0001002101202100002~E A ,

得特征向量(1, 0, 0)T

. 取p 1=(1, 0, 0)T

. 当λ2=5时, 解方程(A -5E)x =0, 由

???

??-???? ??---=-0001100012202200035~E A ,

得特征向量(0, 1, 1)T

. 取

T )2

1 ,21 ,0(2=p .

当λ3=1时, 解方程(A -E)x =0, 由

???? ?????? ??=-000110001220220001~E A ,

得特征向量(0, -1, 1)T

. 取T )2

1 ,21 ,0(3-

=p .

于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =Ty , 使

f =2y 12

+5y 22

+y 32

(2) f =x 12

+x 22

+x 32

+x 42

+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4.

解二次型矩阵为???

?? ??----=1101111001111011A . 由

2)1)(3)(1(1101111001111

011--+=--------=-λλλλ

λλλλE A ,

得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.

当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(

1--=p .

当λ2

=3时, 可得单位特征向量T

1 ,21 ,21 ,21(2--=p .

当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量

T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T )2

1 ,0 ,21 ,0(4=p .

于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =Ty , 使

f =-y 12

+3y 22

+y 32

+y 42

29. 求一个正交变换把二次曲面的方程

3x 2

+5y 2

+5z 2+4xy -4xz -10yz =1

化成标准方程.

解二次型的矩阵为???

??----=552552223A .

由)11)(2(5525522

23||---=-------=-λλλλ

λλλE A , 得

A 的特征值为λ1=2,

λ2=11, λ3=0, .

对于λ1=2, 解方程(A -2E)x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T

, 单位化得

31 ,231 ,234(1-=p .

对于λ2=11, 解方程(A -11E)x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T

, 单位化得)32 ,32 ,31(

2-=p . 对于λ3

=0, 解方程Ax =0, 得特征向量(0, 1, 1)T

, 单位化得)2

1 ,21

,0(3=p .

于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1

AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换

??? ?????????

??--=???? ??w v u z y x 21322

312132231

1234,

使原二次方程变为标准方程2u 2

+11v 2

=1.

30. 证明: 二次型f =x T

Ax 在||x||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得

TAT -1

=diag(λ1, λ2, ? ? ?, λn )=Λ

成立, 其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =Tx , 即x =T T

y , 注意到T -1

=T T

, 有 f =x T

Ax =y T

TAT T

y =y T

Λy =λ1y 12

+λ2y 22

+ ? ? ? +λn y n 2

. 因为y =Tx 正交变换, 所以当||x||=1时, 有

||y||=||x||=1, 即y 12

+y 22

+ ? ? ? +y n 2

=1.

因此

f =λ1y 12

+λ2y 22

+ ? ? ? +λn y n 2

≤λ1,

又当y 1=1, y 2=y 3=? ? ?=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.

31. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵. (1) f(x 1, x 2, x 3)=x 12

+3x 22

+5x 32

+2x 1x 2-4x 1x 3; 解 f(x 1, x 2, x 3)=x 12

+3x 22

+5x 32

+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2

+4x 2x 3+2x 22

+x 32

=(x 1+x 2-2x 3)2

-2x 22

+(2x 2+x 3)2

令 ??

???+==-+=323223

211222x x y x y x x x y , 即???

????+-==+-=3232

23211221225y y x y x y y y x , 二次型化为规范形

f =y 12-y 22+y 32

所用的变换矩阵为

??????

??--=12002102251C .

(2) f(x 1, x 2, x 3)=x 12

+2x 32

+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f(x 1, x 2, x 3)=x 12

+2x 32

+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2

+x 32

+2x 2x 3; =(x 1+x 3)2

-x 22

+(x 2+x 3)2

令 ?????+==+=32322311x x y x y x x y , 即?????+-==-+=3

23223

211y y x y x y y y x ,

二次型化为规范形

f =y 12

-y 22

+y 32

所用的变换矩阵为

???

??--=110010111C .

(3) f(x 1, x 2, x 3)=2x 12

+x 22

+4x 32

+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f(x 1, x 2, x 3)=2x 12

+x 22

+4x 32

+2x 1x 2-2x 2x 3.

223222212421)21(2x x x x x x -+++= 2

32322212)2(2

1)21(2x x x x x +-++=.

令 ???????=-=+=333222

112)2(21)

21(2x y x x y x x y , 即???

????=+=--=33322321121222212121y x y y x y y y x ,

二次型化为规范形

f =y 12

+y 22

+y 32

所用的变换矩阵为

???

? ??--=10022011121C . 32. 设

f =x 12

+x 22

+5x 32

+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3

为正定二次型, 求a .

解二次型的矩阵为????

??--=5212111a a A , 其主子式为

a 11

=1, 2111a a a -=, )45(5

21211

1+-=--a a a a . 因为f 为正主二次型, 所以必有1-a 2

>0且-a(5a +4)>0, 解之得05

4<<-

a .

33. 判别下列二次型的正定性: (1) f =-2x 12

-6x 22

-4x 32

+2x 1x 2+2x 1x 3;

解二次型的矩阵为???

??---=401061112A . 因为

0211<-=a , 0116

112>=--

, 038||<-=A ,

所以f 为负定.

(2) f =x 12

+3x 22

+9x 32

+19x 42

-2x 1x 2+4x 1x 3+2x 1x 4-6x 2x 4-12x 3x 4.

解二次型的矩阵为?????

?------=196

3169023031

1211A . 因为 0111>=a , 043111>=--, 069

020312

11>=--, 024>=A ,

所以f 为正定.

34. 证明对称阵A 为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩阵U , 使A =U T

U , 即A 与单位阵E 合同.

证明因为对称阵A 为正定的, 所以存在正交矩阵P 使

P T

AP =diag(λ1, λ2, ? ? ?, λn )=Λ, 即A =P ΛP T

其中λ1, λ2, ? ? ?, λn 均为正数. 令), , ,diag(

211n λλλ???=Λ, 则Λ=Λ1

Λ1

, A =P Λ1

T P T .

再令U=Λ1T P T,则U可逆,且A=U T U.

同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).

(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)

同济大学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.

解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6,???, (2n -1)(2n -2)(n -1个) (6)1 3 ??? (2n -1) (2n ) (2n -2) ??? 2.

线性代数(同济六版)知识点总结

1. 二阶行列式--------对角线法则 : |a 11 a 12 a 21 a 22 |= a 11a 22 ?a 12a 21 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列。所有排列的种数用P n 表示， P n = n ！逆序数：对于排列p 1 p 2… p n ，如果排在元素p i 前面，且比p i 大的元素个数有t i 个，则p i 这个元素的逆序数为t i 。整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即n! 2 对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性. 4. 其中：j 1j 2j 3 是1,2,3的一个排列， t(j 1j 2j 3)是排列 j 1j 2j 3 的逆序数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式： 6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = D T ②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值为零。互换两行：r i ? r j ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ：r i x k 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如： ⑥把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如第j 列的k 倍加到第i 列上：c i +kc j 33 323123222113 1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1) (∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a =O M M n ...λλλλλλ21n 21=O n 21λλλN n 2121)n(n λλλ1)(ΛΛ--=n n n j n j n 2n 12n 2j 2j 22211n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a a )c (b a a ΛΛM M M M ΛΛΛΛ+++n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211n n n j n 2n 12n 2j 22211n 1j 1211a c a a a c a a a c a a a b a a a b a a a b a a ΛΛ M M M M ΛΛ ΛΛΛΛM M M M ΛΛ ΛΛ+=n n n j n j n i n 12n 2j 2j 2i 211n 1j 1j 1i 11a a ka a a a a ka a a a a ka a a Λ ΛΛ M M M M ΛΛ ΛΛΛΛ+++n n n j n i n 12n 2j 2i 211n 1j 1i 11a a a a a a a a a a a a Λ Λ ΛM M M M ΛΛΛ Λ ΛΛ=

同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全) 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式201 (1)1 4 ***** 解1 4 183 2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 1 8 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) ( 1) 2 4 8 16 4 4 abc (2)bca cababc 解bca cab acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3 b3 c3 111 (3)abc a2b2c2111 解abc a2b2c2 bc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a) xyx y (4)yx yx x yxyxyx y 解yx yx x yxy x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3 2(x3 y3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2

解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n) n(n 1) 解逆序数为 2 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n) (2n 2) 2 解逆序数为n(n 1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1个) 3 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项解含因子a11a23的项的一般形式为 ( 1)ta11a23a3ra4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42 所以含因子a11a23的项分别是 ( 1)ta11a23a32a44 ( 1)1a11a23a32a44 a11a23a32a44 ( 1)ta11a23a34a42 ( 1)2a11a23a34a42 a11a23a34a42 4 计算下列各行列式 41 (1)***-*****14 2 07 41 解***-*****c2 c***** 1 ***** 104 1 10 2 122 ( 1)4 3 *****c 4 7c***** 3 1 4 4 110c2 c***** 123 142c00 2 0 1 2c***** 2 (2)31 1***** 22 4 解31 ***** c 4 c3 223 1202r 4 r ***-*****06 ***-*****

线性代数同济六版知识点总结

1。二阶行列式——-----—对角线法则 : 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列. 所有排列的种数用表示， = n! 逆序数:对于排列 … ，如果排在元素前面,且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列:逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。 4. 其中：是1，2,3的一个排列， t( )是排列的逆序数 5。下三角行列式：副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式： 6。行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等。（转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论 :两行（列）相同的行列式值为零。互换两行: ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如: 33323123222113 12 11 a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a = n ...λλλλλλ21n 21= n 21λλλ n 2121)n(n λλλ1)( --=1n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a +1n 1j 12111n 1j 1211a c a a a c a a a b a a a b a a

同济大学线性代数第六版答案(全)

同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a

=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b)(b -c)(c -a). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x(x +y)y +yx(x +y)+(x +y)yx -y 3-(x +y)3-x 3 =3xy(x +y)-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.

(5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,???,(2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,???,(2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ?????? (2n)2, (2n)4, (2n)6,???, (2n)(2n-2) (n-1个)

线性代数(同济六版)知识点总结归纳

1. 二阶行列式--------对角线法则 : 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. … 且比大的元素个数有个，则。排列中，奇偶各占一半，即对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性4. 其中：数 5. 下三角行列式: 副三角跟副对角相识对角行列式：副对角行列式： 6. 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值 33 323123 222113 1211a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=31 2213332112322311a a a a a a a a a ---31 2111 a a a n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0 a a a = n ...λλλλλλ21n 21 = n 2 1 λλλ n 212 1) n(n λλλ1) ( --=

为零。互换两行： ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0 第列上：7. （下） 8. 剩下的( 的余子ij 代数余子式：记 A ij = ( ?1 ) i+j M ij 为元素 a ij 的代数余子式。 ②重要性质，定理 1）第i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。 2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即： in in i2i2i1i1A a A a A a D +++= nj nj 2j 2j 1j 1j A a A a A a D +++= 或

同济大学工程数学线性代数第六版答案(全)

第一章行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 1 32(1) 81(4) (1) 24816 44 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3 b 3 c 3 (3)2 221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a

bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3 y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个)

2020年同济大学线性代数第六版第五章《相似矩阵及二次型》同步练习与解析

第五章相似矩阵及二次型 1、设a=(1 0?2),b=(?423 ),c 与a 正交，且b=λa+c,求λ和c 2. 试用施密特法把下列向量组正交化，然后再单位化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ?? ?? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ???? ? ??-= --=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . 3. 下列矩阵是不是正交阵:

(1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 4. （1）设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x(x T x)x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. （2）. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1 =A T , B -1 =B T , (AB)T (AB)=B T A T AB =B -1 A -1 AB =E , 故AB 也是正交阵. 5.设a 1,a 2,a 3,为两两正交的单位向量组，b 1=1 3a 1+2 3a 2+2 3a 3, b 2=2 3a 1+2 3a 2-1 3a 3,b 3=-2 3a 1+1 3a 2-2 3a 3,证明b 1,b 2,b 3,也是两两正交的单位向量组。 6. 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)??? ? ??----201335212;