在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边）
平行四边形的判定
1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
5、两组对角分别相等的四边形为平行四边形
矩形的判定
1、三个角是直角的四边形叫做矩形。
2、对角线相等且互相平分的四边形是矩形
3、有一个角是直角的平行四边形是矩形。
4、长方形和正方形都是矩形。
5、平行四边形的定义在矩形上仍然适用
菱形的判定
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形
2、四边相等的四边形是菱形
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、对角线垂直平分的四边形是菱形
正方形的判定
1：对角线相等的菱形是正方形。
2：有一个角为直角的菱形是正方形。
3：对角线互相垂直的矩形是正方形。
4：一组邻边相等的矩形是正方形。
5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
等腰梯形的判定
1、同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
2、一组对边平行且不等，另一组对边相等且不平行的四边形是等腰梯形。
3、对角线相等且能形成两个等腰三角形的四边形是等腰梯形。
4、对角互补的梯形是等腰梯形。
5.对角线相等的梯形是等腰梯形。
1.1等腰三角形的性质和判定（2） 九年级数学备课组课型：新授 【学习目标】 在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。 【重点、难点】 1、等边三角形的性质及其证明。 2、应用性质解题。 【预习指导】 上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。等腰三角形性质定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 等腰三角形判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 【思考与交流】 1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为“AAS”） 2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60°。 （2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。 3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【典题选讲】 例1.如图，在△ABC中，点O在AC上，过点O作M N∥BC，CE、CF分别是△ABC 的内外角平分线，与MN分别交于E、F，求证：OE=OF. 例2、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BC=BD=AD,则∠A的度数是多少？
变式; .如下图，在△ABC 中, AB=AC ，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且BC=BD=DE=EA ，求∠A 的度数。 【课堂练习】 1、如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝36°，∠ADE ＝∠AED ＝2∠B ，由这些条件你能得到哪些结论？请证明你的结论。 2、已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。 求证：△ADE 是等边三角形。 A B C D E A B C D E
等腰三角形的性质与判定 知识梳理 1．等腰三角形的概念： 有 相等的三角形，叫做等腰三角形， 叫做腰，另一条边叫做 ．两腰所夹的角叫做 ，底边与腰所夹的角叫做 ． 2．等腰三角形性质定理： (1)等腰三角形的两个 相等，也可以说成 ． (2) 三线合一：即 ． (3)等腰三角形是 图形． 3．等腰三角形的判定： (1)有 相等的三角形是等腰三角形． (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 也相等．简写成 ． 例题讲解 例1等腰三角形ABC 中，AB =AC ，一腰上的中线BD ?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长． 例2如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABD =∠ACD ．求证：△DBC 是等腰三角形． 例3 如图，AB =AE ，BC =ED ， ∠B =∠E ．求证：∠C =∠D ． 例4如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证：∠BAC =2∠DBC ． 例5 有关等腰三角形的基本图形． （1）如图3，若OD 平分∠AOB ，DE ∥OB 交OA 于E ．求证：EO ＝ED ．提问：这个结论的逆命题是否正确？ （2）如图 3，若 OD 平分∠AOB ， EO ＝ED ，求证： DE ∥OB ． （3）如图 3，若 DE ∥OB 交OA 于E ， EO ＝ED ，求证： OD 平分∠AOB ． 有关的题组练习． （1）如图4，AD ∥BC ， BD 平分∠ABC ．求证： AB ＝AD ． （2）已知：如图5（a ），AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．问：①图中有几个等腰三角形？②如图5（b ），若过D 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，图中又增加了几个等腰三角形？ （3）如图5（c ），若将第（2）题中的△ABC 改为不等边三角形，其它条件不变，情况会如何？还可证出哪些线段的和差关系？ D C B A E D C B A D C B A D C B A
等腰三角形中的分类讨论（A层）教案 华舍中学盛金华 【教学目标】 1、知识目标：了解“分类讨论思想”的意义；理解分类讨论的步骤以及分类讨论法解题必须遵循总的原则；感受“分类讨论思想”在解决特殊三角形问题中的作用。 2、能力目标：通过“情景—感知—概括—运用—反思”的途径培养学生的观察、发现、类比、归纳、概括、发散以及进行合情推理的能力； 3、情感目标：体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲及学好数学的信心；又通过联系与发展、对立与统一的思考方法向学生渗透辩证唯物主义认识论的思想。 【重点】让学生逐步领会等腰三角形中分类讨论思想的应用，建构用分类讨论思想解决问题的模型。 【难点】概括得到用分类讨论思想解决问题的步骤，及提高练习。 【教学手段】多媒体 【教学过程】 一、创设情境，引出分类 1、已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是 2、等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边为 3、等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是 设计说明：用简单的中考题引出本节课的主题，让学生能在这些题中初步回忆并感受分类讨论思想。 二、观察分析，探究分类 例1 关于角的分类 一个等腰三角形的一个外角等于110 ，则这个三角形的三个角应该为。设计说明：本节课例题主要是围绕两条主线，一是关于角的分类，二是关于边的分类，因为平时接触到的角的分类都比较简单，边的分类则比较复杂，所以重心放在边的分类上面。 变式1：等腰三角形的一个内角为140o，则等腰三角形的底角为 变式2：等腰三角形的一个外角为40o，则等腰三角形的顶角为 变式3：等腰三角形ABC，∠A=40o，则∠B= 例2 关于边的分类 1、已知实数x=4，y=8，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（） A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对 2、等腰三角形一腰上的中线把周长分成15和11两部分，则它的底边长等于 小结解分类讨论问题的步骤： (1)分类的原因（为何分类）：条件不确定时 (2)分类的标准（如何分类）：对不确定的条件进行合理分类 (3)逐类讨论：对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)检验总结：将各类情况总结归纳。
3等腰三角形 第3课时等腰三角形的识别 教学目的 1．通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力. 2．能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形. 重点、难点 重点：让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用. 难点：一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述. 教学过程 一、复习引入 等腰三角形具有哪些性质? 等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”. 二、新课 对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等.这一节，我们再学习另一种识别方法. 我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗? 为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作： 1．在半透明纸上画一个线段BC. 2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A. 3．用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折. 问题1：AB与AC是否重合? 问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述? 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”. 也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形.一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形. 例1．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么? 问题3：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗? 等腰直角三角形：顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，如图所示. 问题4：你能说出等腰直角三角形各角的大小吗? 问题5：请你画一个等腰直角三角形，使∠C＝90°，CD是底边上的高，数一数图中共有几个等腰直角三角形? 三、练习巩固 P99练习l、2、3. 四、小结 这节课，，我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)，此条件可以做为判断一个三角形是等腰三角形的依据.因此，要牢记并能熟练应用它. 五、作业 P99习题第5题. - 1 -
1.1 等腰三角形的性质和判定 班级姓名学号 学习目标: 1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式. 2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理. 学习重点:等腰三角形的性质及其证明. 学习难点:等腰三角形的性质及其证明. 学习过程 一、知识回顾： 1、什么叫做等腰三角形？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2、等腰三角形有哪些性质？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 3、上述性质你是怎么得到的？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？（不妨动手操作做一做） 二、新知教学： （一）探索活动： 1、合作与讨论：证明：等腰三角形的两个底角相等. 2、思考：由上面的证明过程，你能否得出“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合”的结论？请用符号语言表示. 3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理. 定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）
4、思考与探索 如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？ （二）例题分析 1、已知：如图∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC ，且AD ∥BC.求证：AB ＝AC 拓展：在上图中，如果AB ＝AC ，AD ∥BC ，那么AD 平分∠EAC 吗？为什么？ 2、证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. （三）巩固练习： 1、证明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 2、如图，BO 平分∠CBA, CO 平分∠ABC, 且MN//BC,设AB=12,BC=24,AC=18,求△AMN 的周长. 三、总结反思 1、证明文字命题应注意什么？ 2、等腰三角形的判定和性质分别是什么？如何证明？ 3、一个常见的基本图形. A B C D E A B C M N O
关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨所谓分类讨论思想，就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。 对于分类讨论问题，初中教学阶段虽然没有对此方面的教学要求，但是需要用分类讨论的思想去解决的问题却经常遇见，华东师大版七年级下册教材中典型的分类讨论问题是在“等腰三角形”一节中，主要有由于几何图形性质不明确而需分类讨论的问题和几何图形之间的位置关系不明确而需分类讨论的问题。下面举例简要论述这两类问题： 一、当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类讨论 例1、（1）已知等腰三角形的两边长分别为8cm和10cm，求周长。 （2）等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，求周长。 分析：由等腰三角形的性质可知我们在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够构成三角形的前提，因此必须进行分类讨论。 解（1）因为8+8>10，10+10>8，则在这两种情况下都能构成三角形； 当腰长为8时，周长为8+8+10=26； 当腰长为10时，周长为10+10+8=28； 故这个三角形的周长为26cm或28cm。 解（2）当腰长为3时，因为3+3<7，所以此时不能构成三角形； 当腰长为7时，因为7+7>3，所以此时能构成三角形，因此三角形的周 长为：7+7+3=17； 故这个三角形的周长为17cm。 注意：对于此类题目在进行分类讨论时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。 二、当顶角或底角不能确定时，必须进行分类讨论 例2、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 分析：题目没有指明“顶角是底角的4倍”，还是“底角是顶角的4倍”因此必须进行分类讨论。
数学教案－等腰三角形的判定 重点与难点分析：本节内容的重点是等腰三角形的判定定理。本定理是证明两条线段相等的重要定理，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，此定理为证明线段相等提供了又一种方法，这是本节的重点。推论1、2提供证明等边三角形的方法，推论3是直角三角形的一条重要性质，在直角三角形中找边和角的等量关系经常用到此推论。本节内容的难点是性质与判定的区别。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，题设与结论正好相反。学生在应用它们的时候，经常混淆，帮助学生认识判定与性质的区别，这是本节的难点。另外本节的文字叙述题也是难点之一，和上节结合让学生逐步掌握解题的思路方法。由于知识点的增加，题目的复杂程度也提高，一定要学生真正理解定理和推论，才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用。教法建议: 本节课教学方法主要是“以学生为主体的讨论探索法”。在数学教学中要避免过多告诉学生现成结论。提倡教师鼓励学生讨论解决问题的方法，引导他们探索数学的内在规律。具体说明如下：（1）参与探索发现，领略知识形成过程学生学习过互逆命题和互逆定理的概念，首先提出问题：等腰三角形性质定理的逆命题的什么？找一名学生口述完了，接下来问：此命题是
否为真命？等同学们证明完了，找一名学生代表发言。最后找一名学生用文字口述定理的内容。这样很自然就得到了等腰三角形的判定定理。这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，满打满算了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会。（2）采用“类比”的学习方法，获取知识。由性质定理的学习，我们得到了几个推论，自然想到：根据等腰三角形的判定定理，我们能得到哪些特殊的结论或者说哪些推论呢？这里先让学生发表意见，然后大家共同分析讨论，把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。如果学生提到的不完整，教师可以做适当的点拨引导。（3）总结，形成知识结构为了使学生对本节课有一个完整的认识，便于今后的应用，教师提出如下问题，让学生思考回答：（1）怎样判定一个三角形是等腰三角形？有哪些定理依据？（2）怎样判定一个三角形是等边三角形？一．教学目标：1．使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论；2．掌握等腰三角形判定定理的运用；3．通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；4．通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；5．通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。二．教学重点：等腰三角形的判定定理三．教学难点：性质与判定的区别四．教学用具：直尺，微机五．教
等腰三角形性质及判定 要点一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180 2 A ?-∠ . 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．要点三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 【典型例题】 类型一、等腰三角形中有关度数的计算题 例1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数.
举一反三： 1.已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数． 2.如图，在△ABC中AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求三角形各角的度数. 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC=BD，AD=DE=EB，求∠A的度数 类型二、等腰三角形中的分类讨论 例2.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )． A．60°B．120°C．60°或150°D．60°或120° 举一反三： 1.等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是． 2.等腰三角形的一个底角是70度，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿ 3.等腰三角形的周长是10，腰长是4，则底边为＿＿＿＿＿＿ 4.等腰三角形的一个底角是30度，则它的底角是＿＿＿＿＿＿ 5.等腰三角形的周长是20cm，一边长是8cm，则其它两边长为＿＿＿＿ 6.等腰三角形的周长为26㎝，一边长为6㎝，那么腰长为（） D C B A
第2课时等腰三角形的判定精选练习含答案 一．选择题（共8小题） 1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（） A． 5个B． 6个C． 7个D． 8个 第1题第2题第4题 7．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，假如以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 3．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（） A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形 B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个能够判定△ABC是等腰三角形的方法有（） A． 2种B． 3种C． 4种D． 6种 5．下列能确信△ABC为等腰三角形的是（） A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80° C． AB=AC=2，BC=4 D． AB=3，BC=7，周长为13 6．下列说法中：（1）顶角相等，同时有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（） A． 1个B．2个C． 3个D．4个 7．已知下列各组数据，能够构成等腰三角形的是（） A． 1，2，1 B． 2，2，1 C． 1，3，1 D．2，2，5 8．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则通过三角形的一个顶点的一条直线能够将那个三角形分成两个小等腰三角形的是（）
轴对称章 等腰三角形的性质及判定 北京四中龚剑钧 知识要点： 一、等腰三角形的性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合 （简称“三线合一”）． 3.等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 二、说明： 性质1证明同一个三角形中的两角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 三、等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 例题讲解 1.如图，在△ABC中，D在BC上，且AB＝AC＝BD，∠1＝30°， 求∠2的度数. 经典练习： 1.已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点， AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE， 求∠B的度数．
2.(1)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°， 则顶角的度数为______． (2)已知等腰三角形的周长为13，一边长为3， 则其余各边长是_________. 3. 已知，如图，AB=AC，∠A=1080，BD平分∠ABC交AC于D， 求证：BC=AB+CD． 4.如图，△ABC中，CE是BC的延长线，CD平分∠A CE，CD//AB． 求证：△ABC是等腰三角形． 5.如图，△ABC中，∠ACB=900，CD是AB上高，∠BAC的平分线AF交CD 于E，判断△CEF的形状，证明你的结论． 6.如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC，，垂足
分别为E，F，求证：DE=DF 7.如图，在RtABC中，AB=AC，∠BAC =90°，O为BC的中点． （1）写出O点到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）．（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM， 请你判断△OMN的形状，并证明你的结论． 8.已知：如图，△ABC中，∠ACB=450，AD⊥BC于D，在AD上取点F，连接BF并延长交AC于E，∠BAD=∠FCD． 求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
等腰三角形分类讨论专题复习 日期：第页姓名： 一、等腰三角形的分类 1、边分类 2、角分类 3、外角分类 4、一腰上的高与另一腰的夹角 5、一腰上的中线分三角形的周长为两部分 6、一腰上的中垂线与另一腰的夹角 思考：在A B C三边所在的直线上找一点D，使得A B D为等腰三角形，画图说明点D所在的位置 B B B B B B
二、练习姓名： 1、如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是． 2、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于 3、已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于 4、已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为 5、等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长 6、在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为 7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为 8、等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是． 9、若一个等腰三角形有一个角为100o，则另两个角为 10、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长 11、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数 12、(1)等腰三角形的顶角和一个底角的度数的比是4:1，则这个三角形三个内角的度数分别为________，_______，______________.
(2)在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________. 13、等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰的夹角为50o，求底角为 14、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 15、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角 ∠B=____________ 16、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数； 17、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数。 18、等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，则周长。
考点04 等腰三角形的判定定理 1.（2020·浙江·中考模拟）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（） A.1，1，2 B.1，1，3 C.2，2，1 D.2，2，5 【答案】C 【解析】根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断． 2.（2020·甘肃·期中试卷）△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定 【答案】B 【解析】根据AB=AC可得∠B=∠C，结合∠A=∠C即可判断出△ABC的形状． 3.（2020·广西期末试卷）下列三角形中，是正三角形的为（） ①有一个角是60°的等腰三角形；①有两个角是60°的三角形； ①底边与腰相等的等腰三角形；①三边相等的三角形． A.①① B.①① C.①① D.①①①① 【答案】D 【解析】等边三角形的判定定理有①三个都相等的三角形是等边三角形，①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，①三边都相等的三角形是等边三角形，根据以上定理判断即可． 4.（2020·浙江·月考试卷）等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是（） A.有一个内角是60° B.有一个外角是120° C.有两个角相等 D.腰与底边相等 【答案】C 【解析】(1)由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． (2)判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． (3)判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5.（2020·山西·月考试卷）下列命题不正确的是（） A.等腰三角形的底角不能是钝角 B.等腰三角形不能是直角三角形 C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形 D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 【答案】B 【解析】利用等腰三角形的性质和等边三角形的判定的知识，对各选项逐项分析，即可得出结果． 6.（2020·陕西·中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有（） A.8个 B.7个 C.6个 D.5个 【答案】A 【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝72°，根据角平分线求出∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB ＝36°，根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC，根据等腰三角形的判定推出即可． 7.（2020·四川·期末试卷）如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是() A.△ABD?△ACD B.∠B=∠C C.△ABC是等腰三角形 D.△ABC是等边三角形 【答案】D 【解析】根据垂直的定义可得∠ADB=∠ADC=90°，根据线段中点的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠C，全等三角形对应边相等可得AB=AC，
（ 课 题 《等腰三角形的性质定理和判定定理及 课型 新授课 教学目标 教学重点 教学难点 教学方法 教学后记 其证明》教案 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角 形的关性质定理和判定定理。 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。 观察法 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 一、复习： 1、什么是等腰三角形？ 2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。 3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？ 二、新课讲解： 之前，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已 经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。 同学们和我一起来回忆上学期学过的公理: ? 1.两直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等 ,那么这两条直线平 行; ? 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; ? 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS ） ? 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA ） ? 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS ） ? 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等. 由公理 5、3、4、6 可容易证明下面的推论： 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 AAS ） 证明过程： 已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF 求证：△ABC ≌△DEF 证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E （已知） ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于 180°） ∠C=180°-(∠A+∠B) ∠F=180°-(∠D+∠E) ∠C=∠F （等量代换） BC=EF （已知） △ABC ≌△DEF （ASA ） 这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步 骤，为下面的推理证明做准备。 这个推论 虽然简单， 但也应让 学生进行 证明，以熟 悉的基本 要求和步 骤，为下面 的推理证 明做准备。 学生充分 讨论问题 1，借助等 腰三角形
等腰三角形分类讨论综合 1.理解等腰三角形的性质和判定定理； 2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明； 3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想； 4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形； 5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。 知识结构 【备注】： 1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图； 2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型； 3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5分钟左右。 一．等腰三角形的性质： 二．等腰三角形常见题型分类：
三．函数背景下的等腰三角形的考点分析： 1.求解相应函数的解析式； 2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标； 3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类； 4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。 【备注】： 1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考； 2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读 题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量 等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；Array 3.可以根据各题的“参考教法”引导学生逐步解题，并采用讲练结合； 注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题 的分析中来； 4.例题讲解，可以根据“教法指导”中的问题引导学生分析题目，边讲 边让学生书写，每个问题后面有答案提示； 5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等； 6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评； 7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题 在时间足够的情况下讲解。
《等腰三角形的判定》教学设计 ◆您现在正在阅读的《等腰三角形的判定》教学设计文章内容由收集!本站将为您提供更多的精品教学资源!《等腰三角形的判定》教学设计重点与难点分析： 本节内容的重点是等腰三角形的判定定理.本定理是证明两条线段相等的重要定理，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，此定理为证明线段相等提供了又一种方法，这是本节的重点.推论1、2提供证明等边三角形的方法，推论3是直角三角形的一条重要性质，在直角三角形中找边和角的等量关系经常用到此推论. 本节内容的难点是性质与判定的区别。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候，经常混淆，帮助学生认识判定与性质的区别，这是本节的难点.另外本节的文字叙述题也是难点之一，和上节结合让学生逐步掌握解题的思路方法.由于知识点的增加，题目的复杂程度也提高，一定要学生真正理解定理和推论，才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用. 教法建议: 本节课教学方法主要是以学生为主体的讨论探索法。在数学教学中要避免过多告诉学生现成结论。提倡教师鼓励学生讨
论解决问题的方法，引导他们探索数学的内在规律。具体说明如下： 页 1 第 （1）参与探索发现，领略知识形成过程 学生学习过互逆命题和互逆定理的概念，首先提出问题：等腰三角形性质定理的逆命题的什么？找一名学生口述完了，接下来问：此命题是否为真命？等同学们证明完了，找一名学生代表发言.最后找一名学生用文字口述定理的内容。这样很自然就得到了等腰三角形的判定定理.这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，满打满算了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会。 （2）采用类比的学习方法，获取知识。 由性质定理的学习，我们得到了几个推论，自然想到：根据等腰三角形的判定定理，我们能得到哪些特殊的结论或者说哪些推论呢？这里先让学生发表意见，然后大家共同分析讨论，把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。如果学生提到的不完整，教师可以做适当的点拨引导。（3）总结，形成知识结构 为了使学生对本节课有一个完整的认识，便于今后的应用，教师提出如下问题，让学生思考回答：（1）怎样判定一个三角形是等腰三角形？有哪些定理依据？（2）怎样判定一个
等腰三角形性质及判定 等腰三角形的性质 知识点一：等腰三角形的定义 1.等腰三角形的两边的长为3和5，则其周长为_____________ 2.等腰三角形的两边的长分别为2和4，则取周长为__________ 3.等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为________ 4.等腰三角形的一个角为40°，则其余角度为_____________ 5.等腰三角形的一个角为120°，则其余角为____________ 知识点二等边对等角 6.△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是___________ 7.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=80°，则∠B的度数为_________。 第7题第8题第9题 8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC=___________ 9.如图，△ABC中，AB=AC,∠B=40°，CD=AC,则∠DAC=_________，∠DAB=__________- 10.如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角∠DAC,求证：AE∥BC。
知识点三：等腰三角形的“三线合一” 11.在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长为_________- 12.在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，若∠BAD=20°，则∠C=_________ 13.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证：DE=DF 14.如图，已知AB=AC=AD,且AD∥BC，求证：∠C=2∠D 15.在△ABC中，AC=AB,点D在AB上，BC=BD,∠ACD=15°，求∠B的度数。 16.如图，AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数。
《等腰三角形的判定》教学设计 重点与难点分析： 本节内容的重点是等腰三角形的判定定理.本定理是证明两条线段相等的重要定理，它是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，此定理为证明线段相等提供了又一种方法，这是本节的重点.推论1、2提供证明等边三角形的方法，推论3是直角三角形的一条重要性质，在直角三角形中找边和角的等量关系经常用到此推论. 本节内容的难点是性质与判定的区别。等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理，题设与结论正好相反.学生在应用它们的时候，经常混淆，帮助学生认识判定与性质的区别，这是本节的难点.另外本节的文字叙述题也是难点之一，和上节结合让学生逐步掌握解题的思路方法.由于知识点的增加，题目的复杂程度也提高，一定要学生真正理解定理和推论，才能在解题时从条件得到用哪个定理及如何用. 教法建议: 本节课教学方法主要是“以学生为主体的讨论探索法”。在数学教学中要避免过多告诉学生现成结论。提倡教师鼓励学生讨论解决问题的方法，引导他们探索数学的内在规律。具体说明如下：（1）参与探索发现，领略知识形成过程 学生学习过互逆命题和互逆定理的概念，首先提出问题：等腰三角形性质定理的逆命题的什么？找一名学生口述完了，接下来问：此命题是否为真命？等同学们证明完了，找一名学生代表发言.最后找一名学生用文字口述定理的内容。这样很自然就得到了等腰三角形的判定定理.这样让学生亲自动手实践，积极参与发现，满打满算了学生的认识冲突，使学生克服思维和探求的惰性，获得锻炼机会，对定理的产生过程，真正做到心领神会。 （2）采用“类比”的学习方法，获取知识。 由性质定理的学习，我们得到了几个推论，自然想到：根据等腰三角形的判定定理，我们能得到哪些特殊的结论或者说哪些推论呢？这里先让学生发表意见，然后大家共同分析讨论，把一些有价值的、甚至就是教材中的推论板书出来。如果学生提到的不完整，教师可以做适当的点拨引导。 （3）总结，形成知识结构 为了使学生对本节课有一个完整的认识，便于今后的应用，教师提出如下问题，让学生思考回答：（1）怎样判定一个三角形是等腰三角形？有哪些定理依据？（2）怎样判定一个三角形是等边三角形？ 一．教学目标： 1．使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论； 2．掌握等腰三角形判定定理的运用； 3．通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力； 4．通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受； 5．通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征. 二．教学重点：等腰三角形的判定定理 三．教学难点：性质与判定的区别 四．教学用具：直尺，微机 五．教学方法：以学生为主体的讨论探索法 六．教学过程： 1、新课背景知识复习 （1）请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念 估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。 （2）等腰三角形的性质定理的内容是什么？并检验它的逆命题是否为真命题？ 启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述： 1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.
P y 中考专题复习等腰三角形的分类讨论 一、遇角需讨论 1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为( A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 二、遇边需讨论 2、(1一个等腰三角形两边长分别为4和5,则它的周长等于_________。 (2一个等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长等于。 3、(1如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为10,则另两边长为。 (2如果一个等腰三角形的周长为24,一边长为6,则另两边长为。 三、遇中线需讨论 4、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长。
四、遇高需讨论 5、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数。 5、为美化环境,计划在某小区内用2 30m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。 五、遇中垂线需讨论 7、在ΔABC 中,AB=AC ,AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________。 六、动点与等腰三角形(重点,考点 类型之一:三角形中已经有一边确定 8、在直角坐标系中,O 为坐标原点,A (1,1;在坐标轴上确定一点P ,使ΔAOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( A 、4个 B 、6个 C 、8个 D 、1个 9、已知:O 为坐标原点,四边形OABC 为矩形,A (10,0,C (0,4,点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当ΔODP 是腰长为5的等腰三角形时,点P 的坐标为。 10、如图,直线33+=x y 交x 轴于A 点,交y 轴于B 点,过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C (3,0.
等腰三角形性质 【基础知识精讲】 等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质: 1.两个底角相等(简写为“等边对等角”) 2.底边的中线、高及顶角平分线三线合一. 3.等边三角形各内角都等于60°. 利用这些性质，可以解决有关三角形的边、角的证明及计算问题，也可以利用性质来进行有关线段、角的证明及计算问题. 【重难点解析】 本节重难点均在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题是本节研究的重点. 例1 求证：等腰三角形两腰的中线相等. 已知△ABC 中AB=AC ，BD 、CE 为中线，求证BD=CE. 分析 要证BD=CE ，可考虑证△ABD ≌△ACE ，而∠A 为公共角， AB=AC ，所以只需证明AD=AE 即能达到证明目的. 证 ∵AB=AC, AE=EB, AD=DC ∴AE=AD.在△ABD 和△ACE 中，AB=AC ，∠A=∠A AD=AE ∴△ABD ≌△ACE ∴BD=CE. 例2 等腰三角形一个外角为100°,求三内角度数. 分析 本题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角，但要注意本题中外角是顶角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，本题有两解. 解 ∵等腰三角形 ∴两底角相等，设顶角为x ，底角为y ，则x+2y=180° (1)当顶角的外角为100°时，顶角的外角等于两底角之和 ∴2y=100°求得? ???=?=5080y x (2)当底角的外角为100°时，底角y=180°-100°=80°求得???? =?=8020y x
初中数学等腰三角形的分类讨论 等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。 一. 遇角需讨论 例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ） A. 30° B. 75° C. 105° D. 30°或75° 简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当75°是底角时，则顶角的度数为 180°－75°×2=30°；当75°角是顶角时，则顶角的度数就等于75°。所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。故应选D 。 说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。 二. 遇边需讨论 例2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是6，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，这个三角形的底边长就是5，则此时周长等于17。故这个等腰三角形的周长等于16或17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。 三. 遇中线需讨论 例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。 简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。 若设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得???????=+=+,1221,921y x x x 或???????=+=+.92 1,1221y x x x 解