3.3.1 数学教学原则的含义
教学原则是人们根据对教学规律的认识而制定的，来自于教学实践，又指导教学实践。教学规律即教学内部所包含的矛盾关系。教学之进行、发展和提高，正是教学中各种矛盾运动的结果。教学原则就是处理教学中一些基本矛盾关系的原则。“基本矛盾”是指贯穿于整个教学过程并制约教学进程的矛盾关系。由于对教学规律的认识不同，提出的原则也不一样。如：教学中理论与实践的辩证联系，这是客观存在的教学规律，杜威提出“从做中学”的教学原则，我国则提出“理论联系实际”的教学原则。
教学原则是受到教育、教学目标的制约。教育、教学目标明确了培养人才的规格和方向、质和量的要求，作为教学成分的教学原则必须服从于教育、教学目的。如，我国新世纪的教育目的：以提高国民素质为根本宗旨，以培养学生的创新精神和实践能力为重点，造就“有理想、有道德、有文化、有纪律”的德、智、体、美、劳等全面发展的社会主义事业的建设者和接班人。为实现教育目的，提出“科学性与思想性统一”“传授知识与发展能力相统一”的原则等。
综合分析，我们认为，数学教学原则就是依据数学教育目的、数学教学目标，反映数学教学规律，综合数学教学实践，解决数学教学的基本矛盾而制定的指导数学教学的基本要求。数学教学原则的本质特征就是转化贯穿于整个数学教学过程的基本矛盾
关系，是具体的可操作性的策略性知识，是促进数学学习和教学
活动有效开展的条件。数学教学既要遵循一般教学原则，又要遵循区别于其他学科的特殊教学原则。因此，本节在讨论一般教学原则对数学教学指导的同时，着重讨论基础教育阶段处理数学教学过程中教学矛盾的原则。
3.3.2 数学教学的具体原则
在国内外教育学和数学教育学方面的著作中有关教学原则的论述，因各自时代不同，研究的角度和理论基础不同，教学原则的表述、条目等各不相同。针对数学课堂教学的特殊性，我们认为存在于数学课堂教学中基本矛盾关系有三个，如图5-4 示，即：数学教学内容与学生原有水平之间的矛盾关系；数学教师教的主动性与学生学的适应性之间的矛盾关系；数学课程的数学特征与教育特征之间的矛盾关系。这三个方面的矛盾长久和稳定地存在于数学教学全过程，这些矛盾运动的结果导致数学教学不断前进
因此，本节所讨论的教学原则都是围绕着这三个方面加以概括讨论的。
一、一般教学原则
教学原则既是教学活动的出发点，又是教学过程的总调节器。
在此，先对一般教学原则的基本内容加以介绍。
（一）一般教学原则概述
在我国基础教育阶段数学教学中遵循的一般教学原则主要有：
1、为解决数学课程的数学特征与教育特征之间的矛盾关系，一般教学原则主要有：科学性和思想性相统一原则；知识传授与能力培养相统一；智力因素与非智力因素相统一的原则等。
2．为解决数学教学内容与学生原有水平之间的矛盾关系，一般教学原则主要有：可接受性原则；直观性原则；因材施教原则；循序渐进原则；及时反馈原则等
3．为解决数学教师教的主动性与学生学的适应性之间的矛盾关系，一般教学原则主要有：启发式原则；教师主导作用与学生自觉性、积极性相统一原则等。
教学原则的指导作用并不是彼此独立的，而是构成的有机体所发挥的整体指导作用。每条教学原则都有自己的具体内涵和运用时的基本要求。由于一般教学原则在一般教育学中已讨论，以下仅对启发式教学原则在数学教学中的应用进行具体阐述。
（二）启发式原则
1、原则的内涵
启发式原则是教师遵循认识规律，从学生的实际出发，在充分发挥教师主导作用的前提下，激发学生的求知欲和学习兴趣，引导学生积极思考，主动获取知识的一种原则，此原则是为教师
主动挖掘学生的动力源而提出的策略。其反面是注入式，又称填鸭式。启发式原则是教学中最重要、最基本、应用最为广泛的指导思想，应贯穿在教学活动的全过程。
教学中的启发思想有“愤悱术”和“产婆术”。两种方式都强调通过教师的向导作用来引导学生主动积极地学习，但是启发的基本方式不同。
“愤悱术”是我国古代教育思想家孔子(公元前551-前479年)提倡的。他主张“不愤不启，不悱不发”。《学记》发展了孔子的这一思想，提出了启发诱导的三条原则：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”。即在教学过程中教师要引导学生而不要牵着学生走，要激励学生而不要压抑学生，要指点学生的学习而不要代替学生做出结论。“愤悱术”展开的基本方式是“愤-启”和“悱-发”，因此，注重教师启发的时机，关注学生的独立思考和自由探究，在关键点处适时点拨、暗示，教学中难以把握。
“产婆术”是古希腊著名的思想家苏格拉底（公元前469～前399）提倡的（西方被称为启发式谈话法或苏格拉底法）。他自认为是知识的“助产师”，惯于采用问答法，通过诘难，使对方陷于矛盾，逐渐修正意见，从而导致真理。“产婆术”展开的基本方式是“问-答”，因此，注重教师的发问设计和引导，关注学生思考问题的自然性、合理性，教学中易于把握。
2、贯彻原则的基本要求
启发式原则的核心就是教师能最大限度地开启学生的思维，
点拨学生的思路，激发学生的主动性和创造精神。具体策略有：其一：多方启思。针对教学内容和情绪需要，采用诸如“巧妙设疑”、“精心提问”、“故意制错”、“静中求变”、“设置悬念”等手段，激发学生的思维活动。其二，巧妙设问。设置问题要有一定的“挑战性”，使学生“跳一跳，摘得到”，要能激发学生的潜力。
案例3-8 “对数”概念
在讲授时，设置情境激疑启思：将一张薄薄的人民日报，连续反复对折若干次，报纸叠起来的厚度将不断增。已知地球与月球的距离384400千米，若将报纸对折50次的叠厚作楼梯，你可以沿此梯从地球爬上月球来回走32趟，相信吗？引发学生进入“愤””悱”状态，产生悬念并迫切需要知道事实，在此基础上，教师引导学生分析问题的数学关系并进而引出对数的概念。
二、数学教学的特殊原则
数学教学的特殊原则是针对中学生学习数学的特点与过程，为解决数学教学中存在的基本矛盾而提出的基本要求。特殊原则一般包含如下三条：模型抽象与经验背景相统一的原则；形式表达与思维训练相统一的原则；独立钻研与合作探讨相统一的原则（一）模型抽象与经验背景相统一原则
1、原则的内涵
这一原则，既反映了数学科学的特点，又反映了学生的认识过程和认识水平，是针对数学内容抽象的存在方式与学生原有水平之间的矛盾关系而提出的基本要求。
首先，这是由数学科学的抽象特征决定的。广义地说，一切数学的概念、命题等都是模型。实数系是时间的模型，几何学是现实空间的模型等。数学教学正是数学模型的教学。数学活动就是在数学模型抽象水平上进行的，即使是最简单的数学概念也都是抽象思维的产物。数学模型的抽象是从具体事物的数量关系和空间形式入手，经过分类、概括，选择适当的概念和形式化的符号语言进行表示。数学的抽象程度就体现在低抽象度的元素是高抽象度的元素的具体模型。例如，数字是抽象字母的具体模型，而字母又是抽象函数的具体模型。以学生的经验背景为抽象的逻辑起点，为模型的抽象提供具体的原型。
案例3-9 “二分法”的学习
高中在数学Ι的函数内容中增加了“二分法”的内容。学习目标：根据具体函数图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解。学习此内容的学生经验基础是一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图像与性质。通过方程的根与对应函数的零点之间的关系，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”。然而，在总结“用二分法求函数零点的步骤”中又为学习“算法”思想在打基础。
其次，这是由学生的认识规律和已有水平决定的。首先，学生认识数学理论，是从他的生动直觉开始。模型的抽象建立在学生的具体的经验基础之上，为学生提供了感性认识的基础，为学生的思维提供一个好的切入口，为学生学习活动的找到一个好的
载体，符合学生的认识基础。学生的经验背景不仅包括看得见、摸得着的实际材料，而且包括数学知识经验和数学活动的经验成分。另外，“影响学习唯一的最重要的因素，就是学习者已经知道了什么”（奥苏伯尔语），在学生已有水平之上进行教学才能激发学生有意义学习的心向，有助于学生进入“愤”“悱”状态。
再者，这是由数学广泛的应用性决定的。数学具有抽象性，同时也就具有了广泛的应用性。当学生初步获得数学模型的认识后，使其落脚在学生的经验背景之上，这不仅是确认模型正确性的一种方式，也是让学生感知数学价值的一种途径。数学模型不应当被单纯视为抽象的符号运算、图形分解与证明，它还反映了现实情境中所存在的各种关系。例如，函数，不仅要讨论其抽象的“三要素”、单调性、对称性等，更要将其看成刻画现实事物变化规律（运动变化）的模型，应突出函数的本质，即是一种特
殊的“关系”。比如：函数
22
kx
y ，可以是反映距离、时间、重力加速度的关系，其中y、k、x分别表示距离、重力加速度和时间；也可以反映动能、质量与速度的关系，其中y、k、x分别表示动能、质量和速度。然而，数学知识的应用往往在数学之间来回应用，代数应用几何，几何应用于三角之类，学生难以看到数学在生活、生产及相关学科中的应用。将新的知识与主体已有的经验背景联系起来，这是一个“意义赋予”的过程，使之对于主体来说是“十分直观明了”的东西，也就是抽象的数学知识“具体化”，变为“看得见、摸得着”，使得形成的理性认识具有新的
感性基础。只有在此基础上，进一步区分这些研究对象本质属性和非本质属性，这样才能在头脑中形成理性知识，并对学生应用意识的培养具有实践意义。
2、贯彻原则的基本要求
此原则的贯彻应采用：从具体模型→初步形成的新的数学模型→再到具体模型的路线，结合学生的经验背景进行。
(1)结合学生的生活经验，运用生动、形象的现实材料或实物模型来引入和阐明新的概念和原理等内容。例如，通过新闻中的“降水率”、西瓜“成熟率”等实际生活中常见的生活现象引入“概率”内容，使学生正确理解随机事件发生的不确定性及频率
1的的稳定性，澄清日常生活中一些错误认识，如“中奖率为
10000
彩票，买1000张一定中奖”，并让学生解释广告可靠度、天气预报的可信度等等。
教学中一方面可以让学生了解到数学的许多概念和原理是从现实世界中抽象概括出来的。如通过中国境内大湖的分类引入集合的概念；从对高速公路通车总里程和加油站等现实问题的思考，让初中生体验生活中处处充满变量间的依赖关系，从生活中的变量入手，让学生观察、体验变量之间的依赖关系，从而引入函数概念。另一方面也让学生经历了如何抓住事物的量的本质，从实际的问题中抽象、概括出数学模型的过程。建立在生活经验之上只是手段，关键目标是要培养学生抽象、概括能力。
（2）从学生已有的“数学”经验或其他知识经验背景中去发
掘具体原型，为新知识的学习提供固着点，有助于知识的同化与顺应，建立数学知识的内在联系以及与其他学科知识的关联。如，高中新课程中三角函数的概念安排在必修数学Ⅳ中学习，必修数学Ⅱ中平面解析几何中直线的“斜率”概念就不是由“直线的倾斜角的正切”来学习，而是通过生活实际中的“坡度”概念来学习；讲“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”等曲线模型时，可结合“桥”、建筑图片等优美的曲线，让学生感受曲线的背景和应用，而“圆锥曲线”的概念就是在这三个具体模型的认知基础上形成定义：“从顶点向两侧伸长的两叶圆锥面和任一平面相交而成的曲线”；学习向量可利用物理学中的力、速度等知识基础。
由于数学模型是逐级抽象的，并非每一抽象理论都反映具体的实际现象。如，用分蛋糕来解释简单的分数的大小和运算很有用，可复杂的计算如因式分解的理论与方法，只能按照运算的法则和公式进行。帮助学生用内心已有的体验来学习数学，既有助于区分新旧知识的异同点，又为新知识的建构提供基础。
(3) 充分利用经验背景，检验和运用初步获得抽象的数学概念和原理，帮助学生体会知识的应用价值，感受数学的整体性。例如，学生在学习了“两条相交直线决定一个平面”定理之后，让学生去解释：“木工师傅为什么用两条细线分别交叉固定在桌子的四个脚底部之后，便可判定桌子的四脚是否落在一个平面上？”
（4）不能误认为与学生经验背景相统一就是将数学知识“生
活化”。在过去的数学教学中，忽视数学与生活密切相关。新课程十分重视数学与生活的联系，如“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象面数学模型并解释与应用的过程”。但与生活情境的不恰当联系、过分的引入等都会影响数学知识的学习，同样是不可取的。
案例3-10 高中数学函数模型
在高中数学中，由于函数的内容是分散在几个模块中学习的，在整个的教学中，利用已有的经验基础，建立函数模型的思想。为此：在函数的概念中，给出有不同背景而在数学上有从数集到数集的对应关系的实例，引导学生自己的去抽象出集合、对应的语言。在函数图像中，建立函数的零点与方程根的联系，借助计算器求方程的近似解；建立函数值的范围与不等式的联系。在数列的学习中，利用等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系进行学习。在导数的学习中，利用导数与函数的性质的关系感受导数的意义，等。在函数的应用中，鼓励学生自己去寻找、分段函数的情境和实例；将一次函数、指数函数、对数函数等不同函数模型的增长同社会上所说的直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的变化规律相联系等。在高中数学学习中，将抽象的函数模型始终与学生的经验背景相联系，帮助学生把握函数与其他内容之间的联系、与日常生活的联系，体会函数是高中数学的核心概念，突出函数是描述现实世界的最重要、最常用的数学模型。
（二）形式表达与思维训练相结合的原则
1、原则的内涵
这一原则既反映了数学自身的价值，又反映了学生的发展要求，是针对数学课程的数学特征与教育特征之间的矛盾关系来提出的基本要求。
首先，这是由数学自身的价值决定的。荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔（H。Freudenthal）曾经这样描述:“没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表。一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化的技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。”数学不仅表现为结构上的逻辑演绎性、呈现方式的形式化特征，还表现为形象性、似真性的思维的动态实验过程特征。数学抽象的形式化特征，并不仅仅是一堆毫无意义的符号堆砌，而是在于其形式化语言的应用价值，在于其内容所体现的数量模型的广泛应用性上，在于其对培养人的逻辑思维和创新思维的作用上。对于学生来说，假如学了很多形式数学，却不能用统计方法去解释评委评分时要“去掉最高分与去掉最低分”的原因，那就失去了数学学习的意义。学生不仅要学习演绎的形式化的数学知识，更要学习形成数学的动态的思维过程。为了防止形式与内容相脱节，在学习形式化的表达的同时，要有意识地揭示数学化、形式化的思维过程，才能理解数学的本质内涵。
其次，这是由学生的发展需要决定的。基础教育阶段的数学
教育是一种公民教育，对大多数人来说，是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学会相应的应用数学的活动。学生升学或就业后，一些人需要学习或研究更多的数学，对他们而言，是否掌握形式化的数学知识非常重要；另一些人（他们是受教育者中的绝大多数）直接用到虽然掌握数学可能是一种需要（如国家公务员中数学考试），但更多的是面临各种问题情境时能否从数学的角度去思考自己遇到的问题，却是非常必要的，是未来生存和发展的需要。
这就表明，虽然学习形式化表达是数学学习的一项基本要求，但不能将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。数学真理的抽象概括过程，是区别于数学作为印在书上和铭记在脑子里的东西。作为一个公民，当他们忘却数学知识时，还能为他们在思维方式上、在处事态度和方式上、在精神上、在意志品质上留下更多地东西，为学生的终身学习和终身发展打下良好的基础，那就是：数学教育应当帮助学生学会数学地思维，从而学会更一般的思维。
案例3-11 算法内容的安排
《普通高中数学课程标准（实验）》中提出“把算法融入到数学课程的各个相关部分”，将算法思想作为构建高中数学课程的基本线索之一，这从很大程度上改变了以往的数学课程着重严谨的数学内容的设计。学生通过古代数学中丰富的算法思想到信息技术中的程序设计，结合有关知识的学习，体会算法思想，发展
有条理的思考与表达能力，提高逻辑思维能力。
2、贯彻原则的基本要求
此原则的贯彻要求教学中以形式化知识体系的学习为载体，从数学思维的内容和思维方式等方面全方位的训练和培养学生
的思维能力，从而使学生学会用数学去思考和解决问题，
(1) 注重数学语言的学习、交流与表达。如前所述，数学语言的教学是数学教学的特点之一。形式化的数学语言便于进行数学思维，数学思维必须学习形式化的数学语言。学生数学语言的掌握程度决定着数学思维的有效性程度。教师要尽可能展现数学语言的和谐美、简洁美、统一美和奇异美，利用口头的、文字的、符号的、图形的等多种语言转换形式，积极地鼓励学生解释思路、畅谈心得、描述感受、讨论问题等，培养学生准确使用数学语言进行表达和交流，体会形式化的数学语言的价值，促使学生喜欢数学语言，进而喜欢数学科学。
案例3-12 若x,y,z,均为小于1的正实数，求证
x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1
分析一：代数语言与几何语言的转换。将待证式的代数结构,转换成边长为1的三角形中量的关系。如图5-5所示，可以将x,y,z分别看成三边上的三线段长,另外三线段的长则分别为
1-x,1-y,1-z,这样可借助面积之间的关系去讨论即可。
分析二: 变量与常量的转换。待证式是一个变量x、y、z的非线性结构，若视y，z为常量，即可将问题转换成关于变量x 的线性结构；令f(x)=x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)-1，则将不等式语言表征的问题，转化成函数语言表征的问题。
(2) 注重多向度思维的培养。数学形式的渐进学习有助于强化数学思维，有效地组织思维活动。如何才能有效？其主要表现就是将收敛思维和发散思维进行综合培养。学生的思维过分集中在一点，会使思维受到束缚。使学生朝多种思维指向、多种思维角度，沿着各种不同的方向去思考的。曾有人提出：创造能力=知识量+发散思维能力。这虽然过于突出思维发散能力的作用，但也从另一方面说明勇于突破各种框架的束缚，大胆地去进行质疑、批判、探寻等，有助于创造性意识的培养。
案例3-13 求：0
240
2
10
+
cos
sin+
40
sin
cos
10
分析：学生有了“和差化积与积化和差”的知识积累后，能很快找到解题的途径。若单从此题而言，学生“懂”了公式的内
涵，并能应用，已完成教学任务。然而从思维角度来看，教师可激发学生进行多向度的思考：
思考一：分析角度关系。将原式变形：
000202120cos 50sin 10sin 250sin 10sin -+ 由00001801205010=++，可发现它的结构正是三角形的三内角之间的关系，于是联想到三角形的余弦定理和正弦定理。若ΔABC ，则由三角形的余弦定理和正弦定理可得：
A C
B
C B A cos sin sin 2sin sin sin 222-+=，将A 、B 、C 赋值并能很快求解
此思考完全避开了和差化积、积化和差知识，仅用到正、余弦定理，并能并可用算法的思想将此题拓展为更一般的问题。
思考二：利用正余弦关系。联想到同角正余弦函数之间的关系构造对偶关系式：X=00020240cos 10sin 40cos 10sin
++ （1） Y=00020240sin 1040sin 10con con ++ （2）
将（1）、（2）两式分别相加和相减，可得：
X+Y=0
50sin 2+ （3） X-Y=0
50sin 2- （4） （3）、（4）两式相加，即可得X 的值。此思考通过联想、构造，效果奇特，别具风格。
此题的思考远没有结束，如通过换元；令
βαβα-=+=0040cos ;10sin ，可将问题进一步转换，…
（3）注重演绎推理与合情推理的综合训练与培养。演绎推理
和合情推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。演绎推理是从已有的事实出发，按照规定的法则，证明数学命题的正确性。数学形式化的特点主要表现在体系的逻辑演绎性。数学逻辑链条上的某个环节发生断裂，就可能会影响整个知识的掌握。如：从一元到多元，一维到多维，有限到无限，都是逐层抽象演绎的结果。演绎推理在训练学生数学思维严谨性方面具有不可替代的作用。通过数学演绎论证训练，让学生领悟依据逻辑思考和表达的真谛，逐步培养学生言必有据、思考缜密、思路清晰的良好的思维习惯。例如，能区分“增长了”和“增长到”之间的一字之差的内涵、明确“一元二次方程”中“二次项系数”的取值等
然而，存于书上的知识体系都是由逻辑演绎体系构成，并不能反映数学的全貌。逻辑与直觉、推理与猜想总是相伴随的，严格的论证和敏锐的直觉是和谐统一的。波利亚（G. Poliva）在《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你得一次又一次地进行尝试。”这就说，数学活动就是不断猜想，然后进行证实或否定的过程。合情推理是从已有的事实出
发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推测某些结果。因此，如何进行合情推理，提出合乎情理的猜想，便成为数学教学的重要课题。
教师在教学中应针对所学内容设计适当的学习活动，引导学生经历观察、尝试、估算、归纳、类比、猜想等活动，发展学生的合情推理能力；利用演绎推理确认结论的正确性，并根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。使学生知道这是两种相辅相成的推理形式。
案例3—14 求三角形的内角和。让学生经历过程中体验两种推理的思维过程
第一步：让学生利用割补思想，将三角形的三个内角剪下来，拼接在一起进行观察猜想。
第二步：让学生通过作辅助线，利用已有的同位角等定理进行论证。
（4）淡化形式，展现数学知识发生发展的过程，突出数学思想方法的教学。在形成数学知识逻辑结构的过程中，教师注意揭示形式推演背后的生动思想，展现隐藏在数学知识发生发展过程中的思想方法。如指数函数定义，“R
=),
x
(且”中
>
1
a
a
a
y x∈
≠
为什么要规定1
0≠
a且？教师由于未能说明，使得学生常忘掉
>a
这个条件。又如，从算术到代数的学习中，学生若不能理解“字母代数思想”的含义，也就不可能理解方程中“=”与算术中“=”等号有什么不同，在解方程3x+12=6x时，就会产生“3x+12=6x
=3x=12=x=4”运算错误。
新课程要求充分暴露思维过程，并将主观性知识也作为学习的一个重要目标。通过概念的形成、论证的过程、方法的选择和发展过程、数学建模的过程、公式法则被发现的过程等，教学生在过程中学会思考，积累数学活动经验。如：向量、统计、概率等概念和内容的学习，不仅使学生认识数学的发生和发展规律，同时也了解人类从数学的角度认识客观世界的过程，它们具有“双重身份”。又如，新课程关于“导数及其应用”内容的处理中，不讲极限概念，直接学习导数概念及其应用。从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程中，体验导数的思想及其内涵，了解导数学在现实生活中的应用，着重使中学生更好地理解导数的本质，让他们感受用导数去研究函数性质更为一般、也更有效。
案例3-15 ：万用表不能直接测量时怎么办？
某饭店各房间的室内温度由控制室统一调整。一位施工师傅发现控制室内指示仪表的温度与室内实际温度有差异且始终调整不好。后来查出原因是因为从高层房间到控制室的距离很长，三相电的三根电线因转弯处折转不同，有长有短，而造成三根电线的电阻不同，结果仪表上就出现了偏差。
如图5- 6所示，任何万用表都不能把一头放在十几层楼房间里的a'处，另一头放在底楼控制室的a处，那如何来测量三根线的电阻呢？一位学习过代数的青年师傅想出了办法。他假设x，y，z分别是a a'，b b'和c c'的电阻，这是三个未知量，电表不能直
接测量出这三个数。然而可以把a '和b '连接起来，在a 和b 处量得电阻x+y 为l ，然后将b '和c '连接起来，在b 和处量提y+z 为m ，连接a '和c '，可量得x+z 为n 。这样得到三个变元的联立方程式??
???=+=+=+n z x m z y l
y x
于是解出x ，y ，z ，仪表就调整好了。这位青年师傅的可贵之处在于他在非数学情境中，能用数学的眼光将实际问题转化为数学问题，并利用数学知识加以解决。学习方程，难就难在用方程的“观点”去分析实际问题，用数学思想构造数学模型，而不在解方程。如果我们的数学教学只是让学生学习知识，却不去揭示思维的过程，学生在新的情境中是很难用数学的眼光去思考问题。
（三）独立钻研与合作探讨相结合原则
1、原则的内涵 这一原则既反映了数学活动的特点，又反映了学生主体的地
位和作用。在教学过程中，学生“应干什么”，并不表示学生“能干什么”和“在干什么”。这是为解决数学教师教的主动性与学生学的适应性之间的矛盾关系而提出的基本要求。
首先，这是由数学活动的特点决定的。数学活动，在相当长的时期，人们普遍认为数学活动只是一种个体化的活动。合作、交流与数学以及数学家的特性相关甚少。数学家总是性格孤僻的怪人的代名词。这也就是说，以往的数学活动过于强调个体的独立活动。事实上，在数学共同体中，数学家必须与相应群体保持密切的联系，建立有效的合作关系，及时了解新的研究成果，掌握新的、更为有效的方法，与群体分享思想，共同促进数学的发展。这也就是说，数学活动中群体间的合作研究是数学研究的一种方法，对个体的学习和发展具有促进作用。由于学生群体是一个学习数学的共同体，共同体内部思维的碰撞，方法的交流，对同一信息可以获得不同的理解，群体内分享思想的习惯养成也应是数学学习的需要。
其次，这是由学生主体的地位和作用决定的。现代教学论确立了学生在教学中的主体地位，肯定了学生在学习活动中具有积极主动的主体意识，认知结构具有积极吸收外界信息和自我调节的功能。即使是以教师讲授为主的数学课堂，也表明学生必须依靠主体独立地思维活动，才能内化数学知识。另外，合作学习中，学生的信息通道处于开放状态，然而，如何选择正确的信息，正确的认识他人和认识世界，就必须要学生主体独立的思考与判
一、选择题： 1.关于重点、难点与关键，下列说法正确的是（） A、教材的重点就是教学的重点 B、教材的难点就是教学的难点 C、教材的关键就是教学的关键 D、教材的重点与难点有时可以相同 2.关于教材分析，下列说法错误的是（） A、教材分析要注意根据数学学科的特点进行 B、教材分析要注意根据儿童的认知特点进行 C、教材分析要注意避免参考其他版本的教材 D、教材分析要注意中小学数学的衔接 3.在教学公约数与公倍数概念时，要注重渗透的集合思想是（） A、交集思想 B、并集思想 C、差集思想 D、补集思想 4.20以内的进位加法，一般先教学9加几，然后再教学8加几，7加几，……，教学时主要渗透的数学思想是（） A、函数思想 B、集合思想 C、化归思想 D、极限思想 5.著名的哥德巴赫猜想（任何一个大于4的偶数都是两个奇素数之和）的发现过程主要采用了（） A、演绎推理 B、论证推理 C、归纳推理 D、类比推理 6.若把概念的同化作为接受学习，那么概念的形成就是（） A、范例学习 B.接受学习 C、尝试学习 D、发现学习 7.下列数学概念一般采用概念同化的方式学习的是（） A、分数 B、直角三角形 C、圆 D、自然数 8.下列数学概念一般采用概念形成的方式学习的是-（） A、直角三角形 B、真分数与假分数 C、正方形 D、分数 9.如果小学生在学习平行四边形的有关规则的基础上学习矩形的有关规则，则在这一学习过程中，新规则与原认知结构相互作用的方式是（） A、同化 B、顺应 C、重组 D、平衡 10.一般说来，“数学问题解决”中的“问题”是指（） A、常规问题与非常规问题 B、非常规问题与数学应用问题 C、数学应用问题 D、纯数学问题与数学应用问题 11.角谷静夫是日本的一位数学家，他所提出的角谷猜想是这样的： 任意给出一个自然数N，如果它是偶数，则将它除以2（变成N/2）；如果它是奇数，则将它乘以3再加上1（变成3N+1），然后重复上述过程。最后都无一例外地得到自然数“1”（确切的说是进入“1→4→2→1”的循环）。这一猜想的获得过程主要采用了（） A、演绎推理 B、论证推理 C、归纳推理 D、类比推理
《小学数学教学论》解答 一、名词解释题（每题5分，共15分） 1．随机现象 答：是指在相同的条件下，重复同样的实验或实例，所得的结果不确定，在实验之前无法预测实验结果。 2．电化教学手段 答：是指利用声、光、电原理设计的教学设备，主要包括幻灯、投影、电视、电影、录音、录像、语言实验室、计算器、电子计算机等，是现代科学技术在教学上的应用。 3．开放性问题 答：从狭义上讲，就是我们通常所认为的所谓解法不唯一、答案不唯一，而从更广义的角度，开放性问题意味着一个较为复杂开放性的问题情境，解决这样的问题需要经历提出假设、对数学情境作出解释，计划解题的方向，创造一个新的相关的问题或进行概括等等，也就是说在该问题的解决过程中可以帮助我们收集到有关学生更多方面的信息，从而说它更具开放性。 二、简答题（每题10分，共50分） 1．对比《大纲》，具体分析《标准》对“数与代数”的内容有何调整？ 答：“数与代数”是《标准》设计的四个学习领域之一，在这个领域内容中，把以往数学与计算、代数初步知识、量与计量的部分内容进行适当的整合与更新，形成新的学习内容。对于整数的
认识，《标准》提出认识和感受大数的要求，“在具体的情境中，认、读、写亿以内的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数；结合现实情境感受大数的意义，并能估计”。而《大纲》的要求是，“认识自然数和整数。掌握十进制计数法，会根据数级读、写多位数”。标准增加了负数的认识，“在熟悉的生活情境中，了解负数和意义，会用负数表示一些日常生活中的问题”。这是大纲中没有的内容。 2．如何理解“获得一些初步的教学实践活动的经验，能够运用所学的知识和方法解决简单的问题”？实施中的注意要点是什么？ 答：《标准》提出的“获得一些初步的教学实践活动的经验是指学生经历实践活动之后，初步懂得一些实践活动的操作步骤、操作方法以及活动过程中的情感体验。这些活动经验是学生成长过程中的一份宝贵积累，它对学生终身学习具有很大的帮助。另外，“能够运用所学的知识和方法解决简单的问题”是指数学的应用问题，它既能巩固学生所学的知识，又能为知识的综合应用创造条件。在教学时要注意以下几点：(1)加强实践活动的指导。数学的实践活动并不是“放羊式”的活动，它仍需要教师的指导。在教师的指导中，应重点帮助 学生逐步掌握一些操作步骤与操作方法，以便为他们后续的发展打下基础。(2)加强综合设计的指导。开展实践活动并不是为了实践而实践，而是力求通过实践活动，促进学生知识的整合、方法
期末作业考核 [东北师范大学2018年秋季离线作业] 《小学数学教学论》 满分100分 一、名词解释题（每题5分，共15分） 1.发现法 【答案】是指教师不直接把现成的知识传授给学生，而是引导学生根据教师和教科书提供的课题与材料，积极主动地思考，独立地发现相应的问题和法则的一种教学方法。 2.课程内容 【答案】是指按照一定要求制定的各门学科中特定事实、观点、原理、方法和问题，以及处理它们的方式。 3.数学交流 【答案】数学交流大体包括数学思想的表达，把自己的信息以某种形式(直观的或非直观的、口头的或书面的、普通语言或数学语言)表达出来；数学思想的接受，以某种方式(听、读、看等)接受来自他人的思想；数学思想载体的转换。把数学思想由一种表达方式转换成另一种表达方式。 二、简答题（每题10分，共50分） 1．影响数学课程目标的因素有哪些？ 【答案】数学课程目标的制定要考虑三个方面的因素： （1）社会发展的需要。学校教育要为社会发展需要服务，数学课程目标的制定要考虑社会发展对学生未来数学素养的需求，这是学校教育的功能决定的。学校的重要功能就是为社会培养合格的人才，而未来社会所需要的人才应当具备一定数学素养。 （2）儿童发展的需要。数学课程目标更多地从学生发展的需要出发，从儿童未来步入社会的实际需要出发。近些年数学课程改革的一个趋势就是重视学生的发展，设计为所有人的数学，让所有人都掌握数学。 （3）数学科学发展的需要。现代数学的发展，对数学科学和数学学科的认识也在不断变化。传统的中小学数学内容绝大部分是十七世纪以前形成完整体系的内容。现代数学已经有了很大进步，再也不能按照传统的数学内容体系来安排中小学数学内容。数学教育现代化的一个突出的标志就是课程目标与教学内容的现代化。
一、填空题 1、小学数学教学方法选择的依据 2、数学活动水平知识技能目标包括：。 3、小学数学的基本教学方法有等。 4、数学实践活动课的教学过程一般分为四个步骤进行，即。 5、小学数学中有三种计算方式。 6、《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中所规定的教学内容包括。 7、奥苏贝尔对学习的划分有：。 8、小学数学教学过程最基本的成分：。 9、解决问题的基本过程。 10、皮亚杰的儿童认知发展四阶段为。 11、小学数学教学班级授课的基本组织形式有。 12、按照不同的分类标准，小学数学教学评价可以分为不同的类型。按照评价的目的、作用和时间的不同，可将小学数学教学评价分为和；按照评价的表达方式不同，可以将小学数学教学评价分为和。 13、小学数学课程目标制定的依据。 二、简答题 1、数学课程内容的选择依据有哪些？ 2、简析小学生形成空间观念的心理特征。 3、简析小学生计算错误的原因。 4、简述备课的基本要求。 5、浅析小组合作学习的优势及应注意的事项。 6、试分析小学生学习数学的思维发展特点。 7、简述小学生获得概念的两种方式。 8、简述学科数学与科学数学有哪些区别与联系？ 三、论述题 1. 试论在数学教学过程中培养小学生的情感与态度的重要性。 2. 结合实际论述促进小学生发展的数学学习评价。 3. 结合小学数学教学实际，论述培养小学生“解决问题”能力的意义和重要性。 4. 简要论述新课程标准中对学生数学素养提出的新要求。 四、参考答案 一、填空题 1、教学目标、教学内容、教学对象、教学设备条件、教师的特长及教学风格。 2、了解、理解、掌握、灵活运用。 3、讲解法、谈话法、演示法、操作实验法、练习法、引导发现法、暗示教学法、合作学习法、模拟法、探究研讨法（从中任选五个即可） 4、活动准备、活动导入、活动实施、活动总结 5、口算、笔算、估算 6、数与代数、空间与图形、统计与概率、实践活动与综合运用 7、有意义学习、机械学习、发现学习、接受学习 8、教师，学生，教学内容，教学模型和方法 9、弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾反思
数学教学论 期末作业 学号：120414127 姓名：赵志鹏 班级：12级应用（1）班
函数概念发展的历史过程 1．1 早期函数概念——几何观念下的函数 十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。 1．2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数 1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x 和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。 18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。 1．3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数 1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。 1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。 等到康托尔(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概
小学数学教学论The final revision was on November 23, 2020
期末作业考核 《小学数学教学论》 满分100分 一、名词解释题（每题5分，共15分） 1.发现法 答：是指教师不直接把现成的知识传授给学生，而是引导学生根据教师和教科书提供的课题与材料，积极主动地思考，独立地发现相应的问题和法则的一种教学方法。 2.课程内容 答：是指按照一定要求制定的各门学科中特定事实、观点、原理、方法和问题，以及处理它们的方式。 3.数学交流 答：数学交流大体包括数学思想的表达，把自己的信息以某种形式(直观的或非直观的、口头的或书面的、普通语言或数学语言)表达出来；数学思想的接受，以某种方式(听、读、看等)接受来自他人的思想；数学思想载体的转换。把数学思想由一种表达方式转换成另一种表达方式。 二、简答题（每题10分，共50分） 1．影响数学课程目标的因素有哪些 答：数学课程目标的制定要考虑三个方面的因素：（1）社会发展的需要。学校教育要为社会发展需要服务，数学课程目标的制定要考虑社会发展对学生未来数学素养的需求，这是学校教育的功能决定的。学校的重要功能就是为社会培养合格的人才，而未来社会所需要的人才应当具备一定数学素养。（2）儿童发展的需要。数学课程目标更多地从学生发展的需要出发，从儿童未来步入社会的实际需要出发。近些年数学课程改革的一个趋势就是重视学生的发展，设计为所有人的数学，让所有人都掌握数学。（3）数学科学发展的需要。现代数学的发展，对数学科学和数学学科的认识也在不断变化。传统的中小学数学内容绝大部分是十七世纪以前形成完整体系的内容。现代数学已经有了很大进步，再也不能按照传统的数学内容体系来安排中小学数学内容。数学教育现代化的一个突出的标志就是课程目标与教学内容的现代化。 2．近现代的数学教学材料有哪几类 答：随着近现代数学教育的发展，数学教学手段也在逐步发展，与教学内容相适应的教具和学具相继出现,成为数学教育改革的一个标志。这些材料主要包括三类。一是结合有关内容设计的教具、学具。如学习认数和四则计算的小棒、插板等,几何形体模型等。二是有结构的、适用性强的教具和学具,如奎逊耐彩棒、逻辑块、几何拼板等。三是现代化教学手段,如投影、计算机、录像等。
一、填空题:(每空2分,共30 分) ★1、数学就是研究现实世界数量关系与空间形式的一门科学。 ★2,、数学概念就是反映数学对象本质属性的思维方式。 3、数学记忆包括:获得、保持、再现三个阶段。 ★4、概念间的关系有:同一关系、属种关系、全异关系(对立、矛盾)、交叉关系。 ★5、备课的主要程序:备教材、备学生、备教法、制定教学计划、编写教案。 ★6、数学课的类型主要有:综合课、练习课、新授课、复习课、讲评课、 测验课等。 二、选择题:(每题 2分,共 20 分) 1、确定数学教学方法的因素不包括( D ) A、教学目标 B、教学内容 C、教师的能力与学生的认知水平及学习环境 D、教学时间 2、数学能力的三大基本能力不包括( C ) A、运算能力 B、空间想象能力 C、观察能力 D、逻辑思维能力 3、数学教育的自身特点下列正确的选项就是( B ) ①综合性②实践性③实用性④发展性⑤灵活性⑥科学性⑦教育性⑧主体性 A、①②③⑤ B、①②④⑥⑦ C、①②④⑥⑧、 D、①②③⑤⑦ 4、教学的宗旨就是培养学生的创新意识与 ( C ) A、解题能力 B、推理能力 C、实践能力 D、想象能力 5、数学中的“双基”指的就是 ( A ) A、基础知识与基本技能 B、基础知识与基本概念 C、基础知识与基本公式 D、基础知识与基本命题 6、下列那项不就是复合判断。 ( D ) A、假言判断 B、负判断 C、联言判断 D、关系判断 7、进行教学设计的关键就是 ( A ) A、分析教材 B、阅读教材 C、师生关系 D、分析学生 8、判断分为:( B ) A、性质判断与关系判断 B、简单判断与复合判断 C 、负判断与联言判断 D、选言判断与假言判断 9、教师就是学习的 ( D ) A、组织者 B、引导者 C、合作者 D、以上都就是 10、说课的基本要求包括 ( C ) A、科学性、思想性与实践性 B、科学性、理论性与严谨性 C、科学性、思想性与理论性 D、思想性、严谨性与实践性 三、判断题( 小题1分,共 5分) 1、评教学目标,既关注预设,又关注生成目标,但手段与目的不一定一致。 ( × ) 2、理论基础就是构成数学教学模式诸要素的核心与灵魂。 ( √ ) 3、若a>0或a<0,则2a>0就是命题合取运算。 ( × ) 4、教学方法就是宏观的而教学模式就是具体的。 ( √ )
高中数学教学方法探讨论文 高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。社会的进步对教学内容提出了新的要求，同时也为教学提供新的技术手段，为学习提供新的学习方式。数学是研究空间形式和数量关系的科学，数学能够处理数据和信息，进行计算和推理，可以提供自然现象、科学技术和社会系统的数学模型。 数学是学习和研究现代科学技术的基础；在培养和提高思维能力方面，发挥着特有的作用；其内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。将信息技术运用于数学教学，弥补了传统教学的不足，提高了教学效率，同时也培养了学生的信息技术技能和解决问题的能力。信息技术与数学教学的融合，主要有以下几方面的功能。 激发学习兴趣培养参与意识 如何激发学生的学习热情是上好一堂课的关键。近半个世纪来，中国的教育受凯洛夫教育思想的影响极深，注重认知，忽略情感，学校成为单一传授知识的场所。这就导致了教育的狭隘性、封闭性，影响了人才素质的全面提高，尤其是影响了情感意志及创造性的培养和发展。情境教育反映在数学教学中，就是要求教师注重数学的文化价值，创设有利于当今素质教育的问题情境。 例如，在学习函数基本性质的最大值和最小值时，可以先播放一段壮观的烟花片段。“菊花”盛放，制造时，一般期望它达到最高点时爆炸。那么，烟花距地面的高度h与时间t之间的关系如何确定？如果烟花距地面的高度h与时间t 之间的关系就为h(t)=-4.9t2+14.7t+18。烟花冲出，什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？ 通过创设问题情境，让学生感受数学是非常有趣的，数学不只存在于课堂上、高考中，数学的价值是无处不在的。情境教学能促进教学过程变成一种不断引起学生极大兴趣的，向知识领域不断探索的活动。借助多媒体强大的图形处理功能，新异的教学手段，创设生动有趣的情境，激发学生的学习情绪，使学生固有的好奇心、求知欲得以满足，同时给学生提供了自主探索与合作交流的环境。 拓展教与学的资源
《中学数学教学论期末复习资料》 1.绪论 一、中学数学教学论的研究对象与任务 该课程起源于近代师范教育的产生。1919年秋，陶行知先生提出以“教学法”代替“教授法”，此举为政府所接受。 总的研究对象仍然是“数学教学”，主要任务仍然是解决“教什么”与“如何教”的问题，当然也涉及“为什么教”和“教给谁”的问题。 中学数学教学论主要从教师角度来研究数学教学过程。 其研究任务可划分为三个方面： 1)数学教学的理论基础，主要解决数学教学为什么教，教给什么样的对象，教什么样的内容三个问题； 2)具体数学活动的教学； 3)数学教师的日常工作。 中学数学教学论的特点 1)中学数学教学论是一门具有高度综合性的独立的学科； 2)中学数学教学论与实践的关系十分直接； 3)中学数学永远处于发展的过程之中。 中学数学教学论的学习方法 1)必须广泛地学习并运用有关学科的知识和方法； 2)理论联系实际； 3)开展实验研究。 第一章中学数学教学论的课程基础 研究中学数学课程目标的依据 1)国家的教育方针和基础教育的任务； 2)数学的特点和作用； 3)学生的认知和心理特征。 我国社会主义建设时期的教育方针是，教育必须为社会主义现代化服务，必须同生产劳动相结合，培养德智体全面发展的建设者和接班人。 按照我国的规定，基础教育包括九年制义务教育和后续的高中教育。 数学活动实质上就是数学思维活动。 数学思维活动的三个特点 1)思维对象的抽象性以及思维过程中抽象方法的特殊性； 2)严谨性与非严谨性的结合； 3)自然语言与符号语言相结合。 根据皮亚杰的研究，青少年思维的发展经历了感知运动，前运算，具体运算和形式运算四个阶段。 义务教育阶段数学课程目标分为三个层次：总体目标，学段目标，各大快数学内容的具体目标。
期末作业考核 《小学数学教学论》 满分100分 一、名词解释题（每题5分，共15分） 1.随机现象 答：在一定条件下，在个别试验或观察中呈现不确定性，但在大量重复试验或观察中其结果又具有一定规律性的现象，称为随机现象。 2.电化教学手段 答：电化教育手段，是运用电化媒体进行教育与教学活动的方法和方式。主要有幻灯、投影、电影、录音、电视和电子计算机等。 3.开放性问题 答：开放性问题（open questions）：是一些不能那么轻易地只用一个简单的“是”、“不是”或者其他一个简单的词或数字来回答的问题。开放性问题会请当事人对有关事情做进一步的描述，并把他们自己的注意力转向所描述过的那件事比较具体的某个方面。以“怎么样……”开始的开放性问题比那些以“为什么……”开始的开放性问题会得到更有价值的信息。 二、简答题（每题10分，共50分） 1．对比《大纲》，具体分析《标准》对“数与代数”的内容有何调整？ 答：“数与代数”是《标准》设计的四个学习领域之一，在这个领域内容中，把以往数学与计算、代数初步知识、量与计量的部分内容进行适当的整合与更新，形成新的学习内容。对于整数的认识，《标准》提出认识和感受大数的要求，“在具体的情境中，认、读、写亿以内的数，了解十进制计数法，会用万、亿为单位表示大数；结合现实情境感受大数的意义，并能估计”。而《大纲》的要求是，“认识自然数 和整数。掌握十进制计数法，会根据数级读、写多位数”。标准增加了负数的认识，“在熟悉的生活情境中，了解负数和意义，会用负数表示一些日常生活中的问题”。这是大纲中没有的内容。 2．如何理解“获得一些初步的教学实践活动的经验，能够运用所学的知识和方法解决简单的问题”？实施中的注意要点是什么？ 答：《标准》提出的“获得一些初步的教学实践活动的经验是指学生经历实践活动之后，初步懂得
《小学数学教学论》作业 本课程作业由两部分组成。第一部分为“客观题部分”，由15个选择题组成，每题1分，共15分。第二部分为“主观题部分”，由简答题和论述题组成，共15分。作业总分30分，将作为平时成绩记入课程总成绩。 客观题部分： 一、选择题（每题1分，共15题） 1、一般来讲数学课程目标的制定要考虑三方面的因素（A ） A.社会发展的需要、儿童发展的需要、数学科学发展的需要 B.社会发展的需要、心理发展的需要、儿童发展的需要 C.儿童发展的需要、心理发展的需要、数学科学发展的需要 D.儿童发展的需要、社会发展的需要、心理发展的需要 2、小学数学学习过程可以从总体上划分为三个阶段（B） A. 准备阶段、习得阶段、提取阶段 B. 习得阶段、保持阶段、提取阶段 C. 准备阶段、保持阶段、提取阶段 D. 习得阶段、巩固阶段、运用阶段 3、通过分析、综合、抽象、概括，逐步掌握概念的基本特征或规律的实际含义，达到理性 认识的这一个小学数学学习的重要阶段是（C ） A. 感知 B. 综合 C. 理解 D. 掌握 4、小学数学教学过程的动力是（A） A. 学生现有的数学知识、技能和发展水平与数学教学的进程对他们提出的任务要求之间的矛盾 B. 学生的学习目标与学习现状之间的差距 C. 学生的学习现状与教学期望之间的差距 D. 学生的学习能力与教学期望之间的差距 5、学生的主体地位总结起来主要体现在学生在教学过程中，主动参与的（A ） A. 深度与广度 B. 程度与水平 C. 积极性 D. 兴趣
6、发现法是小学数学的一种常见方法，倡导发现法的是（B ） A. 布卢姆 B. 加涅 C. 布鲁纳 D. 奥苏博尔 7、常识教学法是小学数学教学方法中一种影响比较大的教学方法。最早提出此种方法的是（D ） A. 布卢姆 B. 邱学华 C. 加涅 D. 陈景润 8、对数学教学方法的“最优化”理论和实践影响最大的教育家是（D ） A.布卢姆 B.巴班斯基 C.加涅 D.奥苏博尔 9、对计算机辅助教学这一概念的合理解释是（C ） A.利用计算机所进行的教学 B.在计算机的辅助下完成的教学活动 C.在计算机硬件以及软件的辅助下，教师的教学活动以及学生的学习活动 D.利用计算机的各种功能和特性，通过教师、学生与计算机的交互活动来实现更有效的教学 10、小学数学的备课基本要求是（ A） A.备教材内容、备学生、备教学条件、备教学方法 B.备教材内容、备学生、备教学资源、备教学活动 C.备教材内容、备学生、备教学资源、备教学方法 D.备教材内容、备学生、备教学活动、备教学条件 11、数学课中最为常见也最为重要的一种课型是（A ） A.新授课 B.练习课 C.复习课 D.讲评课 12、对于小学数学学习考评的内容，以下概括较为合理和面的是（C ） A. 数学知识与情感态度 B. 数学知识、学习数学的积极性、学习数学的能力 C. 发现问题与解决问题的能力 D. 数学知识与技能、发现问题与解决问题的能力、情感与态度
谈高中数学的几种有效教学方法 在现在的高中课堂教学中，常常是老师负责的讲解，而学生是被动的听。学生如何消化基础知识，如何掌握解题技巧和思想方法，进而增强分析问题、解决问题的能力，这些往往被忽略。所以采用恰当的教学方法，发挥学生的主观能动性，想办法让学生多参与课堂教学，改变被动听课的局面，提高课堂效率，事半功倍。 高中数学教学方法 一、创设真实情境，激发学生学习数学的兴趣与好奇心 建构主义学习理论强调创设真实情境，把创设情境看作是“意义建构”的必要前提，并作为教学设计的最重要内容之一。而多媒体技术正好是创设真实情境的最有效工具，如果再与仿真技术相结合，则更能产生身临其境的逼真效果。 教师利用以多媒体技术与网络技术为核心的现代教育技术创设与主题相关的、尽可能真实的情境，使学习能在和现实情况基本一致或相类似的情境中发生。 例如笔者在上“立体几何”导言课时，利用多媒体电脑展示“让所有立体几何图形都动起来”课件。 学生在实际情境下进行学习，可以激发学生的联想思维，激发学生学习立体几何的兴趣与好奇心，有效地降低学生对立体几何的恐惧感。学习者能利用自己原有认知结构中有关经验，去同化和索引当前学习到的新知识，从而在新旧知识之间建立起联系，并赋予新知识以某种意义。 二、创设质疑情境，变“机械接受”为“主动探究” “学起于思，思源于疑”。学生有了疑问才会去进一步思考问题，才会有所发展，有所创造，苏霍姆林斯基曾说：“人的心灵深处，总有一种把自己当作发现者、研究者、探索者固有需要，”而传统教学中，学生少主动参与，多被动接受；少自我意识，多依附性。学生被束缚在教师、教材、课堂的圈子中，不敢越雷池半步，其创造性个性受到压抑和扼制。因此，在教学中我们提出：学生是教学的主人，教是为学生的学服务的。应鼓励学生自主质疑，去发现问题，大胆发问。创设质疑情境，让学生由机械接受向主动探索发展，有利于发展学生的创造个性。 在课堂上创设一定的问题情境，不仅能培养学生的数学实践能力，更能有效地加强学生与生活实际的联系，让学生感受到生活中无处不有数学知识的存在，从而让学生懂得学习是为了更好地运用，让学生把学习数学当作一种乐趣。另外，创设一定的问题情境可以开拓学生的思维，给学生发展的空间。
第一、七小组所出的考题 一、几何定理证明的一般步骤？ 答：（1）弄清定理的题设和结论 （2）依据定理的内容画出对应的基本图形 （3）运用所学的知识，寻求证明方法。 二、定理教学分为哪几个阶段？ 答：探究阶段，构建阶段，深化阶段。 三、定理与定义的区别？ 答：根本在于定义不可证明，而定理一定要经过证明，数学就是在定义和公理基础上演绎出的一整套定理组成的了，逻辑体系。 四、定理的概念（）。 答：用逻辑的方法判断为正确幷作为推理根据的真命题。 第二组所出题 一、课堂引入可以采用------------形式（至少填三种）答案：讲故事，做游戏， 提问题 二、课堂引入有哪些方法： 答案：1.复习引入法2.作业引入法3.目的引入法4.悬念引入法5.“游 戏”引入法6.趣题引入法7.史话引入法8.故事引入法9.实践引入法10. 讨论引入法 三、用实践引入法设计一堂课的引入。 四、你觉得一堂好的课引入应该达到怎样的效果 答案：（1）让学生身临其境。（2）让知识急待应用。（3）让学生兴趣盎
然。（4）抽象思想变形象（5）引起学生求知欲 五、引入的应注意哪些误区 答案：（1）一味强调引入，课堂本末倒置。 （2）引入方式传统，伤害学生自信。 （3）引入过于花哨，缺乏数学味 第三组所出考题 1、在数学教学中，老师要遵循哪些数学教学原则？ 1）思想性和科学统一的原则； 2）理论联系实际的原则； 3）教师主导作用和同学主动统一的原则； 4）系统性原则； 5）直观性原则； 6）巩固性原则； 7）因材施教原则； 2、在数学教学中，如何提高学生对数学的兴趣，请说说总计的观点和理由？ （没有固定答案，阐述有理即可） 3、谈谈你对数学美的认识！（从对称、和谐、简单、明快、严谨、统一、奇异、 突变等方面阐述） 4、这学期，我们经历了微格教学，你有什么收获？ 5、优秀数学教学设计的基本要求？ 1）创造性的使用教材，关注数学知识的发生。发展过程； 2）教学内容的设计要注意体现数学的文化价值和人文精神；
一．单选择题（本大题共13小题，每小题2分，共26分） 1. 思维活动的基本单位是 ( ) A.概念 B.分析 C.判断 D.推理 2. 2×1可以表示1个人手的数量，也可以是1双筷子的根数，它可以表示天 地万物之间某一特定的数量关系，这表明数学学科具有 ( ) A.抽象性 B.系统性 C.具体性 D.逻辑性 3. 数学教育发展的总趋势是 ( ) A.问题解决 B.一纲多本 C.编审分开 D.大众数学 4. 从 3+6=6+3 , 15+8=8+15 ，得出 a+b=b+a 是 ( ) A.演绎推理 B.类比推理 C.完全归纳推理 D.不完全归纳推理 5. 一年级学习10以内数的认识，学生通过数小棒、摆图片等认识了“几”和“第几”，这说明其思维正处于 ( ) A.以直观行动思维为主 B.以具体形象思维为主 C.以抽象逻辑思维为主 D.以再造性思维为主 6. 学生学习整数除法时，商是整数而余数为0，就叫除尽；继而学习小数除法，商是有限小数，也叫除尽。这是认知结构的 ( ) A.同化过程 B.顺应过程 C.强化过程 D.迁移过程 7. 小学几何初步知识的性质是 ( ) A.射影几何 B.抽象几何 C.直观几何 D.空间解析几何 8. 学校教育、教学的主要形式是 ( ) A.社会实践 B.课外活动 C.动手操作 D.课堂教学 9．培养小学生的数学能力最终是要提高他们的( ) A．计算能力B．初步数学思维能力 C．空间观念D．解决实际问题能力 10.目前许多国家都允许并鼓励小学哪个年级的学生使用计算器( ) A.低年级 B.中年级 C.低、中年级 D.中、高年级 11. 小学生由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡依靠的中介环节是( ) A.观察 B.操作 C.表象 D.想象 12. 1978年的《全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案)》中的几何教学内容增加了( ) A.平行线 B.圆柱 C.圆锥 D.扇形 13. 有利于教师及时获得反馈信息的教学方法是( ) A.讲解法 B.谈话法 C.演示法 D.操作实验法 二．填空题：（每空1分，共20分） 1．数学课程目标可以分为：实用知识、、和 三类。 2．从各国的数学课程标准看，数学交流大体包括这样三个方
高中数学教学方法浅谈 ：传统教学中教师是课堂的中心，基本采用满堂灌的方法，不管学生听不听得懂，反正讲了，学生就该仔细听，就应该会，课上作笔记，课后大量作业做巩固。但是，我们发现，事实上有些学生根本听不懂，不知教师讲之所以然，课下只能抄作业，结果学生疲劳厌学，教师疲劳厌教。长此以往，学生一旦习惯了这种被动的学习，学习的主动性就会渐渐丧失。我们可以清楚地看出，在这样的教学过程中，教师以"讲"为中心的教学方法早已经过时的，从学生的潜能开发、思维拓展、身心发展、自主健全的角度来看，是非常不利的。 ：高中数学；教学方法 对教师来说，在数学课教学中要灵活运用不同的教学方法法，最大程度地开发学生的潜能，培养学生的创造性思维，这是最为重要的。学生是学习的主人，我们要放手让学生自己去发现问题、自己探究解决问题、自己推导公式、自己归纳结论、自己摸索前进。当然，这里的放手绝不是放任自流，否则，学生得到的将是一些肤浅的、支离破碎的不完善的知识。所以，我们在充分相信学生的能力、充分放手的同时，还要多在引导上下工夫，讲究"导"的艺术，教师"导"得好，学生的聪明才智才能得到充分的发挥，真正驾驭学习，成为学习的主人，才能为学生自主学习添活力。
如何在课堂教学中培养学生的自主创新素质是一堂数学课能真正成功的关键所在、核心所在。而数学教学的核心问题是培养学生发现问题并通过自己思考解决数学问题的能力、培养学生独立思考的能力,通过独立思考，独立解决问题，启迪和发展学生的思维。在实际生活中，也可以更多、更好地发现问题，从而提炼出相应的数学问题，这是学习的目的所在。发现问题的能力一旦培养为一种潜在的意识，可以解释为"探察问题的意识"、可以解释为"找到新东西"的能力，在教与学的过程中是培养创造力的基本途径。问题的发现与解决要体现数学的思想方法。在这一过程中学生的数学思维跟数学创造力可以真正得到体现，更可以显示出数学教学的真正魅力所在，数学教育的真正目的所在。 要完成知识的传播，同时要培养学生的思维能力，这一教学过程的关键是教师的教学设计，如何培养学生创造思维，如何成功教学一堂数学课。面对高中数学的教学，可从以下几个方面开展。 一、更新教育观念 在课堂教学结构上，教师要始终坚持以学生为主体，以教师为主导的教学原则，这样才能优化教学效果。 二、提高复习课解题教学的艺术性 在高中数学复习时，由于解题的量很大，就更要求教师将解题活动组织得生动活泼、情趣盎然，让学生领略到数学的优
高中数学的教学方法 新课标要求，数学教学过程是实现课程目标的重要途径，它突出对学生创新意识和实践能力的培养，教师是数学教学过程的组织者和引导者。新课程标准下还要求教师学习、探索和积极运用先进的教学方法，不断提高师德素养和专业水平。我在多年的教学实践中，不断研究、探索新的教学方法，努力提高自己的执教能力，把大面积提高学生的数学水平作为追求的目标。在这个创新和探究的年代里，数学教师的聪明才智得以淋漓尽致的发挥，发明和创造了很多很好的教学方法，也受到了很好的教学效果。诸如兴趣培养法、和谐教学法、快乐教学法、情景创设法、先学后教法、自主探究法、合作探究法等等，而我课堂上经常使用的方法是前四种，并且是根据所教内容，具体情况，交替使用，现在将这几种方法叙述出来，供同行们参阅。 一、兴趣培养教学法 我们常说兴趣是最好的老师，因此，数学教师要想把这门功课教好，就要想办法培养学生的学习兴趣。学生喜欢上了这门课程，才能在整个课堂上保持旺盛的精力，思维处于活跃的状态，使课堂的每分钟变成有效的学习时间。高中学生大多喜欢下棋，例如，跳棋、象棋、围棋、军棋等等。在讲到数学上的直角坐标系时，我就询问学生，班上有多少同学会下棋？很多同学就异口同声的答会。再问，有多少同学会下象棋？有大约一半的同学回答我会。我又问，你们知道象棋的棋盘是什么图形的？学生再答，相互十字交叉。我说，今天，我们就来学习十字交叉的棋盘。此时此刻的学生，个个聚精会神，等待老师的讲授。 二、快乐教学法 教学是有教师的教与学生的学构成的一种特殊认识活动。随着学生年龄的增长，自己的知识也随之有所变化，特别是高中的知识，许多学生在初中各科还学得挺好，尤其是数学，但是，当他们跨入高中以后，思想发生了很大变化，认为高中数学特别难。对此，有很多同学向我询问学好数学的方法。为了解决这个难题，我在自己几年的数学教学中采用快乐教学法，使学生对数学有畏惧到接受，再到应用，使他们对数学概念由抽象到内涵，再到外延。采用这种教学方法，教师教得轻松，学生学得明白，用得自如。在高中教学中，平面几何部分有一节《双曲线的几何性质》，为了让学生对椭圆与双曲线的性质有个深刻的认识：椭圆
三明学院 专科《小学数学教学论》期末试卷 11 级初等教育专业学号姓名成绩 一、判断题。(每小题2分，共10分) 1．数学是学习现代科学技术必不可少的基础和工具。( ) 2．小学儿童思维以抽象逻辑思维为主要形式。( ) 3．“3≥2”是一个真命题。( ) 4．一切长方形都是平行四边形。( ) 5．自然数不是质数就是合数。( ) 二、选择题。(每小题2分，共20分) (一)单项选择题。在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项 前的字母填在题干后的括号内。 6．数学是关于现实世界的数量关系和( ) 的科学。 A．空间形式B．逻辑推理 C．数的基础知识D．形象思维 7．数学概念是反映一类数学对象的（）的思维形式。 A．特征 B．一般属性 C．性质 D．本质属性 8．以比较为基础，按照一定的标准，把相同性质的事物归为一类，不同性质的则归入不同类别的思维方法是（）。 A．比较B．分类 C．综合D．分析 9．下列说法，正确的是( ) 。 A．长方形的长是a米，宽比长短10米，则它的周长可表示为(2a -10)米。 B．10h表示底为10、高为h的三角形的面积。 C．有一组对边平行的四边形叫做梯形。 D．甲、乙两人分别以3千米/小时和5千米/小时的速度，同时从相距80千米的两地相向出发，设他们经过x小时相遇，则可列方程为3x+5x=80。 10．已知甲数比乙数多25％，则乙数一定比甲数( ) 。 A．少30％B．少25％C．少20％ (二) 多项选择题。在每小题列出的五个选项中有二至五个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内。多选、少选、错选均无分。 11．数学的主要特征是( ) 。 A．抽象性B．逻辑性C．发展性 D．思想性E．应用的广泛性 12．在进行逻辑思维的过程中，基本的方法有（）。 A．比较B．分析C．综合 D．抽象E．概括 13．《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》将义务教育阶段的数学课程内容划分为( ) 四个领域。 A．数与代数B．图形与几何C．应用题 D．统计与概率E．综合与实践 14．概念的内涵与外延的关系是（）。 A．内涵扩大时,则外延就缩小 B．内涵扩大时,则外延也扩大 C．内涵缩小时,则外延就扩大 D．内涵缩小时,则外延也缩小 15．下列学习活动中属于概念同化的有（）。 A．操作探索长方形体积公式 B．利用学具探索正方形特征 C．利用整数加法法则学习分数加法法则 D．在“角”概念的基础上学习“直角” E．在“假分数”的基础上学习“带分数”的概念
数学教学论考试试题和答案 一．单选择题（本大题共13小题，每小题2分，共26分） 1. 思维活动的基本单位是( ) A概.念 B.分析 C.判断 D.推理 2.2×1 可以表示 1 个人手的数量，也可以是 1 双筷子的根数，它可以表示天 地万物之间某一特定的数量关系，这表明数学学科具有( ) A抽.象性B.系统性 C.具体性D.逻辑性 3.数学教育发展的总趋势是( ) A问.题解决 B. 一纲多本 C. 编审分开 D. 大众数学 4.从 3+6=6+3,15+8=8+15，得出 a+b=b+a是 ( ) A.演绎推理 B.类比推理 C.完全归纳推理 D.不完全归纳推理 5.一年级学习 10 以内数的认识，学生通过数小棒、摆图片等认识了“几”和“第几”，这说明其思维正处于( ) A. 以直观行动思维为主 B.以具体形象思维为主 C以.抽象逻辑思维为主 D.以再造性思维为主 6. 学生学习整数除法时，商是整数而余数为0，就叫除尽；继而学习小数除法，商是有限小数，也叫除尽。这是认知结构的( ) A. 同化过程 B.顺应过程 C.强化过程 D.迁移过程 7. 小学几何初步知识的性质是( ) A. 射影几何 B.抽象几何 C.直观几何 D.空间解析几何 8. 学校教育、教学的主要形式是( ) A. 社会实践 B.课外活动 C.动手操作 D.课堂教学 9．培养小学生的数学能力最终是要提高他们的() A．计算能力B．初步数学思维能力 C．空间观念D．解决实际问题能力 10目.前许多国家都允许并鼓励小学哪个年级的学生使用计算器() A低.年级 B.中年级C低.、中年级D中.、高年级 11.小学生由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡依靠的中介环节是() A观.察B操.作C表.象D想.象 12.1978年的《全日制十年制学校小学数学教学大纲(试行草案 )》中的几何教学
第一章关于小学数学课程 一、小学数学学科的性质 （一）数学的产生及其研究对象 1、数学的产生 2、数学的研究对象 （二）小学数学的学科性质 1、生活数学观 2、儿童数学观 3、现实数学观 二、小学数学学科的任务 （一）发展公民数学素养 精英数学大众数学 数学素养：一是指个人在日常生活中具有运用数学技能的能力，能够满足个人每天生活中的实际数学需求；二是能正确理解数学术语的信息。 （二）培养数学思维 （三）将数学运用于现实情景的能力 二小学数学课程目标 课程目标：是对某一阶段学生所达到的规格提出的要求，反映了这阶段的教育目的。小学数学课程目标：回答小学数学“为什么教”的问题。 二、影响小学数学课程目标的因素 （一）社会发展因素 1、生活的变化 2、社会发展对公民数学素养的要求 （二）儿童发展因素： （三）数学科学的发展 经典数学现代数学 三、我国小学数学课程目标的演变与分析（一）问题辨析 1、“培养初步的逻辑思维能力”与“培养初步的思维能力”，两个目标是否一样？有何区别？ 现在：培养学生基本的数学思想方法和必要的应用技能；初步学会运用数学的思维方式，增强运用数学的意识。 2、“运用所学知识解决简单的实际问题”与“探索和解决简单的实际问题”，这两个目标有何区别？ （1）强调学生解决问题是一个探索的过程（2）探索的过程是一个数学化的过程。（二）我国数学课程目标的演变1、清末算学的目标 1903年《奏定初等小学堂章程》：算学，其要义在使日用之计算，与以自谋生计必需之知识，兼使精细其心思。 1912年《小学校教则及课程表》 2、1920—1948年五次修改《小学算术课程标准》 3、1949——现在：九次修定小学教学大纲（课程标准） （三）小学数学新课程标准 知识与技能（数学思考）、过程与方法（解决问题）、情感态度与价值观 第二章小学数学课程内容 一、小学数学课程内容 二、小学数学课程内容的选择依据 （一）数学课程目标 （二）满足学生需要，促进学生发展 （三）反映社会进步和数学学科自身的发展三、我国小学数学课程内容结构 2001年颁布并开始实验的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，把数学课程内容总体上分为四个领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合运用。 （一）数与代数 一、数与代数领域改革的国际趋势 美国2000年的数学课程标准，英国1995年的数学课程标准，日本2000年的教学指导纲要等文件中反映出数与代数领域改革的趋势： 重视数的意义的理解，注重学生数感的形成；加强口算和估算的地位；强调建立数学模型的过程；提倡计算方法的多样化；提倡使用计算器；消弱复杂的笔算；淡化固定的计算程序和方法；不提倡过早的建立数系的概念等。 二、数与代数的教育价值 1、能使学生体会到数学与现实生活的联系，从中感受到数学的价值，有利于培养学生初步的应用意识和能力。 2、在数的运算、公式的推导、方程的求解、函数的研究等活动中，通过对现实世界中数量关系及其变化规律的探索，促进学生探究和发现，有利于学生提高思维水平，培养初步的创新精神和实践能力。