图形的平移和旋转 A
例 1. 已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝BE＋DF的理由。
例 2. 在△ABC的边BC上，取两点D、 E，使 BD ＝CE ，观察 AB ＋AC 与 AD ＋ AE 的大小关系。
A D
P
B C
例 3.如图，P是等边三角形ABC 内的一点，连结 PA、PB、PC，?以 BP 为边作∠ PBQ=60°，且 BQ=BP，连结 CQ．（1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
（2）若 PA： PB： PC=3： 4： 5，连结 PQ，试判断△ PQC 的形状，并说明理由． A
变式训练： 1、如图， P 为正方形ABCD 内一点， PA=1， PB=2， PC=3，求∠ APB 的度
数．
2、已知：正方形 ABCD 中，∠ MAN=45 °，∠ MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC（或它们的延长线）于点 M，N．当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时（如图
1），易证 BM +DN =MN．
（ 1）当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM≠DN 时（如图2），线段 BM， DN 和 MN 之间有
P
B C
Q
怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（ 2）当∠ MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时，线段BM ， DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？并说明理由． A D
A D A D
N MB
C
N
B C B
M C
M
N 图 1 图 2
图 3
3、已知 Rt△ ABC 中，ACB 90 ， CA CB ，∠ MCN 为 45 。
（Ⅰ）如图①，当M 、 N 在 AB 上时，求证：MN 2AM 2BN 2；
（Ⅱ）如图②，将∠MCN 绕 C 旋转，当M 在 BA 的延长线上时，关系式MN 2AM 2BN 2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
4、如图所示，A、 B 两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，
程最近，请确定修桥的地点。（Ⅱ）桥建在何处才能使AB 两村到桥的距离相等？
（Ⅰ）要使AB 两村路
A E D
N
M
F
B C
4 ．如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、 EF、M、 N、 E、 F 分别在边A B、 CD、 AD、 BC 上。
（ 1）证明：若MN EF，则MN EF ．
（ 2）证明：若MN ⊥ EF ，则MN EF ．
5、如下图在六边形 ABCDEF BD=18cm ，你能求出六边形中，已知
ABCDEF
AB//DE,AF//CD,BC//FE,AB=DE,AF=CD,BC=FE,
的面积吗？
对角线FD ⊥BD,FD=24cm ，B
A
C
F
D
E
6、已知正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A, 点 G、 E 分别在线段AD 、 AB 上 .
(1)如图 1, 连结 DF 、 BF,若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转 ,判断命题 : “在旋转的过程中线段 DF
与BF 的长始终相等 .”是否正确 ,若正确请证明 ,不正确举反例 ;
(2)若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转 , 连结 DG,在旋转的过程中 ,你能否找到一条线段的长与线段
DG 的长始终相等 .并以图 2 为例说明理由 . D C
D C
G
G F F
A B
A E
B E
图 1 图 2
7、把两个全等的等腰直角三角板ABC 与 EFG（其直角边长都为4）叠放在一起，（如图①）
且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合。现将三角板 EFG 绕 O 点顺时针旋转（旋转角
α满足 0°＜α＜90°），四边形 CHGK 是旋转过程中两个三角板的重叠部分（如图②）
1）在上述旋转过程中， BH 与 CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论。
2）连接 HK ，在上述旋转过程中，设BH=x, △ GKH 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x
的取值范围。
3）在 2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH 的面积恰好等于△ ABC 的面积的5
？若存在，求出此时x 16
的值；若不存在，说明理由。
A
A
G(O)
G(O)
K
a
E
C B
C B
H
E F ￠ú
￠ù
F
一、
1、下列象中，属于平移的是（）
（1）温度中，液柱的上升或下降；（2）打气筒打气，活塞运；（ 3）的；（3）送
上，瓶装料的移。 A 、（1）（3）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（2）（ 4）
2、如，四个完全相同的直角三角形，下列法正确的是（）
A 、1—— 2 是平移B、1—— 3 是平移
C、1—— 4 是平移
D、3—— 4 是平移
1 2 3 4
3、下列法中，正确的是（）
A 、旋称形一定是中心称形B、中心称形一定是旋称形
C、中心称形一定不是称形
D、称形一定不是中心称形
4、下列旋称形中， 36°、 72°?? 144°、 180°都是旋角度的是（）
A 、正三角形B、正方形C、正三十六形D、正十形
5、下列属于平移象的是（）
（1）汽在平直的公路上行，（ 2）健身做呼啦圈运，（ 3）运在打球，（ 4）小球在高空直下落。
A 、2 个B、 3 个C、4 个D、以上都不
6、下列法正确的是（）
A、形的平移的方向只有水平方向和直方向
B 、图形平移后，它的位置、大小、形状都没有改变
C 、图形的平移方向不是唯一的，可向任何方向平行移动
D 、图形平移后，对应线段不可能在同一直线上
7、如果线段 AB 是线段 CD 经过平移后得到的，那么线段 AC 和 BD 的关系为（
）
A
C
A 、相交
B 、平行
C 、平行且相等
D 、以上都不对
1 1 1 沿射线 OT 方向平移距离 a 之后，与△ A
2 2 2 重合，其中点
8、如果△ A B C
B C
B
D
A 1、
B 1 、
C 1 分别与点 A 2、B 2 、C 2 对应，且对应线段不在同一直线上，则
下列说法不正确的是（ ）
A 、A 1A 2=
B 1B 2=
C 1C 2=a 1 2∥B 1 2∥C 1 2 B 、A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2
1 21
2 1 2 =a D 、以上都不对
C 、A A =B B =C C 且 A A B C
9、如果一个正多边形绕它的中心旋转 60°才能和原来的图形重合，那么这个多边形是（ ） A 、正三角形 B 、正方形 C 、正五边形 D 、正六边形 10、下列说法错误的是（ ）
A 、图形经过旋转后，对应线段，对应角都相等，并且对应线段平行
B 、图形经过旋转后，对应点到旋转中心的距离相等
C 、图形经过旋转后，对应点绕旋转中心的角度大小相等
D 、图形经过旋转后，一线段两端点的对应点所连线段就是该线段的对应线段 11、下列说法不正确的是（ ） A 、中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形 B 、中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言
C 、如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个中心对称图形
D 、中心对称就是中心对称图形的简称
12、下列命题：（ 1）只有两个三角形才能完全重合； （ 2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；（3）两个正方形一定全等；（ 4）边数相同的图形一定能互相重合。其中错误的命题的个数是（ ）个 A 、4 B 、3 C 、2 D 、1
13、对于两个图形，给出以下结论： （1）两个图形的周长相等；（2）两个图形的面积相等；（ 3）两个图形的周长面积都相等；（4）两个图形的形状相同面积也相等。 其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ）个
A 、1
B 、 2
C 、3 4 14、下列语句正确的有（ ） A 、全等三角形是指形状相同的两个三角形 B 、全等三角形是指面积相等的两个三角形 C 、全等三角形是指周长相等的两个三角形
D 、全等三角形的周长、面积分别相等
15、若△ DEF ≌△ ABC ，∠ A=70°，∠ B=50°，点 A 对应顶点是点 D ，AB=DE ，那么∠ F 的度数是（ ） A 、70° B 、60° C 、50° D 、以上都不对
二、填空题 1、将正方形 ABCD 沿对角线 AC 的方向平移，且平移后的图形的一个顶点恰好落在 AC 的中点 O
处，则移动前后两个图形重叠部分的面积是原正方形面积的 。 2、奥运会五环旗的图案（不考虑颜色）可通过 形成。 3、任意一个图形经过两次轴对称后，得到的图形可由原图形平移得到，那么这两 条对称轴 。 4、如果一个图形经过平移后得到另一个图形，则这两个图形的周长 5、如图，△ ABC 平移后得到△ DEF ， AB=DE ， AB ∥DE ，同时， AC=
BC= ， BC ∥ ，用一句话概括：
6、正十二边形绕中心至少旋转 度后与自身重合，正五边形 绕中心至少旋转 度后与自身重合。
7、如图，正方形 ABCD ，如果将线段 BD 绕着点 B 旋转后，点 D 落在
，面积 。 ，AC ∥ ，
。 A D
4 题 E F
B
C
7 题
BC 的延长线的点 D′处，则∠ BDD ′ = 。
A
8、如图，正方形 ABCD 中的△ ABP 绕点 B 顺时针旋转能与△ CBP′重合
，若 BP=4，则点 P 所走过的路径长为。 S△PBP′。
= B 9、下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是120°的是
。（正三角形，正方形，正六边形，正八边形）
A
10、写出几个中心对称的汉字：。
11、如图，△ OAB 绕点 O 旋转 180°得到△ OCD，连接 AD 、 BC，得到四
边形 ABCD ，则 AB CD （填位置关系）；与△ AOD 成中心对称的是 B ，由此可得到 AD BC。
12、从数学对称的角度看，下面几组大写英文字母：（ 1）ANEG，（2）GBXM ，
（3）XIHO ，（ 4） ZDWH 。不同于另外三组的是，这一组的特征是
A
。
13、正方形既是图形，又是图形，它有条对称轴，
D
对称中心是。
14、把△ ABC 以直线 BC 为轴翻折 180°后变到△ DBC 的位置，那么△ ABC B 与△ DBC 全等图形（填是或不是）；若△ ABC 的面积是 2，则△ DBC 的
面积是。
D
C
D′
D
P
8 题
C
P′
O
B
11 题
C
A
C
14 题
D
15、△ ABC 与△ A ′B′C′是全等三角形，且AB=A ′B′， BC=B ′C′，则用符号记作AC 的对应边是，∠ ACB 的对应角是。 B 16、如图，△ ABD ≌△ ACE ，∠ B=∠C，则另外两对对应相等的角是，
BD 的对应边是，AD 的对应边是，AB 的对应边是。
17、如图，△ ABC 绕点 A 旋转了 50°后到了△ AB ′C′的位置，若∠ B′ =33°，
∠C=56°，则∠ B′ AC= 。 A
C′
B C B
二、解答题′
1、如图，△ ABC 平移后得到△ DEF，∠ A=45°，∠ B=60°，请求出∠ F 的度数。
A D E
A
D C
B C E F
2、点 O 是△ ABC 内部的一点，作出以点O 为旋转中心，逆时针旋转60°后的图形。
A
O A B
B C
E
D C
3、正方形 ABCD 中， E 是正方形内的一点，把△ AED 绕着点 A 逆时针旋转 90°，画出旋转后的三角形，并回答：（1）图中有哪些相等的线段和相等的角？（2）哪两个三角形的形状大小都一样？可以用怎样的符号表示？
4、在正方形 ABCD 中， E 是 AD 中点， F 是 BA 延长线上一点。（1）你认为可以通过平移、轴对称、旋转中的哪一种方法，使△ ABE 边到△ ADF 的位置？并详细描述。（2）线段 BE 与 DF 之间有何关系？
D C
E
F
A B
5、在一块平行四边形的稻田内部有一个长方形水池，现要从水池一边引出一条直线水渠，将平行
四边形的稻田和长方形水赤都平均分成面积相等的两部分，请你设计一种方案，画出图形，简要说明理由。
6、在△ ABC 中，∠ BAC=120 °，以 BC 为边向三角形外作等边三角形 BCD ，把△ ABD 绕着点 D 按顺时针方向旋转 60°到△ ECD 的位置。若 AB=3 ， AC=2。（ 1）求∠ BAD 的度数；（2）求 AD 。
E
C B
A
A E
P
C Q
F
B D
D
7、已知： AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE 。BD 交 AC 、 EC 于 P、F，EC 交 AD 于 Q。（ 1）试判断 BD 与 EC 的大小关系，并说明理由；（ 2）求∠ EFD 的度数。
8、钟表的时针、分针都是绕着顺时针旋转，（1）经过 20 分钟，分针旋转了多少度？（ 2）经过 40 分钟，时针旋转了多少度？（ 3）在 3 点和 4 点之间的什么时刻，时针和分针在同一直线（反向）？
9、如图，怎样由甲图得到乙图？运用轴对称或旋转、平移的知识请详细说明。（可以添加字母和补充图形）
乙
甲
10、如图， MN 表示一条铁路， A 、B 是两个城市，它们到铁路的所在直线MN 的垂直距离分别为
1 1 1 1 A 1、B1 之间设一个中转站P，使两个AA =20km ， BB =40km， A B =80km，现要在铁路上的两点
城市到中转站的距离之和最短，请你设计一种方案确定P 的位置，并求这个最短距离。
B A E D
A
M N
A 1 B1 B
F C
11、已知，如图长方形 ABCD中， AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为EF，求△ ABE的面积。
12、如图， A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 320km的 B 处，以每小时 40km的速度向北偏东60°的 BF 方向移动，距离台风中心 200km的范围内是受台风影响的区域。
（1） A 城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若 A 城受到这次台风影响，那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间？
北
E
F
B
A东