广州广大附中2020-2021学年初三11月联盟考数学试题与答案
考试时间：120分钟 满分:120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列运算正确的是（ ）
A ．（﹣a 2）3＝a 6
B ．3a 2?a ＝3a 2
C ．﹣2a +a ＝﹣a
D ．6a 6÷2a 2＝3a 3
2. 已知一次函数y ＝（m ﹣1）x 的图象上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1＞x 2时，有y 1＜y 2，那么m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞0
B ．m ＜0
C ．m ＞1
D ．m ＜1
3. 已知)(,2121x x x x <是一元二次方程0652
=+-x x 的两根，则12x x -的值是（ ）
A ．1
B ．5
C ．6
D ．7
4.一元一次不等式组???
??≥+->+032
101x x 的解集中，整数解的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7
5.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为BC
中点，AC ＝6，BD ＝8．则线段OH 的长为（ ） A ．
512 B ．2
5
C ．3
D ．5
6. 若一元二次方程07232
=-+x x 的两根分别为21,x x ，则
2
11
1x x +的值为（ ） A ．
27 B ．27- C ．72 D ．7
2- 7.如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 上一点，且AB ＝BE ，∠1＝
15°，则∠2的度数是（ ）
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 15°
8.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①a＞0.
②该函数的图象关于直线1
x=对称.
③当13
x x
=-=
或时，函数y的值都等于0.
其中正确结论的个数是
A．3 B．2 C．1 D．0
9.如图，在ABC
?中，BC
AD⊥于点D，BF平分ABC
∠交AD与点E，交AC于点F，
14
,
12
,
13=
=
=BC
AD
AC，则DE的长等于（）
A.
2
9
B. 5
C.
2
13
D. 7
10.抛物线2
y ax bx c
=++（a，b，c为常数，0
a<）经过(2,0)
A，(4,0)
B-两点，下列四个结论：
∠若点)
,
(
1
1
y
x
C，)
,
(
2
2
y
x
D在该抛物线上，且2
2
1
-
=
+x
x，则
2
1
y
y=；
∠若点)
,
(
1
1
y
x
C，)
,
(
2
2
y
x
D在该抛物线上，且|1
||1
|
2
1
+
<
+x
x则
2
1
y
y>；
∠对于任意实数t，总有2
at bt a b
+≤-；
④对于a的每一个确定值，若一元二次方程2
ax bx c p
++=（p为常数，0
p>）的根为整数，则p的值只有两个.
正确的是（）
A. ∠∠∠④
B. ∠∠∠
C. ∠∠
D. ∠∠④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．因式分解：=
-9
2
a．
(第8题)
12．已知关于x 的一元二次方程2
40x ax -+=有两个相等的实根，则实数a 的值为 ． 13.如图所示，点O 是平行四边形ABCD 的两对角线交点，E 、F 分别是AB 边上的点，且
AB EF 21=
；G 、H 分别是BC 边上的点，且BC GH 3
1
=；若S 1,S 2分别表示?EOF 和?GOH 的面积，则=21S S
______________.
14.设二次函数n mx x y ++=2
的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后对应的解析式是2
x y =，则=m ______，=n ________.
15.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt∠ABO 中，∠OBA ＝90°，)4,4(A ，点C 在线段AB 上，且
1
3
AC CB =，点D 为OB 的中点，点P 为线段OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为___________.
16.如图，在正方形ABCD 中，3=AB ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，．若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 的对应点'
B 恰好落在AD 边上，点
C 的对应点'
C ，C B ''与C
D 交于点G ，则下列结论正确的是______________.(填写正确结论的序号)
①若?=∠60EFD ，则2=BE ；②BE CF B A =+'；③BG B '∠的大小为定值； ④G C F '?的周长与线段B A '的长度之和为定值.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.(本题满分4分)解方程：04
1
22
=--x x .
18.(本题满分6分)为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整；
（2）被调查的学生周末阅读时间众数是小时，中位数是小时；
（3）计算被调查学生阅读时间的平均数；
（4）该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数．
19.(本题满分7分)甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次降价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品每次降价的百分率相同，求这个降价的百分率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利11200元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价40元的基础上应如何调整？
20. (本题满分7分)矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，过对角线BD 中点
O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F .
（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形； （2）当四边形BEDF 是菱形时，求该菱形的边长.
21. (本题满分7分)在平面直角坐标系xoy 中，等腰直角ABC 的直角 顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经 过A ，B ，C 三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式． （2）过原点O 任作直线l 交抛物线于M ，N 两点， 求CMN △面积的最小值．
22. (本题满分8分)在初中阶段的函数学习
中，我们经历了“确定函数的表达式
——利用函数图象研究其性质——运用函
数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的
函数图象．同时，我们也学习了绝对值的
意义???-≥=)
0()0(＜a a a a a ．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面
y
x
O -1-2-3-4-5-6-7-8-6
-5-4-3
-2
-112345678654321
第22题图
第20题图
的问题：在函数b kx y +-=3中，当x ＝2时，y ＝－4；当x ＝0时，y ＝－1． （1）求这个函数的表达式； （2）已知函数y ＝
1
2
x －3的图象如图所示，请在图中画出函数b kx y +-=3的图象，结合图象直接写出不等式32
1
3-≤
+-x b kx 的解集．
23.（本题满分9分）已知关于x 的二次函数y ＝a x 2﹣4a x+a +1（a ＞0） （1）若二次函数的图象与x 轴有交点，求a 的取值范围；
（2）若P （m ，n ）和Q （5，b ）是抛物线上两点，且n ＞b ，求实数m 的取值范围； （3）当k ≤x≤k+2时，求y 的最小值（用含a 、k 的代数式表示）．
24.(本题满分12分)定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF∠BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当∠ADC为等腰三角形时，求这个准矩形的面积．
25.(本题满分12分)已知抛物线y＝ax2﹣1
3
x+c经过A(﹣2，0)，B(0，2)两点，动点P，Q同
时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P沿x轴正方向运动，动点Q沿y轴正方向运动，连接PQ，设运动时间为t秒
(1)求抛物线的解析式；
(2)当BQ＝1
3
AP时，求t值；
(3)随着点P，Q的运动，抛物线上是否存在点M，使∠MPQ为等边三角形？若存在，
请求出t的值及相应点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
广州广大附中2020-2021学年10月大联盟考试数学（答案）
考试时间：120分钟 满分:120分
三、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
CDADB CBBAB 10解析：
抛物线的对称轴为直线42
12
x -+=
=-，开口向下，所以∠∠正确 当1x =-时，y a b c =-+
则抛物线的顶点的纵坐标为a b c -+，且0a b c -+>
将抛物线2
y ax bx c =++向下平移a b c -+个单位长度得到的二次函数解析式为
22()y ax bx c a b c ax bx a b =++--+=+-+
由二次函数图象特征可知，2
y ax bx a b =+-+的图象位于x 轴的下方，顶点恰好在x 轴上即0y ≤恒成立，则对于任意实数t ，总有20at bt a b +-+≤，即2at bt a b +≤-，结论∠正确
将抛物线2
y ax bx c =++向下平移p 个单位长度得到的二次函数解析式为
2y ax bx c p =++-
函数2y ax bx c p =++-对应的一元二次方程为2
0ax bx c p ++-=，即2ax bx c p ++=
因此，若一元二次方程2
ax bx c p ++=的根为整数，则其根只能是121,3x x ==-或
120,2x x ==-或121x x ==-
对应的p 的值只有三个，则结论④错误
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11．(a +3)(a ﹣3) 12. 4±
13.2
3
14.4-,7(答对1空得2分) 15.)3
8,38(
16.①②③④
16解析
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.(本题满分4分))解方程：04
1
22
=-
-x x . 解：4
1
,2,1-
=-==c b a ……1分 03)4
1(14)2(42
2
>=-??--=-=?∴ac b ……2分
则2
32242±=-±-=
a ac
b b x ……3分
2
3
2,23
221-=+=
∴x x ……4分
18.(本题满分6分)为了提高学生阅读能力，某校倡议八年级学生利用双休日加强课外阅读，为了解同学们阅读的情况，学校随机抽查了部分同学周末阅读时间，并且得到数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： （3）将条形统计图补充完整；
（4）被调查的学生周末阅读时间众数是 小时，中位数是 小时； （3）计算被调查学生阅读时间的平均数；
（4）该校八年级共有500人，试估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数． 解：（1）由题意可得，本次调查的学生数为：30÷30%＝100，
阅读时间1.5小时的学生数为：100﹣12﹣30﹣18＝40，
补全的条形统计图如图所示，……1分
（2）由补全的条形统计图可知，被调查的学生周末阅读时间众数是1.5小时，中位数是1.5小时，故答案为1.5，1.5；……3分
（3）所有被调查学生阅读时间的平均数为：
1
100
×（12×0.5+30×1+40×1.5+18×2）＝1.32小
时，即所有被调查同学的平均阅读时间为1.32小时．……5分
（4）估计周末阅读时间不低于1.5小时的人数为500×40+18
100
＝290（人）．……6分
19.(本题满分7分)甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件32.4元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若该商场希望该商品每月能盈利11200元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，……1分
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）；……2分
答：这个降价率为10%；……3分
（2）设降价y 元，则多销售y ÷0.2×10＝50y 件， 根据题意得（40﹣20﹣y ）（500+50y ）＝11200， ……4分 解得：y ＝4或y ＝6， ……5分
当y=4时，500+50y=700件；当y=6时，500+50y=800件……6分 答：为扩大销量该商品在原售价的基础上，再降低6元． ……7分
20.(本题满分7分)矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，过对角线BD 中点O 的直线分别交AB ，CD 边于点E ，F .
（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形； （2）当四边形BEDF 是菱形时，求该菱形的边长. （1）证明：在矩形ABCD 中，AB∠DC ∠ OBE ODF ∠=∠
又
O 是BD 的中点
∠OB=OD
在∠BOE 与∠DOF 中
OBE ODF OB OD
BOE DOF ∠=∠??
=??∠=∠?
∠∠BOE∠∠DOF ∠EO=FO 又
BO=DO
∠四边形BEDF 为平行四边形……4分
（2）四边形BEDF 为菱形
∴ BE=DE DB∠EF 又
AB=8 ， BC=6， 设BE=DE=x,则AE=8-x
在Rt∠ADE 中，222
6(8)x x +-=
∠25
4
x =
……7分 则菱形边长为4
25
21.(本题满分7分)在平面直角坐标系xoy 中，等腰直角ABC 的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点O 任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，求CMN △面积的最小值．
20.解：（1）设抛物线的解析式为2
y ax bx c =++，
在等腰Rt ABC 中，OC 垂直平分AB ，且4AB =， ∠2OA OB OC ===． ∠(2,0)A - (2,0)B (0,2)C -
4204202a b c a b c c ++=??
-+=??=-?
， 解得：1202a b c ?=??
=??=-??
∠抛物线的解析式为2
122
y x =
- ……3分 （2）∠设直线l 的解析式为y kx =，交点()12,M x y ，()22,N x y
由2122
y x y kx
?=-?
??=?，可得21202x kx --=，……4分 ∠122x x k +=，124x x ?=-．
∠()()2
2
21212124416x x x x x x k -=+-=+，……5分
∠12x x -=．
∠121
2
CMN
OCM
OCN
S
S
S
OC x x =+
=??-=6分 ∠当0k =时，4． ∠CMN
S 的最小值是4． ……7分
23. (本题满分8分)在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式
——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义?
??-≥=)0()0(＜a a a a a ．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数b kx y +-=3中， 当x ＝2时，y ＝－4；当x ＝0时，y ＝－1． （1）求这个函数的表达式；
（2）已知函数y ＝
1
2
x －3的图象如图所示，请在图中画出函数b kx y +-=3的图象，结合图象直接写出不等式32
1
3-≤
+-x b kx 的解集．
22.（1）由题意得23431k b b ?-+=-??-+=-??，解得324
k b ?=
???=-?，
故该函数解析式为y ＝
3
32
x -－4．……3分 （2）当x ≥2时，该函数为y ＝
3
2x －7； 当x ≤2时，该函数为y ＝－
3
2
x －1， 其图象如下图所示：
……6分
根据函数图象，两函数图象的交点分别为)2
5,1(-和)1,4(-，
所以不等式32
1
3-≤
+-x b kx 的解集为1≤x ≤4……8分 23（本题满分9分）已知关于x 的二次函数y ＝a x 2﹣4a x+a +1（a ＞0）
第22题答图
y x
O -1-2-3-4-5-6-7-8-6
-5-4-3-2-112345678654321
（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；
（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；（3）当k≤x≤k+2时，求y的最小值（用含a、k的代数式表示）．
.解：（1）由题意得：∠＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，解得：a≥1
3
；……2分
（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣
4
2
a
a
＝2，
当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1或m=5∠
由n>b得实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5；……5分（3）∠当k+2＜2时，即k＜0时，
函数在x＝k+2时，取得最小值，
y min＝a（k+2）2﹣4a（k+2）+a+1＝a k2﹣3a+1；
∠当k≤2≤k+2时，即0≤k≤2，
函数在顶点处取得最小值，
即y min＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；
∠当k＞2时，
函数在x＝k时，取得最小值，
y min＝a k2﹣4a k+a+1；
综上，y的最小值为：a k2﹣3k+1或﹣3a+1或a k2﹣4a k+a+1．……9分
24.(本题满分12分)定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝；
（2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF∠BE，求证：四边形BCEF是准矩形；
（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当∠ADC为等腰三角形时，求这个准矩形的面积．
解：（1）∠∠ABC=90，==……2分
（2）∠四边形ABCD是正方形，
∠AB=BC,∠A=∠ABC=90°，
∠∠EBF+∠EBC=90°，
∠BE∠CF，∠∠EBC+∠BCF=90°，
∠∠EBF=∠BCF，……2分
∠∠ABE∠∠BCF（AAS），……4分
∠BE=CF，且∠CBF=90°，
∠四边形BCEF是准矩形；……5分
（3）∠∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=300，∵AB=2，∠AC=4，
准矩形ABCD中，BD=AC=4，
∠当AC=AD时，则AD=AC=BD，如图1，作DE∠AB，
∠AE=BE=
1
2
AB=1，
==……6分
∠S 准矩形ABCD =S ∠ADE +S 梯形BCDE =
12DE×AE+1
2
（BC+DE ）×BE
=
121
2
（……7分 ∠当CA=CD 时，则CD=CA=BD ，如图2，作DF∠BC ，垂足为F
∠BD=CD ，∠BF=CF=
1
2
=……8分 ∠S 准矩形ABCD =S ∠DCF +S 梯形ABFD =
12FC×DF+1
2
（AB+DF ）×BF
=
121
2
（……9分 ∠当DA=DC ，如图3，取AC 中点G ，连DG ，则DG∠AC. 连接BG ，过B 作BH∠DG ，垂足为H.
在Rt∠ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝2，G 为AC 中点
∠AG=BG=1
2
AC=AB=2，∠∠ABG为等边三角形，
∠∠BGC=120°，∠BGH=30°
又BD=AC=4，
在Rt∠BHG中，BG=2，∠BGH=30°，∠BH=1，
在Rt∠DHB中，BH=1，BD=4，
∠DG=DH﹣
∠S准矩形ABCD=S∠ABC+S∠ACD=1
2
AB×BC+
1
2
AC×DG
=1
2
×2+
1
2
×4×
）
……11分
+
+
……12分
25.(本题满分12分)已知抛物线y＝ax2﹣1
3
x+c经过A(﹣2，0)，B(0，2)两点，动点P，Q同
时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P沿x轴正方向运动，动点Q沿y轴正方向运动，连接PQ，设运动时间为t秒
(1)求抛物线的解析式；
(2)当BQ＝1
3
AP时，求t值；
(3)随着点P，Q的运动，抛物线上是否存在点M，使∠MPQ为等边三角形？若存在，请求出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解（1）∠抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2）两点，
∠
2
40,
3
2.
a c
c
?
++=
?
?
?=
?
，解得
2
,
3
2.
a
c
?
=-
?
?
?=
?
∠抛物线的解析式为y＝－2
3
x2－
1
3
x＋2．……3分
（2）由题意可知，OQ＝OP＝t，AP＝2＋t．
∠当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ＝2－t．
∠BQ＝1
3
AP，∠2﹣t＝
1
3
（2＋t），∠t＝1．
∠当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ＝t﹣2．
∠BQ＝1
3
AP，∠t﹣2＝
1
3
（2+t），∠t＝4．
∠当BQ＝1
3
AP时，t＝1或t＝4．……6分
（3）存在．
作MC∠x轴于点C，连接OM．
设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为－2
3
m2－
1
3
m＋2．
当∠MPQ为等边三角形时，MQ＝MP，又∠OP＝OQ，
∠点M点必在PQ的垂直平分线上，
∠∠COM＝1
2
∠POQ＝45°，
∠∠MCO为等腰直角三角形，CM＝CO，