学生动起来课堂更精彩
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怎样制作一个尽可能大的无盖纸盒》教学案例与反思
、课题学习背景
制成一个尽可能大的无盖长方体纸盒》是北师大版七年级数学上册最后一节课．课题学习，需要学生综合所学的数学知识、技能与方法，通过解决问题的方式去获得对相关知识与方法的进一步理解，体会各部分之间的联系．在这之前，学生已学习了几何图形的展开与折叠，字母表示数以及利用代数式的值去推断代数式所反映的规律等方面的知识和方法．而这些正是进行本课题学习所必需的知识．课题以学生熟悉的折纸活动开始，进而通过操作、抽象和交流，形成问题的代数表达，再通过收集有关数据，推断“容积变化与边长变化之间的联系”，最终通过交流与验证等活动获得问题的解答，并对求解的过程作出反思，让学生经历试验、想像、分析、猜想、交流、推理和反思等过程．
二、课题学习实施方案课题学习对学生而言是一种新的学习方式，学生比较生疏，针对这个特点在教学中采取“反串互动导学模式”，即，课堂自主学习四模块：自主探究——反串互动
反馈创新；课堂自主学习的四特点：自主性、立体式、大容量、快反馈；课堂展示的六环节：誓词引领、预习交流、明确目标、反串互动、展示提升、达标测试．
教学中以小组合作方式为主，给学生提供充分探索和交流的空间，让学生去猜测、去操作、去分析，自主获得研究问题的方法和经验．从而通过倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生分析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力．在活动过程中，以人为本，提倡学生进行团结协作，大胆尝试、大胆猜测、敢于质疑，不轻易否定每一位学生的意见，课堂中做到生生反串、师生反串、组生反串、组组反串，学生说、学、逗、唱样样俱全，学生在课堂互动、展示中得到了成功，课堂因此而精彩．
三、教学过程
一）创设情境设疑求知多媒体展示五彩缤纷的礼盒或包装盒图片．
教师提出问题：同学们，你会制作这些美丽的礼盒吗？给你
长方形的纸你能制作一个无盖的长方体纸盒吗？怎样才能制成一个尽可
能大的无盖纸盒呢？怎样剪？怎样折？小组内交流实践心得．
学生以小组为单位，自主动手操作，每个学生都能制成个无盖的长方体, 并展示出来）
1组（抢答）：我们组是先找了长方体纸盒子，然后展开，再根据展开的图形进行剪纸折叠．
2组（补充）：我们组是这样设计的，在纸的四个角上，分别
剪下四个一样的正方形，然后再折叠，并展示了该组的作品．
3组（自豪地说）：我们组没有做任何剪纸，把纸进行折叠，然后把多余的粘起来，就制作完成，该组也展示了自己的作品．
以上活动的设计意图是：学生在观看了多媒体的美丽画面后，不免产生自己想做一个的想法，而老师充分抓住此时机，放手让学生去实践，从而产生三组设计哪个好的疑问，为以
探究打下铺垫．】
教师在肯定以上三个组的同时，接着提出问题：
1）你做的这个无盖长方体的平面展开图是什么样的呢？
在四个角上补上的图形是正方形还是长方形？四个角上的小正方形的边长和长方体的高存在什么关
系？同时，教师多媒体演示一个课前制作的无盖长方体并进行验证．然后各小组相互交流制作纸盒的方法，并展示制作过程．
（二）合作讨论自主探究教师：同学们通过亲自操作后，制成了不同高的长方体．在我们的生活中，往往需要用有限的资源，办成尽可能大、多、好的事情．（针对刚才的制作教师提出挑战性问题）那么用
张正方形的纸可折叠出不同的无盖长方体，猜想：这个长方体的容积变化与边长变化之间有什么关系呢？怎样才能制成一个尽可能大的无盖长方体呢？
顿说过，没有猜测，就没有伟大的发现．设计此环节的目的就是：实施反串互动式教学，鼓励学生大胆猜想，培养学生创新能力．
教师：刚才多媒体展示了一个无盖的纸盒的制作方法，下面请思考以下问题：出示议一议
1）如果用一张正方形的纸制成一个无盖的长方体，你觉
得应该如何剪？如何折？与你小组的同伴充分交流意见．
2）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体的高h 有什么关系？
（3）如果设这张正方形纸的边长是a，所折无盖长方体的高
为h你能用a和h来表示这个无盖的长方体的容积吗？（先小组研究，然后学生展示）
4组（抢答）：我们组认为：将这张正方形的纸的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后进行折叠即可．
5组（补充）：如果这张正方形纸的边长是a,折叠后的长方
体的高是h,那么这个无盖的长方体的容积便是教师：如果剪去的小正方形的边长增大，所折无盖长方体的容积如何变化呢？
通过以上两环节，进一步激发了学生合作学习的兴趣和欲望,为之后的探究作好铺垫．】
（多媒体展示）探究一：如果用边长a为20cm的正方形的
纸，按以上方式制作一个无盖的长方体．如果剪去的小正方形的边长按整数值依次变化, 即分别取1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm 7cm, 8cm, 9cm 10cm时折成的无盖长方体容积
将如何变化？请同学们制作一个统计表来表示这个变化．
6组（抢答）：剪去的h 越大,底面积逐渐越小,所折的无盖长方体逐渐增大．
7组（订正）：6 组说的不对,应是剪去的h 越大,所折的无盖长方体容积先逐渐增大后再逐渐减小,当h=3 时,折的长方体容积最大为588m3 ．如下表所示：
容积v 324
512
576 500 384 252 128
这里充分发挥学生的主动性，让学生反串角色，学生讲解、学生展示研究成果，通过反串互动使学生在展示中得到成功．】
v=25．01 h=2．51
探究二：怎样才能制作一个尽可能大的长方体
呢？
教师：用几何画板演示长方体的变化图，并启发学生进
步思考：如果小正方形的边长发生变化，上面的结论还成立
吗？
8组（小组讨论并交流）：经过前面的讨论和演示我们发现，解决问题的根源在h的取值上，前面h只取整数值时，是h=3
时，V 最大．
9 组（质疑）:我们发现：当h=3时，V不是最大的？如果h
取0．5 cm、1. 5 cm??…，也就是如果我们使剪去的小正方
形的边长按0．5 的间隔去取值，结果又如何？
此环节画龙点睛，把学生的思维引向主题，“怎样才能制
作一个尽可能大的长方体呢？”学生的探究活动进入高潮．】
师借机引出) 探究三：(1) 如果剪去的小正方形边长按0. 5 cm、1．0 cm、1．5 cm、2．0 cm、2．5 cm、3 cm、3．5 cm、4 cm、4. 5 cm、5 cm、5. 5 cm、6 cm、6. 5 cm、7 cm,…
时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？请你制作一个统计表，表示这个变化状况. ( 可以用计算器) (2) 观察这些数据的变化，你发现了什么？与同伴交流.
(3) 从统计表中可以看出，当小正方形的边长取什么值时，所得无盖长方体容积最大？此时无盖长方体的容积是多少？
展示学生做的统计表)
10 组(展示)：剪去的h 越大，所折的无盖长方体容积先逐渐增大再逐渐减小，当h=3. 5 时，折的长方体容积最大是
591. 5m3 .如下表所示：
0.
1.
1.
2.
2.
3．
4．