【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 综合测试 北师大
版必修5
(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b >2中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ [答案] C [解析] 由1a <1 b <0，得b ∴②③均不成立，a ＋b <0，ab >0，∴①成立． 而b a ＋a b －2＝a －b 2 ab >0， ∴b a ＋a b >2，④成立．故选C. 2．如果a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2 D ．ac (a －c )<0 [答案] C [解析] c 0，c <0. 对于A ： ? ??? ?b >c a >0?ab >ac ，A 正确． 对于B ： ? ??? ?b 0，B 正确； 对于C ： ? ????c 2 ≥0?cb 2 ≤ab 2 ? cb 2 ，C 错，即C 不一定成立． 对于D ：ac <0，a －c >0?ac (a －c )<0，D 正确． 3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是( ) A ．(－3,4) B ．(－4,3) C ．(0，－3) D ．(－3,2) [答案] A [解析] 当x ＝y ＝0时，3x ＋2y ＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x ＋2y ＋5>0， 可以验证仅有点(－3,4)满足3x ＋2y ＋5>0. 4．(2016·大连高二检测)不等式ax 2 ＋5x ＋c >0的解集为{x |13 ( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6 [答案] B [解析] 由已知得a <0且13，12为方程ax 2 ＋5x ＋c ＝0的两根，故13＋12＝－5a ，13×12＝c a . 解得a ＝－6，c ＝－1，故选B. 5．若集合A ＝{x |x 2 ＋x －6<0}，B ＝{x |x ＋2 x －3 ≤0}，则A ∩B 等于( ) A ．(－3,3) B ．[－2,2) C ．(－2,2) D ．[－2,3) [答案] B [解析] A ＝{x |－3 6．(2015·安徽文，5)已知x ，y 满足约束条件 ???? ? x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1， 则z ＝－2x ＋y 的最大值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．－5 D ．1 [答案] A [解析] 根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图． 令z ＝－2x ＋y ，则y ＝2x ＋z ，可知在图中A (1,1)处，z ＝－2x ＋y 取到最大值－1，故选A. 7．已知a >0，x 、y 满足约束条件???? ? x ≥1，x ＋y ≤3， y ≥a x －， 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则 a ＝( ) A.1 4 B.12 C ．1 D ．2 [答案] B [解析] 本题考查了线性规划知识． 作出线性约束条件???? ? x ≥1，x ＋y ≤3， y ≥a x － 的可行域． 因为y ＝a (x －3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C (1，－2a )时，z ＝2x ＋y 有最小值， ∴2×1－2a ＝1，∴a ＝1 2 . 8．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4 b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 [答案] C [解析] 本题主要考查基本不等式在求最值中的应用． ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2＝1，∴y ＝1a ＋4 b ＝ ? ????1a ＋4b ? ?? ??a 2＋b 2＝52＋2a b ＋b 2a ， ∵a >0，b >0，∴2a b ＋b 2a ≥2 2a b ·b 2a ＝2，当且仅当2a b ＝b 2a ，且a ＋b ＝2，即a ＝23 ，b ＝4 3 时取得等号， ∴y 的最小值是9 2 ，选C. 9．若不等式组???? ? x ≥0x ＋3y ≥4 3x ＋y ≤4 所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋4 3 分为面积相等的两部 分，则k 的值是( ) A.7 3 B.37 C.43 D.34 [答案] A [解析] 不等式组表示的平面区域如图所示． 由于直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋4 3能平分平 面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点M (12，5 2 )． 当y ＝kx ＋43过点(12，52)时，52＝k 2＋4 3， ∴k ＝7 3 . 10．方程x 2 ＋(m －2)x ＋5－m ＝0的两根都大于2，则m 的取值范围是( ) A ．(－5，－4] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－5)∪(－5，－4] [答案] A [解析] 令f (x )＝x 2 ＋(m －2)＋5－m ，要使f (x )＝0的两根都大于2， 则??? ?? Δ＝m － 2 －－m f ，－m －22>2， 解得：???? ? m 2 ≥16，m >－5， m <－2. ?－5 11．已知x >0，y >0.若2y x ＋8x y >m 2 ＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥4或m ≤－2 B ．m ≥2或m ≤－4 C ．－2 D ．－4 [答案] D [解析] ∵x >0，y >0. ∴2y x ＋8x y ≥2 2y x ·8x y ＝8(当且仅当2y x ＝8x y 时取“＝”)． 若2y x ＋8x y >m 2＋2m 恒成立，则m 2 ＋2m <8，解之得－4 12．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域???? ? x ＋y ≥2，x ≤1， y ≤2 上的 一个动点，则OA →·OM → 的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2] [答案] C [解析] 本题主要考查向量的坐标运算与线性规划知识． OA →·OM → ＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件????? x ＋y ≥2x ≤1 y ≤2 表示的平面区域如 图所示． 可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OA →·OM → 的取值范围是[0,2]，故选C. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．不等式2x 2 ＋2x －4≤12的解集为____________． [答案] [－3,1] [解析] 不等式2x 2＋2x －4≤12化为2x 2＋2x －4≤2－1 ， ∴x 2 ＋2x －4≤－1，∴x 2 ＋2x －3≤0， ∴－3≤x ≤1， ∴原不等式的解集为[－3,1]． 14．若实数x ，y 满足x 2 ＋y 2 ＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________． [答案] 23 3 [解析] 由x 2 ＋y 2 ＋xy ＝1得1＝(x ＋y )2 －xy ∴(x ＋y )2 ＝1＋xy ≤1＋? ?? ??x ＋y 22，解得 － 233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值为23 3 . 15．要挖一个面积为432m 2 的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m,4m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________、宽为________． [答案] 24m 18m [解析] 设鱼池的长宽分别为x m ，y m ， ∴xy ＝432，∴(x ＋6)(y ＋8)＝xy ＋6y ＋8x ＋48＝480＋6y ＋8x ≥480＋248xy ＝768，当且仅当6y ＝8x ，即x ＝18，y ＝24时，等号成立． 16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A 、B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元． [答案] 2 300 [解析] 设甲、乙两种设备分别需要租用x 、y 天． 根据题意得???? ? 5x ＋6y ≥5010x ＋20y ≥140 x ∈Z ，y ∈Z ， 所需租赁费为z ＝200x ＋300y . 作出可行域如图所示，将l 0 x ＋3y ＝0向可行域平移，当直线经过M 点时，z 取最小 值． 由? ?? ?? 5x ＋6y ＝50x ＋2y ＝14，得M (4,5)． ∴z min ＝200×4＋300×5＝2 300(元)． 即所需租赁费最少为2 300元． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)若函数f (x )＝lg(8＋2x －x 2 )的定义域为M ，函数g (x )＝1－ 2 x －1 的定义域为N ，求集合M ，N ，M ∩N . [解析] 由8＋2x －x 2 >0，即x 2 －2x －8<0， ∴(x －4)(x ＋2)<0， ∴－2 2x －1≥0，得x －3x －1 ≥0， ∴x ≥3或x <1. ∴N ＝{x |x <1或x ≥3}． ∴M ∩N ＝{x |－2 18．(本小题满分12分)当x >3时，求函数y ＝2x 2 x －3的值域． [解析] ∵x >3，∴x －3>0. ∴y ＝2x 2 x －3＝ x － 2 ＋x － ＋18 x －3 ＝2(x －3)＋18 x －3 ＋12 ≥2 x － 18 x －3＋12＝24. 当且仅当2(x －3)＝ 18x －3 ， 即x ＝6时，上式等号成立， ∴函数y ＝2x 2 x －3 的值域为[24，＋∞)． 19．(本小题满分12分)不等式kx 2 －2x ＋6k <0(k ≠0) (1)若不等式的解集是{x |x <－3或x >－2}，求k 的值． (2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． [解析] (1)因为不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}， 所以，－3，－2是方程kx 2 －2x ＋6k ＝0的两根，且k <0 ∴??? ?? －3－2＝2k －－＝6 即k ＝－25 . (2)若不等式的解集为R ， 则??? ? ? k <0，Δ＝4－4k ×6k <0， 即??? ? ? k <0，1－6k 2 <0， 解得：k <－ 6 6 . 20．(本小题满分12分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ [解析] 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知 ????? x ＋y ≤100.3x ＋0.1y ≤1.8x ≥0y ≥0 ， 目标函数z ＝x ＋0.5y . 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域． 作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线l 0的一组直线，x ＋0.5y ＝z ，z ∈R .与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线x ＋0.5y ＝0的距离最大，这里M 点 是直线x ＋y ＝10和0.3x ＋0.1y ＝1.8的交点．解方程组? ?? ?? x ＋y ＝10 0.3x ＋0.1y ＝1.8， 得? ?? ?? x ＝4 y ＝6. 此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)． ∴当??? ?? x ＝4y ＝6 ，时z 取得最大值． 答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能盈利最大． 21．(本小题满分12分)已知关于x 的方程(m ＋1)x 2 ＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ＝0的两根为 x 1、x 2，若x 1<1 [解析] 设f (x )＝(m ＋1)x 2 ＋2(2m ＋1)x ＋1－3m ，显然m ＋1≠0. (1)当m ＋1>0时，可画简图： 则????? m ＋1>0 f f ，即??? ?? m >－1 m <－2m >－89 ，不等式组无解． (2)当m ＋1<0时，可画简图： 则???? ? m ＋1<0 f f ，即??? ?? m <－1 m >－2m <－89 . 得－2 由(1)、(2)知m 的取值范围是(－2，－1)． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2 ax ＋b (a 、b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0 有两个实根为x 1＝3，x 2＝4. (1)求函数f (x )的解析式； (2)设k >1，解关于x 的不等式f (x )< k ＋ x －k 2－x . [解析] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2 ax ＋b －x ＋12＝0，得 ????? 93a ＋b ＝－9164a ＋b ＝－8 ，解得? ?? ?? a ＝－1 b ＝2.∴f (x )＝ x 2 2－x (x ≠2)． (2)原不等式即为x 22－x < k ＋ x －k 2－x ，可化为x 2－k ＋x ＋k 2－x <0. 即(x －2)(x －1)(x －k )>0. ①当1 综上所述，当1 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集， R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 A B = 真子集 A ≠ ?B （或 B ≠ ?A ） B A ?，且B 中至少有一元素不属于A （1）A ≠ ??（A 为非空子 集） (2)若A B ≠ ?且B C ≠ ?，则 A C ≠ ? B A 集合 相等 A B = A 中的任一元 素都属于B ，B 中的任一元素都属于A (1)A ?B (2)B ?A A(B) （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名 称 记 号 意义 性质 示意图 交集 A B I {|,x x A ∈且}x B ∈ （1）A A A =I （2）A ?=?I （3）A B A ?I A B B ?I B A 并集 A B U {|,x x A ∈或}x B ∈ （1）A A A =U （2）A A ?=U （3）A B A ?U A B B ?U B A 数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列． 3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列； 高一数学月考试题 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知数列{a n }中，21=a ，*11()2 n n a a n N +=+∈，则101a 的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 211，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．12 3．在三角形ABC 中，如果()()3a b c b c a bc +++-=，那么A 等于（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 4．在⊿ABC 中，B C b c cos cos =，则此三角形为 （ ） A ． 直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 10+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．在各项均为正数的等比数列 {}n b 中，若783b b ?=， 则31 32log log b b ++……314log b +等于（ ） (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知b a ρρ,满足：a ρ=3，b ρ=2，b a ρρ+=4，则b a ρρ-=( ) A B C ．3 D 10 8.一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83 9．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 10．已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6，b ＝4，那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( )． A ．有一种情形 B ．有两种情形 高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式： 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质：8条性质. (2)一元二次不等式： +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O 一元二次不等式的求 解流程： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式： 高次不等式： (4)解含参数的不等式：（1） (x – 2)(ax – 2)>0 （2）x 2 – (a +a 2)x +a 3>0； （3）2x 2 +ax +2 > 0； 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有： 1、讨论a 与0的大小； 2、讨论⊿与0的大小； 3、讨论两根的大小； 二、运用的数学思想： 1、分类讨论的思想； 2、数形结合的思想； 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题： ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ (北师大版)高一数学必修1全套教案 第一章集合 课题:§0 高中入学第一课（学法指导） 教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动， 圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同 学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定 一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么 要学数学？如何学数学？高中数学知识结 构？新课程标准的基本思路？本期数学教 学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学： 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。 高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构： 书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必 修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列）， 高二下期（选修系列），高三年级：复习资 料。 知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排： 本期学习内容：高一必修①、②，共72课时， 必修5期末综合测试卷 一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分． 1．在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 2．设x >0,y >0,y x y x a +++=1,y y x x b +++=11，a 与b 的大小关系 （） A ．a >b B ．a 0,,252645342=++a a a a a a 那么53a a +=（） A.5 B.10 C.15 D.20 4．x 、y >0,x ＋y =1,且y x + ≤a 恒成立,则a 的最小值为（） A 2C ．2D ．2 5．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( ) A ．135° B ．90°C ．120° D ．150 6．设a 、a ＋1、a ＋2为钝角三角形的边，则a 的取值范围是（ ） A 0＜a ＜3B3＜a ＜4 C1＜a ＜3 D4＜a ＜6 7．数列Λ,16 1 4 ,813,412,211前n 项的和为（ ） A ．22 12n n n ++ B ．12212+++-n n n C ．22 12n n n ++- D ．2 2121 n n n -+- + 8．已知不等式250ax x b -+>的解集是{|32}x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解 是（） A 32x x <->-或 B 12x <- 或13 x >- C 11 23 x - <<-D 32x -<<- 9．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足?? ? ??≥<+≤+-125530 34x y x y x ，则有 （） A ．3,12min max ==z z B ．,12max =z z 无最小值 C ．z z ,3min =无最大值 D ．z 既无最大值，也无最小值 10．等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若 231n n S n T n =+,则n n a b =（） A 23B 2131n n --C 2131n n ++D 21 34 n n -+ 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 11．若x>0，y>0，且 19 1=+y x ，则x+y 的最小值是___________ 12.不等式组6003x y x y x -+≥?? +≥??≤? 表示的平面区域的面积是 13．已知数列{}n a 中，1a ＝－1，1+n a ·n a ＝n n a a -+1，则数列通项n a ＝___________ 14．ΔABC 中，若C A C B A sin sin sin sin sin 2 22=+-那么角B=___________ 15．若方程x x a a 2 2 220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是_________________ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ，AD =10，AB =14，BDA =60，BCD =135. 求BC 的长. C D 数学必修5试题 (满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1、数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为 （ ） A ．12-=n a n B.)21()1(n a n n --= C ．)12()1(--=n a n n D.)12()1(+-=n a n n 2．已知{}n a 是等比数列，4 1 252==a a ，，则公比q =（ ） A ．2 1- B ．2- C ．2 D ．2 1 3．已知ABC ?中，?=∠==60,3,4BAC AC AB ，则=BC ( ) A. 13 B. 13 C.5 D.10 4．在△ABC 中，若 2sin b B a =，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0015030或 5. 在ABC ?中，若cos cos a B b A =，则ABC ?的形状一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形 6．若?ABC 中，sin A :sin B :sin C =2:3:4，那么cos C =（ ） A. 14 - B. 14 C. 23 - D. 23 7．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2 C ．2± D ．4 8．等差数列}{n a 和{}n b 的前n 项和分别为S n 和T n ，且 1 32+= n n T S n n ， 则 5 5 b a =（ ） A 32 B 149 C 3120 D 9 7 9．已知{}n a 为公比q ＞1的等比数列，若20052006a a 和是方程24830x x -+=的两根， 第三章 不等式 一、选择题 1．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log πsin 5 2π ，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2 B ．ab 2＜a 2b C ． 21ab ＜b a 21 D ． a b ＜b a 3．若对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1 B ．｜a ｜≤1 C ．｜a ｜＜1 D ．a ≥1 4．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[0，1)∪(1，＋∞) D ．[－1，0]∪[1，＋∞) 5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11 -x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1，2) 6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )． A B C D 7．设变量x ，y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2＋＋－ 则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．设变量x ，y 满足?? ? ??5 －－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )． A ．[ 21，3 4 ] B ．[ 3 4 ，2] C ．[ 2 1 ，2] D ．[ 2 1 ，＋∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题) 高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作） 必修五模块测试卷 （150分，120分钟） 一、选择题(每题5分，共60分） 1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 2 2A ＝c c b 2+，则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A.135 B.100 C.95 D.80 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于( ) A. 23 B. 33 C. 43 D. 6 3 4.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 2 5 -?n － 5 1 ，则实数t 的值为( ) A.4 B.5 C. 54 D. 5 1 5.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( ) A.3 B.23 C.3或23 D.3 6.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A. 44S a =66S a B. 44S a ＞66S a C. 44S a ＜66S a D. 44S a ≤6 6S a 7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝ 2 1 x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1 B.a n ＝n 2 C.a n ＝n ＋1 D.a n ＝n 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 必修5知识点 第一章 解三角形 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的 半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ． —1— 第二章 数列 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列． 11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列． 14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差 中项．若2 a c b +=，则称b 为a 与 c 的等差中项． 19、若等差数列 {}n a 的首项是1 a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1 1 n a a d n -=-； ④1 1n a a n d -=+；⑤n m a a d n m -=-． 21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{} n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+． —2— 朝阳教育暑期辅导中心数学必修5测试题（B 卷） 考试时间：90分钟 满分：100分 出卷人：毛老师 考生姓名： 一、选择题（每小题5分，共50分） 1．在等比数列{n a }中,已知11 = 9 a ,5=9a ，则3=a （ ） A 、1 B 、3 C 、±1 D 、±3 2．在△ABC 中，若=2sin b a B ，则A 等于（ ） A ．006030或 B ．006045或 C ．0060120或 D ．0 015030或 3.在△ABC 中，若SinA ：SinB ：SinC=5:7:8，则B 大小为（ ） A 、30° B 、60° C 、90° D 、120° 4．已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x -2y +a =0的两侧，则a 的取值范围是（ ） A. a <-7或 a >24 B. a =7 或 a =24 C. -7的解集是11 (,)23 -，则a b +的值是（ ）。 A. 10 B. 10- C. 14 D. 14- 8 1 1，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ． 12 9．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ． 11a b < B ．11 a b > C ．2a b > D ．22a b > 10.已知{}n a 是等差数列，且a 2+ a 3+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 二、填空题（每小题4分，共20分） 11、在△ABC 中，=2,=a c B 150°，则b ＝ 12．等差数列{}n a 中, 259,33,a a ==则{}n a 的公差为______________。 13．等差数列{}n a 中, 26=5,=33,a a 则35a a +=_________。 描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案 第三章 不等式 3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、学习任务 1. 能从实际情景中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式组的集合意义，能用平面区 域表示二元一次不等式组． 2. 能从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． 二、知识清单 平面区域的表示 线性规划 非线性规划 三、知识讲解 1.平面区域的表示 二元一次不等式表示的平面区域 已知直线 ：，它把坐标平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面 与 的并集叫做闭半平面．以不等式解 为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的 区域或不等式的图象． 对于直线 ： 同一侧的所有点 ，代数式 的符号相同，所 以只需在直线某一侧任取一点 代入 ，由 符号即可判断 出 （或）表示的是直线哪一侧的点集．直线 叫做这 两个区域的边界（boundary）． 二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组所表示区域的确定方法：①直线定界②由几个不等式组成的不等式组所表示的 平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． l Ax +By +C =0l (x ,y )l Ax +By +C =0(x ,y )Ax +By +C (,)x 0y 0Ax +By +C A +B +C x 0y 0A +B +C >0x 0y 0<0Ax +By +C =0画出下列二元一次不等式表示的平面区域． （1） ；（2）． 解：（1）① 画出直线 ，因为这条直线上的点不满足 ，所以画 成虚线． ② 取原点 ，代入 ，所以原点在不等式 所表示的平 面区域内，不等式表示的区域如图． 3x +2y +6>0y ?3x 3x +2y +6=03x +2y +6>0(0,0)3x +2y +6=6>03x +2y +6>0 第一课时 3.4基本不等式 2a b +≤（一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点： 2 a b +≤的证明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成如图，在 正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的 4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2a b +≤ 2 a b +≤ ： 用分析法证明：要证 2a b +≥， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2），只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2（4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８ x 3y 3. 高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈；或者a M ?；两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}；其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素；则它有2n 个子集；它有21n -个真子集；它有21n -个非空子集；它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 A B B ?U 补集 {|,}x x U x A ∈?且%1 （ %1 %1 %1 %1 ⑼ 集合的运算律： 交换律：.;A B B A A B B A Y Y I I == 结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I == 分配律:)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U 等幂律：.,A A A A A A ==Y I 求补律：A ∩ A ∪=U 反演律：(A ∩B)=(A)∪(B) (A ∪B)=(A)∩(B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合；如果按照某种对应关系f ；对于集合A 中的 元素；在集合B 中都有 元素和它对应；这样的对应叫做 到 的映射；记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射；那么和A 中的元素a 对应的 叫做象； 叫做原象.二、函数1．定义：设A 、B 是 ；f :A →B 是从A 到B 的一个映射；则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ；记作 .2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： 不等式 一．不等式的性质： 1．同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a bc d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则a c b d ->-）， 但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； 2．左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； 3．左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >> 4．若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11 a b >。如 （1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ （答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ （答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______ （答：12,2??-- ??? ） 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如 （1）设0,10>≠>t a a 且，比较 2 1log log 21+t t a a 和的大小 （答：当1a >时，11log log 22a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，12 p a a =+-，2 422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 （答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 （答：当01x <<或43x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3 log x ＝2log 2x ） 三．利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如高中数学必修5基本不等式知识点总结
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