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线性代数教案第二章矩阵及其运算

教案

课程名称:线性代数编写时间：20 年月日

(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案

第二部分　矩阵及其运算作业（一）选择题(15分) １．设，均为n 阶矩阵，且，则必有（）A B 22 ()()A B A B A B +-=-(A) (B) (C) (D) A B =A E =AB BA =B E =２．设，均为n 阶矩阵，且，则和（） A B AB O =A B (A)至多一个等于零 (B)都不等于零 (C) 只有一个等于零 (D) 都等于零３．设，均为n 阶对称矩阵，仍为对称矩阵的充分必要条件是（） A B AB (A) 可逆 (B)可逆 (C) (D) A B 0AB ≠AB BA =４．设为n 阶矩阵，是的伴随矩阵，则＝（） A A *A A *(A) (B) (C) (D) 1n A -2n A -n A A ５．设，均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（） A B (A) (B) ()T T T AB A B =()T T T A B A B +=+(C) (D) 111()AB A B ---=111 ()A B A B ---+=+（二）填空题(15分) １．设，均为3阶矩阵，且，则= 。 A B 1 ,32A B ==2T B A 2．设矩阵，，则＝。 1123A -?? = ???232B A A E =-+1B -３．设为４阶矩阵，是的伴随矩阵，若，则＝。 A A *A 2A =-A *４．设，均为n 阶矩阵，，则＝。 A B 2,3A B ==-12A B *-５．设，为整数，则＝。 101020101A ? ? ?= ? ??? 2n ≥12n n A A --（三）计算题(５０分) 1．设,,且，求矩阵。 010111101A ?? ?=- ? ?--??112053B -? ? ? = ? ??? X AX B =+X

线性代数行列式算与性质

线性代数行列式的计算与性质行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ，行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ，即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。

矩阵及其运算测试题

第二章矩阵及其运算测试题一、选择题 1.下列关于矩阵乘法交换性的结论中错误的是（）。 (A)若A 是可逆阵，则1A -与1A -可交换； (B)可逆矩阵必与初等矩阵可交换； (C)任一n 阶矩阵与n cE 的乘法可交换，这里c 是常数； (D)初等矩阵与初等矩阵的乘法未必可交换。 2.设n (2n ≥)阶矩阵A 与B 等价，则必有（） (A) 当A a =（0a ≠）时，B a =； (B)当A a =（0a ≠）时，B a =-； (C) 当0A ≠时，0B =； (D)当0A =时，0B =。 3.设A 、B 为方阵，分块对角阵00A C B ??= ??? ，则* C =( )。 (A) **00 A B ?? ??? (B) **||00 ||A A B B ?? ??? (C) **||00||B A A B ?? ??? (D) **||||0 0||||A B A A B B ?? ??? 4.设A 、B 是n (2n ≥)阶方阵，则必有（）。 (A)A B A B +=+ (B)kA k A = (C) A A B B =-g (D) AB A B = 5.设4阶方阵 44(),()||,ij A a f x xE A ?==-其中E 是4阶单位矩阵，则()f x 中3 x 的系数为（）。 (A)11223344()a a a a -+++ (B)112233112244223344113344a a a a a a a a a a a a +++ (C) 11223344a a a a (D)11223344a a a a +++ 6.设A 、B 、A B +、11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则1()A B -+为( )。 (A) 11A B --+ (B) A B + (C) 111()A B ---+ (D)11111()B A B A -----+

第二章矩阵及其运算作业及答案

第二部分矩阵及其运算作业（一）选择题(15分) １．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22()()A B A B A B +-=-，则必有（） (A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E = ２．设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则A 和B （） (A)至多一个等于零 (B)都不等于零 (C) 只有一个等于零 (D) 都等于零３．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（） (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA = ４．设A 为n 阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则A *＝（） (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A ５．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（） (A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+ (C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+ （二）填空题(15分) １．设A ，B 均为3阶矩阵，且1 ,32A B ==，则2T B A = 。 2．设矩阵1123A -??= ??? ， 232B A A E =-+，则1B -＝。３．设A 为４阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若2A =-，则A *＝。４．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3A B ==-，则12A B *-＝。５．设101020101A ? ? ?= ? ??? ，2n ≥为整数，则12n n A A --＝。（三）计算题(５０分) 1．设010111101A ?? ?=- ? ?--??,112053B -?? ?= ? ??? ,且X AX B =+，求矩阵X 。

线性代数---特殊行列式及行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 11112112,1221222,1 1,21,1 1,11 2 ,1 (1)2 12,11 000000 00 000 0000 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------== =- 3. 分块行列式（教材P14例10）一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12）注：4种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！二、低阶行列式计算二阶、三阶行列式——对角线法则（教材P2、P3）三、高阶行列式的计算【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式； 3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算 ——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法）

【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例1 （2001年考研题） 00010002000199900 02000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!0199900 02000 000D ?---=-=--= 解法三：分块法 00010002000199900 02000000 002001 D = 利用分块行列式的结果可以得到

线性代数的基本运算

111 第5章线性代数的基本运算本章学习的主要目的： 1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识. 2学会用MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算. 5.1 行列式 5.1.1 n 阶行列式定义由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij 组成的记号 D=nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n 阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n np 2p 21p 1a a a 的代数和,各项的符号由n 级排列n p p p 21决定,即

112 D= ∑ -n p p p n p p p 21n np 2 p 21 p 1) 21( a a a )1(τ, 其中 ∑n p p p 21表示对所有n 级排列求和, ) ,,,(21n p p p τ是排列 n p p p 21的逆序数. 5.1.2 行列式的性质 (1) 行列式与它的转置行列式相等. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号. (3) 若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. (4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式. (5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等于对应两个行列式之和.即 nn n n ni n n i i nn n n ni n n i i nn n n ni ni n n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21'2 1 '22221 '11211212 1 22221 112 1121'2 1 '222221'111211+ =+++ (7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.

第二章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算第一节矩阵及其运算一．数学概念定义1.1由个数排成m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称矩阵，记作二．原理，公式和法则 1．矩阵的加法 (1) 公式 (2) 运算律 2．数乘矩阵 (1) 公式

(2) 运算律 3．矩阵与矩阵相乘 (1) 设, 则其中，且。 (2)运算符(假设运算都是可行的)： (3)方阵的运算注意：①矩阵乘法一般不满足交换律。 ②一般 4.矩阵的转置 (1)公式

这里为A的转置矩阵。 (2)运算律 5.方阵的行列式 (1)公式设A为n阶方阵，为A的行列式。 (2)运算律

6.共轭矩阵 (1)公式设为复矩阵，表示为的共轭复数，则为方阵的共轭矩阵。 (2)运算律(设A,B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的)：第二节逆矩阵一.数学概念定义2.1设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使，则称矩阵A 是可逆的，并把矩阵称为A的逆矩阵。 1.可逆矩阵又称为非奇异矩阵。 2.不可逆矩阵又称为奇异矩阵。二.原理，公式和法则 1. 定理 2.1方阵A可逆的充分必要条件是,且，其中为A的伴随矩阵。推论若AB＝E(或BA=E)则B＝A-1。性质逆矩阵是唯一的。 2.运算律

①若A可逆，则A-1亦可逆，且。 ②若A可逆，数,则λA可逆，且。 ③若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且 ④若A可逆，则A T亦可逆，且第三节分块矩阵一.数学概念分块矩阵：用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。 1.一般分块 2.按行分块

线性代数之行列式的性质及计算

第二节行列式的性质与计算 § 行列式的性质考虑111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = 将它的行依次变为相应的列，得 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =）事实上，若记1112 12122212 n n T n n nn b b b b b b D b b b = 则(,1,2, ,)ij ji b a i j n == 12 12 () 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12 12() 12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑ 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112 11212 1 2 12 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =

推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =；性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零．性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 1112111221 2 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=1112112 12n i i in n n nn a a a a a a a a a +1112112 12 n i i in n n nn a a a b b b a a a . 证: 由行列式定义 12 12() 12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑ 12 12 12 12() () 1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑ 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 11121121 2 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=1112111221 2 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．例1: 计算行列式 2 324311112321311 (1)(2) 323 4 11310 4 25 1113 D --= -

(完整版)第二章矩阵及其运算练习卷二(参考

练习卷二（A 卷）第二章矩阵及其运算一、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 1．=???? ??--T 764012 241607-?? ? ? ? -?? 2．()= ??? ? ? ??302642406801212018?? ? ? ??? ． 3．已知方阵A 、B 满足22A A B B ==，，则2()A B A B +=+成立的充要条件是 AB+BA=0 ． 4．设???? ??=3421A ，则=*A 3241-?? ? -?? ，=-1 A 0.60.40.80.2-?? ?-?? ．二、单项选择题（本大题共2个小题，每小题5分，共10分） 5．设A 、B 为n 阶方阵，则下列选项正确的是（ B ）． (A) ()k k k AB A B =； (B) 若A E =，则AB BA =； (C) 22()()A B A B A B -=-+； (D) 若AB=O ，则A=O 或B=O ． 6．设A 、B 为n 阶方阵，则必有（ A ）． (A) BA AB =； (B) B A B A +=+； (C) 1A A -=； (D) B A B A ?=．三、求下列矩阵的逆矩阵（本大题共1个小题，共15分） 7．??? ? ? ??---=412112013A ．解法1：利用伴随矩阵求解。因为|A|=5， * *154114/51/510123212/53/5||01101/51/5A A A A ---???? ? ? =-∴==- ? ? ? ? ????

解法2：利用初等变换求解（第三章）. 四、解答下列各题（本大题共3个小题，每小题15分，共45分） 8．设矩阵111211111A -?? ?=- ? ???，236b ?? ? = ? ??? ，且Ax b =，求x ．解：由于|A|=6≠0，所以* 1101/31/311/21/31/6,3||1/201/22A A x A b A ---???? ? ?= === ? ? ? ?-???? 9．设方阵A 满足22A A E -=，证明A 及2A E +都可逆，并求1 A -及1(2)A E -+．．证明：由于2(2)2A A A A E E -=-=两边同时取行列式，得|||2|20||0n A A E A -=≠?≠ 所以A 可逆。由于11 ()2().2 A A E E A A E --=?=- 212121(3) 222)()(2)44 A E A E A A E A E A A A E ---++=?++==-+= Q 可逆且:（ 10．已知??? ?? ??=100110111A ，求)(A f ，其中E A A A f 32)(2+-=．解： 212322201 2022001002123222300201()0 12022030020001002003002A A f A ???? ? ?== ? ? ? ?? ??? ???????? ? ? ? ?=-= ? ? ? ? ? ? ? ?? ??????? ，2， + 五、证明题（本大题共1个小题，共15分） 11．若O A k =（k 为整数），证明：121)(--++++=-k A A A E A E Λ．证明：若O A k =，则2 1 ()()k k E A E A A A E A E --++++=-=L 故：E-A 可逆，且121 ) (--++++=-k A A A E A E Λ （选作题）已知 12212 2A ?- ?= ? ?? ? ，且 6A E =，求