函数展开成幂级数
泰勒级数的概念
函数展开成幂级数的方法
泰勒级数的概念
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若函数()f x 在点0x 的某个邻域0()U x 内有1n +阶导数,
则函数在该邻域内有泰勒公式
()
00000()
()()()()()()!
n n n f
x f x f x f x x x x x R x n '=+-+
+
-+, 其中(1)
1
0()()()(1)!
n n n f R x x x n ξ++=-+ (ξ介于x 与0x 之间)
称为拉格朗日型余项. ()()n f x P x ≈.
泰勒多项式()n P x
若函数()f x 在点0x 的某个邻域0()U x 内有任意阶导数, 则得到幂级数
()
000
()()!
n n
n f
x x x n ∞
=-∑
()
2
0000000()()()()()()()2!
!
n n
f x f
x f x f x x x x x x x n '''=+-+-+
+-+
称此幂级数为函数()f x 在点0x 处的泰勒级数.
幂级数是否收敛?
若幂级数收敛,其和函数是否为给定的函数)(x f ?
定理 设函数()f x 在点0x 的某一邻域0()U x 内具有各阶导数,
则()f x 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是 在该邻域内lim ()0n n R x →∞
=,0()x U x ∈.
证 ()f x 的n 阶泰勒公式为()()()n n f x P x R x =+, 其中
()
00000()()()()()()!
n n n f
x P x f x f x x x x x n '=+-+
+-, ()()()n n R x f x P x =-.
()n P x 就是级数()000
()()!n n
n f x x x n ∞
=-∑的前1n +项部分和,
根据级数收敛的定义,即有
()
000
()()()!
n n
n f
x x x f x n ∞
=-=∑
,0()x U x ∈, ? lim ()()n n P x f x →∞
=,0()x U x ∈,
? lim[()()]0n n f x P x →∞
-=,0()x U x ∈,
? lim ()0n n R x →∞
=,0()x U x ∈.
对于泰勒级数的几点说明:
1.若函数()f x 在点0x 的某个邻域0()U x 内有任意阶导数,
则可构造幂级数
()
000
()()!
n n
n f
x x x n ∞
=-∑
, 即使这个幂级数收敛,其和函数也不一定是函数()f x . 当且仅当lim ()0n n R x →∞
=时幂级数收敛于函数()f x
2.若函数()f x 在0()U x 内能展开成0x x -的幂级数, 则该级数必定是()f x 的泰勒级数.
这是因为: 2
010200()()()()n
n f x a a x x a x x a x x =+-+-+
+-+
,
若对任意0()x U x ∈有
2
1
120300()2()3()
()
n n f x a a x x a x x na x x -'=+-+-+-+
,
2
2300()232()
(1)()
n n f x a a x x n n a x x -''=+?-+--+
,
()
21020(2)!
()!(1)!()()2!
n n n n n f
x n a n a x x a x x +++=++-+-+
,
将0x x =代入各式, 即有()
01()!n n a f x n =
,(0,1,2,)n =, 所以级数00
()()n
n n f x a x x ∞
==-∑是()f x 的泰勒级数.
函数的幂级数展开式是唯一的.
在泰勒级数的表达式()
000
()()!
n n
n f
x x x n ∞
=-∑
中, 取00x =,得
()
2
(0)(0)(0)(0)2!
!
n n
f f
f f x x x n '''+++
+
+
()
(0)!
n n
n f
x n ∞
==∑
, 称为函数()f x 的麦克劳林级数.
则有()
(0)()!
n n
n f
f x x n ∞
==
∑
(||x r <), 称为函数()f x 的麦克劳林展开式.
若()f x 能在(,)r r -内展开成x 的幂级数,