沪科版九上数学第21章二次函数与反比
例函数
21.1 二次函数
【知识与技能】
认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式．
【过程与方法】
通过对实际问题的探索，熟练地掌握列二次函数关系式和求自变量的取值范围.
【情感态度】
培养学生探索新知的能力，鼓励学生通过观察、猜想、验证，主动地获取知识.
【教学重点】
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.
【教学难点】
熟练地列出二次函数关系式.
一、情景导入，初步认知
1.什么叫函数？它有几种表示方法？
2.什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？k值对函数性质有什么影响？
【教学说明】复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件，以便与二次函数中的a进行比较.
二、思考探究，获取新知
1.函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数.看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.
问题1 某水产养殖户用长40米的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面的面积最大，则它的边长应是多少米？
设：围成的矩形的一边长为x米，那么，矩形水面的另一边长为（20-x)米，若面积是Sm2,则有：S=x(20-x)
问题2 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人每天可装配玩具190个，如果增加人数，那么每增加1人，可使每人每天少装配玩具10个，问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
设：增加x人，这时，共有（15+x)人，每人每天可少装配10x个玩具，因此，每人每天只装配（190-10x)个，所以，增加人数后，每天装配玩具总数y可表示为：y=（190-10x)（15+x)
在问题1中函数的表达式可化简为：
S=-x2+20x
在问题2中函数的表达式可化简为：
y=-10x2+40x+2850
2.教师引导学生观察问题1.
问题1中的函数关系式，提出以下问题让学生思考回答；
（1）这两个函数关系式的自变量各有几个?
（2）多项式-2x2＋20x和-10x2＋40x＋2850分别是几次多项式?
（3）这两个函数关系式有什么共同特点?
（4）你能结合一次函数的概念，给这种函数下个概念吗？
【归纳结论】表达式形如y=ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数，其中x是自变量.a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c 叫做常数项.
3.想一想，在二次函数中自变量的取值范围有什么要求呢？说出问题1、问题2中自变量的取值范围.
【归纳结论】二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中，自变量x的取值范围为0＜x＜20.
【教学说明】学生通过实际问题的分析，列出关系式，并观察、利用类比的
思想总结出二次函数的概念.
三、运用新知，深化理解
1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( A )
【分析】紧抓二次函数的概念.
2.m 取哪些值时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是以x 为自变量的二次函数？
【分析】若函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数，须满足的条件是：m 2-m≠0.
解：若函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数，则m 2-m≠0.
解得m≠0且m≠1.
因此，当m≠0且m≠1时，函数y=(m 2-m)x 2+mx+(m+1)是二次函数.
3.（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；
【分析】（1）根据正方体表面积公式可得.（2）面积与半径有关，所以根据周长表示出半径就可求出面积.
解：（1）S=6a 2(a ＞0).
（2）y=
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x (x ＞0). 4.正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子.
(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积.
解：（1）S 2=152-4x 2=225-4x 2(0＜x ＜2
15)； （2）当x=3cm 时，S=225-4×32=189（cm2）.
5.已知二次函数y=x 2+px+q,当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式.
解：把x=1，y=4；x=2,y=-5分别代入y=x2+px+q，得方程组
所以这个二次函数的表达式为y=x2-12x+15
【教学说明】理论学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.
布置作业:教材“习题21.1”中第1、2、5题.
本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数.通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好！