2019-2020学年河北省石家庄一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）如果集合S＝{x|x＝4n+2，n∈N}，T＝{x|x＝4k﹣2，k∈Z}，则（）A．S?T B．T?S C．S＝T D．S∩T＝?
2．（5分）函数y＝cos（2x+）的图象的对称轴方程可能是（）
A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝D．x＝
3．（5分）若点（sin，cos）在角α的终边上，则tanα的值为（）A．1B．﹣1C．D．
4．（5分）已知向量，满足?＝0，||＝1，||＝3，则|﹣|＝（）A．0B．2C．2D．
5．（5分）已知函数f（x）＝，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（）
A．（2，3）B．[1，3）C．（1，3）D．[1，3]
6．（5分）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（）A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝
，则函数y＝f（x）在[2，4]上的大致图象是（）A．B．
C．D．
8．（5分）设函数，记f1（x）＝f（x），f2（x）＝f（f1（x）），…，f n+1（x）＝f[f n（x）]，则f2019（x）等于（）
A．B．
C．D．
9．（5分）定义新运算a?b＝2a（a+b）﹣3，若方程（sin x）?（cos x）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（）
A．B．C．2D．1
10．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）是单调递增函数，则满足的x 的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（3，+∞）
C．D．
11．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象．如图是y＝g（x）的部分图象，其中A，B是其与x 轴的两个交点，C是其上的点，|OA|＝1，且△ABC是等腰直角三角形．则ω与φ的值分别是（）
A．B．
C．D．
12．（5分）已知在△ABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且，AE与BD交于O，则＝（）
A．B．C．+D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）集合A＝{6，x，y，z}，B＝{1，xy，yz，xz}，若A＝B?N，则x+y+z＝．14．（5分）已知单位向量，不共线，当（3﹣2）⊥（+4）时，与的夹角为．
15．（5分）若，则＝．
16．（5分）定义函数f（x）＝min{f1（x），f2（x）}，表示函数f1（x）与f2（x）较小的函数．设函数，，p为正实数，若关于x的方程f（x）＝3恰有三个不同的解，则这三个解的和是．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2﹣8x+15＜0}．
（1）求集合B及A∪B；
（2）已知集合C＝{x|a＜x＜a+1}，若C?B，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知向量＝，＝（sin2x，cos2x），设函数f（x）＝?﹣，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）讨论f（x）在区间上的单调性．
19．（12分）已知函数．
（1）用定义证明函数f（x）在R上是减函数；
（2）探究是否存在实数a，使得函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）若a＝﹣1，解不等式f（t2+1）+f（2t﹣4）≤0．
20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝1，AB＝3，（Ⅰ）若，求实数λ的值；
（Ⅱ）若AD⊥BC，求数量积的值
21．（12分）已知函数f（x）＝+（ω＞0），x1，x2是函数f （x）的零点，且|x2﹣x1|的最小值为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设α，β∈（0，），若f（）＝，f（）＝﹣，求cos （α﹣β）的值．
22．（12分）已知函数．
（1）若不等式f（lnx）﹣alnx≥0在上恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数恰好有三个零点，求b的值及该函数的零点．
2019-2020学年河北省石家庄一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）如果集合S＝{x|x＝4n+2，n∈N}，T＝{x|x＝4k﹣2，k∈Z}，则（）A．S?T B．T?S C．S＝T D．S∩T＝?
【分析】利用集合与元素的关系，判断即可．
【解答】解：集合S＝{x|x＝4n+2，n∈N}，
说明集合S的元素是除以4余2的自然数，
T＝{x|x＝4k﹣2，k∈Z}，x＝4（k﹣1）+2，集合S的元素是除以4余2的整数，
故S?T，
故选：A．
【点评】考查集合与元素的关系，集合与集合的关系，基础题．
2．（5分）函数y＝cos（2x+）的图象的对称轴方程可能是（）
A．x＝﹣B．x＝﹣C．x＝D．x＝
【分析】直接利用余弦函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：∵y＝cos x的对称轴方程为x＝kπ，
∴函数y＝cos（2x）中，
令2x＝kπ，
?x，k∈Z即为其对称轴方程．
上面四个选项中只有符合．
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦函数的对称性以及整体代入思想的应用．解决这类问题的关键在于牢记常见函数的性质并加以应用．
3．（5分）若点（sin，cos）在角α的终边上，则tanα的值为（）A．1B．﹣1C．D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．
【解答】解：∵点在角α的终边上，则tanα＝＝＝
﹣1，
故选：B．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4．（5分）已知向量，满足?＝0，||＝1，||＝3，则|﹣|＝（）A．0B．2C．2D．
【分析】直接利用向量的模的公式求解．
【解答】解：∵?＝0，||＝1，||＝3，
∴
＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是基础题．
5．（5分）已知函数f（x）＝，在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（）
A．（2，3）B．[1，3）C．（1，3）D．[1，3]
【分析】根据f（x）是R上的减函数，以及一次函数、二次函数的单调性和减函数的定义即可得出，解出a的范围即可．
【解答】解：∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，
∴，解得1≤a＜3，
∴a的取值范围为[1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了减函数的定义，一次函数、二次函数的单调性，分段函数的单调性
的判断，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（）A．4cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2
【分析】设扇形的半径为r（cm），列方程求出r的值，再计算扇形的面积．
【解答】解：设扇形的半径为r（cm），则弧长为l＝αr＝4r；
周长为C＝l+2r＝4r+2r＝6r＝12，
解得r＝2（cm）；
则此扇形的面积为S＝lr＝×4×2×2＝8（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形的弧长和面积计算问题，是基础题．
7．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝
，则函数y＝f（x）在[2，4]上的大致图象是（）A．B．
C．D．
【分析】由特殊点的函数值及函数性质即可得解．
【解答】解：f（3）＝2f（1）＝2，故排除CD；
当x∈[3，4]时，x﹣2∈[1，2]，由当x∈[1，2]时，f（x）＝2﹣x可知，此时的函数图象应该是一条线段，故排除A．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的图象，属于基础题．
8．（5分）设函数，记f1（x）＝f（x），f2（x）＝f（f1（x）），…，f n+1（x）＝f[f n（x）]，则f2019（x）等于（）
A．B．
C．D．
【分析】由题意，可先求出f1（x），f2（x），f3（x）…，归纳出f n（x）的表达式，即可得出f2019（x）的表达式．
【解答】解：由题意f1（x）＝f（x）＝，（x＞0），
f2（x）＝f（f1（x））＝，
f3（x）＝f（f2（x））＝＝，
…，
f n（x）＝f（f n﹣1（x））＝，
∴f2019（x）＝，
故选：A．
【点评】本题考查逻辑推理中归纳推理，由特殊到一般进行归纳得出结论是此类推理方法的重要特征．
9．（5分）定义新运算a?b＝2a（a+b）﹣3，若方程（sin x）?（cos x）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（）
A．B．C．2D．1
【分析】根据题意利用新定义及三角函数恒等变换的应用可求sin（2x﹣）＝，求出y＝sin（2x﹣）的函数图象关于直线x＝对称，得出x1，x2的关系，利用诱导公式即可计算得解．
【解答】解：∵（sin x）?（cos x）＝2，
∴由题意可得：2sin x（sin x+cos x）﹣3＝2，可得：sin2x﹣3cos2x＝2，
∴2sin（2x﹣）＝2，即：sin（2x﹣）＝，
由于y＝sin（2x﹣）的函数图象关于直线x＝对称，且f（）＝1，
∴可得x1+x2＝，即x1＝﹣x2，
∴cos（x1﹣x2）＝cos（﹣2x2）＝cos（﹣2x2）＝sin（2x2﹣）＝f（x2）
＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了新定义及三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．
10．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）是单调递增函数，则满足的x 的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B．（3，+∞）
C．D．
【分析】根据题意，首先求出f（）的定义域，根据f（x）是偶函数，且在[0，+∞）是单调递增，分析可得＜|x|，解可得x的范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，有2x+3≥0，即x≥﹣；
由f（x）是偶函数，则f（x）＝f（|x|），
又由f（x）在[0，+∞）是单调递增，则有＜|x|，
解可得，﹣≤x＜﹣1或x＞3，
即x的范围是[﹣，﹣1）∪（3，+∞）
故选：C．
【点评】本题综合考查函数的奇偶性与单调性，解题时注意考虑函数的定义域．11．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象．如图是y＝g（x）的部分图象，其中A，B是其与x 轴的两个交点，C是其上的点，|OA|＝1，且△ABC是等腰直角三角形．则ω与φ的值分别是（）
A．B．
C．D．
【分析】由三角函数图象的性质及三角函数解析式的求法得：由△ABC是等腰直角三角形．所以AB＝4，即＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，
由中点坐标公式得线段AB的中点横坐标为＝1，所以φ＝，所以φ＝2k，k∈Z又|φ|＜，所以φ＝，得解．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝g（x）的图象，
即g（x）＝2sin[ω（x﹣）+φ]，
由△ABC是等腰直角三角形．
所以AB＝4，
又A（﹣1，0），
所以B（3，0），
即＝4，
所以T＝8，
所以ω＝＝，
由中点坐标公式得线段AB的中点横坐标为＝1，
所以φ＝，
所以φ＝2k，k∈Z
又|φ|＜，
所以φ＝，
故选：D．
【点评】本题考查了三角函数图象的性质及三角函数解析式的求法，属中档题．12．（5分）已知在△ABC中，D为线段AC的中点，点E在边BC上，且，AE与BD交于O，则＝（）
A．B．C．+D．
【分析】设＝，＝μ，将分别用含有λ、μ的算式表示出来，根据向量相等得到关于λ、μ的方程组，解方程组得到λ、μ的值，即可表示出．
【解答】解：依题意，设＝，＝μ，
则＝μ＝μ（）＝μ（）＝μ[]＝+．同理＝+＝＝+＝＝（1﹣λ）+．
所以，解得，
所以＝（1﹣）+＝+．
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量的分解、向量相等、向量的共线等．大胆设出未知数，根据向量共线列出方程组是解决这类问题的关键．本题属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）集合A＝{6，x，y，z}，B＝{1，xy，yz，xz}，若A＝B?N，则x+y+z＝6．【分析】利用集合相等的定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{6，x，y，z}，B＝{1，xy，yz，xz}，A＝B?N，
∴x，y，z三个数的取值可能为：
123，321，132，231，312，
∴x+y+z＝1+2+3＝6．
故答案为6．
【点评】本题考查三个数的和的求法，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）已知单位向量，不共线，当（3﹣2）⊥（+4）时，与的夹角为．
【分析】直接代入数量积为0即可得到结论．
【解答】解：因为单位向量，不共线，
设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
当（3﹣2）⊥（+4）时；
则（3﹣2）?（+4）＝3+10﹣8＝3+10cosθ﹣8＝0?cosθ＝；
∴θ＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．15．（5分）若，则＝．
【分析】由已知利用诱导公式可求sin（﹣α）＝﹣，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解．
【解答】解：∵，
∴cos（+﹣α）＝﹣sin（﹣α）＝，可得sin（﹣α）＝﹣，
∴＝cos[﹣（2α+）]＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝1﹣2sin2（﹣α）＝1﹣2×（﹣）2＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
16．（5分）定义函数f（x）＝min{f1（x），f2（x）}，表示函数f1（x）与f2（x）较小的函
数．设函数，，p为正实数，若关于x的方程f（x）＝3恰有三个不同的解，则这三个解的和是p．
【分析】如图所示，函数≥1，且为偶函数．≥3，p为正实数，根据关于x的方程f（x）＝3恰有三个不同的解，可得函数f2（x）与y＝3必然相交于一个点（p，3）．函数与y＝3相交于两个点，根据偶函数的性质可得两个点的横坐标和．
【解答】解：如图所示，
函数≥1，且为偶函数．
≥3，p为正实数，
∵关于x的方程f（x）＝3恰有三个不同的解，
∴函数f2（x）与y＝3必然相交于一个点（p，3）．
函数，与y＝3相交于两个点，且两个点的横坐标和x1+x2＝0．
则这三个解的和是p．
故答案为：p．
【点评】本题考查了函数的图象与性质、方程的解转化为函数图象的交点问题、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2﹣8x+15＜0}．
（1）求集合B及A∪B；
（2）已知集合C＝{x|a＜x＜a+1}，若C?B，求实数a的取值范围．
【分析】（1）可以求出B＝{x|3＜x＜5}，然后进行并集的运算即可；
（2）根据C?B即可得出，解出a的范围即可．
【解答】解：（1）B＝{x|3＜x＜5}，且A＝{x|1＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|1＜x＜5}；
（2）∵C?B，且C＝{x|a＜x＜a+1}，
∴，解得3≤a≤4，
∴a的取值范围为[3，4]．
【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，子集的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
18．（12分）已知向量＝，＝（sin2x，cos2x），设函数f（x）＝?﹣，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）讨论f（x）在区间上的单调性．
【分析】（1）利用二倍角公式与和角公式对f（x）进行化简；再整体代换即可，
（2）先求整个函数的增区间，再结合题中范围即可求解．
【解答】解：因为＝，＝（sin2x，cos2x），
∴f（x）＝?﹣＝sin2x﹣cos2x﹣＝sin（2x﹣）﹣；
（1）∴T＝＝π，
其最大值：1﹣；
（2）令2kπ≤2x﹣≤2kπ+?kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；
k＝0时与区间的交集是：[，]；
k＝1，与区间无交集；
所以：f（x）在区间上的增区间为[，]；
减区间为：[，]．
【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）已知函数．
（1）用定义证明函数f（x）在R上是减函数；
（2）探究是否存在实数a，使得函数f（x）为奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）若a＝﹣1，解不等式f（t2+1）+f（2t﹣4）≤0．
【分析】（1）根据减函数的定义，设任意的x1＜x2，然后作差，通分，得出
，然后根据指数函数的单调性及值域说明f（x1）＞f（x2）即可；
（2）先得出，若f（x）为奇函数，则可得出f（﹣x）＝﹣f（x），从
而可得出（a+2）?2x+a＝﹣a?2x﹣（a+2），从而得出a的值为﹣1；
（3）根据前面可知，f（x）是R上的奇函数，且是减函数，从而可根据原不等式得出f （t2+1）≤f（4﹣2t），进而得出t2+1≥4﹣2t，解出t的范围即可．
【解答】解：（1）证明：设x1＜x2，则：
＝，
∵x1＜x2，
∴，，且，
∴，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在R上为减函数；
（2），
要使f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），
∴，
∴，
∴（a+2）?2x+a＝﹣a?2x﹣（a+2），
∴a+2＝﹣a，解得a＝﹣1，
∴存在实数a＝﹣1，使f（x）为奇函数；
（3）∵a＝﹣1，∴根据（2）知，f（x）是奇函数，根据（1）知f（x）为R上的减函数，∴由f（t2+1）+f（2t﹣4）≤0得，f（t2+1）≤f（4﹣2t），
∴t2+1≥4﹣2t，解得t≤﹣3，或t≥1，
∴原不等式的解集为{t|t≤﹣3或t≥1}．
【点评】本题考查了根据减函数的定义证明一个函数是减函数的过程和方法，奇函数的定义及判断，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝1，AB＝3，（Ⅰ）若，求实数λ的值；
（Ⅱ）若AD⊥BC，求数量积的值
【分析】（Ⅰ）由平面向量的线性运算得：＝＝，所以＝，又因为＝，所以＝＝，即．
（Ⅱ）及平面向量数量积的运算得：由AD⊥BC，所以＝0，即?（）＝0，即，所以＝，所以＝（）?（）＝22﹣＝﹣3，得解．
【解答】解：（Ⅰ）由在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝1，AB＝3，
得＝，
因为＝＝，
所以＝，
又因为＝，
所以＝＝，
即．
（Ⅱ）由AD⊥BC，
所以＝0，
即?（）＝0，
即，
所以＝，
所以＝（）?（）＝22﹣＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的运算，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝+（ω＞0），x1，x2是函数f （x）的零点，且|x2﹣x1|的最小值为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设α，β∈（0，），若f（）＝，f（）＝﹣，求cos （α﹣β）的值．
【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和辅助角公式整理出f（x）＝sin（2ωx﹣），根据周期求得ω；
（Ⅱ）根据f（x）解析式可求解出cosα，sinβ；再利用同角三角函数关系求出sinα，cosβ；
代入两角和差余弦公式求得结果．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝+＝sin2ωx﹣cos2ωx
＝sin（2ωx﹣），
∵|x2﹣x1|的最小值为．
∴＝，即T＝＝π，得ω＝1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）＝sin（2x﹣），
∴f（）＝sin（α+﹣）＝sin（α+）＝cosα＝，f（）＝sin（β﹣﹣）＝sin（β﹣π）＝﹣sinβ＝﹣，
则sinβ＝，
又α，β∈（0，），∴sinα＝，cosβ＝，
∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝+＝．
【点评】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型．
22．（12分）已知函数．
（1）若不等式f（lnx）﹣alnx≥0在上恒成立，求a的取值范围；
（2）若函数恰好有三个零点，求b的值及该
函数的零点．
【分析】（1）令lnx＝t，命题等价于f（t）﹣at≥0在t∈[﹣2，0）上恒成立，然后转化利用二次函数的性质求解即可．
（3）令＝p，则p≥2，＝0，可化为g（p）+﹣9＝p+﹣5＝0，利用方程的实数根的个数，转化推出方程的解，然后求解函数的零点即可．
【解答】解：（1）令lnx＝t，∵x∈，
∴t∈[﹣2，0），不等式f（lnx）﹣alnx≥0在上恒成立，
等价于f（t）﹣at＝（t﹣+4）﹣at≥0在t∈[﹣2，0）上恒成立．
∴a≥＝1﹣+＝﹣6+在t∈[﹣2，0）上恒成立．
令y＝﹣6+，
∵t∈[﹣2，0），
∴≤﹣，
∴当＝﹣时，y取得最大值﹣6×+＝﹣，
∴a≥﹣．
（2）∵函数恰好有三个零点，
即方程＝0有三个实数根，
而函数为偶函数，
∴必有一个零点为0，
∴f（2）+b﹣9＝（2﹣+4）+b﹣9＝0，
∴b＝6．
令＝p，则p≥2，
＝0，可化为g（p）+﹣9＝p+﹣5＝0，
∴p2﹣5p+6＝0，解得p＝2或p＝3．
由＝2得x＝0，
由＝3，得x＝±2，
∴该函数的零点为0，﹣2，2．
【点评】本题主要考查方程根的问题．函数的奇偶性以及函数恒成立条件的转化，考查分析问题解决问题的能力是难题．