选修4－5不等式选讲
最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)| (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？ 提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|. 3．基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a、b为正数，则a＋b 2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理3：如果a、b、c为正数，则a＋b＋c 3≥ 3 abc，当且仅当a＝b＝c时， 等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则 a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)若a i ，b i (i ∈N * )为实数，则(∑ i ＝1n a 2i )(∑i ＝1n b 2 i )≥(∑ i ＝1 n a i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…， n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) (3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( ) (4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为?.( ) (5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ 2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( ) A ．{x |0 D ．{x |1 [解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A. 解法二：令f (x )＝????? x －1，x ≥1 2， 1－3x ，x <12，则f (x )<1的解集为{x |0 [答案] A 3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是 ( ) A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2 C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小 [解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2. [答案]B 4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为() A．1 B． 2 C. 3 D．2 [解析](a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3. 当且仅当a＝b＝c＝1 3时，等号成立． ∴(a＋b＋c)2≤3. 故a＋b＋c的最大值为 3.故应选C. [答案]C 5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．[解析]利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4. [答案]－2≤a≤4 考点一含绝对值的不等式的解法 解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根． (2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间． (3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集． (4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集． 解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号． (1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，1) C ．(1,4) D ．(1,5) (2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为? ????? ??? ?x ??? －53 3 ，则a ＝________. [解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论． [解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)； 当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)； 当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解． 综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A. (2)∵|ax －2|<3，∴－1 当a >0时，－1a a ，与已知条件不符； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a a ，又不等式的解集为?????? ????x ??? －53 [答案] (1)A (2)－3 用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． 对点训练 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集； (2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝??? －2x ＋5，x ≤2， 1，2 2x －5，x ≥3. 当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2 当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|?|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ?4－x －(2－x )≥|x ＋a |?－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]． 考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式 对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b | |x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1. (1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋1 2a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． (2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________． [解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题． [解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3， ∴a 2 ＋1 2a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174 . 即实数a 的取值范围是???? ?? －1－174， －1＋174. (2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立． 解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|， 则y ＝??? －3，x ≤－1，