第一章测试卷
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
1．下列说法不正确的是()
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面
答案 C
2．如图所示的直观图的原平面图形是()
A．任意三角形B．直角梯形C．任意四边形D．平行四边形
答案 B
3．一个正方体的体对角线长为l，那么这个正方体的全面积为() A．22l2B．2l2
C．23l2D．32l2
答案 B
解析设正方体棱长为a，则l＝3a，∴a＝
3 3l.
S＝6a2＝2l2.故选B.
4．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是()
答案 D
5.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()
A．1B．6
C．快D．乐
答案 B
解析如图所示，将题图折成正方体，可得2的下面是6.
6．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的体积为( ) A.π2 B ．π C.3
2
π D.3π
答案 C
解析 方法一：如图①，AD ＝
62，AO ＝23AD ＝6
3
，SO ＝SA 2－AO 2＝2
3
3.
∴R 2＝(23 3－R)2＋(63)2，∴R ＝32.球的体积为43πR 3＝43π×(32)3＝3
2
π.
方法二：构造棱长为1的正方体如图②，则C 1A 1BD 为棱长为2的正四面体，正方体的外接球也为正四面体的外接球．此时球的直径为3，因此球的体积为
3
2
π. 7．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a ，则它的底面积为( ) A.a 5 B.a 3 C.a 2 D.a 4
答案 A
解析 设圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，则2πr ＝l·π
2，故l ＝4r ，由题意知πrl ＋πr 2＝a ，
所以πr 2＝a
5
.
8．如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．2∶1 D ．1∶1 答案 A
解析 设球的半径为r ，则S 柱∶S 球＝[2πr 2＋2πr ·(2r)]∶4πr 2＝3∶2.故选A.
9．一个圆台的上、下底面面积分别是1 cm 2和49 cm 2，一个平行底面的截面面积为25 cm 2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( ) A ．2∶1 B ．3∶1 C.2∶1 D.3∶1
答案 A
解析 将圆台扩展为圆锥，轴截面如图． 由题知，r 1∶r 3＝1∶7，r 2∶r 3＝5∶7， ∴h 2＋h 3＝6h 1，h 2＝4h 1，∴h 3＝2h 1，
∴这个截面与上、下底面距离比为2∶1.故选A.
10．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，则大球的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．43
4π D ．83
2π 答案 C
解析 大球的体积是2×4π3×13＝8π3，设大球的半径为R ，则有4π3R 3
＝8π3，解得R ＝32，
所以大球的表面积为4π(32)2＝43
4π.故选C.
11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，2，3，则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A ．6π B ．12π C ．18π D ．24π 答案 A
解析 将三棱锥补成边长分别为1，2，3的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R ＝6，解得R ＝
6
2
，故S ＝4πR 2＝6π. 12.如图所示，已知△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝1.若在三角形内挖去一个半圆(圆心O 在边AC 上，半圆分别与BC ，AB 相切于点C ，M ，与AC 交于点N)，则图中阴影部分绕直线C 旋转一周所得的旋转体的体积为( ) A.3
3
π B.5327π C.4327
π D.539
π
答案 B
解析 设半圆的半径OC ＝OM ＝r ，AO ＝OM sin30°＝2r ，则AC ＝AO ＋OC ＝3r ＝3，∴r ＝3
3，
故旋转体的体积为V ＝13×3(π×12)－4π3×(33)3＝53
27
π.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积等于________．(铁皮厚度忽略不计)． 答案
15π
3
解析 如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l 等于正方形的边长4，扇形的弧长＝1
4×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的
底面半径为r ，高为h ，则2πr ＝2π，所以r ＝1，所以h ＝l 2－r 2＝15，
所以圆锥的容积为13πr 2
h ＝15π3.
14．若一个底面边长为6
2
，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为________． 答案 43π 解析 2R ＝
（
62×2）2＋（6）2＝23，∴R ＝3，V 球＝4
3
πR 3＝43π. 15．将若干毫升水倒入底面半径为2 cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是________ cm. 答案 6
16.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为________，________． 答案 32 32
解析 设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，
∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝4π3R 3，∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝3
2
.
∵S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，∴S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝3
2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)如图，圆锥SAB 的底面半径为R ，母线长SA ＝3R ，D 为SA 的中点，一个动点自底面圆周上的A 点沿圆锥侧面移动到D.求这点移动的最短距离． 解析 如图，圆锥侧面展开为扇形，对应的弧长为底面周长2πR ，
动点移动的最短距离为AD. 设∠ASD ＝α，则2πR ＝3R·α ∴α＝23
π.
在△SAD 中由余弦定理得：AD 2＝SA 2＋SD 2－2SA·SD·cos α＝63
4R 2
∴AD ＝37
2
R.
18．(12分)正方体的每条棱长都增加1 cm ，它的体积扩大为原来的8倍，求此正方体的棱长．
解析 利用待定系数法求解．设出正方体的棱长，根据体积扩大为原来的8倍列方程，解方程得正方体的棱长．
设正方体的棱长为a cm ，由题意，得(a ＋1)3＝8a 3，解得a ＝1，即此正方体的棱长为1 cm. 19．(12分)如图，A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．
解析 该四边形的原图形，如下图所示．
这是一个底边长为2，高为2的平行四边形，故原图面积为2 2. 20．(12分)已知六棱锥P-ABCDEF ，其中底面ABCDEF 是正六边形，点P 在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm ，侧棱长为3 cm ，求六棱锥P-ABCDEF 的表面积和体积． 解析 先求底面正六边形的面积，
S 六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×1
2×2×2sin60°＝63cm 2，
S 侧面＝6S △PCD ＝6×1
2×2×
PC 2－（CD
2
）2
＝6
32－12＝122cm 2，
∴S P-ABCDEF ＝S 六边形ABCDEF ＋S 侧面＝(63＋122) cm 2. 在Rt △POC 中， PO ＝
PC 2－OC 2＝
PC 2－BC 2＝
9－4＝ 5 cm ，
∴V 六棱锥P-ABCDEF ＝13Sh ＝1
3
×63×5＝215 cm 3.
21．(12分)如图所示，四边形ABCD 是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
解析 由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半球面面积． 因为S 半球面＝1
2×4π×22＝8π cm 2，
S 圆台侧＝π(2＋5)
（5－2）2＋42＝35π cm 2，
S 圆台下底＝π×52＝25π cm 2，
所以表面积为8π＋35π＋25π＝68π cm 2.
又因为V 圆台＝π
3×(22＋2×5＋52)×4＝52π cm 3，
V 半球＝12×4π3×23＝16π
3
cm 3，
所以该几何体的体积为V 圆台V 半球＝140π
3
cm 3.
22．(12分)如图，是从上下底面处在水平状态下的棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中分离出来的．
(1)∠DC 1D 1在图中的度数和它表示的角的真实度数都是45°，对吗？ (2)∠A 1C 1D 的真实度数是60°，对吗？
(3)设BC ＝1 cm ，如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛多少体积的水？ 解析 (1)对； (2)对；
(3)由题意知，以平面B 1CD 1为水平面，可盛最多体积的水，此时V 水＝V C 1-B 1D 1C ＝V C-B 1C 1D 1＝13×12×1×1×1＝1
6(cm 3)． ∴最多能盛1
6
cm 3的水．
1．在正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积之比为( ) A. 3 B. 2 C.62
D.33
答案 A
解析 如图，设正方体的棱长为a ，则正四面体AB 1D 1C 的所有棱长均为2a.
正方体的表面积S 1＝6a 2，
正四面体的表面积S 2＝4×
3
4
×(2a)2＝23a 2. ∴S 1∶S 2＝6a 2∶23a 2＝3∶1.
2．一平面截一球得到直径是6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是( ) A.100π3 cm 3
B.208π
3 cm 3
C.500π3 cm 3
D.41613π3
cm 3
答案 C
解析 设球的半径为R ，则32＋42＝R 2，故R ＝5 cm. 所以球的体积为V ＝43πR 3＝4
3π×125＝500π3 cm 3.