第六章 势流理论（一）
势流指的是理想流体的无旋流动。
本章主要讨论：理想不可压缩平面势流的求解方法。
流场中各点的流体微团的旋转角速度为零的流动称为无旋流动（有势流动）。
一般来讲，具有粘性的实际流体都作有旋运动；在某些情况下，粘性对流动的影响很小，以致可以忽略时，则可按理想流体处理。
理想流体的运动可以是有旋的，也可以是无旋的。
当流体是理想的，且质量力有势时，从静止或无旋状态起动的非恒定流动（水库泄水、波浪运动）、均匀来流绕物体的流动（除边界层外）都是无旋（有势）流动。
势流理论，尤其是平面势流理论，具有很大的实用意义。
实际流体运动，只有在切应力较小，可以忽略不计时，才可作为理想流体处理，有可能按有势流来求得近似解。如绕流运动，将流场划分为两个区域：紧靠固体边界的粘性起作用的区域，用粘性流体边界层理论求解；不受固体边界阻力影响，粘性不起作用的区域， 用理想流体势流理论求解。
§6.1 无旋运动和速度势
一.速度势函数及势流：
我们知道：每一流体微团的旋转角速度都等于零的流动，称为无旋流（无涡流）。
这时： y
v x
v y v x v x
y x y z ??=
??∴
=???
?
????-??=,021ω z
v y v z v y v y
z y z
x ??=??∴
=???
?
????-??=021ω x
v z v x v z v z
x z x y ??=??∴
=??
?
????-??=021ω 件。的全微分的充分必要条成为某一函数使由高等数学知：上式是φdz v dy v dx v z y x ++
对于无旋流，有： φd dz v dy v dx v z y x =++dz z
dy y dx x ??+??+??=
φ
φφ z y x v z
v y v x =??=??=??∴
φ
φ
φ
,, 称为速度势函数。),,(z y x φφ= 由于无旋流有速度势函数存在，故无旋流又称为有势流。
z
v y v x v z y x ??=??=??=
φφφ , ,将： 0=??+??+??z
v y v x v z
y x 续性方程：
代入不可压缩流体的连 0222222=??+??+??z
y x φ
φφ得：
02=?φ即， 满足拉普拉斯方程的函数，称为调和函数。
分析有势流动时，显然只要求解拉普拉斯方程，找出未知函数Ф，就可求得各流速分量。这就简化了分析求解过程。
。中，三个速度分量为：在圆柱坐标系x r v v v x r ,,),,(θθ
x
v r v r v x r ??=
??=??=
∴
φ
θφφθ ,1 , 相应的速度势函数的拉普拉斯方程为: 0112
2222222
=??+??+??+
??=?x r r r r φ
θφφφφ 二.速度势函数的性质：
1.若流体不可压缩，流速势函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
2.流线与等势面相互垂直。
0,
),,(==φφd C z y x 等势面上：
的点积：
v v v dz dy dx z y x ++=++= ()()
dz dy dx v v v z y x ++?++=?0==++=φd dz v dy v dx v z y x
? 可见，流速矢量与等势面垂直。而流速矢量与该点流线相切，故流线与等势面垂直。
? 若为平面流动，则流线与等势线垂直。
3.速度势对任一方向n 的偏导数，等于流速矢量在该方向的投影。
n v n
=??φ
即，
方向增大。
的值沿流线速度势φ.4 ds
d s v v s φ
φ=??=
=：方向为流线方向。由于设 ds v d ?=∴φ
。时。故而沿流向0,00>>>φd ds v
三.不可压缩流体的平面势流：
流场中各点流速都平行于某一平面，而且所有流动参数在此平面的垂直方向都不发生变化，这种流动称为平面流动。
平面流动（或称二元流动）应满足的条件：
平面上任何一点的速度和加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全相同。
如图所示，机翼绕流为平面流动。
比如，分析船舶在水面上的垂直振荡问题。因船长比宽度及吃水深度大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。如图所示，属于平面问题。
又例如：
采用平面直角坐标系，则不可压缩流体的平面势流应该满足：
0=??+??y
v x v y
x 连续性方程：
0=??-
??y
v x
v x
y 无旋条件： 如果存在物体壁面∑，速度应该在物面上满足边界条件：
平面流动
0=v 物面法向流速为零：
是物面边界的外法向。，为物体壁面这里n ∑
∞=V 无穷远处流速：
求解不可压缩流体平面势流问题的主要任务就是寻求满足以上方程组和边界条件的速度矢量。
y
v x v y x ??=??=φφ ,考虑到：
022222
=??+??=?y x φφφ
边界条件又可写成：
0=??=?
??? ?
???+??∑
n y x φ
φ
φ物面法向流速为零：
是物面边界的外法向。这里∑ ∞∞
=???
?????+??V y x φ
φ无穷远处流速：
对于不可压缩流体的平面势流，若采用平面极坐标系，则： θφ
φθ??=
??=
r v r v r 1 , ()0=??+??θ
θ
v r rv r 连续性方程：
()0=??-??θ
θr
v r rv 无旋条件： 拉普拉斯方程为: 0112
22222
=??+??+??=?θ
φ
φφφr r r r
§6.2 不可压势流的基本方程和边界条件
一.拉普拉斯方程的解的可叠加性：
势流的一个重要特性：可叠加性。
势流叠加原理：几个简单势流叠加合成的流动仍为势流（复合势流）。复合势流的速度势为简单势流的速度势的代数和，且满足拉普拉斯方程。 i φφ∑=即：
复合流动的速度等于被叠加势流的速度的矢量和。 i v ∑=即：
二.欧拉方程的积分：
理想流体的运动微分方程又称为欧拉运动微分方程。 t
v
Dt v D p f )(1
??+??==
?-
ρ
即，
式中： z
v
v y v v x v v v x z x y x x
x ??+??+??=??)( ??? ????-??+???
? ????-??+??+??+??=x v z v v x v y v v x v v x v v x v v z x z y x y z z y y x x ()z y y z v v v x ωω-+????
????=222
同理，可得： ()x z z x y v v v y v v ωω-+???
? ????=??22)(2 ()y x x y z v v v z v v ωω-+???
? ????=??22)(2 故： ()
v v v ???+???
?
???=?+???? ???=?+???? ???=??2222)(222ω
将上式代入欧拉运动微分方程，得：
p f v v v t ?-=???+???
? ???+??ρ1
22即，
这个方程称为格罗米科—兰姆方程。 若流体是正压的，有： p P F ??=
??ρ
1
若质量力有势，则：U f ??=
将以上二式代入格罗米科—兰姆方程。
可得： )1(022------=???+???
? ??-+?+??U P v t F 1.定常、沿流线积分——伯努利积分：
()
。
，由于在流线上取微元长度0=????d d 方程（1）化简为： 02222=???
? ??-+=????? ??-+?U P v d d U P v F F
上式沿流线积分，得： C U P v F =-+2
2
这就是伯努利积分，它表明：对于正压的理想流体，在有势质量力作用下作定常流动时，同一流线上：
C U P v F =-+2
2
这个方程也称为伯努利方程，我们曾在§4.1中得到，并详细讨论过这个方程。
2.无旋流的积分——柯西—拉格朗日积分：
对于无旋流动，有：
()t
t t v ????=????=??φφ 这时方程（1）化简为： 02222=???? ??-++???=???? ??-+?+??U P v t U P v t F F φ 上式在全流场积分，得：
)2()(2
2
------=-++??t C U P v t F φ
若流体不可压缩，则：ρ
p
P F =
若质量力仅是重力，有：gz U -=
将以上二式代入方程（2），可得: )3()(22------=??+++∴
t C t
gz p v φ
ρ （3）式将会在后面讨论波浪运动时用到。
若流动定常，则（3）式化简为：
)4(22------=++C gz p
v ρ
（4）式就是重力作用下定常不可压缩流动的伯努利方程。
三.势流问题的求解方法：
势流问题的求解实际上就是寻求满足边界条件和初始条件的Laplace 方程的解Φ（x ，y ，z ，t ）。 解拉普拉斯方程→φ→ｖ→ｐ→流体作用于固体的力和力矩。 求解拉普拉斯方程的方法主要有：
1.解析法：
对于简单边界问题的拉普拉斯方程可用解析法求解。而工程问题一般边界条件较复杂，不能求得解析解。
2.奇点法（基本解叠加法）：
利用几种简单的基本解叠加，反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则几个基本解叠加后的调和函数就是所需要的解。
由于势流的基本解在数学上是奇性的，因而这种方法称为奇点法。
3.保角变换法：
这种方法适用于平面不可压缩势流。它将复杂边界经过多次保角变换转换成简单边界，求解之后再根据变换关系返回去以获得复杂边界问题的解。
4.数值解法：
这种方法适用于复杂边界问题的求解，它将微分方程改写为有限差分方程，将求解流场划分成网格，要求每一网格节点上的函数值与其周围四个节点上的函数值之间符合拉普拉斯方程所规定的差分关系。
5.流网法：
这种方法是一种手工图解法，它适用于平面不可压缩势流，利用等势线和流线正交的特性，设法绘制出正确的流线、等势线网格——流网。获得了正确的流网，就可求出流速以及流量等参数。
图示为流体绕圆柱体无旋流动的部分等势线和流线，图中两簇曲线正交。由速度势函数和流函数的性质不难判断，部分曲线与圆正交的那一簇是等势线，而其中一条与物面相重合的那一簇是流线。
§6.3 二维流动和流函数
二维流动（亦称二元流动）：流动参数是两个坐标和时间的函数，这种流动称为二维流动。 二维流动包括平面流动和轴对称流动。
一.流函数的定义：
对于不可压缩流体的平面流动，由数学分析知：
件是：的全微分的充分必要条成为某一函数),(y x dy v dx v x y ψ+- x
v y
v x
y ??=
??-
0=??+??y
v x v y
x 即，
这恰好是不可压缩流体平面流动的连续性微分方程。这表明，对于不可压缩流体的平面流动，必有：
dy y
dx x d dy v dx v x y ??+??==+-ψψψ x
v y
v y x ??-
=??=ψ
ψ
，且： 流动的流函数。称为不可压缩流体平面),(y x ψ 显然：只要是不可压缩流体的平面流动，就必有流函数存在。事实上只要是不可压缩流体的二维流动，不论是平面流动或是轴对称流动，都有流函数存在。
二.流函数的性质：
ψ = C
? = C
例
1.对于不可压缩流体的平面势流，流函数也满足拉普拉斯方程，是调和函数。
对于xoy 平面上的平面势流，有：
0=??=??z y
x
x
v y v ω即， 2222x
y x
v y v y x ??-=????-
=??=ψ
ψψψ
代入上式，得：
，
将： 02
222=??+??y
x ψψ即：
02
=?ψ或， 也就是说：对于不可压缩流体的平面势流，流函数Ψ亦满足拉普拉斯方程。
2.等流函数线就是流线。
0,
),(==ψψd C y x 若： y
x x y v dy
v dx dy v dx v ==+-∴
即：
,
0 这正是流线微分方程。
3.流过任意曲线的单宽流量等于曲线两端点流函数的值之差，而与曲线形状无关。
证：如图，AB 为任一曲线，在它上面任取微元长度dL 。设垂直于平面的宽度为1，则流过dL 的流
量为：
ψd dy v dx v dx v dy v dL v dQ x y y x n =+-=-+=?=)(
A B B
A
B
A
d dQ Q ψψψ-===∴
??
显然：Q 值仅取决于A,B 两点的流函数值，与曲线AB 的形状无关。
由于在物面边界上流函数的值是常数，所以物面边界也可以被当作是流场中的一条流线。反过来说，流场中任意一条流线也可以被看作是物面边界。
引入流函数之后，求解不可压缩流体平面势流问题，又可以写成求解方程：
02
2222
=??+??=
?y x ψ
ψψ 这时，边界条件可写成： 0=∑ψ物面法向流速为零：
∞∞
=???
?????-??V j x i y ψ
ψ无穷远处流速：
§6.4 复势和复速度
对于不可压缩流体的平面势流，φ和Ψ同时存在，并有如下关系：
x
y v y
x v y x ??-=??=
??=??=
ψφψφ , 这个关系称为柯西——黎曼（Cauchy ——Riemann ）条件。 引入复变函数 W （z ）： ),(),()(y x i y x z W ψφ+=
的解析函数。是复变量iy x z z W +=)(
由复变函数的有关知识，我们知道：
称为复速度。y x y x iv v iv v dz
dW
--=
复速度沿曲线L 的积分为：
????+==l
l l l d i d dW dz dz dW
ψφ 将
()l
l l y
x
l l d v dy v dx v d Γ=?=+=???φ 和 l
l
Q d =?ψ 代入上式，可得：
如
l l l
l l iQ d i d dz dz dW
+Γ=+=∴
???ψφ ??==Γl
l l
l dW Q dW
Im Re 即：
若L 为封闭曲线，则：
0+Γ=+=???l l
l l d i d dz dz dW
ψφ 即，绕封闭物面周线的复速度积分就等于绕物面的速度环量。 若采用极坐标，则： ()θ
θθi re i r iy x z =+=+=sin cos
θθθsin cos v v v r x -=这时：
θθθcos sin v v v r y +=
可得极坐标下的复速度公式：
()θθi r y x e iv v iv v dz
dW
--=-= 引入复势W 之后，求解不可压缩流体平面势流问题就可以归结为求解复势 W （z ）。 这时，边界条件可写成： .Im C W =∑物面法向流速为零：
y x iv v dz
dW ∞∞∞
-=无穷远处流速：
总之，不可压缩流体平面势流的求解途径是：
途径一： ∞∞
∑
=???
?????+??=??=??+??=?v j y i x n y
x φ
φφ
φ
φφ00
22222
y
v x
v y x ??=
??=
φφ这里：
即，在第二类边界条件下求解拉普拉斯方程，可以采用基本解叠加法或者数值方法求解，通常只适用于求解规则边界的流动问题。
途径二： ∞∞
∑=???
?????-??==??+??=?v j x i y C
y
x ψ
ψψψ
ψψ0
22222
x
v y
v y x ??-
=??=
ψ
ψ这里：
即，在第一类边界条件下求解拉普拉斯方程，可以采用基本解叠加法或者数值方法求解，通常只适用于求解规则边界的流动问题。
途径三： y x iv v dz
dW C
W
z W ∞∞∞
∑
-==Im )
(求解析函数
dz
dW
iv v y x =
-这里：
这属于复变函数理论中求解析函数范畴的问题，可以采用保角变换。它适用于求解复杂边界的流动问题。
例1.已知不可压缩平面流动的流函数： xy y x y 23
23
+-=ψ （1）求流速分量：
（2）流动是否无旋？若无旋，确定其流速势函数。 解：（1）其流速分量为： y xy y xy x v x x y y v y x 22)22( ,222-=+--=??-=+-=??=
ψ
ψ 存在。故流动无旋，有势函数φx
v y y v y x
??==??2)
2(
dy y xy dx x x y dy v dx v d y x )22()2(22-++-=+=∴φ
)()2()(2
2
y c dx x x y y c dx v x ++-=+=∴
??φ)(3
23
2
y c x x x y ++-=
y xy v y c xy y
y 22)(2-=='+=??φ
而：
y y c 2)(-='∴
c y ydy y c +-=-=∴
?22)(
)(3
223
2
等于零可令故，
c c
y x x xy +-+-=φ
例2.设平面流动 (a) v x = 1, v y = 2； 流动 (b) v x = 4x, v y =-4y 。 （1）对于 (a) 是否存在流函数ψ ？若存在，求 ψ 。 （2）对于 (b) 是否存在速度势函数Φ？若存在，求 Φ 。
解：（1）对于流动 (a) 有： 00
=??=??y
v x
v
y x
显然满足不可压缩流体流动的连续性方程，存在对应的流函数。
)2(2x y d dy dx dy v dx v dy y
dx x d x y -=+-=+-=??+??=
ψψψ 积分后得到：ψ = y -2x (略去了积分常数) 。 （2）对于流动(b) 有：
0)
4(,0)
4(=??=??=?-?=
??y
x y v x y x
v x y 021=???
?
????-??=∴
y v x v x y z ω 因此，满足无旋条件，存在相对应的速度势函数。 )22()4(422y x d dy y xdx dy v dx v d y x -=-+=+=∴
φ
积分后得到： φ = 2x 2
-2y 2
(已略去积分常数)
§6.5 不可压平面势流的基本解
一. 均匀直线流：
ααsin ,
cos ∞∞==V v V v y x
是解析函数。用复势表示，为：z
e V iy x i V z W i ααα-∞∞=+-=))(sin (cos )(
把复势的实部和虚部分开，分别得到: )sin cos (),
sin cos (ααψααφx y V y x V -=+=∞∞
等势线: .sin cos C y x =+αα 流线: .sin cos C x y =-αα
)sin (cos ααi V iv v dz
dW
y x -=-=∴
∞ 对于α = 0: z V z W ∞=)(则：
y V x V ∞∞==∴
ψφ, 0,==∞y x v V v 相应地：
二.平面点源和点汇：
在无限平面上，若流体从一点沿径向直线均匀的流出，这种流动称为点源。 在无限平面上，若流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇。
分析位于坐标原点的点源： 0,22==
∴=?=θππv r Q v C v r Q r r 。 Q —— 点源(汇)强度。 0=??-=??=
??=??=
r
r v r r v r ψ
θφθ
ψ
φθ，注意到：
r Q dr r Q d rv dr v d dr r d r ln 22)(ππθθθφφφφθ==+=???
????+??==∴????
θπθπθθθψψψψθ22)(Q d Q d rv dr v d dr r d r ==+-=??
?
????+??==∴????
()()
z Q re Q i r Q
i z W i ln 2ln 2ln 2)(π
πθπψφθ==+=
+=∴
)ln(2)(00z z Q
z W z -=π
点，则：若点源（汇）在
流线: θ = C 1 , 等势线: r = C 2 。
图片：
平面点源流 ( Q > 0 ) 平面点汇流 ( Q < 0 )
)ln(2)(00z z Q
z W z -=
π
点，则：若点源（汇）在
三.点涡：
流体以某一点为圆心作圆周运动，这种流动称为点涡。
.2020
C r v rd v v r =?=?=Γ=?πθθπ
θ速度环量：，
这时：
r
v πθ2Γ
=
∴ Γ —— 点涡强度。 θπθθθφφφφθ2Γ==??
?
????+??==∴
???d rv d dr r d
r d rv dr v d dr r d r ln 2)(πθθθψψψψθΓ-=+-=??
?
????+??==∴???
()()
z i
re i r i i z W i ln 2ln 2ln 2)(ππθπψφθΓ=Γ=-Γ
=
+=∴
奇点
流线: r = C 1 , 等势线: θ = C 2 。
图片：
)ln(2)(00z z i
z W z -Γ
=
π点，则：若点涡在 四.平面偶极子：
z = 0 点: 点汇 –Q z 0点： 点源 Q β
i re z z ?=?=0
叠加后得到： ()0ln 2ln 2)(z z Q z Q z W -+-
=π
π 令 ?r → 0，Q → ∞，β 不变，并且： 0lim 0
>=?→?M r Q r
β
ββπππππi i i Q r Q r e z
M z dz d e M z z z z e r Q z z Q z Q z W 2ln 2)ln(ln 2lim )ln(2ln 2lim )(000-=-
=???
?????--?-=??????-+-=∞
→→?∞→→?
z 0=?z
β ---偶极子的方向角(由点汇指向点源的矢量的方向角)。
这里分析 β =π 的情况(即，点源沿 x 轴的正方向由左至右向点汇趋近)。
2
222)(y x iy
x M z M z W +-==
∴ππ 2
22
22,
2y x y
M y x x
M +-
=+=
∴πψπφ
21,C C ==ψφ令： 22
212
22,2C y
x y
M C y
x x
M =+-
=+∴
ππ 2
122
144???? ??=+???? ??-C M y C M x ππ等势线方程为：
2
22
2244????
?
?=???? ??++C M C M y x ππ流线方程为：
01
2)(z z M z W z -=
π点，则：若偶极子在
由于点源(点汇)流、点涡流和偶极子流在无穷远处的速度都趋于零。将这些基本解与别的解叠加时，在无穷远处速度具有渐近性，所以只需要考虑叠加后的物面边界条件，而不必担心叠加这些基本解会改变无穷远处的速度边界条件
三个基本解都具有奇异性。由于真实流场中不应该有无穷大的速度，所以通常要把它们布置在流场之外(物体区域内)。
例3: 理想不可压缩流体作平面无旋流动。假设流场的复势是W(z) = az 2 ( a > 0 )，并且在坐标原点处压强为 p 0，试求:(1) 上半平面的流动图案； (2) 沿 y = 0 的速度与压强。
解: 令 z = re i θ，于是: ()
)2sin 2(cos )(2222
θθθθ
i ar e ar re a z W i i +===
等势线
流线
所以: θψθφ2sin ,
2cos 22
ar ar ==
令 ψ = 0，得到零流线： ),2,1(2
,
0ΛΛ±±==
=k k π
θθ及： 它们是自原点出发的射线，把上半平面分成两个夹角为 90°的直角区域。
流速为: θθθ2sin 2,
2cos 2ar v ar v r -==
在 y = 0 ( 即θ = 0 及 θ = π ) 上， .0,
2==θv ar v r
对坐标原点和 y = 0 上的任意一点( r , 0 )或者( r , π )列出伯努利方程。
ρ
ρ0
22)2(p p ar =+∴
于是得到 y = 0 上的压强分布为： ρ2
202r a p p -=
五.平面势流叠加的例子：
不可压缩流体势流问题的主要特点： ①.解是可以叠加的。
②.流动对时间的依赖关系由边界条件反映。 ③.运动学问题与动力学问题可以被分开求解。
下面简单证明，如果：Φ1，Φ2，Φ3 ?? 是势流问题的解，则： Φ = Φ1 + Φ2 + Φ3 + ?? 也是势流问题的解。
事实上:
由于：?2
Φ = ?2
Φ1 + ?2
Φ2 + ?2
Φ3 + ?? ，。及：
ΛΛ+??+??+??=??∑∑∑∑n n n n 321φ
φφφ 如果： ?2
Φ1 = 0， ?2
Φ2 = 0 ， ?2
Φ3 = 0 ， ?ΛΛ，，，并且：
0003
2
1=??=??=??∑
∑
∑n
n
n φ
φ
φ
00
2=??=?∑
n φ
φ及：则，必然有：
如果又有: ∞∞
∞∞=+????
?
???+??+???? ????+??+????
????+??V j y i x j y i x j y i x ΛΛ3
32
21
1φφφφφ
φ
ΛΛ+++=321φφφφ则：
就是满足所给边界条件的势流的解。
1.直线流与点源流的叠加：
。为：水平均匀直线流的流速0.,===∞y x v const V v
θψθφsin cos 11r V y V r V x V ∞∞∞∞====
位于坐标原点，强度为Q 的点源： θπ
ψπ
φ2ln 222Q r Q =
=
现分析叠加后的流速，驻点位置及流线方程：
r Q
r V ln 2cos 21πθφφφ+
=+=∞ θθ
φπθφθsin 2cos .1∞∞-=??=+=??=
V r v r
Q
V r v r 流速：）（
00.2==θv v r ，
驻点坐标：
）（
???
? ??-===
=∴∞∞
无意义。时，，V Q r V Q
r πθππθ202 流线方程：）（.3 .2sin 21C Q
r V =+=+=∞θπ
θψψψ .C 代入上式，确定将过驻点的流线方程：
πθ= 2
2Q Q C =?=
∴
ππ 0)(2sin =-+
∴∞πθπθQ
r V ??
? ??-=-=
=-=
∴-∞∞∞x y V Q V Q r y V Q r 1tan 2)(2sin sin 2ππθππθθ
θππ 这就是过驻点的流线方程。 ∞
→
∞→V Q
y x 2时，
当：
如图，通过驻点的流线将流场分成两部分：由均匀直线流所引起的这部分流量皆在过驻点的流线之外流动，而由点源所引起的那部分流量皆在过驻点的流线之内流动。这样便可把通过驻点的流线视为固壁，仅分析其外部的绕流，这就是所谓的“二元半体绕流”。这种流动可完全模拟工程实际中的均匀流绕流桥墩头部的流动。
2.螺旋流：
现研究点汇与点涡叠加所形成的流场：
z i z Q z W ln 2ln 2)(ππΓ+-
= θππφ2ln 2Γ+-=∴
r Q r Q ln 22πθπψΓ--=
等势线方程为： .ln C r Q =-ΓθΘ
Q
e C r θ
Γ=∴
1
流线方程为： .ln C Q r =+ΓθΘ
Γ
-
=∴
θQ e
C r 2
θπ
πφ2ln 2Γ+-
=r Q 又，由于： r Q r v r πφ2-=??=∴
r
r v πθφθ21Γ
=
??= 2
22
22
22
4r Q v v V r
πθ+Γ=+=∴
在流场任意两点1，2 应用伯努利方程，有：
()???
? ??-+Γ-
=222122221118r r Q p p πρ 。时，显然，当1212p p r r >>
水轮机引水室中的旋转水流、旋风燃烧室中的旋转气流等都可以被近似地看成是此类流动。
若将点源与点涡叠加，则流体沿螺旋线由内向外流动，水泵压水室中的旋转水流就是这种流动。
例4.设在（－a,0)处有一平面点源，在（a,0)处有一平面点汇，他们的强度为Q 。若平行于x 轴的直线流动和这一对强度相等的点源和点汇叠加。 试问：此流动表示什么样的流动并确定物面方程。
流线
等势线
螺旋流
解：叠加后的流函数为： ()212θθπψ-+
=∞Q
y V y V a
x y Q a x y Q ∞--+--+=11tan 2tan 2ππ ()2
22
21212121tan tan 1tan tan tan a y x ay
a
x y a x y a x y a x y -+-=-?
++--
+=+-=-θθθθθθΘ
2
221
212tan a
y x ay
-+-=-∴
-θθ 叠加后的流场： ()2
221212tan 22a y x ay Q y V Q y V -+-+=-+
=-∞∞πθθπψ 令Ψ=0 ，得零流线即物面方程为： 2
2212tan 2a
y x ay
V Q y -+=
-∞π 叠加后的势函数为： 2222)(ln 2)(ln 2y a x Q y a x Q x V +--+++
=∞π
πφ ???
????+--++=??=??????+---++++=??=∴
∞22222222)(2)(2)()(2y a x y Q y a x y Q y v y a x a
x y a x a x Q V x v y x ππφπφ 驻点位置： 0,2=+±
=∞
y a V Qa
x π
图片
将流线替换成物面，该流动模拟流体绕卵形体的外部流动。点源推开流线，点汇收回流线。
§6.6 绕圆柱体的流动
一. 均匀流绕圆柱体的无环量流动：
∞
V
沿x 轴正向的均匀直线流+位于原点偶极子： 2
22)(2)(y x iy
x M
iy x V z M z V z W +-++=+
=∞∞ππ 2
22
22,2y x y
M y V y
x x
M x V +-
=++
=∴
∞∞πψπφ
流线(ψ = C)： .22
2C y x y
M y V =+-
=∞πψ即：
令 C = 0 ，得零流线（即，通过驻点的流线）： 01222=???
?
??+-∴
∞y x M V y π 2222,
0a y x V M
y =+==∴∞
π或： 22a V M ∞=∴
π
速度为 V ∞ 的均匀直线流 + 强度为 2πV ∞a 2 的偶极子流 = 绕半径为 a 的圆柱体的流动。
θπφcos 122222r r a V y x x
M x V ???
? ??+=++=∴
∞∞ θφ
cos 122???
? ??-=??=∴
∞r a V r v r θθφ
θsin 1122???
? ??+-=??=∴∞r a V r v 令 r = a ，得到圆柱表面的速度： 0=∴r v θθsin 2∞-=∴
V v
故，驻点为： θ= 0 ，及θ= π。
速度环量： 0sin 1202220
=???? ??+-==Γ??∞π
π
θθθθd r a r V rd v 无环量绕流
V ∞
o
y
x θ
r
a
第三章习题简答 3-1 已知流体流动的速度分布为2 2y x u x -= ，xy u y 2-=，求通过1,1==y x 的 一条流线。 解：由流线微分方程 y x u dy u dx = 得dy u dx u x y =则有 dy y x xydx )(22 2 -=-两边积分可得C y y x yx +-=-3 3 2 2 即0623=+-C y x y 将x=1,y=1代入上式，可得C=5，则 流线方程为0562 3 =+-y x y 3-3 已知流体的速度分布为 ?? ? ==-=-=tx x u ty y u y x 00εωεω（ ω>0，0ε>0） 试求流线方程，并画流线图。 解：由流线微分方程 y x u dy u dx = 得dy u dx u x y =则有 tydy txdx 00εε-=两边积分可得C y x +-=22 流线方程为C y x =+22 3-5 以平均速度s m v /5.1=流入直径为D=2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d=1mm 的排孔流出，假定每孔出流速度依次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？ 题3-5图 解：由题意得：v 2=v 1(1-2%)，v 3=v 1(1-2%)2，…，v 8=v 1(1-2%)7 根据质量守恒定律可得 2 82 32 22 12 83214 4 4 4 4 d v d v d v d v D v Q Q Q Q Q π π π π π ? +???+? +? +? =? +???+++=
s m d vD v v d v v v v d D v /4.80) 98.01(001.002.002.05.1)98.01()98.01(98 .01) 98.01(4)(44822 8221812 83212 2 =-???=--?=∴--?=+???+++?=?π π π 则 v 8=v 1(1-2%)7=80.4×(1-2%)7=69.8m/s 3-6 油从铅直圆管向下流出。管直径cm d 101=，管口处的速度为s m v /4.11=，试求管口处下方H=1.5m 处的速度和油柱直径。 题3-6图 解：取1-1和2-2断面，并以2-2断面为基准面 列1-1、2-2断面的伯努利方程 2 22 12212 2 2211/6.54.15.18.922202s m v gH v p p g v g p g v g p H =+??=+==++=++ ρρ 由连续方程2 222 114 4 d v d v π π ? =? 得cm d v v d 5106 .54 .121212=?== 3-8 利用毕托管原理测量输水管的流量如图示。已知输水管直径d=200mm ，测得水银差压计读书p h =60mm ，若此时断面平均流速max 84.0u v =，这里max u 为毕托管前管轴上未受扰动水流的流速。问输水管中的流量Q 为多大? 题3-8图 解：由题意可得
全国2015年4月高等教育自学考试 --工程流体力学试题 一、单项选择题(每小题1分，共20分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.若流体的密度仅随( )变化而变化，则该流体称为正压性流体。 A.质量 B.体积 C.温度 D.压强 2.亚声速流动，是指马赫数( )时的流动。 A.等于1 B.等于临界马赫数 C.大于1 D.小于1 3.气体温度增加，气体粘度( ) A.增加 B.减小 C.不变 D.增加或减小 4.混合气体的密度可按各种气体( )的百分数来计算。 A.总体积 B.总质量 C.总比容 D.总压强 5.某单位购买了一台提升汽车的油压升降机(如图一所示)，原设计操纵方法是：从B管进高压油，A管排油时平台上升(图一的左图)；从A管进高压油，B管排油时平台下降。在安装现场工人不了解原设计意图，将A、B两管联在一起成为C管(图一的右图)。请你判断单靠一个C管通入高压油或排油，能操纵油压机升降吗?你的判断：( ) A.可以 B.不能动作 C.能升不能降 D.能降不能升 6.在一个储水箱的侧面上、下安装有两只水银U形管测压计(如图二)，当箱顶部压强p0=1个大气压时，两测压计水银柱高之差△h=h1-h2=760mm(Hg)，如果顶部再压入一部分空气，使p0=2个大气压时。则△h应为( )
C.△h=760mm(Hg) D.△h=1520mm(Hg) 7.流体流动时，流场各空间点的参数不随时间变化，仅随空间位置而变，这种流动称为( ) A.定常流 B.非定常流 C.非均匀流 D.均匀流 8.流体在流动时，根据流体微团( )来判断流动是有旋流动还是无旋流动。 A.运动轨迹是水平的 B.运动轨迹是曲线 C.运动轨迹是直线 D.是否绕自身轴旋转 9.在同一瞬时，流线上各个流体质点的速度方向总是在该点与此线( ) A.重合 B.相交 C.相切 D.平行 10.图示三个油动机的油缸的内径D相等，油压P也相等，而三缸所配的活塞结构不同，三个油动机的出力F1，F2，F3的大小关系是(忽略活塞重量)( ) A.F1=F2=F3 B.F1>F2>F3 C.F1
第一章习题答案 选择题(单选题) 1.1 按连续介质的概念,流体质点就是指:(d) (a)流体的分子;(b)流体内的固体颗粒;(c)几何的点;(d)几何尺寸同流动空间相比就是极小量,又含有大量分子的微元体。 1.2 作用于流体的质量力包括:(c) (a)压力;(b)摩擦阻力;(c)重力;(d)表面张力。 1.3 单位质量力的国际单位就是:(d) (a)N;(b)Pa;(c)kg N /;(d)2/s m 。 1.4 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素就是:(b) (a)剪应力与压强;(b)剪应力与剪应变率;(c)剪应力与剪应变;(d)剪应力与流速。 1.5 水的动力黏度μ随温度的升高:(b) (a)增大;(b)减小;(c)不变;(d)不定。 1.6 流体运动黏度ν的国际单位就是:(a) (a)2/s m ;(b)2/m N ;(c)m kg /;(d)2/m s N ?。 1.7 无黏性流体的特征就是:(c) (a)黏度就是常数;(b)不可压缩;(c)无黏性;(d)符合 RT p =ρ 。 1.8 当水的压强增加1个大气压时,水的密度增大约为:(a) (a)1/20000;(b)1/10000;(c)1/4000;(d)1/2000。 1.9 水的密度为10003 kg/m ,2L 水的质量与重量就是多少？ 解: 10000.0022m V ρ==?=(kg) 29.80719.614G mg ==?=(N) 答:2L 水的质量就是2 kg,重量就是19、614N 。 1、10 体积为0、53 m 的油料,重量为4410N,试求该油料的密度就是多少？ 解: 44109.807899.3580.5 m G g V V ρ= ===(kg/m 3) 答:该油料的密度就是899、358 kg/m 3。 1.11 某液体的动力黏度为0、005Pa s ?,其密度为8503 /kg m ,试求其运动黏度。 解:60.005 5.88210850 μνρ-= ==?(m 2/s) 答:其运动黏度为6 5.88210-? m 2/s 。
6-5 某蒸汽冷凝器内有250根平行的黄铜管，通过的冷却水流量Q =8 l /s ，水温为10o C ，为了使黄铜管内冷却水保持为紊流（此时黄铜管的热交换性能比层流时好），问黄铜管的直径不得超过多少? 解：查表1.3有10℃的水621.310*10/m s ν-= 由2 14 Q n d v π= ① 及临界雷诺数R e 2300vd ν = = ② 联立有 14d m m = 即为直径最大值 6.7 某管道的半径0r 15cm =，层流时的水力坡度J 0.15=，紊流时的水力坡度J 0.20=，试求管壁处的切应力0τ和离管轴r 10cm =轴处的切应力。 解：层流时： 2 f 3 000h r r 1510 g g J 1.0109.80.15110.25Pa 2l 2 2 τρρ-?===??? ?= 2 3 r 1010 g J 1.0109.80.1573.5Pa 2 2 τρ-?==??? ?= 紊流时： 2 f 3 000h r r 1510 g g J 1.0109.80.20147Pa 2l 2 2 τρρ-?===??? ?= 2 '3 r 1010 g J 1.0109.80.2098Pa 2 2 τρ-?==??? ?= 6.9为了确定圆管内径，在管内通过ν为0.013 cm 2/s 的水，实测流量为35cm 3 /s ，长15m ，管段上的水头损失为2㎝水柱，试求此圆管的内径。 解: 设管内为层流 4 2 2 12832264gd lQ gd l g d l d h f πνυνυ υν= = = 1 1 4 4 1281280.013150035 1.949802f lQ d cm gh νππ???????=== ? ? ????? ? ? 校核 1768013 .094.135 44Re =???= = = πν πν υd Q d 层流 6-18 利用圆管层流Re 64=λ，紊流光滑区25 .0Re 3164.0=λ和紊流粗糙区25 .011.0? ? ? ??=d k s λ这三
流体力学复习题 ——2013制 一、填空题 1、1mmHO= 9.807 Pa 2、描述流体运动的方法有欧拉法和拉格朗日法。 3、流体的主要力学模型是指连续介质、无粘性和不可压缩性。 4、雷诺数是反映流体流动状态的准数，它反映了流体流动 时粘性力与惯性力的对比关系。 5、流量Q1和Q2,阻抗为S1和S2的两管路并联，则并联 后总管路的流量Q为Q= Q1 + Q2，总阻抗S为 __________ 。串联后总管路的流量Q为Q=Q1=Q2,总阻抗S为S1+S2 。 6、流体紊流运动的特征是脉动现行___________ ，处理方法是时均法__________ 。 7、流体在管道中流动时，流动阻力包括沿程阻力 和局部阻力。 &流体微团的基本运动形式有：平移运动、旋转流动和变形运动。 9、马赫数气体动力学中一个重要的无因次数，他反映了惯性力
与弹性力的相对比值。 10、稳定流动的流线与迹线重合__________ 。 2 11、理想流体伯努力方程z 二常数中，其中Z」称为测 r 2g r 压管水 头。 12、一切平面流动的流场，无论是有旋流动或是无旋流动都 存在流线，因而一切平面流动都存在流函数，但是， 只有无旋流动才存在势函数。 13、雷诺数之所以能判别卫态__________ ，是因为它反映了 惯性力和粘性力___________ 的对比关系。 14、流体的主要力学性质有粘滞性、惯性、重力 「表面张力性和压缩膨胀性。 15、毕托管是广泛应用于测量气体和水流一种仪器。 16、流体的力学模型按粘性是否作用分为理想气体和粘性气体。作用与液上的力包括质量力,表面力。 17、力学相似的三个方面包括几何相似__________ 、运动相似________ 与 _______ 。 18、流体的力学模型是连续介质_________ 模型。 19、理想气体伯努力方程P（Z1 -Z?（ - g）?乎中， Pll2 P（Z1-Z2）（li g）称势压_______________________ ，P— _____ 全压_______ ，- P '（乙-Z2）（1_-爲）■ —称总压
第四章 流体动力学基础 4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为1/7 max /2/2u B y u B -??= ?? ? ，0y ≥ 总流的动能修正系数为何值? 解：1 7 2max max 012728 2B A A B y v ud u dy u B A B ??- ?=== ????? 因为31.0A A u d A v α???≈+ ??? ? u u v ?=-所以 1 7 22 33821.0 1.01 1.0572B B A A B y u v d dy B A v B α-????-- ??? ?≈+ =+?-= ? ? ??? ????? ?? 4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度00.03m δ=，平均流速V 0＝8m/s ，假设此射流受重力作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求(1)在倾斜角45θ=o 处的平均流速V ；(2)该处的水股厚度δ。 解：（1）由题意可知：在45度水流处，其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理可得：V=? 45sin 8 =11.31m/s （2）水股厚度由流量守恒可得：VD D V δδ=000，由于缝狭长，所以两处厚 度近似相等，所以00 0.038 0.02111.31 V V δδ?= = =m 。 4-3 如图所示管路，出口接一收缩管嘴，水流射人大气的速度V 2=20m/s ，管径d 1＝0.1m ，管嘴出口直径d 2＝0.05m ，压力表断面至出口断面高差H ＝5m ，两断面间的水头损失为210.5(/2)V g 。试求此时压力表的读数。
解：取压力表处截面为截面1-1，收缩管嘴处截面为截面2-2，选择两截面包围的空间为控制体，由实际流体的恒定总流能量方程得： 221122 1222w V p V p z z h g g g g ρρ '++=+++， 由连续性方程2211V A V A =可得1-1断面流速s m 51=V ， 由上述两个方程可得压力表的读数（相对压强）： 222112212w V V p p z z h g g ρ?? -'-=+-+ ??? ， 上式计算结果为：2.48at 。所以，压力表的读数为2.48at 。 4-4 水轮机的圆锥形尾水管如图示。已知A —A 断面的直径d A =0.6m ，流速 V A ＝6m ／s ，B —B 断面的直径d B ＝0.9m ，由A 到B 水头损失20.15(/2)w A h V g '=。求(1)当z ＝5m 时A —A 断面处的真空度；(2)当A —A 断面处的允许真空度为5m 水柱高度时，A —A 断面的最高位置,max A z 。 解：（1）取A-A 和B-B 包围的空间为控制体，对其列伯努利方程： 2222A A B B A B w V p V p z z h g g g g ρρ '++=+++ 可得A-A 断面处的真空度 22 2B A A B A B w p p V V z z h g g g ρρ??-'-=+-- ??? ， 由连续性方程B B A A V A V A =可得B-B 断面流速2 A B A B d V V d ?? = ??? =2.67m/s ， 所以A-A 断面处真空度为6.42m 。 （2）由伯努利方程' 2 222w B B B A A A h z g p g V z g p g V +++=++ρ ρ 可得A —A 断面处的真空度： 22 22B A A B A B w p p V V z z h g g g g ρρ'-=--++
五、流体静力学基本方程的意义 流体静力学基本方程的另一种形式： (一)几何意义 流体静力学基本方程的意义 z为位置水头 为压强水头 为测压管水头 静止流体中测压管水头为常数。 (一)能量意义 质量为M 的流体质点距离某一基准面O-O的高度为z，该质点具有位势能：mgz ；每单位重量的流体所具有的位势能为： 任意点的具有长度量纲， 称为测压管高度，也称为压强水头， 为单位重量流体具有的压能， 也是潜在的位势能。 五流体静力学基本方程的意义 (一)能量意义 流体静力学基本方程的能量意义： Z为单位重量流体具有的位能
为单位重量流体具有的压能 为单位重量流体具有的总势能 静止流体中单位重量流体具有的总势能守恒 静止流体中测压管水头为常 数 测压管水头 六、静水压强分布图 由于静水压强是一种分布力，故可以用压强分布图表示： 静水压强分布图绘制原则： 压强大小：根据计算，用成比例线段表示； 压强方向：根据内法线方向确定，用箭头表示。 六、静水压强分布图
绘制原则： 压强大小：根据计算(只计相对压强），用成比例的线段表示； 压强方向：根据内法线方向确定，用箭头表示。 如两侧受力：分别绘制即可。 曲面壁上静水压强分布图 前述两个原则同样适用 七测压计 等压面：与质量力正交。两互不相混的流体平衡时，交界面是等压面，而且是水平面。静止流体中，水平面是等压面的条件： 静止、同种、连通 同时成立，缺一不可。 2、3 点压强相等 6、7 点压强相等 p2>p1 ; p3=p4 ; p5>p4 ; 此处 p0 大于大气压 题6-9，题6-11
正确判断等压面----静止、同种、连通的水平面， 用公式计算。 题6-9 （2008）盛水容器A和B的上方密封，测压管水面位置如图所示，其底部压强分别为 p A和 p B。若两容器内水深相等，则 p A和 p B的关系为（） 解：在仅受重力作用的静止液体中，等压面为水平面，据此分别绘容器A和B的等压面 M-M 及N-N，液面均为大气压。 由于可知： 表示大气压 答案：A 例6-11（2010年） 如图所示，在上部为气体下部为水的封闭容器上装有U形水银测压计，其中1、2、3点位于同一平面上，其压强关系为（） (A) p1< p2< p3 (B) p1> p2> p3 (C) p2< p1< p3 (D) p2= p1 = p3 解：水平面是等压面的条件---静止、同种、连通。故点1、 2、3压强不相等。绘等压面M-M 及N-N ,再比较三点压强. 空气的重度远远小于水的重度，可忽略不计
《工程流体力学》流体力学试卷及答案一 一、判断题 1、 根据牛顿内摩擦定律，当流体流动时，流体内部内摩擦力大小与该处的流速大小成正比。 2、 一个接触液体的平面壁上形心处的水静压强正好等于整个受压壁面上所有各点水静压强的平均值。 3、 流体流动时，只有当流速大小发生改变的情况下才有动量的变化。 4、 在相同条件下，管嘴出流流量系数大于孔口出流流量系数。 5、 稳定（定常）流一定是缓变流动。 6、 水击产生的根本原因是液体具有粘性。 7、 长管是指运算过程中流速水头不能略去的流动管路。 8、 所谓水力光滑管是指内壁面粗糙度很小的管道。 9、 外径为D ，内径为d 的环形过流有效断面，其水力半径为 4 d D -。 10、 凡是满管流流动，任何断面上的压强均大于大气的压强。 二、填空题 1、某输水安装的文丘利管流量计，当其汞-水压差计上读数cm h 4=?，通过的流量为s L /2，分析当汞水压差计读数cm h 9=?， 通过流量为 L/s 。 2、运动粘度与动力粘度的关系是 ，其国际单位是 。 3、因次分析的基本原理是： ；具体计算方法分为两种 。 4、断面平均流速V 与实际流速u 的区别是 。 5、实际流体总流的伯诺利方程表达式为 ， 其适用条件是 。 6、泵的扬程H 是指 。 7、稳定流的动量方程表达式为 。 8、计算水头损失的公式为 与 。 9、牛顿内摩擦定律的表达式 ，其适用范围是 。 10、压力中心是指 。 三、简答题 1、 稳定流动与不稳定流动。 2、 产生流动阻力的原因。 3、 串联管路的水力特性。 4、 如何区分水力光滑管和水力粗糙管，两者是否固定不变？ 5、 静压强的两个特性。 6、 连续介质假设的内容。 7、 实际流体总流的伯诺利方程表达式及其适用条件。 8、 因次分析方法的基本原理。 9、 欧拉数的定义式及物理意义。 10、 压力管路的定义。 11、 长管计算的第一类问题。 12、 作用水头的定义。 13、 喷射泵的工作原理。 14、 动量方程的标量形式。 15、 等压面的特性。 16、 空间连续性微分方程式及其物理意义。 17、 分析局部水头损失产生的原因。 18、 雷诺数、富劳德数及欧拉数三个相似准数的定义式及物理意义。 19、 流线的特性。 四、计算题 1、如图所示，将一平板垂直探入水的自由射流中，设平板截去射流的部分流量Q 1＝0.012m 3 /s ，并引起射流的剩余部分偏转一角度α 。已知 射流速度为30m/s ，总流量Q 0＝0.036m 3 /s ，不计重量及水头损失。求射流加于平板上的力？ 2、有泵管路如图所示，流量hour m Q /2403=，泵的吸入管长m L 151=，沿程阻力系数03.01=λ，总局部阻力系数为 61=∑ξ；压力管长m L 602=，03.01=λ，102=∑ξ，管径为m 25.0。 求：（1）已知泵入口处真空表读数O mH 26.6，求吸入高度1h 。
第四章作业答案 4-3水在变直径竖管中流动，已知粗管直径 d 1=300mm ，流速v 1=6m/s 。两断面相距3m,为使两断面的压力表读值相同。试求细管直径（水头损失不计）。 解： 221122122222 112222p v p v Z Z g 2g g 2g p v p v v 6 300 3 4.837m v 9.74m/s g 2g g 2g 2g 2g l h ρρρρ++=+++++=+++=+=?= 2 2 2211 21v d v d d 300235.5mm ==== 4—4变直径管段AB ，d A =0.2m,d B =0.4m ，高差△h=1.5m，测得p A =30kPa ，p B =40kPa ，B 点处断面平均流速v B =1.5m/s ，试判断水在管中的流动方向。 解： 222 2222 0.43061.5()6m/s 0 4.900.229.8240 1.51.5 5.69m 29.819.6 B A A A B A A A B B B B d p H z m d g g g p H Z g g υυυρυρ==?==++=++==++=++= H B >H A , 水由B 流向A; 水头损失5.69-4.90=0.79m 4—5用水银压差计测量水管中的点流速u ，如读值 △h=60mm ，（1）求该点流速；（2）若管中流体是30.8/kg m ρ=的油，△h 不变，不计水头损失，则该点的流速是多少？ 解： (1) 3.85m/s u === (2) 4.34m/s u === 4—6 利用文丘里管的喉管处负压抽吸基坑中的积水，已经知道管道直径1100d mm =， 喉管直径2 50d mm =，2h m =，能量损失忽略不计。试求管道中流量至少为多大， 才能抽出基坑中的积水？ 解：由题意知，只有当12 12()()p p z z h g g ρρ+-+=时，刚好才能把水吸上来，由文丘里流 量计原理有Q =， 其中211 d k π=， 代入数据，有12.7Q l s =。
1．绝对压强p abs与相对压强p 、真空度p v、当地大气压p a之间的关系是： A. p abs =p+p v； B. p=p abs－p a C. p v= p a－p abs D. p=p abs+p a 2．如图所示 A. p0=p a； B. p0>p a； C. p0
f水银；D、不一定。 5．流动有势的充分必要条件是( )。 A. 流动是无旋的； B. 必须是平面流动； C. 必须是无旋的平面流动； D. 流线是直线的流动。 6．雷诺数Re 反映了( )的对比关系 A.粘滞力与重力 B.重力与惯性力 C. 惯性力与粘滞力 D. 粘滞力与动水压力7．一密闭容器内下部为水，上部为空气，液面下4.2m处测压管高度为2.2m，设当地大气压为1个工程大气压，则容器内气体部分的相对压强为___ 水柱（）。 A. 2m B. 1m C. 8m D. －2m 8．如图所示，下述静力学方程哪个正确？B 9．下列压强分布图中哪个是错误的？B 10．粘性流体总水头线沿程的变化是( ) 。 A. 沿程下降 B. 沿程上升 C. 保持水平 D. 前三种情况都有可能
一．名词解释（共10小题，每题2分，共20分） 1．粘滞性——流体在受到外部剪切力作用时发生变形(流 动)，其内部相应要产生对变形的抵抗，并以内摩擦力的形 式表现出来，这种流体的固有物理属性称为流体的粘滞性 或粘性 2．迹线——流体质点的运动轨迹曲线 流线——同一瞬时，流场中的一条线，线上每一点切线 方向与流体在该点的速度矢量方向一致 3．层流——流体运动规则、稳定，流体层之间没有宏观的横向掺混 4．量纲和谐——只有量纲相同的物理量才能相加减，所以正确的物理关系式中各加和项的量纲必须是相同的，等式两边的量纲也必然是相同的 5．偶极流——由相距2a的点源与点汇叠加后，令a趋近于零得到的流动 6．排挤厚度——粘性作用造成边界层速度降低，相比理想流体有流量损失，相当于中心区理想流体的流通面积减少，计算时将平板表面上移一个厚度，此为排挤厚度7．顺压力梯度——沿流动方向压力逐渐降低，边界层的流动受压力推动不会产生分离8．时均速度——湍流的瞬时速度随时间变化，瞬时速度的时间平均值称为时均速度9．输运公式——将系统尺度量转换成与控制体相关的表达式 10．连续介质假说——将流体视为由连续分布的质点构成，流体质点的物理性质及其运动参量是空间坐标和时间的单值和连续可微函数。 二．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1BC；2B；3D；4B；5A；6C；7D；8B；9B；10A 三．计算题（共3小题，共50分） 1．如图所示，有一盛水的开口容器以3.6m/s2的加速度沿 与水平成30o夹角的倾斜平面向上运动， 试求容器中水面的倾角，并分析p与水深的关系。 解：根据压强平衡微分方程式： （1分） 单位质量力： （2分）
工程流体力学禹华谦习题答案第6章
第六章 理想流体动力学 6-1平面不可压缩流体速度分布为 Vx=4x+1；Vy=-4y. (1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3） 求φ、ψ 解：（1）由于 044=-=??+??y Vy x Vx ，故该流动满足连续性方程 （2）由ωz = 21(y Vx x Vy ??-??)=)44(21 +-＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，. （3）因 Vx y x ??=??= ψ?=4x+1 Vy= y ??φ=-x ??ψ=-4y d φ= x ??φdx+y ??φdy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy φ= ?d φ=?x ??φ dx+y ??φdy=?Vxdx+Vydy=? (4x+1)dx+(-4y)dy =2x 2-2y 2+x d ψ= x ??ψ dx+y ??ψdy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy ψ= ?d ψ=?x ??ψ dx+y ??ψdy=?-Vydx+Vxdy=? 4ydx+(4x+1)dy =4xy+y 6-2 平面不可压缩流体速度分布: Vx=x 2-y 2+x; Vy=-(2xy+y). (1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ .
解：（1）由于x Vx ??+x Vy ??=2x ＋1－（2x ＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. (2）由ωz = 21(y Vx x Vy ??-??)=))2(2(21 y y ---＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在. （3）因 Vx= x ??φ =y ??ψ= x 2-y 2+x, Vy=y ??φ=-x ??ψ=-(2xy+y). d φ= x ??φ dx+y ??φdy=Vxdx+Vydy=(x 2-y 2+x )dx+(-(2xy+y).)dy φ= ?d φ=? x ??φ dx+y ??φdy=?Vxdx+Vydy =? (x 2-y 2+x )dx+(- (2xy+y))dy =3 3 x -xy 2+(x 2-y 2)/2 d ψ= x ??ψdx+y ??ψdy=-Vydx+Vxdy ψ= ?d ψ=? x ??ψdx+y ??ψdy=?-Vydx+Vxdy =?(2xy+y)dx+ (x 2-y 2+x)dy =x 2y+xy-y 3/3 6-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x 2-y 2-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值 解: 因 Vx= x ??φ =y ??ψ=2x-1，V y ＝y x y 2-=??-=??ψ φ，由于x Vx ??+x Vy ??＝0，该 流动满足连续性方程，流函数ψ存在 d ψ= x ??ψdx+y ??ψdy=-Vydx+Vxdy ψ= ?d ψ=? x ??ψ dx+y ??ψdy=?-Vydx+Vxdy=?2ydx+(2x-1)dy=2xy-y
第四章 流体动力学基本定理及其应用 4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义 答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为： ()p f v v t v ?-=??+??ρ 1ρρρρ 其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。 （2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流 线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为： C gz p =++ρ 2V 2，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。 4-2 设进入汽化器的空气体积流量为s m /15.0Q 3 =，进气管最狭窄断面直径D=40mm ，喷油嘴直径d=10mm 。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d=6mm ，汽油液面距喷油嘴高度为50cm ，试计算喷油量。汽油的重度3 /7355m N =γ。 答：（1）求A 点处空气的速度： 设进气管最狭窄处的空气速度为1v ，压力为1p ，则根据流管的连续方程可以得到： () Q v d D =-1224 1 π， 因此：() 2 214d D Q v -= π。 （2）求真空度v p 选一条流线，流线上一点在无穷远处F ，一点为A 点；并且： 在F 点：0F p p =，0F =v ； 在A 点：?1A ==p p ，1A v v =。 将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到： g v p p 202 11 +=+γγ
考试试卷（A B卷）学年第二学期 课程名称：流体力学 一、判断题（20分） 1.物理方程等式两边的量纲或因次一定相等。（T） 2.为了减小压差阻力，就应该设法推迟边界层分离现象的发生。（T） 3.压力体的体积表示一个数学积分，与压力体内是否有气体无关。（T） 4.流体静止时，切应力为零。（T） 5.温度升高液体的表面张力系数增大。（F） 6.液滴内的压强比大气压小。（F） 7.声音传播过程是一个等熵过程。（T） 8.气体的粘性随温度的升高而增大。（T） 9.应用总流伯努利方程解题时，两个断面间一定是缓变流，方程才成立。 （F） 10.雷诺数是表征重力与惯性力的比值。（F） 11.不可压缩流体只有在有势力的作用下才能保持平衡。（T） 12.对流程是指海拔11km以上的高空。（F） 13.静止的流体中任意一点的各个方向上的压强值均相等。（T） 14.在拉格朗日法中，流体质点轨迹给定，因此加速度很容易求得。（T） 15.对于定常流动的总流，任意两个截面上的流量都是相等的。（T） 16.紊流水力粗糙管的沿程水头损失系数与雷诺数无关。（T） 17.在研究水击现象时，一定要考虑流体的压缩性。（T） 18.雷诺数是一个无量纲数，它反映流动的粘性力与重力的关系。（F） 19.线当马赫数小于一时，在收缩截面管道中作加速流动。（T） 20.对于冷却流动dq小于0，亚音速流作减速运动，超音速流作加速运动。 （T） 二、填空题（10分） 1.流动相似指的是两个流动系统所有对应点的对应物理量之比相等，具体 地说，就是要满足，几何相似、运动相似和动力相似。 2.自由面上的压强的任何变化，都会等值地传递到液体中的任何一点，这就是由斯卡定律。 3.流动相似的主导因素是动力相似，只有满足了这一点才能保证运动相似。 4.从海平面到11km处是对流层，该层内温度随高度线性地降低。 5.马赫准则要求两种流动的惯性力与由于压缩性引起的弹性力成比例。 6.水头损失可分为两种类型：沿层损失和局部损失。 7.在工程实践中，通常认为，当管流的雷诺数超过 2320 ，流态属于紊流。 8.在工程实际中，如果管道比较长，沿程损失远大于局部损失，局部损失可以忽略，这种管在水 力学中称为长管。 9.紊流区的时均速度分布具有对数函数的形式，比旋转抛物面要均匀得多，这主要是因为脉动速 度使流体质点之间发生强烈的动量交换，使速度分布趋于均匀。 10.流体在运动中如果遇到因边界发生急剧变化的局部障碍（如阀门，截面积突变），流线会发生变 形，并出现许多大小小的旋涡，耗散一部分机械能，这种在局部区域被耗散掉的机械能称为局部水头损失。 三、选择题（单选题，请正确的答案前字母下打“∨”） 1 / 4
第六章 管内流动和水力计算 液体出流 【6-11】 加热炉消耗q m =300kg/h 的重油，重油的密度ρ=880kg/m 3，运动黏度ν=0.000025m 2/s 。如图6-54所示，压力油箱位于喷油器轴线以上h =8m 处，而输油管的直径d =25mm ，长度l =30m 。求在喷油器前重油的计示压强？[62504Pa]。 图6-54 习题6-11示意图 【解】 流速 ()s m 0.192915 025 .08803600/300444 1222=???====ππρπρ d q d q A q v m m V 2300192.915000025 .0025.00.192915<=?==νvd Re 输油管内流动是层流 沿程损失 ()m 3.91557 807 .9025.0915.1920.192915 30323226422222f =????=??===g d Re lv g v d l Re g v d l h λ 以油箱液面为1-1，喷油器前为2-2断面，列写伯努利方程： w 222 2 2112 1 122h g p z g v g p z g v a a +++=++ραρα 由于是层流，221==αα；f w h h =；01=a v ；v v a =1；h z z =-21；01=p 。 w 2 222h g p g v h ++=ρ ()[]()[] ()Pa 62489.5 0.1929153.915578807.98802 2w 2=--??=--=v h h g p ρ 【6-16】用新铸铁管输送25℃的水，流量q v =300L/s ，在l =1000m 长的管道上沿程损失为 h f =2m （水柱），试求必须的管道直径。 【解】 v d q V 24 1π=2 4d q v V π= 5 22 2 22f 8242gd lq g d q d l g v d l h V V πλπλλ=?? ? ??==λπf 22 5 8gh lq d V = d q d d q vd R e V V 1442 πννπν=== 新铸铁管 ε=0.25～0.42，25℃水的运动黏度ν=0.897×10-6m 2/s 。 取ε=0.3， λ=0.0175 得 d = 0.5790 m
第六章 理想流体动力学 6-1平面不可压缩流体速度分布为 Vx=4x+1；Vy=-4y. (1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ 解：（1）由于044=-=??+??y Vy x Vx ，故该流动满足连续性方程 （2）由ωz = 21(y Vx x Vy ??-??)=)44(21+-＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，. （3）因 Vx y x ??=??=ψ?=4x+1 Vy=y ??φ=-x ??ψ=-4y d φ=x ??φdx+y ??φdy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy φ= ?d φ=?x ??φdx+y ??φdy=?Vxdx+Vydy=? (4x+1)dx+(-4y)dy =2x 2-2y 2+x d ψ=x ??ψdx+y ??ψdy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy ψ= ?d ψ=?x ??ψdx+y ??ψdy=?-Vydx+Vxdy=? 4ydx+(4x+1)dy =4xy+y 6-2 平面不可压缩流体速度分布: Vx=x 2-y 2+x; Vy=-(2xy+y). (1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否? (3)求φ、ψ . 解：（1）由于x Vx ??+x Vy ??=2x ＋1－（2x ＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在. (2）由ωz = 21(y Vx x Vy ??-??)=))2(2(21y y ---＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在.
第四章习题答案 选择题（单选题） 4.1等直径水管，A-A 为过流断面，B-B 为水平面，1、2、3、4为面上各点，各点的流动参数有以下关系：（c ） （a ）1p =2p ；（b ）3p =4p ；（c ）1z + 1p g ρ=2z +2p g ρ；（d ）3z +3p g ρ=4z +4p g ρ。 4.2伯努利方程中z +p g ρ+2 2v g α表示：（a ） （a ）单位重量流体具有的机械能；（b ）单位质量流体具有的机械能；（c ）单位体积流体具有的机械能；（d ）通过过流断面流体的总机械能。 4.3水平放置的渐扩管，如忽略水头损失，断面形心点的压强，有以下关系：（c ） p p 2 （a ）1p >2p ；（b ）1p =2p ；（c ）1p <2p ；（d ）不定。 4.4黏性流体总水头线沿程的变化是：（a ） （a ）沿程下降；（b ）沿程上升；（c ）保持水平；（d ）前三种情况都有可能。 4.5黏性流体测压管水头线的沿程变化是：（d ） （a ）沿程下降；（b ）沿程上升；（c ）保持水平；（d ）前三种情况都有可能。 4.6平面流动具有流函数的条件是：（d ）
无黏性流体；（b ）无旋流动；（c ）具有速度势；（d ）满足连续性。 4.7一变直径的管段AB ，直径A d =0.2m ，B d =0.4m ，高差h ?=1.5m ，今测得A p =302 /m kN ，B p =402/m kN ， B 处断面平均流速B v =1.5s m /.。试判断水在管中的流动方向。 解： 以过A 的水平面为基准面，则A 、B 点单位重量断面平均总机械能为： 4 2 323010 1.0 1.50.40 4.89210009.80729.8070.2A A A A A p v H z g g αρ???? =++=++?= ????? （m ） 232 4010 1.0 1.51.5 5.69210009.80729.807 B B B B B p v H z g g αρ??=++=++=??（m ） ∴水流从B 点向A 点流动。 答：水流从B 点向A 点流动。 4.8利用皮托管原理，测量水管中的点速度v 。如读值h ?=60mm ，求该点流速。
09流体力学习题1及参考答案 一、单项选择题（共15分，每小题１分） 1、下列各力中，属于质量力的是（ ）。 A ．离心力 B ．摩擦力 C ．压力 D ．表面张力 2、下列关于流体粘性的说法中，不准确的说法是（ ）。 A ．粘性是实际流体的固有属性 B ．构成流体粘性的因素是流体分子间的吸引力 C ．流体粘性具有传递运动和阻碍运动的双重性 D ．动力粘度与密度之比称为运动粘度 3、在流体研究的欧拉法中，流体质点的加速度由当地加速度和迁移加速度组成，当地加速度反映（）。 A ．流体的压缩性 B ．由于流体质点运动改变了空间位置而引起的速度变化率 C ．流体速度场的不稳定性 D ．流体速度场的不均匀性 4、重力场中流体的平衡微分方程为（ ）。 A ．gdz dp -= B ．gdz dp ρ= C ．dz dp ρ-= D ．gdz dp ρ-= 5、无旋流动是指（ ）的流动。 A ．速度环量为零 B ．迹线是直线 C ．流线是直线 D ．速度环量不为零 6、压强的量纲 []p 是（ ）。 A.[]2-MLt B.[]21--t ML C.[]11--t ML D.[]1 -MLt 7、已知不可压缩流体的流速场为 则流动不属于（ ）。 A ．非均匀流 B ．非稳定流动 C ．稳定流动 D ．三维流动 0 ),,() ,(?? ???===w t z x f z y f u υ
8、动量方程的适用条件是( ) 。 A ．仅适用于理想流体作定常流动 B ．仅适用于粘性流体作定常流动 C ．适用于理想流体与粘性流体作定常或非定常流动 D ．适用于理想流体与粘性流体作定常流动 9、在重力场中作稳定流动的系统，沿流动方向总水头线维持水平的条件是 ( ) 。 A ．管道是水平放置的 B ．流体为不可压缩流体 C ．管道是等径管 D ．流体为不可压缩理想流体 10、并联管道系统中,其各支管内单位质量流体的能量损失（ ）。 A ．不相等 B ．之和为总能量损失 C ．相等 D ．不确定 11、边界层的基本特征之一是（ ）。 A ．边界层内流体的流动为层流 B ．与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小 C ．边界层厚度沿流动方向逐渐减薄 D ．边界层内流体的流动为湍流 12、指出下列论点中的错误论点：（） A ．平行流的等势线与流线相互平行 B ．涡流的径向速度为零 C ．无旋流动也称为有势流动 D ．点源的圆周速度为零 13、关于涡流有以下的论点，指出其中的错误论点：( )。 A ．以涡束诱导出的平面流动，称为涡流 B ．点涡是涡流 C ．涡流的流线是许多同心圆 D ．在涡流区域速度与半径成正比 14、超音速气体在收缩管中流动时，气流速度（）。 A ．逐渐增大 B ．不变 C ．不确定 D ．逐渐减小 15、为提高离心泵的允许安装高度，以下哪种措施是不当的？（ ） A ．提高流体的温度 B ．增大离心泵吸入管的管径 C ．缩短离心泵吸入管的管径 D ．减少离心泵吸入管路上的管件 参考答案：1.A 2.B 3.C 4.D 5.A 6.B 7.C 8.D 9.D 10.C 11.B 12.A 13.D 14.D in out QV QV F )()(ρρ∑-∑=∑