习题精选
一、选择题
1．在同一坐标系中,图象表示同一曲线的是( ).
A．与 B．与
C．与 D．与
2．若函数存在反函数,则的方程为常数)( ).
A．至少有一实根 B．有且仅有一实根
C．至多有一实根 D．没有实根
3．点在函数的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是 ( ).
A．B． C． D．
4．（）的反函数是（）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
5．设函数，，则的定义域是（）A． B． C． D．
6．已知，则的表达式为（）
A． B． C． D．
7．将的图象向右平移一个单位，向上平移2个单位再作关于的对称图象，所得图象的函数的解析式为（）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数有反函数，下例命题中假命题为（）
A．与的图象不一定关于对称；
B．与的图角关于轴对称；
C．与的图象不可能有交点；
D．与的图象可能有交点，有时交点个数有无穷多个9．若有反函数，下列命题为真命题的是（）
A．若在上是增函数，则在上也是增函数；
B．若在上是增函数，则在上是减函数；
C．若在上是增函数，则在上是增函数；
D．若在上是增函数，则在上是减函数
10．设函数（），则函数的图象是（）
11．函数（）的反函数 =（）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
二、填空题
1．求下列函数的反函数:
（1） ; （2） ;
（3） ; （4） .
2．函数的反函数是_____________________．
3．函数（）的反函数是_________．
4．函数的值域为__________ ．
5． ,则的值为_________.
6．要使函数在上存在反函数,则的取值范围是_____________．
7．若函数有反函数,则实数的取值范围是_____________．8．已知函数（），则为__________．
9．已知的反函数为，若的图像经过点
，则 =________．
三、解答题
1．求函数的反函数．
2．若点（1，2）既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，求，的值．
3．已知，求及的解析式，并判定它们是否为同一函数．
4．给定实数，且，设函数（且）证明：这个函数的图象关于直线成轴对称图形．
5．若点在函数的反应函数的图象上，求．
6．已知函数的定义域是，，求．
7．求下列函数的值域；（1）；（2）．
8．已知函数与的图象关于直线对称，求、的值．
9．已知函数的图象关于直线对称,求的值．
10．函数与的图象关于直线对称,求常数
的值．
11．求与函数的图象关于直线对称的图象所对应的函数．
12．函数是否存在反函数，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．
13．设是上的增函数，并且对任意，有成立，证明．
参考答案：
一、
1．C2．C 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C 9．C
10．B 11．B
二、1．（1） ; （2） ;
（3） ; （4） ;
2．
3．解：由，可得，即，函数
（）的反函数为（）
4． 5． 6．或
7．且 . 8． 9．b=1
三、1．解：当时，则反函数为（）；
当时，则反函数为（），原函数的反函数为
2．解：利用条件可知，（1，2），（2，1）两点都在函数的图象上，则
，解之得
3．解：由求出反函数（），则
（）
（）
虽然与两函数有相同的表达式，但它们的定义域不同，故它们不是同一函数．
说明：判断两个函数为同一个函数应具备两个条件：一是表达式相同；二是定义域相同．
4．解：先求所给函数的反函数，由（），可得
（*）
若，则，又由（*）得，故，即与已知矛盾，，于是由（*）得（）
从而函数（且）的反函数为（且
），两者完全相同，为同一个函数．
由于的图象与的图象关于直线对称，故函数
（且）的图象关于直线成轴对称图形．
说明：证明函数关于直线成轴对称图形，分为两步：第一步，证明原函数与反函数为同一函数；第二步，利用轴对称的定义证明．
5．解：由反函数的概念及题设条件可得在函数的图象
上，即，解得．
6．解：设，则，将其代入故
（），则（）
说明：本题在求解过程中要注意两点：一点是注意运算顺序，先求，再求；
另一点是在求反函数时，两边开方，注意符号．
7．解：（1）先由可得，，故原函数的值域
（2）先由可得，，故原函数的值域为
说明：通过求反函数的定义域来求原函数值域的方法，往往适用于函数的解析式为一次分式的情况．
8．解：，的图象关于直线对称，
的反函数就是
又的反函数为，故和应为
同一函数，则
9．
10．
11．解：由可得，即，即
所求函数
12．解：不存在反函数，理由为：已知函数不是单调函数，如取时，对应的值有两个值为，．
13．解：若存在，有，不妨设，则，即
矛盾，同理可证也不可能有对一切有．