二阶常微分方程边值问题的数值解法

摘要

本文主要研究二阶常微分方程边值问题的数值解法。对线性边值问题，我们总结了两类常用的数值方法，即打靶法和有限差分方法，对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。

关键字：常微分方程边值问题；打靶法；差分法；

ABSTRACT

This article mainly discusses the numerical methods for solving Second-Order boundary value problems for Ordinary Differential Equations. On the one hand, we review two types of commonly used numerical methods for linear boundary value problems, i.e. shooting method and finite difference method. For each method, we give both the exact calculating steps , we compare the advantages and disadvantages in detail of these two methods through a specific numerical example.

Key words：Boundary-Value Problems for Ordinary Differential Equations；Shooting Method；Finite Difference Method；

目录

第一章引言................................................................................................................... - 1 -第二章二阶线性常微分方程.................................................................................. - 2 -

2.1试射法（“打靶”法） ............................................................................................ - 3 -

2.1.1简单的试射法............................................................................................ - 3 -

2.1.2 基于叠加原理的试射法........................................................................... - 4 -

2.2 有限差分法......................................................................................................... - 10 -

2.2.1 有限差分逼近的相关概念...................................................................... - 11 -

2.2.2 有限差分方程的建立............................................................................. - 13 -

2.2.3 其他边值条件的有限差分方程............................................................. - 14 -

2.2.4 有限差分方程的解法............................................................................. - 16 -第三章二阶非线性微分方程..................................................... 错误！未定义书签。

3.1基于牛顿迭代法的打靶法....................................................... 错误！未定义书签。

3.1.1 第一类边值条件推导.................................................. 错误！未定义书签。

3.1.2 其他边值条件的推导................................................ 错误！未定义书签。

3.1.3 算法及程序代码........................................................ 错误！未定义书签。

3.2 基于改进的牛顿迭代法的打靶法.......................................... 错误！未定义书签。

3.2.1 算法的推导................................................................ 错误！未定义书签。

3.2.2 算法及代码................................................................ 错误！未定义书签。第四章改进算法的算例 .............................................................. 错误！未定义书签。第五章总结 ................................................................................................................... - 20 -参考文献 .......................................................................................................................... - 21 -致谢......................................................................................................... 错误！未定义书签。

第一章引言

微分方程是现代数学中一个很重要的分支，从早期的微积分时代起，这个学科就成为了理论研究和实践应用的一个重要领域。在微分方程理论中，定解条件通常有两种提法：一种是给出了积分曲线在初始时刻的性态，相应的定解条件称为初值问题；另一种是给出了积分曲线首末两端的性态，这类条件则称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。

常微分方程边值问题在应用科学与工程技术中有着非常重要的应用，例如工程学、力学、天文学、经济学以及生物学等领域中的许多实际问题通常会归结为常微分方程边值问题[12]的求解。文献[9]给出了边值问题求解的方法，虽然求解常微分方程边值问题有很多解析方法可以求解，但这些方法只能用来求解一些特殊类型的方程，对从实际问题中提炼出来的微分方程往往不再适用，因而对常微分方程边值问题的数值方法的研究显得尤为重要。经典的数值方法主要有：试射法（打靶法）和有限差分法，见文献[2]。对于二阶线性边值问题，差分法的优点在于稳定性较好，但它的精度不高。而用打靶法求解线性问题时，解的精度较高，这是因为打靶法将边值问题的求解转化为相应的初值问题的求解，因而可以使用具有较高精度的Runge-Kutta法（见文献[1]），但是算法稳定性较差。

在本文中，我们首先总结了二阶线性边值问题的数值算法：打靶法、有限差分法。对每种方法都列出了详细的计算步骤和Matlab程序代码，通过具体的算例对这两类方法的优缺点进行了细致的比较。由于简单的打靶法过分依赖经验，我们考虑了基于线性叠加原理的打靶法，将线性边值问题转化为两个初值问题，并通过线性叠加得到原边值问题的解。

第二章 二阶线性常微分方程

二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：

),,()(y y x f x y '=''， b x a ≤≤ (1)

边值条件有如下三类[9]： 第一类边值条件

α=)(a y ， β=)(b y (2)

第二类边值条件

α=')(a y ， β=')(b y (3)

第三类边值条件[19]

ααα='-)()(10a y a y ， βββ='+)()(10b y b y (4)

其中010≥αα， 010≥ββ， 010≠+αα， 010≠+ββ。

在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。

定理1.1设方程(2.1)中的函数f 及

y

f ??，y f '??在区域 },,|),,{(∞<'<-∞≤≤'=Ωy y b x a y y x

内连续，并且 (ⅰ)

,0)

,,(>?'?y

y y x f Ω∈'?),,(y y x ； (ⅱ)

y y y x f '

?'?)

,,(在Ω内有界，即存在常数M ，使得

M

y y y x f ≤'

?'?)

,,(， Ω∈'?),,(y y x ，

则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一[18]。

本章我们假设函数),,(y y x f '可以简单地表示成

)()()(),,(x r y x q y x p y y x f -+'='，

即边值问题(2.1)-(2.2)为具有如下形式的二阶线性边值问题

??

?==≤≤=+'+''-β

α)(,)(,)()()(b y a y b

x a x r y x q y x p y (2.5)

此时，解的存在唯一性定理(定理1.1)可以简单地表述为下述推论。

推论 2.1 设)(x p ，)(x q ，)(x r 在[a ，b]上连续，且在[a ，b]内0)(≥x q ，则线性边值问题(2.5)的解存在且唯一.

注：如无特别说明，本文中用到的(2.5)中的微分方程均满足推论2.1中的条件。 对于一般的边值问题(2.5)，尽管我们可以从理论上保证解的存在唯一性，但通常很难用解析方法求出其精确解，从实际问题中归结出来的微分方程往往不是解析方法所适用的特殊类型，此时数值方法显得尤为重要。下面我们先给出求解边值问题(2.5)的两种常用的数值方法，即试射法和有限差分法。

2.1试射法（“打靶”法）

2.1.1简单的试射法

对于边值问题(2.5)的求解，“试射法”的基本思想是将边值问题转化成初值问题来求解，即根据边界条件(2.2)，寻求与之等价的初始条件(2.6)，也就是说，反复是调整初始时刻的斜率值s y ='，使得初值问题(2.7)的积分曲线)(x y y =能“命中”β=)(b y .

设凭借经验能够提供s 的两个预测值1s ，2s ，我们按这两个斜率“试射”， 通过Runge-Kutta 算法求解相应的初值问题(2.7)可以得到)(b y 的两个预测值分别为1β，2β。若1β和2β都不满足预定的精度，则可用线性插值的方法校正1s ，2s 得到新的斜率值

)(11

21

213ββββ---+

=s s s s (2.8)

然后再按斜率3s 试射，求解相应的初值问题(2.7)又得到新的结果3)(β=b y .若ββ=3或εββ<-3[16]，则可将3s 作为s 的近似值；否则，继续过程(2.8)直到找到计算结果)(b y 与β相当符合为止。

上述试射法中初值s 的选取过分依赖于经验，局限性很大。下面介绍基于线性叠加原理的试射法。

2.1.2 基于叠加原理的试射法

设二阶线性常微分方程边值问题(2.5)的解存在并且唯一，并定义线性算子L ：

y x q y x p y Ly )()(:+'+''-=. (2.9)

由于线性微分方程的解具有叠加性，即非齐次线性微分方程的解可由它的一个特解和相应的齐次线性微分方程的解的线性组合来表示，因此我们可以考虑如下的两个线性微分方程的初值问题：

?

?

?==,)(),

(αa u x r Lu 0)('=≤≤a u b x a (2.10) 和

???==,

0)(,

0a v Lv 1)('

=≤≤a v b x a (2.11) 事实上，设)(x u 和)(x v 分别为问题(2.10)和(2.11)的解，则不难验证

)()

()

()()(x v b v b u x u x y -+

=β (2.12)

是问题(2.5)的解，其中0)(≠b v .

通过上述描述，我们可以得到基于叠加原理的打靶法的基本步骤为：

1. 根据边值问题(

2.5)构造相应的初值问题(2.10)和(2.11)； 2. 分别求出两个初值问题(2.10)和(2.11)的解)(x u 和)(x v ；

3. 将)(x u 和)(x v 按(2.12)式做组合，所得的函数)(x y 就是边值问题(2.5)的解.其几何图像见图2.1。

图 2.1 打靶法求解结果的几何图像

(2.10)和(2.11)均为二阶常微分方程初值问题，求解时可通过引入变量代换将其化成相应的一阶方程组初值问题。如令：

,

,

11v v u u == v v u u '='=22 (2.13)

则(2.10)式可以写成

???

??==-+='=',

0)(,)(),()()(,21

122

21

a u a u x r u x q u x p u u u α (2.14) (2.11)式可以写成

???

??==+='=',

1)(,0)(,)()(,21

122

21

a v a v v x q v x p v v v (2.15) 这样就可以利用Runge-Kutta 方法求解(2.14)和(2.15)。 对于更一般的线性边值问题：

???

??≠+≥='+≥='-≤≤=+'+''-≡0

,0,)()(,

0,)()(,)()()(001010

1010βαβββββαααααb y b y a y a y b

x a x r y x q y x p y Ly (2.16) 用基于叠加原理的打靶法的步骤为：

1. 根据(

2.16)式，构造两个相应的初值问题：

?

??-==,)(),

(1αc a u x r Lu α0)(c a u b x a -='≤≤ (2.17) 和

???==,

)(,01αa v Lv 0

)(α='≤≤a v b x a (2.18) 其中0c 和1c 是满足条件10110=-ααc c 的两个任意的常量.

2. 求解初值问题(2.17)和(2.18)式，设其解分别为)(x u 和)(x v .

3. 将)(x u 和)(x v 做线性组合)()

()()]

()([)()(1010x v b v b v b u b u x u x y '+'+-+

=βββββ

由此计算得到的函数)(x y 就是(2.16)式的解，其具体的数值计算格式可描述为如下算法：

算法1 基于叠加原理的试射法求解线性边值问题(2.5)的算法如下：

1. 输入 区间的端点a ，b ，及边界条件常数α，β，区间等分数N

2. 计算 步长N a b h /)(-=，α=10u ，020=u ，010=v ，120=v

3. fo r i=0，1，2，…，N-1 3.1 ih a x += 3.2 计算

)

22(61

)

22(61

))

())(())((()

())

2

()21)(2()21)(2(()

21

())

2()21)(2()21)(2(()

21

())

()()((432121,2432111,132314324222132231211212212121L L L L u u K K K K u u h x r L u h x p K u h x q h L hL u h K h

x r L u h x p K u h x q h L L u h K h

x r L u h x p K u h x q h L L u h K x r u x q u x p h L hu K i i i i i i i i i i i i i i i i

++++=++++=+-+++++=+=+-+++++=+=+-+++++=+=-+==++

3.3 计算

)

22(6

1

)

22(61

)))(())((()

())

2

1

)(2()21)(2(()

21

())

21

)(2()21)(2(()

21

()

)()((432121,2432111,132314324222132231211212212121l l l l v v k k k k v v l v h x p k v h x q h l hl v h k l v h x p k v h x q h l l v h k l v h x p k v h x q h l l v h k v x q v x p h l hu k i i i i i i i i i i i i i i i i

++++=++++=+++++=+=+++++=+=+++++=+=+==++

end for(i)

4. 计算N N v u y y 112010/)(,-==βα

5. 输出α，10y ，20y

6. for i=1，2，…，N

6.1 计算ih a x v y u y v y u y i i i i i i i +=+=+=,,2202212011

6.2 输出i x ，i y 1，i y 2(说明：i y 1，i y 2分别是)(i x y ，)('i x y 的近似值) end for(i)

代码1 将上面的算法在matlab 实现代码如下：

function [x,y]=lsh(func1,func2,a,b,ya,yb,N) %利用RK 方法计算二阶线性微分方程的边值问题，

%由微分方程知识可以知道，对于二阶微分方程可以化为一阶微分方程组

%func1为第一个微分方程组第二个函数，func2为第二个微分方程组第二个函数 %初始时刻为a ，结束时为b ，初始端点函数值为ya ，末端点函数值yb %N 为分成的区间数目 h=(b-a)/N; u(1,1)=ya; u(1,2)=0;

v(1,1)=0;

v(1,2)=1;

for i=1:N

x(i,:)=a+(i-1)*h;

K1=h*u(i,2);

L1=h*feval(func1,x(i,:),u(i,1),u(i,2));

K2=h*(u(i,2)+1/2*L1);

L2=h*feval(func1,x(i,:)+1/2*h,u(i,1)+1/2*K1,u(i,2)+1/2*L1); K3=h*(u(i,2)+1/2*L2);

L3=h*feval(func1,x(i,:)+1/2*h,u(i,1)+1/2*K2,u(i,2)+1/2*L2); K4=h*(u(i,2)+L3);

L4=h*feval(func1,x(i,:)+h,u(i,1)+K3,u(i,2)+L3);

u(i+1,1)=u(i,1)+1/6*(K1+2*K2+2*K3+K4);

u(i+1,2)=u(i,2)+1/6*(L1+2*L2+2*L3+L4);

k1=h*v(i,2);

l1=h*feval(func2,x(i,:),v(i,1),v(i,2));

k2=h*(v(i,2)+1/2*l1);

l2=h*feval(func2,x(i,:)+1/2*h,v(i,1)+1/2*k1,v(i,2)+1/2*l1); k3=h*(v(i,2)+1/2*l2);

l3=h*feval(func2,x(i,:)+1/2*h,v(i,1)+1/2*k2,v(i,2)+1/2*l2); k4=h*(v(i,2)+l3);

l4=h*feval(func2,x(i,:)+h,v(i,1)+k3,v(i,2)+l3);

v(i+1,1)=v(i,1)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

v(i+1,2)=v(i,2)+1/6*(l1+2*l2+2*l3+l4);

end

u

v

x(N+1,:)=x(N,:)+h;

y(1,1)=ya;

y(1,2)=(yb-u(N+1,1))/v(N+1,1);

for i=1:N

y(i+1,1)=u(i+1,1)+y(1,2)*v(i+1,1);

y(i+1,2)=u(i+1,2)+y(1,2)*v(i+1,2);

end

例2.1 用基于叠加原理的打靶法求解下面的线性边值问题：

????

?==≤≤++'-='

'2

)2(,1)1(,

21,)sin(ln 222

2y y x x x y x y x y

解：该边值问题有精确解[8,21]

)cos(ln 101

)sin(ln 10

3)(221x x x m x m x y --+

=

其中)]2cos(ln 4)2sin(ln 128[70

11--=m ，121011

m m -=. 对该问题用算法1求解时需要近似求解初值问题

????

?='=≤≤++'-=''0

)1(,1)1(,

21,)sin(ln 222

2u u x x x u x u x u

和

????

?='=≤≤+'-='

'1

)1(,0)1(,

21,

222v v x v x v x v

当10=N ，1.0=h 时，计算结果如下表所示。表中列出的值i u 1逼近)(i x u 的值，i v 1逼近)(i x v 的值，且值i y 1逼近

)()

2()

2(2)()(i i i x v v u x u x y -+

=， i i y x y error 1)(-=表示逐点绝对误差。

表 2.1 基于叠加原理的打靶法算例数据

其精确解和数值解的比较如下图所示

数值解与边值问题解的图像

x

图2.2 基于叠加原理的打靶法算例图像

图像中的直线表示边值问题的精确解，蓝色点表示利用算法1得到的数值解

2.2 有限差分法

有限差分方法是用于微分方程定解问题求解的最广泛的数值方法，其基本思想是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程定解问题的近似解。

本节我们依然讨论边值问题(2.5)，介绍解两点边值问题的另一种数值方法——有限差分方法。

2.2.1 有限差分逼近的相关概念

设函数)(x f 光滑，且10<<

+'''+''+'+=+)(3)(2)()()(3

2x y h x y h x y h x y h x y (2.19)

+'''-''+'-=-)(3

)(2)()()(3

2x y h x y h x y h x y h x y (2.20)

由(2.19)可以得到一阶导数的表达式

-'''-''--+=')(3

)(2)()()(2

x y h x y h h x y h x y x y (2.21a)

或者

)()

()()(h O h

x y h x y x y +-+=

' (2.21b)

同理由(2.20)式可得

-'''+''---=')(3

)(2)()()(2

x y h x y h h h x y x y x y (2.22a)

或者

)()

()()(h O h

h x y x y x y +--=

' (2.22b)

其中)(h O 表示截断误差项.因此，可得一阶导数的)(x y '的差分近似表达式为

h

x y h x y x y )

()()(-+≈

' (2.23)

h h x y x y x y )

()()(--≈' (2.24)

由(2.21)和(2.22)可知，差商(2.23)和(2.24)逼近微商)(x y '的精度为一阶，即为)(h O ，为了得到更精确的差分表达式，将(2.19)减(2.20)可得

+'''+'=--+)(3

2)(2)()(3

x y h x y h h x y h x y (2.25)

从而可以的到

)(6

2)()()(2

ξy h h h x y h x y x y '''---+=' (2.26a)

或者

)(2)

()()(2h O h

h x y h x y x y +--+=

' (2.26b)

其中，h x h x +<<-ξ.

可得一阶导数)(x y '的差分近似表达式为

h

h x y h x y x y 2)

()()(--+≈

' (2.27)

由此可知，(2.16)差商逼近微商)(x y '的精度为二阶，即为)(2h O 。

公式(2.23)，(2.24)和(2.27)分别被称为逼近一阶微商)(x y '的向前，向后和中心差分公式[6]。

类似地，我们还可以给出二阶微商)(x y ''和高阶微商的差分近似表达式。例如将(2.19)和(2.20)两式相加可得

++''+=-++)(12

)()(2)()()

4(22

x y h x y h x y h x y h x y

进而有

)(12

)()(2)()()

4(22

ξy h h h x y x y h x y x y --+-+='' (2.28) 其中h x h x +<<-ξ.

因此，二阶导数)(x y ''的差分近似表达式[8]为

)()

()(2)()(22

h O h

h x y x y h x y x y +-+-+=

'' (2.29) 下表中列出了一些高阶导数的常用差分近似公式以及其相应的截断误差阶：

表 2.2 导数的差分逼近及其相应的截断误差阶

2.2.2 有限差分方程的建立

考虑边值问题(2.5)，取一正整数N 将区间[a ，b]分成N 等份。设其节点分别为ih a x i +=，N i ,,2,1,0 =。

其中N a b h /)(-=为步长，121,,,-N x x x 为内节点，a x =0，b x N =称为边界节点。在每一个节点i x 处，边值问题的方程(2.5)可以转化为

??

?==++'=''.,),

()()()()()(0

βαN i i i i i i y y x r x y x q x y x p x y (2.30) 假设],[)(4b a C x y ∈，利用上一节内容可得到)(x y '和)(x y ''的中心差商公式：

)(6

2)()()(2i i i i y h h h x y h x y x y ξ'''---+='' (2.31)

其中，11+-<

)(12

)()(2)()()

4(22i i i i i y h h h x y x y h x y x y η--+-+='' (2.32a)

或者

∞≤-+-+-'')(12

)()(2)()()

4(22x y h h h x y x y h x y x y i i i i (2.32b) 其中，11+-<

将(2.27)和(2.32a)代入(2.30)式可得

???

?

??

?==-==++--++-+-+-.

,;1,,2,1)()()(2)()()()

()(2)(02βαN

i i i i i i i i i i y y N i x r R x y x q h h x y h x y x p h h x y x y h x y (2.33)

其中，

)()(6

)(122

)4(2i i i i y x p h y h R ξη'''-= (2.34)

称为用差分方程逼近微分方程的截断误差[9]。略去)(2h O R i =，并用i y 代替)(i x y 可得到逼近边值问题(2.30)式的差分方程：

???

?

??

?==-==+-++---+-+.

,;1,,2,1)()(2)()

2(011211βαN

i i i i i i i i i y y N i x r y x q h y y x p h y y y (2.35) 再记

,)(,)(,)(i i i i i i x r r x q q x p p === (2.36)

则由(2.35)整理可得到关于)1,,2,1(-=N i y i 的方程组：

???

??

???

??

?--=+++--==-++++-++=-++------+-β

α)12()2()21(2,3,2,)12()2()21(,)21()12()2(112112212121112

21112N N N N N N i i i i

i i i p h r h y q h y p h N i r h y p h y q h y p h p h r h y p h y q h (2.37) 该方程组的可解性和解的误差估计可参考文献[10,20]。 2.2.3 其他边值条件的有限差分方程

在实际的应用中，我们可能会碰到边值条件为(2.3)或(2.4)的边值问题，即第二或第三边值条件.对于第二或第三边值条件，在建立差分方程时，必须选用适当的差商公式代替边界上的)(a y '和)(b y '。例如，为了使近似解在边界a x =和b x =上具有二阶精度，可以选用本章第一节表2.2中列出的差商公式近似：

???

???

?+-≈'='-+-≈'='--)]

()(4)(3[21)()()](3)(4)([21)()(210120N N N N x y x y x y h x y b y x y x y x y h

x y a y (2.38) 在(2.31)中，取近似

??????

?=+-=-+---βα)]()(4)(3[21)](3)(4)([21

21012N N N x y x y x y h

x y x y x y h

那么我们可以得到第二边值条件的差分方程组:

???

?????

??

?=+--==+-++--=-+----+-+β

α)]()(4)(3[21;1,,2,1)()(2)()2()](3)(4)([21

21112

11012N N N i i i i i i i i i x y x y x y h

N i x r y x q h y y x p h y y y x y x y x y h (2.39) 第三边值条件的差分方程组：

???

?????

??

?=++--==+-++--=--+----+-+β

βαα)()]()(4)(3[21;1,,2,1)()(2)()2()()](3)(4)([21

021112

1100012N N N N i i i i i i i i i x y x y x y x y h

N i x r y x q h y y x p h y y y x y x y x y x y h (2.40) 其中包含1+N 个未知量)(,,)(,)(10N x y x y x y 。其系数矩阵都具有下列形态.

)

1()1(***************+?+??

???

?

????

????

??????=N N A 其中，*代表不恒为零的元素。由线性代数的知识可以知道，矩阵A 可经过适当的初等行变换可化为三对角矩阵。

2.2.4 有限差分方程的解法

下面我们来研究下这些差分方程组的解法（以第一边值条件所得的差分方程组(2.37)为例）：

将(2.37)简记为

r By = (2.41)

其中，

???

?

?????

????

???????????????++--++--++--++--+=-----12

1222233232222112

2)21(122)21(1

2

2)21(1

22)21(122N N N N N q h p h p h q h p h p h q h p h p h q h p h p h q h B ????????????????????=--12321N N y y y y y y ，?

??

?

??????

?

???????????--++=---βα)12()21(112223

222

112N N N p h r h r h r h r h p h r h r 从中可以看出B 为三对角矩阵，可以用追赶法[14]求解。

算法2 用有限差分法求解二阶线性边值问题(2.5)的算法如下： 1. 输入区间的端点a ，b ，及边界条件常数α，β，区间等分数N

2. 计算（形成方程组(2.41)中的矩阵B ，及右端的向量r ，为节省空间，用y 代替r ）

))(2

1()(1)(2

)

(2/)(21121x p h

x r h y x p h

c x q h b h

a x N a

b h +

+=-=

+=+=-=α

for i=2:N-2

)

(1)(2

)(2)(2

122x r h y x p h

c x q h b x p h

a ih

a x i i i i =-=

+=--=+=

end for(i)

))(2

1()()

(2)(2

121211x p h

x r h y x q h b x p h

a h

b x N N N -

+=+=--=-=---β

3. 用追赶法计算三对角方程组(2.41)中的矩阵B [2,3]

3.1 计算}{i β

111/b c =β

for i=2，3，…，N-2 )/(1--=i i i i i a b c ββ

end for(i)

3.2 解y Lm = （该y 存储r 的值）

111/b y m =

for i=2，3，…，N-1

)/()(11----=i i i i i i i a b y a y m β

end for(i)

3.3 解m Uy =（为了节省空间用继续用y 存储(2.41)的解） 11--=N N m y

for i=N-2，…，2，1

)/()(11----=i i i i i i i a b y a y m β

常微分方程边值问题与不动点定论文

目录 引言 (1) 1预备知识 (2) 定义1.1（奇异Sturm-Liouville边值问题的正解） (2) 引理1.1.1 (2) 定义1.2（凸集的概念) (3) 定义1.3锥的定义 (3) 定义1.4（全连续算子的概念） (3) 1.5 （常微分边值问题的定义） (4) 定义1.6混合单调算子得定义） (4) 2 常微分方程边值问题正解得存在性 (5) 2.1 奇异Sturm-Liouville常微分边值问题的正解存在在 (5) 子 (8) 2.2 一类二阶边值问题的存在性 (9) 3一类混合单调算子应用 (11) 3.1一类混合单调算子的存在唯一性?........................ 错误!未定义书签。 3.2 求常微分边值问题的例题 (13) 结束语 (15) 参考文献 (15) 致 (16)

常微分方程边值问题与不动点定 （数学与统计学院 11级数学与应用数学2班）指导教师：攀峰 引言 从历史上看在有了微积分这个概念以后，紧接着出现了常微分方程。发展初期是属于“求通解”得时代，当人们从初期的热潮中结束要从维尔证明了卡帝方程中是一定不会存在一般性的初等解的时候开始的，并且柯西紧接着又提出了初值问题，常微分方程开始从重视“求通解”转向重视“求定解”的历史时代。 大学我们都学习了常微分方程这门学科，如果要研究它的定解问题，我们首先就会知道是常微分方程的初值问题。然而，在科学技术、生产实际问题中，我们还是提出了另一类定解问题-边值问题。对于常微分方程边值问题，伟大的科学家最早在解决二阶线性微分方程时，提出了分离变量法。[]1.在牛顿时期，科学家们已经提出过常微分的边值问题，牛顿也对常微分边值问题进行过研究，并且在1666年10月牛顿已经在这个领域取得了很大的成就，但是由于种种原因当时并没有整理成论文，所以没有及时出版。但在1687年他终于把在常微分方程上研究的成果发表了，虽然不是在数学著作中，却是他的一本力学著作中（《自然哲学的数学原理》）。 在微积分刚创立时期，雅克.伯努利来自瑞士的科学家提出了远著文明的问题-悬链线问题，紧着的地二年著名数学家莱布尼兹就给出了正确的解答，通过对绳子上个点受力分析，建立了以下方程 这个方程满足的定解条件是y（a）=α；y(b)=β.这是一个典型的常微分方程的边值问题。从这开始，常微分边值问题已经是科学家研究微分方程是不可或缺的工具，我就简单列举几个例子：（比如种族的生态系统；梁的非线性震动）等。对于怎么研究它，

二阶微分方程解法知识讲解

二阶微分方程解法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y ''+py '+qy =0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数. 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程 y ''+py '+qy =0 得 (r 2+pr +q )e rx =0. 由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解. 特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为,

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得 y 1=e (α+i β)x =e αx (cos βx +i sin βx ), y 2=e (α-i β)x =e αx (cos βx -i sin βx ), y 1+y 2=2e αx cos βx , )(2 1cos 21y y x e x +=βα, y 1-y 2=2ie αx sin βx , )(21sin 21y y i x e x -=βα. 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解. 可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为

二阶常微分方程的解法及其应用.

目录 1 引言 (1) 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 (1) 2.1 特征方程法 (1) 2.1.1 特征根是两个实根的情形 (2) 2.1.2 特征根有重根的情形 (2) 2.2 常数变异法 (4) 2.3 拉普拉斯变化法 (5) 3 常微分方程的简单应用 (6) 3.1 特征方程法 (7) 3.2 常数变异法 (9) 3.3 拉普拉斯变化法 (10) 4 总结及意义 (11) 参考文献 (12)

二阶常微分方程的解法及其应用 摘要：本文通过对特征方程法、常数变易法、拉普拉斯变换法这三种二阶常系数常微分方程解法进行介绍，特别是其中的特征方程法分为特征根是两个实根的情形和特征根有重根的情形这两种情况，分别使用特征值法、常数变异法以及拉普拉斯变换法来求动力学方程，现今对于二阶常微分方程解法的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题方面卓有成效。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 关键词：二阶常微分方程;特征分析法；常数变异法；拉普拉斯变换

METHODS FOR TWO ORDER ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION AND ITS APPLICATION Abstract:This paper introduces the solution of the characteristic equation method, the method of variation of parameters, the Laplasse transform method the three kind of two order ordinary differential equations with constant coefficients, especially the characteristic equation method which is characteristic of the root is the two of two real roots and characteristics of root root, branch and don't use eigenvalue method, method of variation of constants and Laplasse transform method to obtain the dynamic equation, the current studies on solution of ordinary differential equations of order two has made many achievements, especially in the aspect of solving the problem of two order linear differential equation with constant coefficients very fruitful. Application of the theory of ordinary differential equations has made great achievements, however, the existing theory it is still far from meeting the need, needs further development, to make the discipline theory more perfect. Keywords:second ord er ordinary differential equation; Characteristic analysis; constant variation method; Laplasse transform 1 引言 数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程

常微分方程边值问题的数值解法

第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；

(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<

二阶常微分方程解

二阶常微分方程解

————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:

第七节 二阶常系数线性微分方程 的解法 在上节我们已经讨论了二阶线性微分方程解的结构，二阶线性微分方程的求解问题,关键在于如何求二阶齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解。本节讨论二阶线性方程的一个特殊类型，即二阶常系数线性微分方程及其求解方法。先讨论二阶常系数线性齐次方程的求解方法。 §7.1 二阶常系数线性齐次方程及其求解方法 设给定一常系数二阶线性齐次方程为 ?? 22 dx y d +p dx dy ＋ｑy=０ (7.1) 其中p 、q 是常数,由上节定理二知,要求方程(7．1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,ｙ2就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(7.1)可能具有什么形式的特解, 从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，dx dy ,y 各乘以 常数因子后相加等于零，如果能找到一个函数ｙ,其

22dx y d ，dx dy ，ｙ之间只相差一个常数因子，这样的函数有可能是方程(７.1)的特解,在初等函数中,指数函数e rx ,符合上述要求，于是我们令 y=e r ｘ (其中r 为待定常数）来试解 将y ＝e rx ,dx dy =re r ｘ,22dx y d ＝r ２e r ｘ 代入方程(7.1) 得 r 2e ｒx ＋ｐre rx ＋ｑｅrx ＝０ 或 e r ｘ(r ２+pr+q ）＝0 因为e rx ≠０,故得 ? r 2 +pr ＋q=0 由此可见，若r 是二次方程 ?? r 2＋pr ＋q=０ (7．2) 的根，那么e r ｘ就是方程(7.１)的特解,于是方程（７.1)的求解问题，就转化为求代数方程(7.2）的根问题。称（7.2)式为微分方程(７.１)的特征方程。 特征方程(7.2)是一个以r 为未知函数的一元二次代数方程。特征方程的两个根r 1，r 2，称为特征根,由代数知识，特征根r １，r 2有三种可能的情况,下面我们分别进行讨论。 (1)若特证方程（7．2）有两个不相等的实根r 1， r 2，此时e r １ｘ ,e r2x 是方程（７.1)的两个特解。

二阶常系数齐次线性微分方程求解方法

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111 =++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e (i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e (i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 2 2ie x sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x (C 1cos x C 2sin x )

常微分方程组(边值)

常微分方程组边值问题解法 打靶法Shooting Method （shooting.m ） %打靶法求常微分方程的边值问题 function [x,a,b,n]=shooting(fun,x0,xn,eps) if nargin<3 eps=1e-3; end x1=x0+rand; [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x0]'); c0=b(length(b),1); [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x1]'); c1=b(length(b),1); x2=x1-(c1-xn)*(x1-x0)/(c1-c0); n=1; while (norm(c1-xn)>=eps & norm(x2-x1)>=eps) x0=x1;x1=x2; [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x0]'); c0=b(length(b),1); [a,b]=ode45(fun,[0,10],[0,x1]'); c1=b(length(b),1) x2=x1-(c1-xn)*(x1-x0)/(c1-c0); n=n+1; end x=x2; 应用打靶法求解下列边值问题： ()()??? ????==- =010004822y y y dx y d 解：将其转化为常微分方程组的初值问题

()????? ? ?????==-==t dx dy y y y dx dy y dx dy x 0011221 048 命令： x0=[0:0.1:10]; y0=32*((cos(5)-1)/sin(5)*sin(x0/2)-cos(x0/2)+1); 真实解 plot(x0,y0,'r') hold on [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,2]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,5]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,8]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,10]'); plot(x,y(:,1))

偏微分方程边值问题的数值解法论文

求解偏微分方程的边值问题 本实验学习使用MATLAB 的图形用户命令pdetool 来求解偏微分方程的边值问题。这个工具是用有限元方法来求解的，而且采用三角元。我们用个例题来说明它的用法。 一、MATLAB 支持的偏微分方程类型 考虑平面有界区域D 上的二阶椭圆型PDE 边值问题： ()c u u f α-??+=g (1.1) 其中 (1) , (2) a,f D c x y ?????=? ????? 是上的已知函数(3)是标量或22的函数方阵 未知函数为(,) (,)u x y x y D ∈。它的边界条件分为三类： （1）Direchlet 条件： hu f = (1.2) （2）Neumann 条件： ()n c u qu g ?+=g (1.3) （3）混合边界条件：在边界D ?上部分为Direchlet 条件，另外部分为Neumann 条件。 其中,,,,h r q g c 是定义在边界D ?的已知函数，另外c 也可以是一个2*2的函数矩阵，n 是沿边界的外法线的单位向量。 在使用pdetool 时要向它提供这些已知参数。 二、例题 例题1 用pdetool 求解 22D 1 D: 10u x y u ??-?=+≤??=?? (1.4)

解：首先在MATLAB 的工作命令行中键入pdetool ，按回牟键确定，于是出现PDE Toolbox 窗口，选Genenic Scalar模式． ( l ）画区域圆 单击椭圆工具按钮，大致在（0，0）位置单击鼠标右键，拖拉鼠标到适当位置松开。为了保证所绘制的圆是标准的单位园，在所绘园上双击，打开 Object Dialog 对话框，精确地输入

第十一章 常微分方程边值问题的数值解法汇总

第十一章 常微分方程边值问题的数值解法 工程技术与科学实验中提出的大量问题是常微分方程边值问题．本章将研究常微分方程边值问题的数值求解方法.主要介绍三种边界条件下的定解问题和两大类求解边值问题的数值方法,打靶法算法和有限差分方法. 11.1 引言 在很多实际问题中都会遇到求解常微分方程边值问题. 考虑如下形式的二阶常微分方程 ),,(y y x f y '='', b x a <<, (11.1.1) 在如下三种边界条件下的定解问题: 第一种边界条件: α=)(a y , β=)(b y (11.1.2) 第二种边界条件: α=')(a y , β=')(b y (11.1.2) 第三种边界条件: ? ? ?=-'=-'101 0)()()()(b b y b y a a y a y βα, (11.1.13) 其中0 0, ,00000>+≥≥b a b a . 常微分方程边值问题有很多不同解法, 本书仅介绍打靶方法和有限差分方法. 11.2 打靶法 对于二阶非线性边值问题 ()()().,,βα==≤≤'=''b y a y b x a y y x f y ，，， (11.2.1) 打靶法近似于使用初值求解的情况． 我们需要利用一个如下形式问题初值解的序列： ()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α， （11.2.2） 引进参数v 以近似原边界值问题的解．选择参数k v v =，以使： ()()β==∞ →b y v b w k k ,lim ， （11.2.3）

其中),(k v x w 定义为初值问题（11.2.2）在k v v =时的解，同时()x y 定义为边值问题（11.2.1）的解． 首先定义参数0v ，沿着如下初值问题解的曲线，可以求出点),(αa 对应的初始正视图 ()()v a w a w b x a w w x f w ='=≤≤'='')(,,，，，α． （11.2.4） 如果),(0v b w 不严格收敛于β，那么我们选择1v 等值以修正近似值，直到),(0v b w 严格逼近β． 为了取得合适的参数k v ，现在假定边值问题（11.2.1）有唯一解，如果),(v x w 定义为初始问题（11.2.2）的解，那么v 可由下式确定： 0),(=-βv b w ． （11.2.5） 由于这是一个非线性方程，我们可以利用Newton 法求解．首先选择初始值0v ，然后由下式生成序列 ),)(()),((111----- =k k k k v b dv dw v b w v v β，此处),(),)(( 11--=k k v b dv dw v b dv dw ， （11.2.6） 同时要求求得),)(( 1-k v b dv dw ，因为),(v b w 的表达式未知，所以求解这个有一点难度；我们只能得到这么一系列的值。 ，，，),(),(),(),(1210-??k v b w v b w v b w v b w 假如我们如下改写初值问题（11.2.2），使其强调解对x 和v 的依赖性 ()()v v a w v a w b x a v x w v x w x f w ='=≤≤'=''),(,),(),,(,，，，α，（11.2.7） 保留初始记号以显式与x 的微分相关．既然要求当k v v =时),)((v b dv dw 的值，那么我们需要求出表达式（11.2.7）关于v 的偏导数．过程如下： )),(),,(,(),(v x w v x w x v f v x v w '??=?''? ),()),(),,(,()),(),,(,(v x v w v x w v x w x w f v x v x w v x w x x f ??'??+??'??= ) ,()),(),,(,(v x v w v x w v x w x w f ?'?''??+ 又因为x 跟v 相互独立，所以当b x a ≤≤上式如下；

常微分方程组(边值)

常微分方程组边值问题解法 打靶法Shooti ng Method (shoot in g.m ) % 丁靶法求常微分方程的边值问题 function [x,a,b ,n]=shooti ng(fu n, xO,x n, eps) if nargin<3 eps=1e-3; end x1=x0+ra nd; [a,b]=ode45(fu n, [0,10],[0,x0]'); c0=b(le ngth(b),1); [a,b]=ode45(fu n, [0,10],[0,x1]'); c1=b(le ngth(b),1); x2=x1-(c1-x n)*(x1-x0)/(c1-c0); n=1; while (no rm(c1-x n)>=eps & no rm(x2-x1)>=eps) x0=x1;x 仁x2; [a,b]=ode45(fu n,[ 0,10],[0,x0]'); cO=b(le ngth(b),1); [a,b]=ode45(fu n,[ 0,10],[0,x1]'); c1= b(le ngth(b),1) x2=x1-(c1-x n)*(x1-x0)/(c1-c0); n=n+1; end x=x2; 应用打靶法求解下列边值问题: y 10 0 解：将其转化为常微分方程组的初值问题

命令: xO=[O:O.1:1O]; y0=32*((cos(5)-1)/si n( 5)*si n(x0/2)-cos(x0/2)+1); plot(xO,yO,'r') hold on [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,2]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,5]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,8]'); plot(x,y(:,1)) [x,y]=ode45('odebvp',[0,10],[0,10]'); plot(x,y(:,1)) dy i dx y 2 dy 2 dx y i 0 y 4 y o dy dx X0 真实解 30 ' 12^4567^9 10

(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.

第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)

的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,

二阶常微分方程的几种解法

二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法 一 公式解法 目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]: '''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本 身的特解之和。微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。那么二阶常系数齐 次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系 数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。而由此产生的通解公式给出了该方程 通解的更一般的形式。 设二阶常系数线性非齐次方程为 '''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程 20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。 1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。则方程(1) 可以写成 '''1212()()y k k y k k y f x --+= 即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程 '1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公 ()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -? ?=+?[5] (3) 知其通解为 1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+?这里0()x h t dt ?表示积分之后的函数是以x 为自变量的。再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx --==+? 解得

12212()()340012 [(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-?? 应用分部积分法, 上式即为 1212212()()3400121212 1[()()]k k x k k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---?? 1122121200 121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-?? (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为 '''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---= 由公式(3) 得到 '10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+? 再改写为 '10()x kx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+? 即10()()x kx kt d e y e f t dt c dx --=+? 故120()()x kx kt kx kx y e x t e f t dt c xe c e -=-++? (5) 例1 求解方程'''256x y y y xe -+= 解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 3 2()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是 33222232 1200x x x t t x t t x x y e e te dt e e te dt c e c e --=-++?? 32321200x x x t x x x e te dt e tdt c e c e -=-++?? 2 232132x x x x x e c e c e ??=--++???? 这里321c c =-. 例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=

二阶常微分方程的降阶解法

郑州航空工业管理学院 毕业论文（设计） 2015届数学与应用数学专业1111062班级 题目二阶常微分方程的降阶解法 姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号

二阶常微分方程的降阶解法 摘要 常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。 本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。 关键词 二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式

Order reduction method of second order ordinary differential equations Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method. This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times differential equation and derivative operation and turn two order constant

两点边值问题的两种数值解法

常微分方程组两点边值问题的数值解法 ----张亚苗2011年9月 3)1(1)0(04===-''y y y y 可化为微分方程组3 )1(1)0(41221==='='y y y y y y 方法一：配置法 Matlab 程序： function bvcollation clc solinit = bvpinit(linspace(0,1,20),[100 600]);% sol = bvp4c(@twoode,@twobc,solinit); x = linspace(0,1,20); y = deval(sol,x); y' plot(x,y(1,:),x,y(2,:)); end %微分方程组 function dydx = twoode(x,y) dydx = [ y(2) 4*y(1)]; end %边值条件 function res = twobc(ya,yb) res = [ ya(1)-1 yb(1)-3]; end 运行结果： 1.0000 -0.4203 0.9834 -0.2117 0.9777 -0.0055 0.9828 0.2007 0.9988 0.4091 1.0259 0.6220 1.0644 0.8419 1.1147 1.0710 1.1774 1.3121 1.2531 1.5677 1.3427 1.8407 1.4472 2.1341 1.5678 2.4512 1.7057 2.7954 1.8626 3.1707 2.0401 3.5811 2.2402 4.0313 2.4652 4.5261 2.7175 5.0712 3.0000 5.6724