高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细
精解
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第一章 函数、极限、连续
第1节 函数
★基本内容学习
一 基本概念和性质
1函数的定义
设有两个变量x 和y ，变量x 的变域为D ，如果对于D 中的每一个x 值，按照一定的法则，变量y 有一个确定的值与之对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作：()y f x =。
2函数概念的两要素
①定义域：自变量x 的变化范围②对应关系：给定x 值,求y 值的方法。 3函数的三种表示方法
①显式：形如()y f x =的称作显式，它最直观，也是初等函数一般采用的形式。
②隐式：有时有些关系用显式无法完全表达，这时要用到隐式，形如(,)0F x y =，如椭圆函
数22
221x y a b
+=。 ③参数式：形如平抛运动的轨迹方程212
x vt y gt =???=??称作参数式。参数式将两个变量的问题转化
为一个变量的问题，从而使很多难以处理的问题简化。 4函数的四个基本性质
①奇偶性：设函数()f x 在对称区间X 上有定义，如果对于x X ?∈恒有()()f x f x =- (或)()()f x f x =--，则称()f x 为偶函数(或()f x 奇函数)。注：偶函数()f x 图形关于y 轴对称，奇函数()f x 的图形关于坐标原点对称。
②有界性：设函数()f x 在区间X 上有定义,如果0M ?>,使得对一切x X ∈,恒有：()f x M ≤,则称()f x 在区间X 上有界；若不存在这样的0M >，则称()f x 在区间X 上无界.注：函数()f x 有无界是相对于某个区间而言的。
③周期性：设函数()f x 在区间X 上有定义,若存在一个与x 无关的正数T ，使对任一x X ∈，恒有()()f x T f x += 则称()f x 是以T 为周期的周期函数，把满足上式的最小正数T 称为函数()f x 的周期。
④单调性：设函数()f x 在区间X 上有定义，如果对1212,,x x X x x ?∈<,恒有：()()12f x f x ≤(或
()()12f x f x ≥)则称()f x 在区间X
上是单调增加(或单调减少)的；如果对于1212,,x x X x x ?∈<,恒有：
()()12f x f x < (或()()12f x f x >)则称()f x 在区间X
上是严格单调增加(或严格单调减少)的。
5其它函数定义
①复合函数：设函数()y f u =的定义域为f D ，而函数()u x ?=的定义域是D ?值域为Z ?，若
f D Z ??≠?，则称函数()y f x ?=????为x 的复合函数，它的定义域是{x ∣()}f x D x D ??∈∈且。这里?
表示空集。
②反函数：设函数()y f x =的值域为f Z ，如果对于f Z 中任一y 值，从关系式()y f x =中可确定唯一的一个x 值，则称变量x 为变量y 的函数，记为：()x y ?=，其中()y ?称为函数()y f x =的反函数，习惯上()y f x =的反函数记为：()1y f x -=。
6初等函数
①常值函数 C (C 为常数)，x R ∈
②幂函数 ()y x R αα=∈，定义域由α确定，但不论α如何，在(0,)∞内总有定义。 ③指数函数 x y a =(0a >且1a ≠) x R ∈
④对数函数 log x
a y =( 0a >且1a ≠) (0,)x ∈∞
⑤三角函数 如sin ,y x =x R ∈；cos ,y x =x R ∈；tan y x =,(,),2
2
x k k k Z ππ
ππ∈-+∈；
cot ,x (,(1)),x k k ππ∈+k Z ∈等
⑥反三角函数 arcsin ,y x =[1,1]x ∈-；arccos ,y x =[1,1]x ∈-；arctan y x =,x R ∈；arccot y x =,x R ∈. 以上六类函数称基本初等函数。
由基本初等函数经有限次加、减、乘、除、复合而成的函数称初等函数。 7分段函数
一个函数在其定义域内，对应于不同的区间段有着不同的表达式，则该函数称为分段函数。分段函数仅是说函数的表示形式，并不是说它是几个函数。
常见的分段函数：
①符号函数 10,sgn 00,10.x y x x x >??
===??-
当当当
②取整函数 []x 表示不超过x 的最大整数；[]x n =,当1n x n ≤≤+，其中n 为整数。
③狄利克莱(Dirichlet)函数 ()10x y f x x ?==??
当为有理数时,
当为无理数时.
④绝对值函数 ,0
,0
x x x x x ≥?=?
★基本题型训练
一 典型例题
1判断函数的等价性
例1.1下列各题中，函数()f x 与()g x 是否相同为什么
(1) 2()lg ,()2lg ;f x x g x x ==
(2) (),()f x x g x ==
(3) ()()f x g x =(4) 22()1,()sec tan f x g x x x ==-； 解：(1)不相同，因为2lg x 的定义域是(,0)(0,)-∞?∞，而2lg x 的定义域是(0,)∞。
(2)不相同，因为两者对应法则不同，当0x <时，()g x x =-。
(3)相同，因为两者定义域、对应法则均相同。 (4)不相同，因为两者定义域不同。 2求函数的定义域
例1.2设(1)f x -的定义域为[0,](0)a a >则()f x 的定义域为多少？
解：函数(1)f x -的定义域是指x 的变化范围，即01,1,11x a t x t a ≤-≤=--≤≤-令则。故对函数
()f x 而言，t 的变化范围为[1,1]a --，由函数表达式的“变量无关性”，知：()f x 的定义域为[1,1]a --。
常见错误：[1,1]a +。主要是对定义域所指的变量取值范围理解不深，误认为01x a ≤-≤，由此得到11x a ≤≤+。
3判断函数奇偶性
例1.4下列函数中哪些是奇函数，哪些是偶函数，哪些是非奇非偶函数？
(1) 2
sin ,x y e x = (2) log (a y x =(0,1)a a >≠ 解：(1)因为sin x 为奇函数，2x 为偶函数，所以2
sin x y e x =为奇函数。
(2)
()log (log log (()a a a f x x x f x -=-==-+=-,故()f x 为奇函数
4判断函数的周期性
例1.5下列哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。 (1) cos(2)y x =- (2) 1sin y x π=+ 解 (1) cos(2)y x =-是周期函数，周期为2π；
(2) 1sin y x π=+是周期函数，周期是2 5判断函数单调性
例1.6设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，且对任意x ，(,)y ∈-∞+∞有()()f x f y x y -<-证明
()()F x f x x =+在(,)-∞+∞上单调增加。
证明：设1212,(,),x x x x ?∈-∞+∞<所以212121()()f x f x x x x x -<-=-，
而122121()()()()f x f x f x f x x x -≤-<- 所以1122()()f x x f x x +<+ 所以12()()F x F x < 即()F x 在(,)-∞+∞上单调增加。 6求反函数 例1.7
求函数y =
解：令t =，则11t
y t
+=
-。所以11y t y -=-，
11y y -=-，所以
2
2
1411(1)
y y
x y y ??-=-= ?-+??， 所以反函数2
4(1)
x
y x =
+即为所求。 7复合函数求法
例1.8设1,0
(),2,0x x f x x x -≤?=?+>?2,0(),0x x g x x x ?<=?
-≥?则[()]f g x 等于多少？
解：当0x ≥时，()g x x =-0≤，所以当0x ≥时有[()]f g x 1x =+；
当0x <时，2()0g x x =>所以0x <时有2[()]2f g x x =+，故21,0
[()]2,0x x f g x x x +≥?=?+
注：求复合函数一般用三种方法：分析法，代入法，图示法。本题用的是分析法，下面分别介绍这三种方法。
(1)分析法：是抓住最外层函数定义域的各区间段，结合中间变量的表达式及中间变量的定义域进行分析，从而得出复合函数的方法，该法适用于初等函数与分段函数或分段函数之间的复合。
(2) 代入法：将一个函数中的自变量用另一个函数的表达式来替代，这种构成复合函数的方法，称之为代入法，该法适用于初等函数或抽象函数的复合，这种方法在求复合函数时一般最先想到。
(3) 图示法：借助于图形的直观性达到将函数复合的一种方法，适用于分段函数，尤其是两个均为分段函数的复合。关于图示法解题的一般步骤如下：
①先画出中间变量函数()u x ?=的图形；
②把()y f u =的分界点在xou 平面上画出(这是若干条平行于x 轴的直线)； ③写出u 在不同区间段上x 所对应的变化区间；
④将③所得结果代入()y f u =中，便得()y f x ?=????的表达式及相应x 的变化区间。关于这种方法我们会在后面的练习或者能力拓展中用到。 二 能力拓展
例1设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有
(A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数。
(B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数。
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数。
(D)F(x)是单调函数?f(x)是单调函数。 [A]
解法一：任一原函数可表示为?+=x
C dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，
有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-， 可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则?x
dt t f 0)(为偶函数，
从而?+=x
C dt t f x F 0
)()(为偶函数，可见选(A)。
解法二：令f(x)=1，则取F(x)=x+1，排除(B)、(C)； 令f(x)=x ， 则取F(x)=221
x ， 排除(D)；
故应选(A)。
例2设1,1
()0,1x f x x ?≤?=?>??则{[()]}f f f x 等于 。
(A) 0 (B)1 (C) 1,10,1x x ?≤??>?? (D) 0,1
1,1
x x ?≤??>??
解：由[()]f f x ＝1得，{[()]}f f f x ＝1，故应选(B)
★函数理论框架图
第2节 极限与连续性
★基本内容学习
一 基本概念
1极限的概念
定义2.1 lim 0,n n
x a ε→∞
=??>?一个正整数()N ε,当()n N ε>时，恒有 n x a ε-<。若n x 存在极限，称{}n x 收敛，否则称{}n x 发散。
定义2.2 lim ()0,x f x a ε→∞
=??>?一个整数X ，当x X >时，有()f x a ε-< 定义2.3 0
lim ()0,x x
f x a ε→=??>?正数δ，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<
2数列、函数极限的基本性质与相关定理 定理2.1(极限的不等式性质)
设lim n n x a →+∞=，lim n n y b →+∞=若a b >，则N ?，当n N >时，n n x y >；若n N >时，n n x y ≥，则a b ≥。 定理2.2(极限的唯一性) 设lim
n n x a →+∞=，lim n n x b →+∞
=则a b =。 定理2.3(收敛数列的有界性)设n x 收敛，则n x 有界（即0,,1,2,n M x M n ?>≤=常数）。 定理2.4(极限的不等式性质) 设0
lim ()x x f x A →=，0
lim ()x x
g x B →=若A B >则?δ>0，当00x x δ<-<时
()()f x g x >；若()()f x g x ≥(00x x δ<-<)，则A B ≥。
[推论](极限的保号性) 若()()0
lim ,00x x
f x A A A →=><或,则存在一个0δ>，当()000,,x x x x x δδ∈-+≠ 时，()0f x >(或()0f x <)。
定理2.5(极限的唯一性)设 0
lim ()x x f x A →=，0
lim ()x x
f x B →=则A B =。
定理2.6(夹逼准则) 设在0x 的领域内，恒有()()()x f x x ?ψ≤≤，且()()0
lim lim x x x x x x A ?ψ→→==，则
()0
lim x x f x A →=。
定理2.7(单调有界准则) 单调有界数列{}n x 必有极限。 3函数连续性定义
定义2.1设函数()f x 在0x 的某领域内有定义，给x 在0x 处以增量x ?，相应地得到函数增量
()()00y f x x f x ?=+?-。若极限0
lim 0x y ?→?=，则称()f x 在0x x =处连续。
定义2.2设函数()f x 满足条件：(1)()f x 在0x 的某领域内有定义；(2)()0
lim x x
f x →存在；(3)()()0
0lim x x
f x f x →=则称()f x 在0x x =处连续。
定义2.3若()f x 在(),a b 内任一点均连续，则称()f x 在(),a b 内连续。
定义2.4若()f x 在(),a b 内连续，在x a =处右连续(即()()lim x a
f x f a +
→=)，在x b =处左连续(即
()()lim x b f x f b -
→=)，则称()f x 在[],a b 内连续。
4间断点及分类
间断点定义 若()f x 在0x 处出现以下三种情形之一：
(1)()f x 在0x 处无定义；(2)()0
lim x x f x →不存在；(3)()()0
0lim x x
f x f x →≠。则称0x 为()f x 的间断点。 间断点0x 的分类：第Ⅰ类间断点()()00,f x f x -+均存在。其中若()()()000f x f x f x -+=≠，0x x =称为可去间断点。若()()00f x f x -+≠,0x x =称为跳跃间断点。
第Ⅱ类间断点：()()00,f x f x -+至少有一个不存在。若()()00,f x f x -+之中有一个为∞，则0x x =称为无穷间断点。
5闭区间上连续函数的性质
(1)(连续函数的有界性)设函数()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上有界，即?常数0M >，对任意的[],x a b ∈，恒有 ()f x M ≤。
(2) (最值定理)设函数()f x 在[],a b 上连续，则在[],a b 上()f x 至少取得最大值与最小值各一次，即,ξη?使得：
(3) (介值定理)若函数()f x 在[],a b 上连续，μ是介于()f a 与()f b (或最大值M 与最小值m )之间的任一实数，则在[],a b 上至少?一个ξ，使得()().
f a b ξμξ=≤≤。
(4) (零点定理或根的存在性定理)设函数()f x 在[],a b 上连续，且()()0f a f b ?<，则在(),a b 内至少? 一个ξ，使得()()0.
f a b ξξ=<<
5无穷小及其阶
(1)无穷小与无穷大的定义
定义2.5在某一过程中以零为极限的变量称为无穷小（量）。
()lim 00,x f x ε→∞
=??>?一个0X >，当x X
>时，恒有()f x ε<。
()0
lim 00,x x f x ε→=??>?0δ>，当00x x δ<-<时，恒有()f x ε<。
定义2.6在自变量的某一变化过程中，若函数()f x 的绝对值无穷增大，则称函数()f x 为无穷大量。
()lim 0,x f x M →∞
=∞??>?一个0X >，当x X
>时，恒有().f x M >
()0
lim 0,x x f x M →=∞??>?一个0δ>，当00x x δ<-<时，恒有().f x M >
(2)无穷小与无穷大、无穷小与极限的关系
()0
lim (),()0x x x x f x A f x x αα→→=?+=其中lim ；
在同一极限过程中，1()()0()1()()f x f x f x f x f x ?
≠??
????
为无穷小，则为无穷大为无穷大，则为无穷小
。
(3)无穷小阶的概念
定义2.7设在同一极限过程中，()x α、()x β为无穷小且存在极限
()()0
0()
()
lim 0,lim 0x x x x x x x x αβ→→→∞→∞==。
①若()
()
lim
0x x αβ=，则称()x α是比()x β高阶的无穷小，记为()()().x o x αβ= ②若()
()
lim
x x αβ=∞，则称()x α是比()x β低阶的无穷小。 ③ 若()
()
lim
x C x αβ=，则称()x α与()x β是同阶无穷小。 ④ 若()
()
lim
1x x αβ=，则称()x α与()x β是等价无穷小，记为()()~x x αβ。 ⑤若()
()
()lim
0,0k x C C k x αβ=≠>，则称()x α为()x β的k 阶无穷小。 (4)等价无穷小的重要性质
①若x a →()~(),()~()x x x x ααββ''，且()lim
()
x x βα''存在，则()()
lim lim ()()x x x x ββαα'='
该结论表明：在求极限过程中等价无穷小因子可以替换。 ②()x α~()x β(x a →)()()(())x x o x αββ?=+ (5)确定无穷小阶的方法
①利用洛必达法则 确定0k >使得()
00()k
x x f x A x a →=≠-lim ，则x a →时，()f x 是x a →的k 阶无
穷小。
洛必达法则：法则Ⅰ (00
型)设函数()(),f x g x 满足条件： ()()0
lim 0,lim 0x x x x f x g x →→==；
()(),f x g x 在0x 的领域内可导(在0x 处可除外)且()0g x '≠；()
()0lim
x x f x g x →''存在(或∞)。则()()
()
()0
0lim
lim .x x x x f x f x g x g x →→'=' 法则I ' (00
型)设函数()(),f x g x 满足条件：()()lim 0,lim 0x x f x g x →∞
→∞
==；?一个0X >，当x X
>时，()(),f x g x 可导，且()0g x '≠；()()
lim
x x f x g x →''存在(或∞)。则()()()
()00lim lim .x x x x f x f x g x g x →→'='
法则Ⅱ(
∞∞
型) 设函数()(),f x g x 满足条件：()()0
lim ,lim x x x x f x g x →→=∞=∞；()(),f x g x 在0x 的
领域内可导(在0x 处可除外)且()0g x '≠；()()
lim x x f x g x →''存在(或∞)。则()()()
()00lim lim .x x x x f x f x g x g x →→'='同理法
则II '(
∞∞
型)仿法则I '可写出。
②泰勒公式 '
()
()()()()()(())!
n n n f a f x f a f a x a x a o x a n =+-+
+-+-。
若'
1
()()()0,()0n n
f a f a f
a f a -==
==≠则()
()()(())!
n n n f a f x x a o x a n =-+-。因此()f x 是()
x a -的n 阶无穷小(后面章节还会讲到)。
③利用无穷小的运算性质 如若x a →时，()(),f x g x 分别是x a -的n 阶与m 阶无穷小，则
()()f x g x 是x a -的()n m +阶无穷小，当n m <时，()()f x g x +是x a -的n 阶无穷小。
★本章需要记忆知识
1重点概念、性质
函数的定义、函数连续的定义、间断点及其类型、夹逼准则、单调有界准则等。 2重点公式
()
1
00
sin 1lim 1,lim 1(lim 1)x
x
x x x x x e e
x
x →→→∞
??
=+=+= ???
或；
常用极限：)01n α>= 特例1n =
★基本题型训练
1求复合函数
例 设()()22,0
,1,,11,0
x x x e x f x x x x x x ?+
。 解：由题设()()()()()(),1
,,1
x e x f x x x ??????
≥??分以下情况讨论。
(1)当()1x ?<时，
或()0,21x x x ?<=+<， 即0
1.1x x x
或()20,11x x x ?≥=-<， 即20
0 2.2x x x ≥??≤
(2)当()1x ?≥时，
或()0,21x x x ?<=+≥， 即0
10.1x x x
或()20,11x x x ?≥=-≥， 即20
2.2
x x x ≥??≥?≥?
综上所述，()221
2,12,
10,021,2
x x e x x x f x e x x x ?+-?<-?
+-≤
2利用函数概念求函数表达式 例 已知()1sin x f e x x =++，求()f x 。
解：令x e t =，则ln x t =。于是()1ln sin(ln )f t t t =++从而()1ln sin(ln )f x x x =++。 注：设(())()f x x ?ψ=，其中()x ψ是已知函数，则有两类问题：一是已知f ?求；二是已知
f ?求。
①若f 是已知，并存在反函数，则1()(())x f x ?ψ-=。
②若?已知，并存在反函数，令()t x ?=，则1()x t ?-=，从而1()(())f t t ψ?-=，即
1()(())f x t ψ?-=。
因此，这两类问题都是求反函数问题。 3求未定型函数极限 例 求下列极限 ①
②
③
④
解：①原式
②原式
1
③原式
④原式
(
)
＝
4求变限积分不等式的极限
例 求极限2
2
22
00
23()lim
x
t x t x
e dt e dt
→∞
??
解：原式 =2
2
2
2
2
2
2
2
222222'
440
000181814142()()4442lim
lim
lim lim 0333328x
x
x
x
t t x
t t x x x x x x x x x e dt e dt e e dt
e dt
e e
e
e
xe
→∞
→∞
→∞→∞==-=-=--???
? 注：在验证条件()
lim ()x x f t dt ?→∞=∞?
时，要用到以下结论:若()f x 连续，又
lim ()0()x f x A →∞
=≠∞也可为 lim ()x x ?→∞
=∞，则()
lim ()x x f t dt ?→∞=∞?。
5由极限确定函数中的参数 例 确定,,a b c 的值，使
解：当
时，由
可得
原式同理可得
故原式故c=1
2
例试确定常数的值，使极限存在，并求该极限值. 解：原式存在
由可得，即
则原式
同理由可得，即
所以原式
6利用函数收敛准则求极限
例1 (利用夹逼准则)
_ _
解：
且
又
由夹逼原则可得原式
例2 (利用单调有界准则)
若序列{}n a
的项满足：1a (a 为正的常数)，且112n n n a a a a +??
=+ ???，(这里1,2,n =)。
试证{}n a 有极限，并求出它。
解：由1a
，又21121111
21222a a a a a a a a a ??+=+=>= ???
今用数学归纳法证k a >
2121222k k k k k k k a a a a a a a a a +??+=+=>= ???
又 211022n n n n n n
a a
a a a a a a +??--=-=> ???，故{}n a 单调且有下界，从而其极限(n →∞时)存在，令
其为A 。
由112n n n a a a a +??=+ ??? 有 11lim lim ,2n n n n n a a a a +→∞→∞??
=+ ??
?即 12a A A A ??=+ ???，即2A a =，
所以
)0A A =>
。从而lim n n a →∞
=
7求n 项和数列的极限
例 求2sin
sin
sin
lim[
]11
12n n n n n n n n n
π
ππ
→∞++++++ 解：
2sin sin sin 1112n n n n n n n n
πππ++++++
<12(sin sin sin )n n n n n
πππ
+++＝11sin n i i n n π=∑
而101
12
lim sin sin n n i i xdx n n πππ→∞===∑?，另一方面，
2sin
sin sin
1
112n n n n n n n n ππ
π
+++
+++>12(sin sin sin )1n n n n n
πππ
++++＝
11sin 1n i n i n n n π=?+∑ 且1
1lim
sin 1n n i n i n n n π→∞=?=+∑2
π，故由夹逼定理原式＝2π 8求n 项积数列极限
例 当0x ≠时，lim cos cos
cos
24
2n
n x x x
→∞
原极限2sin
cos cos cos
224
2lim
2sin 2
n n n n n n
x x x x x →∞
=
9利用函数极限求数列极限
例 求2
1lim(tan )n n n n →∞
解：因为1
tan
1
lim tan
lim 1,1n n n n n n
→∞
→∞
==可化为求21lim(tan )x n x x
→∞
又因为21lim(tan )x n x x →∞3
tan tan 01tan lim(1)
t
t t t t
t t t t t x t
--→-=+，其中0
lim
0tan t t
t t
→=-而
232220001
1tan 1(1cos )(1cos )1
cos lim lim lim 33cos 3t t t t t t t t t t t t →→→---+===，故原式=13e 10无穷小的比较与无穷小的阶的确定 例 设函数n n
n x
x f 31lim )(+=∞
→，则f(x)在),(+∞-∞内
(A) 处处可导 (B) 恰有一个不可导点
(C) 恰有两个不可导点 (D) 至少有三个不可导点 [C ]
解：先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形当1 →n n n x x f ； 当1=x 时，111lim )(=+=∞ →n n x f ； 当1>x 时，.)11( lim )(3 1 33 x x x x f n n n =+=∞ → 即.1,11,1,,1,)(33>≤≤-- ? ??-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C) 11函数连续性与间断点类型的讨论 例 判断 间断点并判别类型 解：当 时， 当 时， 当 时， 即 ， 所以 为函数 第一类间断点 12有关极限的证明 例 设()f x 在[0,)∞连续,lim ()0x f x A →+∞ => ,求证0 lim ()x x f t dt →+∞=+∞? 证明因lim ()2 x A f x A →+∞ => ，由极限的不等式性质可知， 0 0()()()()()2 x X x X X A f t dt f t dt f t dt f t dt x X =+≥+-? ? ??，因此0lim ()x x f t dt →+∞=+∞? 注： 若 0 0,lim ()x x A f t dt →+∞>=+∞? 则， 类似可知，若 0 0,lim ()x x A f t dt →+∞<=-∞? 则。 13利用泰勒公式求极限 例 求下列极限(关于泰勒展式有关内容可参见第三章) (1) 2 2 40cos lim sin x x x e x -→-； (2) 21 lim[ln(1)]x x x x →∞-+； (3) 2 5015(1)x x x →+-+； (4) 230112lim(1ln )2x x x x x →++--； 解 (1) 2 2 2 2 44 00cos cos lim lim sin x x x x x e x e x x - - →→--= ∵分母的次数为4，∴ 只要把cos x ，22 x e -展开到出现x 的四次幂即可。 故 原极限()4 44011( )1 4!8lim 12 x x o x x →-+=- (2) 1 ln(1)x +的展开式只要取到2项即可 原极限222111111 lim[(()(()))]lim[(1)]222 x x x x o o x x x →∞→∞=--+=+= 最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1) 法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0< 而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以 公共知识综合测试1 一、单项选择题（共50题，每题1分）： 1.法律对社会发展能否起进步作用，决定于 （）。 A.是否适应一切经济基础的需要 B.是否能积极地为自己的经济基础服务 C.法律所服务的经济基础是否适应生产力的 需要 D.是否适应国家的需要 2.公民在法律面前一律平等，是我国（）。（）。 A.原行政机关无权废止 B.原行政机关或上级行政机关有权撤销 C.只有权力机关有权撤销 D.相对一方当事人有权变更 11.公安机关在紧急的情况下，对罪该逮捕的现行犯或重大嫌疑分子，采取的临时限制人身自由的强制方法是（）。 A.拘役 B.拘留 C.拘传 D.逮捕 12.代理人应为（）的利益而行使代理权。 A.社会主义法的基础 B.社会主义立法的基本原则 C.社会主义法的实施的基本原则 D.宪法的总的指导思想 3.人民法院是（）。 A.国家权力机关 B.国家行政机关 C.国家审判机关 D.公安机关 4.我国的国家结构形式属于（）。 A.民族区域自治 B.单一制 C.联邦制 D.邦联制 5.中央军事委员会的领导体制是（）。 A.集体负责制 B.双重从属制 C.主席负责制 D.合议制 6.凡属法院审判工作中具体应用法律的问题，由（）进行解释。 A.全国人民代表大会 B.最高人民法院 C.全国人民代表大会常务委员会 D.各级人民法院 7.行政行为法具有的两种属性之一是（）。 A.分散性 B.统一性 C.多样性 D.程序性 8.《行政处罚法》规定，行政处罚通常由（）的行政主体管辖。 A.违法行为人住所地 B.违法行为人经常居住地 C.违法行为损害发生地 D.违法行为发生地 9.行政裁决的对象是（）。 A.特定的民事纠纷 B.特定的行政纠纷 C.特定的经济纠纷 D.特定的刑事纠纷 10.若发现已生效的行政执法行为违法或不当，则A.被代理人B.自己C.代理人所在机构D.被告 13.经营权是经营者对其经营的财产的一种（）。 A.占有、利用、收益和处分的权利 B.占有、利用和收益的权利 C.使用权利 D.不能占有，只能使用和获得收益的权利 14.用于答复下级机关请示事项的公文是（）。 A.指示 B.请示 C.批复 D.命令经验分享：在这里我想跟大家说的是自己在整个公务员考试的过程中的经验的以及自己能够成功的考上的捷径。首先就是自己的阅读速度比别人的快考试过程中的优势自然不必说，平时的学习效率才是关键，其实很多人不是真的不会做，90%的人都是时间不够用，要是给足够的时间，估计很多人能够做出大部分的题。公务员考试这种选人的方式第一就是考解决问题的能力，第二就是考思维，第三考决策力（包括轻重缓急的决策）。非常多的人输就输在时间上，我是特别注重效率的。第一，复习过程中绝对的高效率，各种资料习题都要涉及多遍；第二，答题高效率，包括读题速度和答题速度都高效。 广东事业单位考试公共基础知识经典100题 试题1：我国社会主义精神文明建设的目标是（）。 A: 提高国民素质 B: 发展科学教育 C: 加强道德建设 D: 培养“四有”新人 答案: D 试题2：国际政治经济新秩序的基础是（）。 A: 实事求是原则 B: 伸张正义原则 C: 和平共处五项原则 D: 实力原则 答案: C 试题3：“革命是解放生产力”是指（）。 A: 通过发动革命来推动生产力的发展 B: 当生产关系严重阻碍生产力发展的时候以推翻统治阶级的社会变革对生产力发展有重大作用 C: 凡当生产关系制约生产力的时候，就必须发动革命，打破旧的生产关系，建立新的生产关系，以适应生产力的发展要求 D: 以上均不对 答案: B 试题4：社会主义的改革是社会主义发展的（）。 A: 根本动力 B: 主题 C: 直接动力 D: 中心 答案: C 试题5：“两手抓，两手都要硬”是社会主义精神文明建设的（）。 A: 指导方针 B: 基本方针 C: 战略方针 D: 以上答案都不对 答案: C 试题6：在（）的报告中、将“一国两制”的构想作为基本国策。 A: 党的十一届三中全会 B: 六届人大二次会议 C: 党的十三大 D: 党的十四大 答案: B 试题7：1955年，（）代表党和国家，第一次提出了和平解决台湾问题的可能。 A: 毛泽东 B: 周恩来 C: 邓小平 D: 叶剑英 答案: B 试题8：培养有理想、有道德、有文化、有纪律的社会主义新人，是我国社会主义精神文明建设的（）。 A: 内容 B: 目标 C: 指导方针 D: 基本方针 答案: B 试题9：反对霸权主义和强权统治，维护世界和平，是（）。 A: 我国外交政策的基本目标 B: 我国外交政策的根本原则 C: 我国处理国际关系的基本原则D: 我国对外政策的纲领 答案: D 试题10：党的十一届三中全会以来，我国的改革从（）开始。 A: 城市 B: 边远地区 C: 农村 D: 北京 答案: C 试题11：改革的实质和目的是（）。 A: 否定或取消社会主义基本制度 B: 完善和发展社会主义 C: 实现现代化军事强国的战略目标 D: 否定中国共产党的领导 答案: B 试题12：社会主义物质文明建设与精神文明建设的关系表现为（）。 历年公共基础知识考题及答案 公共基础知识考题的练习是有效提高考试成绩的方法之一，以下是由整理关于历年公共基础知识考题及答案的内容，希望大家喜欢! 历年公共基础知识考题及答案(一) 1、党的群众路线教育实践活动重点任务是集中解决形式主义、官僚主义、享乐主义和( )之风等四风问题。 A、奢靡主义 B、腐败主义 C、冒进主义 D、跃进主义 2、1914年萨拉热窝事件，斐迪南大公被塞尔维亚人刺杀，被杀害的斐迪南大公是( )王储。 A、意大利 B、英国 C、普鲁士 D、奥匈帝国 3、复印机在使用过程中会排放出( )对人体有害的气体。 A、一氧化碳 B、二氧化硫 C、臭氧 D、氮气 4、政府为公众服务的服务性特点，首先表现在其( ) A、非赢利性 B、平等性 C、公平性 D、普遍性 5、1987年11月27日，经国务院批准，改徽州地区为地级( ) A、黄山市 B、歙县 C、安庆市 D、黄山区 6、中国共产党执政，就是替人民当家作主，维护和实现最广大人民的根本利益。 A、正确 B、错误 参考答案与解析 1、【答案】A。解析：党的群众路线教育实践活动的主要任务聚焦到作风建设上，集中解决形式主义、官僚主义、享乐主义和奢靡之风这四风问题。故本题答案为A。 2、【答案】D。解析：1914年，塞尔维亚青年普林西普刺杀奥匈帝国王位继承人斐迪南大公夫妇。故本题答案为D。 3、【答案】C。解析：在复印机工作时，因静电作用会导致复印室具有一定的臭氧。臭氧具有很高的氧化作用，可将氮气化成氮氧化物，对人的呼吸道有较强的刺激性。臭氧的比重大、流动慢，加之复印室内因防尘而通风不良，容易导致复印机操作人员发生复印机综合征。主要症状是口腔咽喉干噪、胸闷、咳嗽、头昏、头痛、视力减退等，严重者可发生中毒性水肿，同时也可引起神精系统方面的症状。 4、【答案】A。解析：政府为公众服务的服务性特点首先表现在非赢利性上。故本题答案选A。 5、【答案】A。解析：1987年11月27日，经国务院批准，改徽州地区为地级黄山市(俗称大黄山市)。 6、【答案】B。解析：中国共产党的宗旨是全心全意为人民服务，党的领导是要保证人民当家作主而不是代替人民当家作主，各级政府的一切权力都是人民赋予的，我国宪法也明确规定一切权力属于人民，从根本上确立人民享有管理和决定自己命运的权力。 历年公共基础知识考题及答案(二) 1、关于云计算，下列说法错误的是( )。 第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设 解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定 公共基础知识试题汇总 公共基础知识考试是考察运用有关基本理论、基本知识和基本方法分析解决领导工作中实际问题的能力。以下是由整理关于公共基础知识试题汇总的内容，希望大家喜欢! 公共基础知识试题汇总 1、2016G20峰会在( )举行 A、北京 B、大连 C、海南 D、杭州 2、2015年是亚非会议召开60周年，首届召开亚非会议的地点是( )。 A、吉隆坡 B、万隆 C、新加坡 D、雅加达 3、2015年，中国第二次湿地资源调查结果显示，( )湿地资源面积居全国第一。 A、浙江 B、青海 C、湖南 D、新疆 4、截止4月15日，亚投行意向创始成员国共有( )个。3月31日前以及当日提交加入申请的国家均已经过多边征求意见的程序，正式成为亚投行意向创始成员国。 A、47 B、50 C、57 D、64 5、4月21日，中国(广东)自由贸易试验区、中国(天津)自由贸易试验区、( )同步挂牌，标志着我国自由贸易区建设正式迎来2、0 时代。加上上海，我国由南到北四大自贸区连点成线，勾画出改革开 放、创新发展的新格局。 A、中国(辽宁)自由贸易试验区 B、中国(江苏)自由贸易试验区 C、中国(山东)自由贸易试验区 D、中国(福建)自由贸易试验区 6、2015年世界卫生日的主题是( )，为提高公众对食品安全的重视，世界卫生组织发表媒体通报，着重分析食品生产全部过程，帮助人们了解食品生产加工各个环节对食品安全的影响。 A、从农场到餐桌，食品安全人人有责 B、降压让生活更美好 C、老龄化与健康，口号是健康相伴，活力常在 D、城市化与健康 7、我国自20世纪70年代末期以来践行的改革开放其性质是( )。 A、社会主义基本制度的改变 B、社会主义经济运行方式的变革 C、社会主义原有体制的修补 D、社会主义制度的自我完善和发展 8、在中国社会主义建设中发展民主政治建设法治国家其本质和核心是( )。 A、保障人民当家做主 B、国家权力的互相制衡 C、保障公民权利合理分配 D、实现多党合作和政治协商 2018年公共基础知识试题含答案 一、单项选择题 1.党的十八大提出，在中国共产党成立一百年时全面建成（）。 A.小康社会 B.民主社会 C.发达国家 D.现代化国家 【答案】A 2.2017年2月17日，二十国集团外长会议在（）闭幕。在为期两天的会议期间，与会代表讨论了落实2030年可持续发展议程、维护和平、加选与非洲合作等议题。 A.波斯 B.杭州 C.大阪 D.慕尼黑 【答案】A 3.习强调的“人民为中心”的思想，与中国共产党的根本宗旨（）是一致的。 A.以人文本 B.全心全意为人民服务 C.实现共产主义 D.巩固党的执政地位 【答案】B 4.社会主义核心价值体系是（），决定着中国特色社会主义发展方向。 A.兴国之魂 B.思想指针 C.发展指南 D.兴国之要 【答案】A 5.在每年3月份举行的全国人大会议上，都要有（）作《政府工x作报告》。 A.国家主席 B.国务院总理 C.中共中央总书记 D.全国人大常委会委员长 【答案】B 6.政府职能的行使由（）授予并受其监督。 A.行政机关 B.司法机关 C.立法机关 D.中央政府 【答案】C 7.马克思主义的意识形态决定我国公共组织文化的核心价值观是（）。 A.为人民服务 B.为工人阶级服务 C.为统治阶级服务 D.为人类服务 【答案】A 8.我国人民民主专政的最适当的组织形式是（）。 A.“三权分立”制度 B.民主集中制 C.人民代表大会制度 D.共产党领导的多党合作制 【答案】C 9.（）是建设中国特色社会主义的总布局。 A.四化同步 B. 解放和发展生产力 C.梯次推进战略 D.五位一体 【答案】D 10.转变政府职能的根本途径是（）。 A.加强宏观调控 B.完善市场体系 C.实行政企分开 D.转换企业经营机制 【答案】C 11.以科学发展为主题，以加快转变（）为主线，是关系我国发展全局的战略抉择。 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常 见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 1.在党政企事业单位中属于下级向上级报送的公文种类是： （C） A.报告、通告 B.通报、请示 C.请示、报告 D.通知、报告 2.白炽灯用久了会发黑是因为钨丝发生：（D） A.燃烧 B.汽化 C.蒸发 D.升华 3.公元前475年至公元前221年是我国战国时期，被称为战国七雄的七个国家分别是：（A） A.齐、楚、燕、韩、赵、魏、秦 B.楚、燕、韩、鲁、赵、齐、秦 C.燕、越、赵、魏、秦、齐、鲁 D.齐、秦、韩、楚、鲁、魏、燕 1.以下关于主送机关正确的说法是：（C） A.主送机关是指公文的主要受理机关，应当使用全称或者规范化简称、同类型机关统称，位置在标题下右侧顶格 B.上行文的主送机关大凡是1个，请示、批复、函的主送机关只能是1个 C.普发性的下行公文，主送机关较多，但是不能使用泛称 D.公告、通告以及部分事项性通知必须写主送机关 2.食品生产中质量等级最高的是：（A） A.有机食品 B.绿色食品 C.无公害食品 D.天然食品 3.钓鱼岛自古就是________的固有领土。（B） A.日本 B.中国 C.韩国 D.菲律宾 1.在下列几类公文中，大凡不带“附件”的是：（C）A.印发类公文B.转发类公文 C.普发类公文 D.呈报类公文 2.光电子材料大凡是繁复的________需要用分外的方法和设备来制造。（C） A.无机纳米材料 B.电子材料 C.微结构材料 D.能源材料 3.巴巴罗萨作战是二战时德国侵略________的代号。（D）A.英国B.法国C.波兰D.苏联 1.综合办公部门或业务部门的负责人及有关人员对需要办理的公文提出建议性处理意见的参谋性活动，称为公文的：（A） A.拟办 B.承办 C.批办 D.催办 2.以下关于转基因产品的表述，不正确的是：（C） A.转基因产品是利用基因工程改变基因组构成的动物、植物、微生物产品及其加工品 B.供食用的转基因产品及其加工品称“转基因食品”，亦称“遗传制造食品” C.因为转基因产品是新生物技术的产物，所以转基因产品的安全性是毋庸置疑的 D.中国相关法律规定，转基因产品上都要醒目标出“转基因”，未经标识的相关产品及加工品将不得销售或进口 3.商鞅变法发生在：（B） A.西周 B.战国时代 C.秦朝 D.汉朝 1.下面几种说法中，不正确的是：（B） 公共基础知识中科技常识典型例题 1.遗传物资的载体是() 。 A.核酸 B.基因 D.染色体 2.判定一零碎是不是同其他零碎处于互为热均衡的标记是()。 A.压力 B.温度 D.动体 3.今世科技成长的两种情势是() 。 A.冲破和融会 B.超出和融会 D.冲破和接收 4.我们常听386,486,586 的说法 ,这是人们对计较机型号的称号,你能说出 X86 详细指甚么 ?() A.硬盘容量 B.显示器种别 C.软件运转速度 D.CPU 的型号 5.在太阳系中 ,离太阳比来的行星是()。 A.火星 B.金星 D.水星 6.() 代表了古希腊数学最高成绩。 A.毕达哥拉斯的《天然哲学的数学道理》 B.欧几里德的《几何本来》 D..培根的《新东西》 7.我国平易近间称之为“扫帚星”的星体是()。 A.水星 B.金星 D.火星 8.下年夜雨的时辰,闪电一过 ,接着就要打雷,这类景象的诠释是()。 A.雷声是在闪电后发生的 B.雷声是闪电的从属物 D.打雷天然而然随着闪电 9.廓清的石灰水用口吹过以后,便会变得混浊,其缘由是 ()。 A.呼出的气体中含一氧化碳 B.呼出的气体中不含氯气 D.呼出的气体含有二氧化碳 10.计较机主机不包罗() 。 A. 中心处置单位CPU B. 输人 /输入装备 C.主板 /板卡 D.内存储器 11.被东方称之为“物理学之父”的迷信家是 () A.阿基米德 B.欧几里德 D.伽利略 12.克隆手艺属于生物手艺中的() A.遗传工程 B.细胞工程 D.化学工程 13.天下上第一台电子计较机发生于() A.1944 年 B.1945 年 C.1946 年 D.1954 年 14.应用试管喷鼻蕉手艺来推行良好喷鼻蕉种类,这类手艺属于() A.基因工程 B.细胞工程 D.发酵工程 15.绝对论的提出者是() 。 A.霍金 B.爱因斯坦 D.居里夫人 16.19 世纪天然迷信的三年夜发现不包罗() A.细胞学说的成立 B.能量守恒和转化定律的发现 D.达尔文退化论的创建 17.在中国的地动探测史中,有一个驰誉中外的地动探测仪,是 () 。 A.浑天仪 B.候风地震仪 D.古代地震仪 l8. 一切生物的遗传物资是()。 公务员公共基础知识考试真题 公务员公共基础知识考试真题(一) A、行政合理性原则 B、行政合法性原则 C、行政比列问题 D、程序正义原则 2、对机关和机关工作人员的哪些行为，受害人有权要求损害赔偿?() A、违法行使职权侵犯公民，法人和其他组织的合法权益造成损害的 C、违法行驶职权给公民法人和其他组织造成损害的 D、行使职权侵犯共民，法人和其他组织的合法权益造成损害的 3、俗话说三个和尚没水喝，这说明的是人浮于事，但如果三个和尚，都很负责，结果也许会造成水满为患。这两种不同的说法表明 A、管理工作的有效性需要考虑内部环境各部分的整体效应 B、即使管理无方，人多还是比人少好办事 C、即使管理有方，也不一定是人多好办事 D、在不同的心态作用下会产生不同的群体合作效果 4、下列文种中，可用于下级机关就某一重大事项向上级机关提出建议和设想，供上级机关在决策时参考，同时也可作为同级机关开展这一工作依据的是()。 5、不适用著作权保护法的作品有()。(多选题) B、《少女之梦》(黄色书籍) C、人民法院编写的《行政诉讼案例选编》 D、律师的代理词 A、正确 B、错误 参考答案与解析 2、【答案】D。解析：赔偿是指对机关及其工作人员在行使职权的过程中给相对人造成的损害给予赔偿的活动。我国的赔偿包括行 政赔偿和司法赔偿两大类型。行政赔偿是指行政机关及其工作人员 在行使职权时，违法侵犯公民、法人和其他组织的合法权益造成损 害的，依法向受害人赔偿的制度。司法赔偿是指司法机关及其工作 人员在行使司法职权过程中，违法侵犯公民、法人和其他组织的合 法权益造成损害的，依法向受害人予以赔偿的制度。因此本题的正 确答案为D。 3、【答案】A。解析：“三个和尚没水喝”的情况之所以会发生，是因为缺乏有效的制度安排来调动和尚们挑水的积极性：“三个和尚”都很负责，结果也许会造成水满为患，说明了因为不合理的管 理安排，尽管调动各方积极性同样产生过犹不及的效果，本题的启 示是如何实现管理的有效性，达到整体优化的目的。故本题答案为A。 公务员公共基础知识考试真题(二) 1、邓小平指出，一个党，一个国家，一个民族，如果一切以本 本出发，思想僵化，迷信盛行，那他就不能前进，他的生命机体就 停止了，就要亡党亡国。这段话非常深刻的阐明了()。 A、改革开放的重要性 B、唯物主义的重要性 C、解放思想的重要性 D、大胆的闯的重要性 2、政党监督的主体除了党委和党的纪律检查委员会还有()。 A、党的宣传部门 B、党的基层组织 C、党的组织部门 D、党的领 导 3、关于法律责任与法律制裁的关系，下列说法不正确的是()。 第八章典型习题 一、填空题、选择题 1、y x z += 1的定义域为 ； 2、1 1lim 0-+→→xy xy y x ； 3、设xy z 3=， x z ??= ； 4、 z z x ?==?设则 5、由方程z y x e xyz e =++确定了函数()y x z z ,=，求dz 。 6、函数()y x f z ,=在点()00,y x 处()00,y x f x ，()00,y x f y 存在，则()y x f ,在该点（ ） A 、连续 B 、不连续 C 、不一定连续 D 、可微 二、解答题 1、求曲面632222=++z y x 在点P （1，1，1）的切平面方程和法线方程。 2、2,y z f x y f x ? ?= ?? ?已知 ，其中为可微函数，y z x z ????,求。 3、设()y x z z ,=是由方程 y z z x ln =确定，求x z ??，y z ??。 4、做一个表面积为12平方米的长方体无盖铁皮箱，问长、宽、高如何选取，才能使铁箱的容积为最大。 第九章、第十章典型习题 一、填空题、选择题 1、将二重积分()dxdy y x f D ??,化为二次积分，其中积分区域D 是由0,,42≥==x x y y 所围成，下列各式 中正确的是（ ）A 、()dy y x f dx x ??2 04 ,2 B 、()dy y x f dx ??4 4 , C 、()dx y x f dy y ??0 40 , D 、()dx y x f dy y ? ?0 40 , 2、设Ω是由1,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的区域，则=???Ω xyzdxdydz 3、旋转抛物面2 2 2y x z +=在20≤≤z 那部分的曲面面积S=（ ） 2009年公共基础知识试题及答案 第一部分客观题 一、单项选择题(从下列各题答案中选出一个最符合题意的答案，并将字母符号填入题后括号内) 1．马克思主义哲学是( B)。 A．一元论和多元论相统一的哲学 B．革命性和科学性相统一的哲学 C．历史性和现实性相统一的哲学 D．阶级性和实践性相统一的哲学 2．唯物辩证法的总特征是(A )。 A．联系的观点和发展的观点 B．运动和静止辩证统一的观点 C．物质第一性、意识第二性的观点 D．对立统一的观点 3．人和动物的最根本区别在于( D)。 A．人有同环境相分离的自我意识 B．人有固定并交流思想的工具——语言 C．人有地球上最美丽的花朵——“思维着的精神 D．人有通过劳动在自然界打上自己“意志的印记”的能力 4．人类社会的发展是一个自然历史过程，这句话的含义是(C )。 A．社会发展史和自然界的发展史是完全相同的 B．社会规律与自然规律是没有区别的 C．人类社会发展象自然界发展一样是有客观规律的 D．社会发展过程不受人的主观意志影响 5．唯物主义一元论同唯心主义一元论的根本对立在于(D )。 A．对世界构成形式的不同回答 B．对世界存在状态的不同回答 C．对世界是否可知的不同回答 D．对世界本原的不同回答 6．社会历史观的基本问题是(A )。 A．社会存在和社会意识的关系问题 B．生产力和生产关系的矛盾问题 C．社会发展的客观规律和人的自觉能动性的关系问题 D．经济基础和上层建筑的矛盾问题 7．新中国建立之初，(C )提出要把中国从一个落后的农业国变为先进的工业国的战略构想。A．邓小平 B．周恩来 C．毛泽东 D．刘少奇， 8．(A )提出“三个有利于”的判断标准。 A．邓小平 B．陈云 C．毛泽东 D．刘少奇， 公共基础知识宪法经典练习题 1)属于全国人民代表大会职权的有（ABCD ）。(多选提) A:修改宪法、监督宪法的实施B:制定和修改基本法律C:监督其他国家机关的工作D:决定国家重大问提 2)我国国家机构的组织和活动原则有（ABCD ）。(多选提) A:民主集中制原则B:社会主义法制原则C:精简和实行工作责任制原则D:密切联系群众和全心全意为人民服务原则 3)国家机构按其行使职权的性质不同可以分为（ABD ）。(多选提) A:立法机关B:行政机关C:咨询机关D:司法机关 4)我国公民在家庭生活方面对国家、社会、家庭和个人应尽的义务主要包括（ACD ）。 (多选提) A:实行计划生育B:实行男女平等C:抚养教育未成年子女D:赡养扶助父母 5)根据我国宪法规定，公民权利和自由的广泛性表现在（AC ）。(多选提) A:享有权利和自由的主体非常广泛B:承担和履行义务的主体非常广泛C:权利和自由的范围十分广泛D:保障权利和自由实现的条件非常充分 6)下列命提中，错误的提法有（BC ）。(多选提) A:国籍主要是因出生和因加入而取得B:“公民”是与敌人相对应的政治概念C:人民是指具有某个国家国籍的个人,它是一个法律概念。D:国籍是国家对侨民实行外交保护的法律依据 7)下列财产中，可以成为公民个人合法财产的有（ACD ）。(多选提) A:房屋、储蓄和生活用品B:森林等自然资源C:法律允许的生产资料D:林木、文物、图书等 8)特别行政区与其他普通行政区域相比其特点在于（AC ）。(多选提) A:依法律规定在相当长期限内不实行社会主义制度和政策，原有社会经济制度、生活方式予以保留B:享有独立的外交权C:享有高度的自治权D:直辖于中央人民政府 9)我国民族自治地方不同于一般省、市、县的特点主要在于（BD ）。(多选提) A:具有独立B:享有极广泛的自治权C:经济、文化等发展相对比较落后D:主要由本民族人员组成自治机关 10)属于人民代表大会制度主要内容的有（ACD ）。(多选提) A:人民选派代表组成全国和地方各级人民代表大会作为行使权力的机关B:倾听人民的意见和建议，接受人民的监督C:其他国家机关由人民代表大会产生，受它监督，向它负责D:人大常委会向本级人大负责 关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 公共基础知识试题2 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 事业单位《公共基础知识》全真模拟卷（二）与参考答案及 解析 一、单项选择题（下列各题中只有一个正确的答案，请将它的代码选出填涂在答题卡上。每小题1分，共30分。） 1．科学发展观的核心是（）。 A．执政为民B．以人为本 C．与时俱进D．又快又好 2．科学发展观是立足（），总结我国发展实践，借鉴国外发展经验，适应新的发展要求提出来的。 A．社会主义初级阶段基本国情 B．当前我国发展的阶段性特征 C．解决环境资源问题 D．全面建设小康社会的实践 3．中国特色社会主义理论体系就是包括（）的科学理论体系。 A．马列主义、毛泽东思想 B．邓小平理论、“三个代表”重要思想及科学发展观等重大战略思想 C．解放思想、实事求是 D．推进社会主义民主法制建设 4．党的十七大报告提出：在优化结构、提高效能、降低能耗、保护环境的基础上实现（）到2020年比2000年翻两番。 A．国内生产总值B．国民生产总值 C．人均国内生产总值D．农村牧区居民收入 5．（）是决定当代中国命运的关键抉择，是发展中国特色社会主义、实现中华民族伟大复兴的必由之路。 A．科学发展B．与时俱进 C．改革开放D．民主政治 6．恩格斯指出：每一时代的哲学作为分工的一个特定的领域，都具有由它的先驱传给它而它便由此出发的特定的思想材料作为前提。因此，经济上落后的国家在哲学上仍然能够演奏第一小提琴。这说明（）。 A．社会意识是社会存在反映 B．社会意识具有相对独立性 C．社会意识反作用于社会存在 D．社会存在对社会意识的决定作用 6.【答案】B。解析：本题考核的知识点是：社会意识的相对独立性。社会意识相对独立性的表现之一是社会意识和社会经济发展上具有不平衡性。从理论上说，经济上发达的国家，其社会意识也应该是先进的，反之亦然，但事实上并非如此。历史上和现实中有些经济发展水平较高的国家和地区，其社会意识发展水平不一定是较高的，有些经济发展程度相对落后的国家和地区，又可能在思想领域超过经济上发达的国家和地区。因此，本题的正确答案是B选项。 7.毛泽东思想达到成熟的标志是（）。 A.以农村包围城市的革命理论的形成 B.社会主义革命和建设理论的形成 C.实事求是思想路线的形成 D.新民主主义理论科学体系的形成 7.【答案】D。解析：走农村包围城市，武装夺取政权道路的理论，标志着毛泽东思想的形成；新民主主义理论的提出标志着毛泽东思想的成熟。 8.中国共产党第一次自主地运用马列主义基本原理解决中国革命问题的会议是（）。 A.八七会议 B.遵义会议 C.瓦窑堡会议 D.党的十七大 8.【答案】B。解析：遵义会议确立了以毛泽东为代表的新的中央的正确领导。这次会议是中国共产党第一次独立自主地运用马克思列宁主义基本原理解决自己的路线、方针政策的会议，标志着中国共产党从幼年达到成熟。应选B。 20XX年国家公务员考试公共基础知识试卷(B类) 一、单项选择题(在下列选项中选择最恰当的一项，并用2B铅笔在答题卡相应题号下涂黑所 选答案项的信息点，在试卷上作答一律无效。每题0．8分，共60分。) 1．唯物主义一元论和唯心主义一元论对立的根本点在于( B ) A. 意识的本质问题B．世界的本原问题 C. 事物发展的动力问题D．世界能否认识的问题 2．人在心情愉快时会感到“光阴似箭”，心情抑郁时会感到“度日如年”。这表 明( D ) A. 时间是由人的主观感觉决定的 B．时间随人的感觉的变化而变化 C. 时间的具体特性是可变的 D. 人的时间观念具有相对性 3．唯物辩证法和形而上学斗争的焦点集中在是否承认( C ) A. 事物是普遍联系的 B. 事物是永恒发展的 C. 事物的内部矛盾D．事物的外部矛盾 4．马克思主义认识论首要的、基本的观点是( C ) A．联系的观点B．发展的观点 C．实践的观点 D. 科学的观点 5．生产力反映的是( A ) A．人和自然的关系 B. 自然界中物与物的关系 C. 人与人之间的关系 D. 个人和社会的关系 6．英雄史观的理论前提是(B) A. 社会存在决定社会意识B．社会意识决定社会存在 C. 生产力决定生产关系D．经济基础决定上层建筑 7．中国近代首先喊出“振兴中华"口号的是( A ) A. 孙中山B．毛泽东 C. 周恩来D．邓小平 8。毛泽东提出，生产资料私有制的社会主义改造摹本完成后，国家政治生活的主题是( A ) A. 正确处理人民内部矛盾 B. 集中力量进行社会主义建设 C. 调动国内外一切积极力量 D. 正确处理两类不同性质的矛盾 9. 毛泽东思想形成的主要标志是关于( D ) A. 中国新民主主义革命的基本思想 B. 武装斗争的理论 C．统一战线中无产阶级领导权的思想 D. 农村包围城市革命道路的理论 10．人民解放军解放全国大陆的时间是( D ) A. 1949年10月B．1950年5月 C 1951年5月D．1951年10月 11．坚持和发展毛泽东思想，首先要做到( A ) A. 完整地准确地理解和掌握毛泽东思想科学体系 B．把毛泽东思想和毛泽东晚年的错误思想区别开来 C. 在实践中发展毛泽东思想 D. 不断捍卫毛泽东思想的历史地位 12．实现社会经济可持续发展的关键是( B ) A．速度、比例和效率的统一 B. 经济发展与人口、资源、环境的统一 C. 科技、教育为经济建设服务D．大力发展第三产业 甘肃公共基础知识试题库 公共基础知识是一门综合性知识总集，包括马克思主义哲学、邓小平理论、法律、行政管理、公文写作与处理等五大内容。以下是由整理关于甘肃公共基础知识试题库的内容，希望大家喜欢! 甘肃公共基础知识试题库 1、2014年7月15日，金砖国家领导人第六次会晤在巴西塔莱萨举行，会议决定成立的银行是： A、亚洲开发银行 B、世界开发银行 C、金砖国家开发银行 D、国际货币基金组织 2、《事业单位人事管理条例》的实施日期是： A、2014年1月1日 B、2014年7月1日 C、2014年10月1日 D、2015年1月1日 3、2014年7月1日，日本内阁会议通过修改宪法解释，解禁集体自卫的内阁决议案，提出了新的： A、自卫权发动三条件 B、自卫权行使三条件 C、武力行使三条件 D、武力发动三条件 4、2014年5月15日，在中国国际友好大会暨中国人民对外友好协会成立60周年活动上的讲话指出，中国，和文化源远流长，蕴含着天人合一的宇宙观、协和万邦的国际观、( )的社会观、人心和善的道德观。 A、互帮互助 B、和而不同 C、和衷共济 D、天下为公 5、中共中央办公厅、国务院办公厅于2014年7月16日印发《关于全面推进公务用车制度改革的指导意见》和《中央和国家机关公务用车制度改革方案》，规定公车改革的总体目标。根据该目标，下列选项中正确的是： A、用2 4年时间全面完成公务用车改革 B、用3 4年时间全面完成公务用车改革 C、2014年年底前基本完成地方党政机关公务用车制度改革 D、力争2014年年底前基本完成中央和国家机关及其所属参照公务员法管理的事业单位公务用车制度改革 6、社会建设与人民幸福安康息息相关，党的十七大报告提出，要加快推进以改善民生为重点的社会建设，下列各项不属于社会建设范畴的是: A、在学校建立贫困生资助体系 B、为低收入家庭提供住房保障 C、扩大各项社会保险的覆盖范围 D、强化政府服务职能，建设服务型政府 7、为深入实施西部大开发战略，国务院批准设立兰州新区。国务院对兰州新区确定的四大战略定位是： ①西北重要的经济增长极②西部区域性金融中心 ③国家重要的产业基地④国家战略性新兴产业集聚区 ⑤对外开放的战略平台⑥承接产业转移的示范区 2020年事业单位招聘考试公共基础知识试题库 及答案（题量巨大） 根据我国现行《宪法》的规定,我国现行的行政区域包括哪些?( )。 A、一般行政区,即省(直辖市)、县、市和乡、镇三级 B、民族自治地方,即自治区、自治州、自治县、自治乡四级 C、特别行政区,即香港特别行政区 D、经济特区,即深圳、珠海、厦门等经济特区 标准答案： ac 国家负行政赔偿责任的情况是（）。 A、卫生局工作人员在检查卫生中因违法造成损害的 B、行政机关工作人员因其个人行为造成他人损害的 C、国有企事业单位的生产经营行为造成损害的 D、国有企事业单位的行政干部在履行其职权时造成他人损害的 标准答案： a 同一违法行为不得给予两次以上罚款的行政处罚。 标准答案：对 欠缴税款的纳税人需要出境的，应当在出境前向税务机关结清应纳税款、滞纳金或者提供纳税担保。 标准答案：对 行政违法并应承担侵权责任的主体是（）。 A、行政主体 B、行政相对方 C、公务员 D、国家机关 标准答案：a 合理性原则要求行使行政权力时，应当建立在正当考虑的基础上。标准答案：对 人身权的特点有（）。 A、对人权 B、不具财产内容 C、标的为人身利益 D、与特定人身密不可分 标准答案： bd 行政处罚应遵循的主要的原则有（）。 A、处罚法定原则 B、公正、公开原则 C、一事不再罚原则 D、过罚相当原则 标准答案： abcd 历史上三次社会大分工依次是（） A、畜牧业、手工业、工商业先后从农业分离 B、手工业、畜牧业、工商业先后从农业分离 C、工商业、畜牧业、手工业先后从农业分离 D、手工业、工商业、畜牧业先后从农业分离 标准答案： a 若发现已生效的行政执法行为违法或不当，则（）。 A、委托诉讼代理人 B、撤诉 C、申请回避 D、上诉 标准答案： c 调解可以运用于（）。 A、行政诉讼高等数学下册典型例题精选集合.doc
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